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2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题六 第3讲 概率与统计选择、填空题型


第三讲 概率与统计?选择、填空题型?

考点
古典概型 条件概率及事件相 互独立

考情
1.高考对概率的考查,以古典概型和相互独立事件的概 率为主,其中古典概型和相互独立事件的概率除以客观题形 式出现外,也常以解答题形式出现,且多与离散型随机变量 的分布列联系在一起,试题难度中档,如2013年新课标全国 卷ⅡT14,

2013年福建T11. 2.对抽样方法的考查主要集中在两个方面:一是抽样方 法的判断;二是相关数值的计算,其中分层抽样考查的频率 较高,如2013年新课标全国卷ⅠT3. 3.对统计表(频率分布直方图、茎叶图)的考查常与数字 特征融合在一起命题,如2013年福建T4,2013年重庆T4.

抽样方法
频率分布直方图、 茎叶图

数字特征

1.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力 情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查, 事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的 视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在 下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( )

A.简单随机抽样 C.按学段分层抽样

B.按性别分层抽样 D.系统抽样

解析:由于该地区的中小学生人数比较多, 不能采用简单随机抽 样,排除选项 A;由于小学、初中、高中三个学段的学生视力差 异性比较大,可采取分层抽样,而男女生视力情况差异性不大, 不能按照性别进行分层抽样,排除 B 和 D.

答案:C

2.(2013· 福建高考)某校从高一年级学生中 随机抽取部分学生,将他们的模块测试 成绩分成 6 组:[40,50),[50,60), [60,70),[70,80),[80,90),[90,100] 加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年 级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为 A.588 C.450 B.480 D.120 ( )

解析:由频率分布直方图可得,该模块测试成绩不少于60分的 学生人数为600-(0.005+0.015)×10×600=480.

答案:B

3.(2013· 重庆高考)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在 一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中 位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为 ( )

A.2,5 C.5,8

B.5,5 D.8,8

解析:由甲组数据的中位数是 15,得 x=5;由乙组数据的平均 数为 16.8,得 y=8.

答案:C

4.(2011· 浙江高考)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其随机地抽取并排摆放在书架的同 一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是 ( ) 1 2 A. B. 5 5 3 4 C. D. 5 5 解析: 5 本书的全排列有 A5种排法,其中语文书相邻的排法有 5
2 A2A4种,数学书相邻的排法有 A2A4种,语文书数学书各自同时 4 2 4

相 邻 的 排 法 有

A

2 2

A

2 2

A

3 3

种 , 故 所 求 概 率 为

2 4 2 A5-?A2A4+A2A4-A2A2A3? 2 5 4 2 2 3 = . A5 5 5

答案:B

5.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)从 n 个正整数 1,2,?,n 中任意取 1 出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率为 , 14 则 n=________.

解析:试验基本事件总个数为C

2 n

,而和为5的取法有1,4与

2 1 2,3两种取法,由古典概型概率计算公式得P= 2 = ,解 Cn 14 得n=8.
答案:8

1.三种概率 (1)古典概型的概率 m A中所含的基本事件数 P(A)= n = . 基本事件总数
(2)事件的相互独立性 . 设事件 A、B 为两个事件,若 P(AB)=P(A)· P(B), 则称事件 A 与事件 B 相互独立. (3)条件概率 P(B|A)= P?AB? . P?A?

2.直方图的三个有用结论 频率 (1)小长方形的面积=组距× =频率. 组距 (2)各小长方形的面积之和等于1. 频率 1 (3)小长方形的高= ,所有小长方形高的和为 . 组距 组距

3.统计中的四个数据特征 (1)众数、中位数; 1 1n (2)样本平均数 x =n(x1+x2+?+xn)=n?xi; i=1 1 ?? ?x1- x ?2+?x2- x ?2+? + (3) 样 本 方 差 s = n ? 1n 2? ?xn- x ? ??= ? (xi- x )2; ni=1 (4)样本标准差 s=
2

1?? 2 2 2? ?x1- x ? +?x2- x ? +?+?xn- x ? ??= ? n 1? ? ?xi- x ?2. ni=1
n

古典概型

[例 1]

(1)(2013· 广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的 ( )

两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是 4 A. 9 2 C. 9 1 B. 3 1 D. 9

(2)(2013· 宁波模拟)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a, 从{1,2,3}中随机选取一个数为 b,则 a<b 的概率为 4 3 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5
[自主解答] (1)由个位数与十位数之和为奇数, 则个位数 与十位数分别为一奇一偶.若个位数为奇数时,这样的两位
1 数共有 C5C1=20 个;若个位数为偶数时,这样的两位数共有 4 1 C5C1=25 个;于是,个位数与十位数之和为奇数的两位数共 5

(

)

有 20+25=45 个.其中,个位数是 0 的有 C1×1=5 个.于 5 5 1 是,所求概率为 = . 45 9

(2)取出的两个数用数对表示,则数对(a,b)的不同选法有
1 C5C1=15 种,要满足 a<b,b 只能取 2 或 3,当 b 取 2 时,a 3

只能为 1;当 b 取 3 时,a 有 2 种选法.故满足 a<b 的选法有 3 3 1 种,故所求事件的概率为 P= = . 15 5

[答案]

(1)D

(2)D

——————————规律· 总结————————————

古典概型的妙解 (1)解决古典概型概率问题, 关键是弄清基本事件的总数 n 以及某个事件 A 所包含的基本事件的个数 m, 然后由公式 P(A) m = n 求出概率. (2)对于较复杂的互斥事件的概率求法可考虑利用对立事 件去求. ———————————————————————————

1. 现有甲、 丙、 乙、 丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动. 若 每个社区至少分一名义工,则甲、乙两人被分到不同社区的概 率为 1 A.6 10 C.27 5 B.6 17 D.27 ( )

解析:依题意得,甲、乙、丙、丁到三个不同的社区参加公 益活动,每个社区至少分一名义工的方法数是C
2 4

· A

3 3

,其中

甲、乙两人被分到同一社区的方法数是C 2 · 3 ,因此甲、乙两 A3 2 C2· 3 5 2 A3 人被分到不同社区的概率等于1- 2 3= C4· 3 6 A

答案:B

2.设 a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数 f(x)=x3+ax-b 在区 间[1,2]上有零点的概率为 1 A. 2 11 C. 16 5 B. 8 3 D. 4 ( )

解析:因为 f(x)=x3+ax-b,所以 f′(x)=3x2+a.因为 a∈ {1,2,3,4},因此 f′(x)>0,所以函数 f(x)在区间[1,2]上为增函
?f?1?=1+a-b≤0, ? 数.若存在零点,则? ?f?2?=8+2a-b≥0, ?

解得 a+1≤b≤8

+2a.因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有:a=1,2≤b≤10, 故 b=2,b=4,b=8;a=2,3≤b≤12,故 b=4,b=8,b=12; a=3,4≤b≤14,故 b=4,b=8,b=12;a=4,5≤b≤16,故 11 b=8,b=12.根据古典概型概率公式可得有零点的概率为 . 16 答案:C

抽 样 方 法
[例2] (1)(2013· 陕西高考)某单位有840名职工,现采用系统

抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,?,840随机编 号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( A.11 B.12 C.13 )

D.14

(2)(2013· 江西高考)总体由编号为01,02,?,19,20的20个 个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从 随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两 个数字,则选出来的第5个个体的编号为 ( )

7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204 9234
A.08

4935

8200

3623

4869

6938

7481

B.07

C.02

D.01

[自主解答]

(1)依据系统抽样为等距抽样的特点,分42

组,每组20人,区间[481,720]包含第25组到第36组,每组抽1 人,则抽到的人数为12. (2)从左到右符合题意的5个个体,编号分别为: 08,02,14,07,01,故第5个个体编号为01.

[答案] (1)B

(2)D

互动探究

本例(2)中若从第1行的第2列和第3列开始,第3个 个体编号为________.

解析:依次为20,19,03,…
答案:03

——————————规律· 总结———————————— 三类抽样方法的抽样步骤
1.简单随机抽样的步骤:(1)将总体中的个体随机编号; (2)选定开始的数字;(3)获取样本号码. 2.系统抽样的步骤:(1)将总体中的个体随机编号;(2)将 编号分段;(3)在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编 号;(4)按照事先研究的规则抽取样本. 3.分层抽样的步骤:(1)分层;(2)按比例确定分层抽取个 体的个数;(3)各层抽样;(4)汇合成样本.

——————————————————————————

3.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名 学生从1~160编号,按编号顺序平均分成20组(1~8号,9~ 16号,?,153~160号),若第16组抽出的号码为126,则第 一组中用抽签法确定的号码是 A.4 C.6 B.5 D.7 ( )

解析:设第一组中抽取的号码是x(1≤x≤8). 由题意可得分段间隔是8, 又∵第16组抽出的号码是126, ∴x+15×8=126,∴x=6. ∴第一组中用抽签法确定的号码是6.

答案:C

4.某全日制大学共有学生5 600人,其中专科生有1 300人,本 科生有3 000人,研究生有1 300人,现采用分层抽样的方法 调查学生利用因特网查找学习资料的情况,抽取的样本为 280人,则应在专科生,本科生与研究生这三类学生中分别 抽取 A.65人,150人,65人 B.30人,150人,100人 C.93人,94人,93人 D.80人,120人,80人 ( )

解析:设应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取 5 600 1 300 3 000 1 300 x人,y人,z人,则 = x = y = z ,所以x=z= 280 65,y=150,所以应在专科生,本科生与研究生这三类学生中 分别抽取65人,150人,65人.

答案:A

用样本估计总体

[例 3] (1)(2013· 辽宁高考)某班的全体学生参加英语测试,成 绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60), [60,80),[80,100].若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人 数是 ( )

A.45

B.50

C.55

D.60

(2)(2013· 江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次 训练成绩(单位:环),结果如下:

运动员 甲 乙

第一次 87 89

第二次 91 90

第三次 90 91

第四次 89 88

第五次 93 92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差 为________.

[自主解答] (1)成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2,则 15 低于60分的频率是0.3,设该班学生总人数为m,则 m =0.3,m=50. - =90,所以方差为s2= 1 ×[(87-90)2 (2)对于甲,平均成绩为 x 5 +(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4;对于乙,平 -=90,方差为s2=1×[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2 均成绩为 x 5 +(88-90)2+(92-90)2]=2.由于2<4,所以乙的平均成绩较为稳 定.

[答案] (1)B

(2)2

本例(1)中利用频率分布直方图求出成绩的中位数.

解: [20,40), [40,60)和[60,80)的频率分别为 0.1, 0.2, 0.4,因此中位数在[60,80)内.设中位数为 x,则 0.1+0.2 +(x-60)×0.02=0.5,即 x=70. 故中位数为 70 分.

——————————规律· 总结———————————— 众数、中位数、平均数与直方图的关系

(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐 标. (2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线 与横轴交点的横坐标. (3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小 矩形底边中点的横坐标之积的和.
———————————————————————————

5.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每 场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示,则甲、乙两 名运动员得分的中位数分别为 ( )

6 5 3

甲 9 7 4

8 9 6 2

0 1 2 3

乙 7 8 5 1 2 1 1 0 0 3

1

4

0

A.19,13

B.13,19

C.20,18

D.18,20

解析:由茎叶图可知,甲的中位数为 19,乙的中位数为 13.

答案:A

6.5 000 辆汽车经过某一雷达测速区,其速度的频率分布直方 图如图所示,则时速超过 70km/h 的汽车数量为________.

解析:由时速的频率分布直方图可知,时速超过70 km/h的汽 车的频率为图中70到80的矩形的面积,∴时速超过70 km/h的 汽车的频率为0.010×(80-70)=0.1.∵共有5 000辆汽车,∴

时速超过70 km/h的汽车数量为5 000×0.1=500.

答案:500

课题22 [典例]

列举法求古典概型的概率

(2013· 新课标全国卷Ⅱ)从1,2,3,4,5中任意取出

两个不同的数,其和为5的概率是________. [考题揭秘] 本题主要考查古典概型,以及对基本概念

的理解与基本方法的掌握.

[审题过程] 同的数.

第一步:审条件.从1,2,3,4,5中任取出两个不

第二步:审结论.求和为5的概率. 第三步:建联系.列出从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数的 所有可能结果,然后再找出和为5的个数,根据古典概型概率求 法得出结论.

[规范解答]

根据题目条件知所求概率为古典概型.??①

从五个数中任意取出两个数的可能结果有: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共 10 个,其中“和 为 5”的结果有(1,4),(2,3),??????????????② 2 1 故所求概率为 = .????????????????③ 10 5 1 [答案] 5

[模型归纳] 利用列举法求古典概型概率的模型示意图如下:

[变式训练] 1.(2013· 杭州模拟)用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测 评中的成绩(成绩为两位整数),现乙还有一次不小于90分 的成绩未记录,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率 为

2
2 A. 5 4 C. 5

甲 9 8 1 0

8 9
7 B. 10 1 D. 2

乙 3 3 7 9

(

)

解析:由已知条件可得乙还有一次不小于90分的成绩未记录, 即乙的成绩有10种可能,设乙的这次成绩为a,则由甲的平均 成绩超过乙的平均成绩可得a+83+83+87+99<88+89+90+ 91+92,解得a<98,即乙的成绩为90分到97分之间,有8种可 8 4 能,∴甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P= = . 10 5 答案:C

2.设函数f(x)=

x2-2?a-1?x+b2

的定义域为D.若a∈

{1,2,3,4},b∈{1,2,3},则D=R的概率为________.
解析:∵a∈{1,2,3,4},b∈{1,2,3}, ∴(a,b)的所有可能为:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2), (2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),共12种. 而D=R,有4(a-1)2-4b2≤0,即|a-1|≤|b|, 那么满足D=R的(a,b)的所有可能为:(1,1),(1,2), (1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,3),共9种. 9 3 ∴所求概率P= = . 12 4

3 答案: 4

预测演练提能


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