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2012理科高考试题分类汇编:圆锥曲线

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2012 理科高考试题分类汇编:圆锥曲线
一、选择题 1 . (2012 年高考(新课标理) 等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 )
y
2

? 16 x 的准线交于 A , B 两点, A B ? 4 3 ;则 C 的实轴长为






A. 2

B. 2 2

C. ?
x a
2 2

D. ?
? y b
2 2

2 . (2012 年高考(新课标理) 设 F1 F 2 是椭圆 E : )

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点, P 为

直线 x ? A.
1 2

3a 2

上一点, ? F 2 P F1 是底角为 30 ? 的等腰三角形,则 E 的离心率为 B.
2 3





C.

? ?
x a
2 2 2 2

D.
? y b

? ?

3 . (2012 年高考(浙江理) 如图,F1,F2 分别是双曲线 C: )

? 1 (a,b>0)

的左右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心 率是 A. C.
2 3 3
2





B.

6 2

D. 3 4 . (2012 年高考(四川理) 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 )
M ( 2, y 0 ) .若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | O M |?

( D. 2 5



A. 2 2

B. 2 3

C. 4
x
2

5

.( 2012 年 高 考 ( 上 海 春 )) 已 知 椭 圆 C 1 :

?

y

2

12

4

? 1, C 2 :

x

2

?

y

2

? 1, 则

16

8

[答] A. C 1 与 C 2 顶点相同. C. C 1 与 C 2 短轴长相同.
x a
2 2
2 2

( B. C 1 与 C 2 长轴长相同. D. C 1 与 C 2 焦距相等.
y b
2 2



6 . (2012 年高考(山东理) 已知椭圆 C : )

?

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心学率为

3 2

.双曲线

x ? y ? 1 的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16,

则椭圆 C 的方程为





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Http://www.fhedu.cn A.
x
2

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

8

2

12

6 x a
2 2

16 y b
2 2

4

20

5

7 . (2012 年高考(湖南理) 已知双曲线 C : )

-

=1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐 ( )

近线上,则 C 的方程为 A.
x
2

-

y

2

=1

B.

x

2

-

y

2

=1

C.

x

2

-

y

2

=1

D.

x

2

-

y

2

=1

20

5

5

20 x
2

80 y b
2 2

20

20

80

8 . (2012 年高考(福建理) 已知双曲线 )

?

? 1 的右焦点与抛物线 y ? 1 2 x 的焦点重
2

4

合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A. 5 B. 4 2 C.3
2 2

( D.5



9 . (2012 年高考(大纲理) 已知 F1 , F 2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左右焦点,点 P 在 C )

上, | P F1 |? 2 | P F 2 | ,则 cos ? F1 P F2 ? A.
1 4

( C.
3 4



B.

3 5

D.

4 5

10. (2012 年高考(大纲理) 椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x ? ? 4 ,则该椭圆的 )

方程为 A.
x
2


? y
2



?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

16

12

16

8
2

8

4

12

4

11. (2012 年高考(安徽理) 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点,点 O )

是原点,若 A F ? 3 ; 则 ? A O B 的面积为 A.
二、填空题
? x = 2 pt 2 , 12. (2012 年高考(天津理) 己知抛物线的参数方程为 ? ) ( t 为参数),其中 p > 0 ,焦 ? y = 2 pt,
2 2

( B. 2 C.
3 2 2



D. 2 2

点为 F ,准线为 l ,过抛物线上一点 M 作的垂线,垂足为 E ,若 | E F |= | M F | ,点 M 的横坐 标是 3,则 p = _______.

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13. (2012 年高考(重庆理) 过抛物线 y ? 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A , B 两点,若 )
2

AB ?

25 12

, A F ? B F , 则 A F =_____________________.

14. (2012 年高考 (四川理) 椭圆 )

x

2

?

y

2

? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、

4

3

B ,当 ? F A B 的周长最大时, ? F A B 的面积是____________.

15. (2012 年高考(上海春) 抛物线 y ? 8 x 的焦点坐标为_______. )
2

16. (2012 年高考(陕西理) 右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面 )

宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽____米.
17. (2012 年高考(辽宁理) 已知 P,Q 为抛物线 x ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 )
2

y x

4, ? 2,过 P、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________.
18. (2012 年高考(江西理) 椭圆 )
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右

焦 点 分 别 是 F1,F2. 若 |AF1|,|F1F2|,|F1B| 成 等 比 数 列 , 则 此 椭 圆 的 离 心 率 为 _______________. 19 . 2012 年 高 考 ( 江 苏 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xO y 中 , 若 双 曲 线 ( )
x
2

?

y
2

2

m

m ?4

? 1 的离心率为

5 ,则 m 的值为____.
x a
2 2

y

20. (2012 年高考(湖北理) 如图,双曲线 )
A1 , A 2

?

y b

2 2

? 1 ( a , b ? 0 ) 的两顶点为

B2 B A1 F1 O C B1 D A A2 F2

,虚轴两端点为 B 1 , B 2 ,两焦点为 F1 , F 2 . 若以 A1 A 2 为直径的
B, C , D

圆内切于菱形 F1 B1 F2 B 2 ,切点分别为 A , (Ⅰ)双曲线的离心率 e ? ________; (Ⅱ) 菱 形
S1 S2 ?
F1 B1 F 2 B 的 面 积 S 1 2

. 则 x

与矩形

A B C D的

面积

S2

的比值

________.
2

21. (2012 年高考 (北京理) 在直角坐标系 xo y 中,直线 l 过抛物线 y ? 4 x )

的焦点 F,且与该抛物线相较于 A、 两点,其中点 A 在 x 轴上方,若直线 l 的倾斜角为 60°, B 则△OAF 的面积为________.
三、解答题 22. (2012 年高考(天津理) 设椭圆 )
x a
2 2

+

y b

2 2

=1 ( a > b > 0 ) 的左、右顶点分别为 A , B ,点 P 在

椭圆上且异于 A , B 两点, O 为坐标原点.

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Http://www.fhedu.cn (Ⅰ)若直线 A P 与 B P 的斜率之积为 ?
1 2

,求椭圆的离心率;

(Ⅱ)若 | A P |= | O A | ,证明直线 O P 的斜率 k 满足 | k |> 3 .

23. (2012 年高考 (新课标理) 设抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C , )
2

已知以 F 为圆心,
F A 为半径的圆 F 交 l 于 B , D 两点;

(1)若 ? BFD ? 90 , ? ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;
0

(2)若 A , B , F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m , n 距离的比值.

24. (2012 年高考(浙江理) 如图,椭圆 C: )

x a

2 2

+

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的离心率为

1 2

,其左焦点到点

P(2,1)的距离为

10

.不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且

线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.

25. (2012 年高考(重庆理) (本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 7 分) )
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Http://www.fhedu.cn 如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左右焦点分别为 F1 , F 2 ,线段
O F1 , O F 2 的中点分别为 B1 , B 2 ,且△ AB 1 B 2 是面积为 4 的直角三角形.

(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 B1 做直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB 2 ? QB 2 ,求直线 l 的方程

26. (2012 年高考(四川理) 如图,动点 M 到两定 )

点 A ( ? 1, 0) 、 B ( 2, 0 ) 构 成 ? M A B, 且
? M B A ? 2 ? M A B ,设动点 M 的轨迹为 C .

(Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ? 2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与 轨迹 C 相交于点 Q 、 R ,且 | P Q |? | P R | ,求
| PR | | PQ |

的取值范围.

y

M

A

O

B x

27. (2012 年高考(上海理) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C 1 : 2 x ? y ? 1 . )
2 2

(1)过 C 1 的左顶点引 C 1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成 的三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C 1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1 相切,求证:
2 2

OP⊥OQ;
(3)设椭圆 C 2 : 4 x ? y ? 1 . 若 M、N 分别是 C 1 、 C 2 上的动点,且 OM⊥ON,
2 2

求证:O 到直线 MN 的距离是定值.

28. (2012 年高考(上海春) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. )

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Http://www.fhedu.cn 已知双曲线 C 1 : x ?
2

y

2

? 1.

4

(1)求与双曲线 C 1 有相同的焦点,且过点 P ( 4 , 3 ) 的双曲线 C 2 的标准方程; (2)直线 l : y ? x ? m 分别交双曲线 C 1 的两条渐近线于 A、 B 两点.当 O A ?O B ? 3 时, 求实数 m 的值.
??? ??? ? ?

29. (2012 年高考(陕西理) 已知椭圆 C 1 : )

x

2

4

? y ? 1 ,椭圆 C 2 以 C 1 的长轴为短轴,且与 C 1
2

有相同的离心率. (1)求椭圆 C 2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C 1 和 C 2 上, O B ? 2 O A ,求直线 A B 的方程.
??? ? ??? ?

30. (2012 年高考(山东理) 在平面直角坐标系 xO y 中, F 是抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的 )
2

焦点, M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q , 点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 M Q 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? kx ? 与圆 Q 有两个不同的交点 D , E ,求当
1 2 1 4 ? k ? 2 时, A B
2

3 4

.

与抛物线 C 有两个不同的交点 A , B , l
? D E 的最小值.
2

31. (2012 年高考(辽宁理) 如图,椭圆 C 0 : )

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ,a,b 为常数),动圆

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C 1 : x ? y ? t1 , b ? t1 ? a .点 A1 , A2 分别为 C 0 的左,右顶点, C 1 与 C 0 相交于 A,B,C,D
2 2 2

四点. (Ⅰ)求直线 A A1 与直线 A 2 B 交点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)设动圆 C 2 : x ? y ? t 2 与 C 0 相交于 A , B , C , D 四点,其中 b ? t 2 ? a ,
2 2 2

/

/

/

/

t1 ? t 2 .若矩形 A B C D 与矩形 A B C D 的面积相等,证明: t1 ? t 2 为定值.
/ / / /

2

2

32. (2012 年高考(江西理) 已知三点 O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线 ) ???? ???? ???? ??? ??? ? ? ? C 上任意一点 M(x,y)满足 M A ? M B ? O M ? ( O A ? O B ) ? 2 .

(1) 求曲线 C 的方程; (2)动点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 向:是否存在定点 P(0,t)(t<0),使得 l 与 PA,PB 都不相交,交点分别为 D,E,且△QAB 与△PDE 的面积之比 是常数?若存在,求 t 的值.若不存在,说明理由.
x a
? 3?
2 2

33. (2012 年高考(江苏) 如图,在平面直角坐标系 xo y 中,椭圆 )

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右

焦点分别为 F1 ( ? c ,0) , F2 ( c ,0 ) .已知 (1 ,e ) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离 ? 2 ? ? ? 心率. (1)求椭圆的方程; (2)设 A , B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 A F1 与直线 B F 2 平行, A F2 与 B F1 交于 y 点 P. (i)若 A F1 ? B F 2 ?
6 2

A P ,求直线 A F1 的斜率;
F1

B
F2

O

x

(ii)求证: P F1 ? P F2 是定值.

(第 19 题)

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34. (2012 年高考(湖南理) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2:(x-5) +y =9 外,且对 )

2

2

C1 上任意一点 M,M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于 点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值.

35. (2012 年高考(湖北理) 设 A 是单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的任意一点, l 是过点 A 与 x 轴垂直 )

的 直 线 ,

D

是 直 线

l



x

轴 的 交 点 , 点

M

在 直 线

l

上 , 且 满 足

| D M |? m | D A | ( m ? 0, 且 m ? 1) .

当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 C .

(Ⅰ)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P , Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上的 射影为点 N ,直线 Q N 交曲线 C 于另一点 H . 是否存在 m ,使得对任意的 k
PQ ? PH
?0

,都有

?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由。

36 . 2012 年 高 考 ( 广 东 理 ) ( 解 析 几 何 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xO y 中 , 已 知 椭 圆 ( )
x a
2 2

C :

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ?

2 3

且椭圆 C 上的点到点 Q ? 0 , 2 ? 的距离的最

大值为 3. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)在椭圆 C 上,是否存在点 M ? m , n ? ,使得直线 l : m x ? n y ? 1 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相 交于不同的两点 A 、 B ,且 ? O A B 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的
? O A B 的面积;若不存在,请说明理由.

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37. (2012 年高考(福建理) 如图,椭圆 E : )
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的

左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,离心率 e ?
A , B 两点,且 ? A B F 2 的周长为 8.

1 2

.过 F1 的直线交椭圆于

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程. (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相较于点
Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 P Q 为直径的圆恒过点 M ?若存在,

求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

38. (2012 年高考(大纲理) (注意:在试卷上作答无效) ) ........
2 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1) 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ?
2

1 2

) ? r ( r ? 0 ) 有一个公共点 A ,
2 2

且在 A 处两曲线的切线为同一直线 l . (1)求 r ; (2)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的 距离.

39. (2012 年高考(北京理) 已知曲线 C: (5 ? m ) x ? ( m ? 2 ) y ? 8( m ? R ) )
2 2

(1)若曲线 C 是焦点在 x 轴的椭圆,求 m 的范围; (2)设 m ? 4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方),直线 y ? kx ? 4 与曲线 C 交于不同的两点 M,N,直线 y ? 1 与直线 BM 交于点 G 求证:A,G,N 三点共线.

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40. (2012 年高考(安徽理) 如图, F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 ) 分别是椭圆 C : )
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的左,右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点 P , 过点 F2 作直线 P F 2 的垂线交直线 x ?
a
2

于点 Q ;

c

(I)若点 Q 的坐标为 ( 4, 4 ) ;求椭圆 C 的方程; (II)证明:直线 P Q 与椭圆 C 只有一个交点.

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2012 理科高考试题分类汇编:圆锥曲线参考答案 一、选择题 1.

【 解 析 】 选 C 设 C : x ? y ? a ( a ? 0 ) 交 y ? 16 x 的 准 线 l : x ? ? 4 于
2 2 2

2

A ( ? 4, 2 3 ) B ( ? 4, ? 2 3 ) 得: a ? ( ? 4) ? (2 3 ) ? 4 ? a ? 2 ? 2 a ? 4
2 2 2

2.

【 解 析 】 选 C

?

F 2 P F1

是 底 角 为 30 ?

的 等 腰 三 角 形

3 c 3 ? P F 2 ? F 2 F1 ? 2( a ? c ) ? 2 c ? e ? ? 2 a 4

3.

【答案】B 【解析】如图:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ= ,kMN=﹣ .
c c
b ? ? y= c ( x + c ) b ? x.由 ? a ? y= b x ? a ?

b

b

直线 PQ 为:y=

b c

(x+c),两条渐近线为:y=

,得:Q(

ac c?a

,

bc c?a

);由

b ? ? y= c ( x + c ) ? ac ? ,得:P( ? c? a ? y= - b x ? a ?

,

bc c? a

).∴直线 MN 为:y-

bc c? a

=﹣ (xc

b

? ac c? a

),

令 y=0 得:xM=

c
2

3 2

c ?a

.又∵|MF2|=|F1F2|=2c,∴3c=xM=

c
2

3 2

c ?a

,解之得: e 2

?

c a

2 a

?

3 2

,即

e=
4.

6 2

.

[答案]B [解析]设抛物线方程为 y =2px(p>0),则焦点坐标为(
? M 在抛物线上, ? M 到焦点的距离等于到准 ? (2 p 2 ) ? y 0 ? 3, 且 ( 2 ?
2 2
2

p 2

, 0 ),准线方程为 x= ?

p 2

,

线的距离 . p 2 ) ?3
2

解得: p ? 1, y 0 ? 2 2 ? 点 M ( 2 , 2 2) ?| OM | ? 2 ? (2 2 )
2 2

? 2 3

[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦 点,d 为点 M 到准线的距离). 5. D
6. 【解析】 因为椭圆的离心率为
3 2
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,所以 e ?

c a

?

3 2

2 ,c ?

3 4

a ,c

2

2

?

3 4

a

2

? a

2

?b ,
2

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Http://www.fhedu.cn 所以 b 2 ?
1 4 a ,即 a
2
2

? 4b ,双曲线的渐近线为 y ? ? x ,代入椭圆得
2

x a

2 2

?

x b

2 2

? 1 ,即

x

2 2

?

x b

2 2

?

5x 4b

2 2

? 1 ,所以 x

2

?

4 5

b ,x ? ?
2

2 5

b,y

2

?

4 5

b ,y ? ?
2

2 5

b ,则第一象

4b

限的交点坐标为 (

2 5

b,

2 5

b ) ,所以四边形的面积为 4 ?

2 5

b?

2 5

b ?

16 5

b

2

? 16 ,所

以 b 2 ? 5 ,所以椭圆方程为
7.

x

2

?

y

2

? 1 ,选 D.

20

5

【答案】A 【解析】设双曲线 C :
x a
2 2

-

y b

2 2

=1 的半焦距为 c ,则 2 c ? 1 0, c ? 5 .
b a
5 ,? C 的方程为

又? C 的渐近线为 y ? ?

b a

x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,? 1 ?

?2 ,即 a ? 2 b .

又 c ? a ? b ,? a ? 2 5, b ?
2 2 2

x

2

-

y

2

=1.

20

5

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的 思想和基本运算能力,是近年来常考题型. 8. 【答案】A 【 解 析 】 ∵ 抛 物 线 的 焦 点 是 F (3, 0 ) ,∴ 双 曲 线 的 半 焦 距
5 2

c ? 3 ,? 4 ? b ? 3 ? b ?
2 2

5 , a ? 4 ,故双曲线的渐近线的方程为 y ? ?

x

【考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关 系.考查推理谁能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想. 9. 答案 C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运 用.首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可. 【解析】解:由题意可知, a?
2 ? b ,? c ? 2 , 设 | P F1 |? 2 x , | P F 2 | ? x , 则

| P F1 | ? | P F2 |? x ? 2 a ? 2 2 ,故 | P F1 |? 4 2 , | P F 2 | ? 2 2 , F1 F2 ? 4 ,利用余弦定理可

得 co s ? F1 P F 2 ?
10.答案 C

P F1 ? P F 2 ? F1 F 2
2 2

2

2 P F1 ? P F 2

?

(4 2 ) ? (2 2 ) ? 4
2 2

2

2?2 2 ?4 2

?

3 4

.

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Http://www.fhedu.cn 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用.通过准线方程确定焦点位 置,然后借助于焦距和准线求解参数 a , b , c ,从而得到椭圆的方程. 【解析】 因为 2 c ? 4 ? c ? 2 ,由一条准线方程为 x ? ? 4 可得该椭圆的焦点在 x 轴上县
a
2

? 4 ? a ? 4 c ? 8 ,所以 b ? a ? c ? 8 ? 4 ? 4 .故选答案 C
2
2 2 2

c

11. 【解析】选 C

设 ? A F x ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 B F ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ? 1 的距离为 3 得: 3 ? 2 ? 3 co s ? ? co s ? ?
1 2

1 3

又 m ? 2 ? m co s( ? ? ? ) ? m ?
1 2 3 2

2 1 ? co s ?
? 3 2 2

?

3 2

? A O B 的面积为 S ?

? O F ? A B ? sin ? ?

? 1 ? (3 ?

)?

2 2 3

二、填空题 12. 【答案】2

【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义,抛物线的定义及其几何 性质.
? x = 2 pt 2 , p 2 【解析】∵ ? 可得抛物线的标准方程为 y = 2 px ( p > 0 ) ,∴焦点 F ( ,0 ) ,∵点 2 ? y = 2 pt,
M


p 2 ,?




2


p 2 ?


p 2 p 2
2

3,


6p)
2

M (3, ?

6p)

,







E( ?

6 p ) , EF =(

) + (0 ?

由抛物线得几何性质得 MF =
p=2 .

+ 3 ,∵ E F = M F ,∴ p + 6 p =

2

1 4

p +3 p +9 , 解 得

2

13. 【答案】

5 6

【 解 析 】 设 | A F |? m , | B F |? n , 则 有
2 5 2 5 5 , mn ? ? m ? ,n ? . 12 24 6 4 5

1 m

?

1 ? n

1

, 又 | A B |?

25 12

, 所 以

p

m?n ?

【考点定位】本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系,当遇到抛物线 焦点弦问题时,常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立,把韦达定理和抛物线定义 相结合解决问题,属于难题.

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14. [答案]
2 3

[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又? a ? c ? 5
2 2

? c ? 2 ,? e ?

c a

?

2 3

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理 念.
15. ( 2, 0 ) 16.解析:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线方程为 x = - 2 y ,当 y = - 3 时,
x= 6 ,所以水面宽 2 6 米.
2

17. 【答案】 ? 4

【解析】 因为点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,代人抛物线方程得 P,Q 的纵坐标分别为 8,2.
2 由 x ? 2 y,则 y ?

1 2

x ,? y ? ? x , 所以过点 P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, ? 2,所
2

以 过 点 P,Q 的 抛 物线 的切 线 方 程 分 别为 y ? 4 x ? 8, y ? ? 2 x ? 2, 联 立 方 程 组 解 得
x ? 1 , y ? ? 4 ,故点 A 的纵坐标为 ? 4

【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求 法,属于中档题. 曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是 写出切线方程的关键.
18.
5 5

【解析】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了

函数与方程,转化与化归思想. 利 用 椭 圆 及 等 比 数 列 的 性 质 解 题 . 由 椭 圆 的 性 质 可 知: A F1 ? a ? c , F1 F 2 ? 2 c , F1 B ? a ? c .又已知 A F1 , F1 F 2 , F1 B 成等比数列,故
c a 5 5

( a ? c )( a ? c ) ? ( 2 c ) ,即 a ? c ? 4 c ,则 a ? 5 c .故 e ?
2
2 2 2 2 2

?

.即椭圆的离心率



5 5

.

【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 a , c 的方程,然后化为有关 a , c 的齐次式方程,进而转化为只含有离心率 e 的方程,从而求解方程即可. 体现考纲 中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴,短轴长及其标准方程的求解等.

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19. 【答案】2.

【考点】双曲线的性质. 【解析】由
c a
x
2

?

y
2

2

m

m ?4
2

? 1 得a=

m, b =

m ? 4, c =
2

m?m ?4 .
2

∴ e=

=

m ?m ?4 m

= 5 ,即 m ? 4 m ? 4 = 0 ,解得 m = 2 .
2

20.考点分析:本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义,以及一般平面几何图形的面

积计算. 解析:(Ⅰ)由于以 A1 A 2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B 2 ,因此点 O 到直线 F 2 B 2 的距离 为 a ,又由于虚轴两端点为 B 1 , B 2 ,因此 OB 2 的长为 b ,那么在 ? F 2 OB 2 中,由三角形的 面积公式知,
1 2 bc ? 1 2 a | B 2 F 2 |? 1 2
5 ?1 2 ;

a (b ? c )

2

,又由双曲线中存在关系 c ? a ? b
2 2

2

2 2 2 联立可得出 ( e ? 1) ? e ,根据 e ? (1, ?? ) 解出 e ?

(Ⅱ)设 ? F 2 OB 2 ? ? ,很显然知道 ? F 2 A 2 O ? ? AOB 在
? F 2 OB 2

2

? ? , 因此 S 2 ? 2 a sin( 2? ) .
2







sin ? ?
2

b b ?c
2

, cos ? ?
2

c b ?c
2

,



S 2 ? 4 a sin ? cos ? ?
2

4 a bc b ?c
2 2

2

;

菱形 F1 B1 F2 B 2 的面积 S 1 ? 2 bc ,再根据第一问中求得的 e 值可以解出

S1 S2

?

2? 2

5

.

21. 【答案】 3

【解析】由 y ? 4 x ,可求得焦点坐标为 F (1, 0) ,因为倾斜角为 6 0 ? ,所以直线的斜率为
2

k ? tan 6 0 ? ?
? y ? 3x ? ? ? ? y2 ? 4x ? 3

3 ,利用点斜式,直线的方程为 y ?
1 2 3 ? A (3, 2 3 ), B ( , ? ) 3 3

3x ?

3 ,将直线和曲线方程联立

,





S ?OAF ?

1 2

? OF ? yA ?

1 2

? 1? 2 3 ?

3.

【考点定位】 本题考查的是解析几何中抛物线的问题,根据交点弦问题求围成的面积. 此题把握住抛物线的基本概念,熟练的观察出标准方程中的焦点和准线坐标、方程是成

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Http://www.fhedu.cn 功的关键.当然还要知道三角形面积公式.
三、解答题 22. 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点

间的距离公式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.以及数形结合的数学 思想方程,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力. 解 答 策
b a
2


? (?


b a

: (
1 2

1
2




2

P(

b 0

, , ) A ( ? a , 0 ), B ( a , 0 )





k AP ? k BP ?

)? ?

? a ? 2b

e ?
2

a ?b
2

a

2

?

1 2

? e?

2 2
a 2 co s ? , b 2 sin ? )

(2)设 P ( a cos ? , b sin ? )(0 ? ? ? 2 ? ) ;则线段 O P 的中点 Q (
| A P |= | O A | ? A Q ? O P ? k A Q ? k ? ? 1

k AQ ?

b sin ? 2 a ? a co s ?
2

? b sin ? ? a k A Q co s ? ? 2 a k A Q
3 3
2

? 2 a k AQ ?

b ? a k AQ ? a 1 ? k AQ ? k AQ ?
2 2 2

? k ?

3

解答策略二 (1)设点 P ( x 0 , y 0 ) ,由题意有

x0 a

2

2

+

y0 b

2

=1 ①

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方法二:依题意,直线 O P 的方程为 y ? kx ,可设点 P ( x 0 , kx 0 ) ,由点 P 在椭圆上,有
x0 a
2

2

?

k x0 b
2

2

2

? 1 ,因为 a ? b ? 0, kx 0 ? 0 ,所以

x0 a

2

2

?

k x0 b
2

2

2

? 1 即 (1 ? k ) x 0 ? a ③
2 2 2

由 | A P |? | O A |, A ( ? a , 0) ,得 ( x 0 ? a ) ? k x 0 ? a 整理得 (1 ? k ) x 0 ? 2 a x 0 ? 0 ,于是
2 2 2 2 2 2

x0 ?

?2a 1? k
2

,代入③得 (1 ? k ) ?
2

4a

2 2

1? k

? a ? k
2

2

? 3 ? | k |?

3.

23. 【解析】(1)由对称性知: ? B F D 是等腰直角 ? ,斜边 B D ? 2 p

点 A 到准线 l 的距离 d ? F A ? F B ?
S ?ABD ? 4 2 ?
2

2p

1 2

? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2
2

圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8

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Http://www.fhedu.cn (2)由对称性设 A ( x 0 ,
x0
2

2p

)( x 0 ? 0 ) ,则 F (0 ,

p 2

)

点 A , B 关于点 F 对称得: B ( ? x 0 , p ?

x0

2

)? p?

x0

2

? ?

p 2

2p
p

2p

? x0 ? 3 p
2

2

3p

得: A ( 3 p ,

3p 2

) ,直线 m : y ? 2

2 x? p ? x? 2 3p

?

3y ?

3p 2

? 0

x ? 2 py ? y ?
2

x

2

? y? ?

x p

?

3 3

? x?

3 3
3 6

p ? 切点 P (

3p 3

,

p 6

)

2p
p 6 3 3 3p 3

直线 n : y ?

?

(x ?

)? x?

3y ?

p ? 0

坐标原点到 m , n 距离的比值为
24. 【解析】

3p 2

:

3p 6

?3.

(Ⅰ)由题: e

?

c a

?

1 2

; (1)
? (2 ? c ) ? 1 ?
2 2

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d 由(1) (2)可解得: a 2
2 2

10

. (2)

? 4, b ? 3, c ? 1 .

∴所求椭圆 C 的方程为:

x

2

+

y

2

?1.

4

3

(Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0.
2 2

1

1

∵A,B 在椭圆上,
? ? ? ∴? ? ? ? xA 4 xB 4
2 2

+

yA 3 yB 3

2

?1
2

? ?1

k AB ?

yA ? yB x A ? xB

? ?

3 x A ? xB 4 yA ? yB

? ?

3 2 x0 4 2 y0

? ?

3 2

.

+

设直线 AB 的方程为 l:y=﹣
2 ? x2 y + ?1 ? ? 代入椭圆: ? 4 3 ? y= - 3 x ? m ? ? 2

3 2

x?m

(m≠0),

?

3 x ? 3m x ? m ? 3 ? 0
2 2

.

显然 ?

? (3 m ) ? 4 ? 3( m ? 3) ? 3(12 ? m ) ? 0
2 2 2

.

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Http://www.fhedu.cn ∴﹣
12

<m<

12 ? xB

且 m≠0. =m, y A
? xB
? yB

由上又有: x A ∴|AB|=

=

m ?3
2

.
( x A ? xB ) ? 4 x A xB
2

3
1 ? k AB

1 ? k AB

| xA

|=

= .

39 6

12 ? m

2

.

∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: d ∴S ? ABP= d|AB|=
2 1

?

8 ? 2m 13

?

2 4?m 13

3 6

( 4 ? m ) (1 2 ? m )
2 2

,其中﹣

12

<m<

12

且 m≠0.

利用导数解: 令 u (m ) ? 则 u ?( m ) ? 当 m= 1 ?
(4 ? m ) (12 ? m )
2 2

,
7 )( m ? 1 ? 7)

? 4( m ? 4)( m ? 2 m ? 6) ? ? 4( m ? 4)( m ? 1 ?
2

7

时,有(S ? ABP)max.
7 ?2? 0

此时直线 l 的方程 3 x ? 2 y ? 2 【答案】(Ⅰ)
x
2

. .

+

y

2

? 1 ;(Ⅱ) 3 x ? 2 y ? 2 7 ? 2 ? 0

4

3

25. 【考点定位】本题考查椭圆的标准方程,平面向量数量积的运算,直线的一般方程,直线

与圆锥曲线的综合问题. 解:设所求椭圆的标准方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? ,右焦点为 F2 ? c , 0 ? .

因 ? A B1 B 2 是直角三角形,又 A B1 ? A B 2 ,故 ? B1 A B 2 为直角,因此 O A ? O B2 ,得
b ? c 2
2 2 2 2 结合 c ? a ? b 得 4b ? a ? b ,故 a ? 5 b , c ? 4 b ,所以离心率 e ?
2 2 2 2 2 2

.
c a ? 2 5 5.

在 R t ? A B1 B 2 中, O A ? B1 B 2 ,故
S ? AB B ?
1 2

1 2

B1 B 2 ? O A ? O B 2 ? O A ?
2

c 2

?b ? b
2

2

由题设条件 S ? A B B ? 4 ,得 b ? 4 ,从而 a ? 5 b ? 20 .
2
1 2

因此所求椭圆的标准方程为:
x
2

?

y

2

?1

20

4

(2)由(1)知 B1 ( ? 2, 0 ), B (2, 0 ) ,由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程

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Http://www.fhedu.cn 为: x ? m y ? 2 ,代入椭圆方程得 ? m ? 5 ? y ? 4 m y ? 1 6 ? 0 ,
2 2

设 P ? x1 , y 2 ? , Q ? x 2 , y 2 ? ,则 y 1 , y 2 是上面方程的两根,因此
y1 ? y 2 ? 4m m ?5
2

, y 1 ?y 2 ? ?
???? ?

16 m ?5
2

又 B 2 P ? ? x1 ? 2, y1 ? , B 2 Q ? ? x 2 ? 2, y 2 ? ,所以
???? ???? ? ? B 2 P ?B 2 Q ? ? x1 ? 2 ? ? x 2 ? 2 ? ? y1 y 2
? ? m y1 ? 4 ? ? m y 2 ? 4 ? ? y1 y 2

???? ?

? ? m ? 1 ? y1 y 2 ? 4 m ? y1 ? y 2 ? ? 1 6
2

? ?

1 6 ? m ? 1?
2

m ?5
2

?

16m
2

2

m ?5

? 16

? ?

16m ? 64
2

m ?5
2

由 P B 2 ? Q B1 ,得 B 2 P ?B 2 Q ? 0 ,即 1 6 m ? 6 4 ? 0 ,解得 m ? ? 2 ,
2

???? ???? ? ?

所以满足条件的直线有两条,其方程分别为: x ? 2 y ? 2 ? 0 和 x ? 2 y ? 2 ? 0
26. [解析](1)设 M 的坐标为(x,y),显然有 x>0, y ? 0 .

当∠MBA=90°时,点 M 的坐标为(2,, ±3) 当∠MBA≠90°时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
| y | x ? 2 2 ? 1? ( | y | x ?1 | y | x ?1

有 tan∠MBA=
2

2 tan ? MAB 1 ? tan
2

?

2

? MAB

,即

)

2

化简得:3x -y -3=0,而又经过(2,,±3) 2 2 综上可知,轨迹 C 的方程为 3x -y -3=0(x>1) (II)由方程
? y ? ?2 x ? m 2 2 消去 y,可得 x ? 4 mx ? m ? 3 ? 0 .(*) ? 2 2 ?3 x ? y ? 3 ? 0
2 2

由题意,方程(*)有两根且均在(1,+ ? )内,设 f ( x ) ? x ? 4 mx ? m ? 3

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? ? 4m ?? 2 ? 1 ? ? 所以 ? f (1) ? 1 2 ? 4 m ? m 2 ? 3 ? 0 ? 2 2 ? ? ( ? 4 m ) ? 4 ( m ? 3) ? 0 ? ? ?

解得,m>1,且 m ? 2 设 Q、R 的坐标分别为 ( x 0 , y 0 ), ( x R , y R ) ,由 PQ ? PR 有
xR ? 2m ? 3 ( m ? 1) , x 0 ? 2 m ?
2

3 ( m ? 1)
2

所以

PR PQ

?

xR xQ

?

2m ? 2m ?

3 ( m ? 1)
2

2? ? 2?

3 (1 ? 3 (1 ?

1 m 1 m
2 2

) ? ?1 ? ) 2?

4 3 (1 ? 1 m
2

3 ( m ? 1)
2

)

由 m>1,且 m ? 2,有
1 ? ?1 ? 2? 4 3 (1 ? 1 m
PR PQ
2

? 7 ? 4 3,且 ? 1 ? ) 2?

4 (1 ? 3 1 m
2

? 7. )

所以

的取值范围是 ?1, 7 ? ? ( 7 , 7 ? 4 3 )

[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运 算能力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性.
27. [解](1)双曲线 C 1 :
x
2 1 2

? y ? 1 ,左顶点 A ( ?
2

2 2

, 0 ) ,渐近线方程: y ? ?
2 (x ?
2 2

2 x. 2 x ?1.

过点 A 与渐近线 y ?

2 x 平行的直线方程为 y ?
2 4

) ,即 y ?

?x ? ? ?y ? ? 2 x ? 解方程组 ? ,得 ? ?y ? 1 ?y ? 2 x ?1 2 ?

所以所求三角形的面积 1 为 S ?

1 2

| OA || y |?

2 8

(2)设直线 PQ 的方程是 y ? x ? b .因直线与已知圆相切, 故
|b | 2

? 1 ,即 b ? 2
2

由?

? y ? x?b ?2 x ? y ? 1
2 2

,得 x ? 2 bx ? b ? 1 ? 0 .
2 2

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Http://www.fhedu.cn 设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ?
? x1 ? x 2 ? 2 b ? x1 x 2 ? ? b ? 1
2

.

又 y1 y 2 ? ( x1 ? b )( x 2 ? b ) ,所以
OP ? OQ ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 2 x1 x 2 ? b ( x1 ? x 2 ) ? b
2

? 2 ( ? b ? 1) ? b ? 2 b ? b ? b ? 2 ? 0 ,
2 2 2

故 OP⊥OQ (3)当直线 ON 垂直于 x 轴时, |ON|=1,|OM|=
2 2

,则 O 到直线 MN 的距离为

3 3

.

当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 设直线 ON 的方程为 y ? kx (显然 | k |?
?x2 ? ? y ? kx ? 由? 2 ,得 ? 2 2 ?y ? ?4 x ? y ? 1 ?
1 4?k k
2 2 2

2 2

),则直线 OM 的方程为 y ? ? 1 x . k
2 1? k 4?k
2 2

,所以 | ON | ?

.

4?k

同理 | OM | ?
2

1? k 2k
2

2

?1

设 O 到直线 MN 的距离为 d,因为 (| OM | ? | ON | ) d ? | OM | | ON | ,
2 2 2 2 2

所以 d1 ?
2

1 | OM |
2

?

1 | ON |
2

?

3k k

2 2

?3 ?1

? 3 ,即 d=

3 3

.

综上,O 到直线 MN 的距离是定值
28. 解 (1) 双 曲 线 C 1 的 焦 点 坐 标 为 ( 5 , 0 ), ( ? 5 , 0 ) , 设 双 曲 线 C 2 的 标 准 方 程 为
?a2 ? b2 ? 5 x y ? ? ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0 ) , 则 ? 2 16 3 a b ? 2 ? 2 ?1 b ?a
2 2

?a2 ? 4 ? ,所以双曲线 C2 的标准方程为 ? 2 ?b ? 1 ?

x

2

? y ?1.
2

4

(2)双曲线 C 1 的渐近线方程为 y ? ? 2 x ,设 A ( x1 , 2 x1 ), B ( x 2 , ? 2 x 2 )
2 ? 2 y x ? ?0 ? 2 2 2 4 ? 3 x ? 2 m x ? m ? 0 ,由 ? ? 16 m ? 0 ? m ? 0 由? ? ?y ? x? m

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Http://www.fhedu.cn 又因为 x1 x 2 ? ?
2

m 3

2

,而 O A ? O B ? x1 x 2 ? 2 x1 ? ( ? 2 x 2 ) ? ? 3 x1 x 2

??? ??? ? ?

所以 m ? 3 ? m ? ? 3 .
y a
2 2

29.解析:(1)由已知可设椭圆 C 2 的方程为

?

x

2

?1

(a ? 2)

4

其离心率为

3 2

,故

a ?4
2

?

3 2

,则 a ? 4

a
y
2

故椭圆的方程为

?

x

2

?1

16

4

(2)解法一
??? ?

A , B 两点的坐标分别记为 ( x A , y A ),

( xB , yB )

由 O B ? 2 O A 及(1)知, O , A , B 三点共线且点 A , B 不在 y 轴上, 因此可以设直线 A B 的方程为 y ? kx
x
2

??? ?

将 y ? kx 代入

4 y
2

? y ? 1 中,得 (1 ? 4 k ) x ? 4 ,所以 x A ?
2

2

2

2

4 1 ? 4k 16 4?k
2 2

将 y ? kx 代入
??? ? ??? ?

?

x

2

16
2

4

? 1 中,则 ( 4 ? k ) x ? 1 6 ,所以 x B ?
2 2
2

由 O B ? 2 O A ,得 x B ? 4 x A ,即
2

16 4?k
2

?

16 1 ? 4k
2

解得 k ? ? 1 ,故直线 A B 的方程为 y ? x 或 y ? ? x 解法二
??? ?
A , B 两点的坐标分别记为 ( x A , y A ),

( xB , yB )

由 O B ? 2 O A 及(1)知, O , A , B 三点共线且点 A , B 不在 y 轴上, 因此可以设直线 A B 的方程为 y ? kx
x
2

??? ?

将 y ? kx 代入
??? ? ??? ?

4

? y ? 1 中,得 (1 ? 4 k ) x ? 4 ,所以 x A ?
2

2

2

2

4 1 ? 4k
2

由 O B ? 2 O A ,得 x B ?
2

16 4?k
2

, yB ?
2

16k

2 2

1 ? 4k

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Http://www.fhedu.cn 将 x B , y B 代入
2 2

y

2

?

x

2

? 1 中,得

4?k 1 ? 4k

2 2

? 1 ,即 4 ? k ? 1 ? 4 k
2

2

16

4

解得 k ? ? 1 ,故直线 A B 的方程为 y ? x 或 y ? ? x .
p 2

30.解析:(Ⅰ)F 抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点 F ( 0 ,
p 4
p ? 1 ,于是抛物线 C 的方程为 x
2

2

) ,设 M ( x 0 ,

x0

2

2p
p ?

)( x 0 ? 0 ) , Q ( a , b ) ,由题
p 4 p 2 3 4
3 4

意可知 b ?

,则点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 b ?
? 2y .

?

?

p ?

,解得

2

(Ⅱ)假设存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M, 而 F ( 0 , ), O ( 0 , 0 ), M ( x 0 ,
2
2

1

x0 2

2

) ,Q (a,

1 4

) , MQ ? OQ ? QF ,

(x0 ? a) ? (
2

x0 2

?

1 4

)

2

? a

2

?

1 16

,a ?

x0 8

3

?

3 8

x0 ,

1

? ?

x0 2 5 8

2

由 x ? 2 y 可得 y ? ? x , k ? x 0 ?
2

4 x0 8
3

,则
x0

1 8

x0 ?

4

5 8

x0

2

?

1 4

?

1 2

x0 ,

2

即 x 0 ? x 0 ? 2 ? 0 ,而 x 0 ? 0 ,解得 x 0 ?

4

2

2 ,点 M 的坐标为 ( 2 ,1) .

(Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,则点 M ( 2 ,1) , Q (

5 2 1 , ). 8 4

? x2 ? 2y 1 ? 2 2 ? 0 , ? ? 4 k ? 2 ? 0 .设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 由? 1 可得 x ? 2 kx ? y ? kx ? 2 ? 4 ?

AB

2

? (1 ? k )[( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ] ? (1 ? k )( 4 k
2 2
2

2

? 2)

k?

5 2 8 ?
2

圆Q : (x ?

5 2 8

) ? (y ?
2

1 4

)

2

?

50 64

?

1 16
2

?

27 32

,D ?

5 2 k 8 1? k
2

1? k

DE

2

? 4[

27 32

?

25 k

2 2

32 (1 ? k )

]?

27 ? 2 k
2

8 (1 ? k )

,

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Http://www.fhedu.cn 于是 AB
2

? DE

2

? (1 ? k )( 4 k
2

2

? 2) ?

27 ? 2 k
2

2

8 (1 ? k )
2

,令 1 ? k

2

? t?[

5 4

,5 ]

AB

2

? DE

2

? (1 ? k )( 4 k
2

2

? 2) ?

27 ? 2 k
2

8 (1 ? k )

? t (4t ? 2) ?
25 8t
2

2 t ? 25 8t

? 4t

2

? 2t ?

25 8t

?

1 4

,设 g ( t ) ? 4 t ? 2 t ?
2

25 8t

?

1 4

, g ?( t ) ? 8 t ? 2 ?
25 8t
2

,

当 t ? [ , 5 ] 时, g ? ( t ) ? 8 t ? 2 ?
4

5

? 0,
? 2? 5 4 ? 25 8? 5 4 ? 1 4 ? 6 1 2

即当 t ?

5 4
1 2

,k ?

1 2

时 g ( t ) min ? 4 ?

25 16

.

故当 k ?

时, ( AB

2

? DE

2

) min ? 6

1 2

.

31. 【答案及解析】

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【点评】 本题主要考查圆的性质、 椭圆的定义、 标准方程及其几何性质、 直线方程求解、 直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用.本题考查综合性较强,运算量较 大.在求解点 M 的轨迹方程时,要注意首先写出直线 AA 1 和直线 A 2 B 的方程,然后求解. 属于中档题,难度适中. 32. 【解析】 解:(1)依题意可得 M A ? ( ? 2 ? x ,1 ? y ), M B ? (2 ? x ,1 ? y ) ,
???? ???? | M A ? M B |? ???? ? ??? ??? ? ? 2 2 ( ? 2 x ) ? ( 2 ? 2 y ) , O M ? ( O A ? O B ) ? ( x , y ) ? (0, 2 ) ? 2 y ,
2 2

????

????

由已知得 ( ? 2 x ) ? ( 2 ? 2 y ) ? 2 y ? 2 ,化简得曲线 C 的方程: x ? 4 y
2

(2)假设存在点 P(0,t)(t<0)满足条件,则直线 PA 的方程是 y ?
1? t 2

t ?1 2

x ? t ,直线 PB 的方
2

程是 y ?

x ? t ,曲线 C 在点 Q 处的切线 l 的方程为 y ?

x0 2

x?

x0 4

, 它与 y 轴的交点

为 F (0, ?

x0 4

2

) ,由于 ? 2 ? x 0 ? 2 ,因此 ? 1 ?
t ?1 2 ? ? 1 2

x0 2

?1 x0 2 t ?1 2

①当 ? 1 ? t ? 0 时, ? 1 ?

,存在 x 0 ? ( ? 2, 2 ) ,使得

?

,即 l 与直线 PA

平行,故当 ? 1 ? t ? 0 时不符合题意

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Http://www.fhedu.cn ②当 t ? ? 1 时,
t ?1 2 ? ?1 ? x0 1 ? t x , ? 1 ? 0 ,所以 l 与直线 PA,PB 一定相交,分别联立 2 2 2

t ?1 ? y ? x?t ? ? 2 方程组 ? 2 ? y ? x0 x ? x0 ? ? 2 4

1? t ? y ? x?t ? ? 2 , ,? 2 x0 x0 ?y ? x? ? ? 2 4
x0 ? 4t
2

解得 D,E 的横坐标分别是 x D ?
x0 ? 4t
2

2 ( x0 ? 1 ? t )

, xE ?

x0 ? 4t
2

2 ( x 0 ? t ? 1)

则 x E ? x D ? (1 ? t )

x 0 ? ( t ? 1)
2

2

,又 | F P |? ?

x0 4

2

?t,



S ? PDE ?

1 2
2

| F P | ? | x E ? x D |?

1? t 8

?

( x0 ? 4t )
2 2

2 2

( t ? 1) ? x 0

,



S ? QAB ?

1 2

? 4 ? (1 ?

x0 4

)?

4 ? x0 2

2

于是

S ? QAB S ? PDE

?

4 1? t

?

( x 0 ? 4 )[ x 0 ? ( t ? 1) ]
2 2 2

( x0 ? 4t )
2

2

?

4 1? t

?

x 0 ? [ 4 ? ( t ? 1) ] x 0 ? 4 ( t ? 1)
4 2 2

2

x 0 ? 8 tx 0 ? 1 6 t
4 2

2

) 对 任 意 x 0 ? ( ? 2 , 2 , 要 使 △QAB 与 △PDE 的 面 积 之 比 是 常 数 , 只 需 t 满 足

? ? 4 ? ( t ? 1) 2 ? 8 t ? , ? 2 2 ? 4 ( t ? 1) ? 1 6 t ?

解得 t=-1,此时△QAB 与△PDE 的面积之比为 2,故存在 t=-1,使△QAB 与△PDE 的面积之 比是常数 2. 【点评】 本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类 讨论的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、 考查椭圆的标准 方程,离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探 讨性问题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引 申出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物 线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理 解的内容.
c a
1 a
2 2

2 2 2 33. 【答案】解:(1)由题设知, a = b ? c , e =

,由点 (1 ,e ) 在椭圆上,得

?

e b

2 2

?1?

1 a
2

?

c
2

2 2

=1 ? b ? c = a b ? a = a b ? b =1 ,∴ c = a ? 1 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a b

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Http://www.fhedu.cn 由点 ? e , ?
? ? 3? ? 在椭圆上,得 2 ? ?
2 2 4

e a

2 2

?

? 3? ? ? ? 2 ? b
2

?1?
x
2

c a

?

? 3? ? ? ? 2 ? 1

2

?1?

a ?1 a
4

2

?

3 4

? 1 ? a ? 4a ? 4=0 ? a = 2

4

2

2

∴椭圆的方程为

? y ?1.
2

2

(2)由(1)得 F1 ( ? 1 ,0) , F 2 (1 ,0 ) ,又∵ A F1 ∥ B F 2 , ∴设 A F1 、 B F 2 的方程分别为 m y = x ? 1, m y = x ? 1 , A ? x1, y1 ? , B ? x 2, y 2 ? , y1 > 0, y 2 > 0 .
? x1 2 2 2 m ? 2m ? 2 ? y1 ? 1 ? 2 2 ? m ? 2 y1 ? 2 m y1 ? 1= 0 ? y1 = ∴? 2 . 2 m ?2 ?my =x ? 1 1 1 ?

?

?

∴ A F1 = ? x1 ? 1 ? ? ? y1 ? 0 ? = ? m y1 ? ? y1 = m ? 1 ?
2 2 2 2 2

m?

2m ? 2
2

m ?2
2

?

2 ? m ? 1? ? m m ? 1
2 2

m ?2
2

.

① 同理, B F 2 =
2 ? m ? 1? ? m
2

m ?1
2

m ?2
2
2

.②

(i)由①②得, A F1 ? B F 2 ?

2m
2

m ?1

m ?2

.解

2m
2

m ?1
2

m ?2

=

6 2

得 m 2 =2.

∵注意到 m > 0 ,∴ m = 2 . ∴直线 A F1 的斜率为
1 m = 2 2
PB P F1 ? B F2 A F1

. ,即
PB P F1 ?1? B F2 A F1 ?1? P B ? P F1 P F1 ? B F 2 ? A F1 A F1

(ii)证明:∵ A F1 ∥ B F 2 ,∴

.

∴ P F1 =

A F1 A F1 ? B F 2

B F1 .

由点 B 在椭圆上知, B F1 ? B F2 ? 2 2 ,∴ P F1 =

A F1 A F1 ? B F 2

?2

2 ? B F2 .

?

同理. P F 2 =

B F2 A F1 ? B F 2

?2

2 ? A F1 .

?

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Http://www.fhedu.cn ∴ P F1 + P F 2 =
A F1 A F1 ? B F 2

?2
?

2 ? B F2 ?

?

B F2 A F1 ? B F 2

?2
?1 ?2

2 ? A F1 ? 2 2 ?

?

2 A F ?B F 2 A F1 ? B F 2

由①②得, A F1 ? B F = ∴ P F1 + P F 2 = 2 2 ? ∴ P F1 ? P F2 是定值.

2 2 m m
2

2

?1

?

?2

, A F ?B F =

m m

2 2

,

2 2

=

3 2

2 .

【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式. 【解析】(1)根据椭圆的性质和已知 (1 ,e ) 和 ? e , ?
? ? 3? ? 都在椭圆上列式求解. 2 ? ?

(2)根据已知条件 A F1 ? B F 2 ?

6 2

,用待定系数法求解.

34. 【解析】(Ⅰ)解法 1 :设 M 的坐标为 ( x , y ) ,由已知得
x?2 ? ( x ? 5) ? y ? 3 ,
2 2

易知圆 C 2 上的点位于直线 x ? ? 2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ,所以
( x ? 5) ? y
2 2

? x ? 5.
2

化简得曲线 C 1 的方程为 y ? 2 0 x . 解法 2 :由题设知,曲线 C 1 上任意一点 M 到圆心 C 2 (5, 0 ) 的距离等于它到直线 x ? ? 5 的 距 离 , 因 此 , 曲 线 C 1 是 以 ( 5 , 0 )为 焦 点 , 直 线 x ? ? 5 为 准 线 的 抛 物 线 , 故 其 方 程 为
y ? 20 x .
2

(Ⅱ)当点 P 在直线 x ? ? 4 上运动时,P 的坐标为 ( ? 4, y 0 ) ,又 y 0 ? ? 3 ,则过 P 且与圆
C 2 相切得直线的斜率 k 存在且不为 0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为 y ? y 0 ? k ( x ? 4 ), 即 k x - y + y 0 + 4 k = 0 .于是
5k ? y0 ? 4 k k ?1
2

? 3.

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Http://www.fhedu.cn 整理得
72 k ? 18 y 0 k ? y 0 ? 9 ? 0.
2 2



设过 P 所作的两条切线 P A , P C 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,则 k 1 , k 2 是方程①的两个实根,故
k1 ? k 2 ? ? 18 y0 72 ? ? y0 4 .



由?
?

? k 1 x ? y ? y 0 ? 4 k 1 ? 0, y ? 20 x,
2

得 k1 y ? 2 0 y ? 2 0 ( y 0 ? 4 k1 ) ? 0 .
2



设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1 , y 2 , y 3 , y 4 ,则是方程③的两个实根,所以
y1 ? y 2 ? 2 0 ( y 0 ? 4 k1 ) k1

.



同理可得
y3 ? y4 ? 20( y0 ? 4 k 2 ) k2 .



于是由②,④,⑤三式得
y1 y 2 y 3 y 4 ? 4 0 0 ( y 0 ? 4 k 1 )( y 0 ? 4 k 2 ) k1 k 2

?

2 4 0 0 ? y 0 ? 4 ( k1 ? k 2 ) y 0 ? 1 6 k1 k 2 ? ? ?

k1 k 2 ?
2 2 4 0 0 ? y 0 ? y 0 ? 1 6 k1k 2 ? ? ?

6400 .

k1 k 2

所以,当 P 在直线 x ? ? 4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6400. 【点评】 本题考查曲线与方程、 直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思 想、 函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程;第二问 设出切线方程,把直线与曲线方程联立,由一元二次方程根与系数的关系得到
A , B , C , D 四点纵坐标之积为定值,体现“设而不求”思想.

35.考点分析:本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系,要求能正确理

解椭圆的标准方程及其几何性质,并能熟练运用代数方法解决几何问题,对运算能力有 较高要求. 解析: (Ⅰ)如图 1,设 M
( x, y )

, A ( x 0 , y 0 ) ,则由 | D M

| ? m | D A | ( m ? 0, 且 m ? 1)

,

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Http://www.fhedu.cn 可得 x
? x0

,|

y |? m | y 0 | ,所以 x 0 ? x

,|

y 0 |?

1 m

| y|.

① ②

因为 A 点在单位圆上运动,所以 x 0 2 ? y 0 2 ? 1 . 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x 2 因为 m ? (0, 1) ? (1, 当0 ?
? ?)

?

y m

2 2

? 1 ( m ? 0, 且 m ? 1)

.

,所以

m ? 1 时,曲线 C

是焦点在 x 轴上的椭圆,
1 ? m , 0) , ( 1 ? m , 0) ;
2
2

两焦点坐标分别为 ( ? 当m
? 1 时,曲线 C

是焦点在 y 轴上的椭圆,
? m ? 1)
2

两焦点坐标分别为 (0,

, (0,

m ? 1) .
2

(Ⅱ)解法 1:如图 2、3, ? k 直线 Q N 的方程为 y
2 2 2 2

?0

,设 P ( x1 , kx1 ) , H ( x 2 , y 2 ) ,则 Q ( ? x1 ,

? kx1 )

, N (0,

kx1 ) ,

? 2 kx ? kx1
2 2

,将其代入椭圆 C 的方程并整理可得
2

( m ? 4 k ) x ? 4 k x1 x ? k x1 ? m ? 0

.

依题意可知此方程的两根为 ? x1 , x 2 ,于是由韦达定理可得
? x1 ? x 2 ? ? 4 k x1 m ? 4k
2 2 2

,即 x 2

?

m x1 m ? 4k
2 2

2

.
2 km x1 m ? 4k
2 2 2

因为点 H 在直线 QN 上,所以 y 2 于是 P Q 而 PQ 即2 ?
???? ? ( ? 2 x1 , ? 2 kx1 )

? kx1 ? 2 kx 2 ?

.
4 k x1
2

, P H ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? kx1 ) ? ( ?
? 4 ( 2 ? m ) k x1
2 2 2

????

m ? 4k
2

2

,

2 km x1 m ? 4k
2 2

2

).

? PH

等价于 P Q ? P H ,又 m
2

???? ????

m ? 4k
2

2

?0

,

m

2

? 0
?

? 0 ,得 m ?

2

,
? y
2

故存在 m y

,使得在其对应的椭圆 x 2
y

? 1 上,对任意的 k ? 0
y

,都有 P Q

? PH

.

2

A
H
N

H
N

M O D x
Q

P
O
x

P

O

x

Q

图1

图2

(0 ? m ? 1)

图3
? y1 )

( m ? 1)

解法 2:如图 2、3, ? x1 ? (0, 1) ,设 P ( x1 , y1 ) , H ( x 2 , y 2 ) ,则 Q ( ? x1 ,
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, N (0,

y1 )

,

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? m 2 x1 2 ? y 1 2 ? m 2 , ? 因为 P , H 两点在椭圆 C 上,所以 ? 2 2 2 2 ? m x2 ? y2 ? m , ?

两式相减可得

m ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? 0 .
2 2 2 2 2



依题意,由点 P 在第一象限可知,点 H 也在第一象限,且 P , H 不重合, 故 ( x1
? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 0

. 于是由③式可得
2

( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 )

? ?m

.
? kQH

④ ,即
?

又 Q , N , H 三点共线,所以 k Q N 于是由④式可得 k P Q 而 PQ
? PH
?

2 y1 x1

?

y1 ? y 2 x1 ? x 2

.
2

? k PH ?

y1 x1

?

y1 ? y 2 x1 ? x 2

1 ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) m ? ? ? 2 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) 2
2

.
2

等价于 k P Q
2

? k P H ? ? 1 ,即 ?

m 2

? ?1 ? y
2

,又 m

? 0

,得 m

?

,
? PH

故存在 m

,使得在其对应的椭圆 x 2
2 3

? 1 上,对任意的 k ? 0

,都有 P Q

2

36. 解 析 :(Ⅰ) 因为 e ?

,所以

c a

2 2

?

2 3

, 于 是 a 2 ? 3b 2 . 设 椭圆 C 上 任 一 点 P ? x, y? ,则

PQ

2

2 y ? 2 2 2 2 ? 2 2 ? x ? ? y ? 2 ? ? a ? 1 ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? ? 2 y ? 4 y ? 4 ? 3 b ( ? b ? y ? b ). b ? ?

当 0 ? b ? 1 时, P Q 在 y ? ? b 时取到最大值,且最大值为 b 2 ? 4 b ? 4 ,由 b 2 ? 4 b ? 4 ? 9 解得 b ? 1 ,与假设 0 ? b ? 1 不符合,舍去. 当 b ? 1 时, P Q 在 y ? ? 1 时取到最大值,且最大值为 3 b 2 ? 6 ,由 3 b 2 ? 6 ? 9 解得 b 2 ? 1 . 于是 a 2 ? 3 ,椭圆 C 的方程是
x
2
2

2

? y ?1.
2

3

(Ⅱ)圆心到直线 l 的距离为 d ?

1 m ?n
2 2

,弦长 A B ? 2 1 ? d 2 ,所以 ? O A B 的面积为

S ?

1 2

AB ? d ? d 1 ? d
2

2

,于是 S

2

? d

2

?1 ? d

2

?

? ? ??d ?
2

2

?

1? 1 .而 M ? m , n ? 是椭圆上 ? ? 2? 4
? 1 3 ? 2n
2

2

的点,所以
2

m 3

? n ? 1 ,即 m ? 3 ? 3 n ,于是 d
2

2

2

?

1 m ?n
2 2 2

,而 ? 1 ? n ? 1 ,所以
1 4

0 ? n ? 1 , 1 ? 3 ? 2 n ? 3 ,所以
2

1 3

?d

2

? 1 ,于是当 d

?

1 2

时, S 2 取到最大值

,此时 S

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Http://www.fhedu.cn 取到最大值
1 2

,此时 n 2 ?

1 2

,m2 ?
? 6

3 2
,

.
? 6 ? 2 ? ? 6 2 ? 2 ? 6 2 ? , ,? ,? ? 、? ? 、? ? ?, ? 、? ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

综上所述,椭圆上存在四个点 ? ?

? 2

使得直线与圆相交于不同的两点 A 、 B ,且 ? O A B 的面积最大,且最大值为 点评:此题与 2012 年南海区高三 8 月摸底考试的试题相似度极高.

1 2

.

(2012 年南海区高三 8 月摸底考试)已知椭圆 C 的两焦点为 F1 ? ? 1, 0 ? 、 F2 ? 1, 0 ? ,并且经 过点 M ? 1, ? .
? 2? ? 3?

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : m x ? n y ? 1 ,证明:当点 P ? m , n ? 在椭圆 C 上运动时, 直线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围. 37. 【考点定位】本题考查椭圆的性质、圆的性质、直线与圆的位置关系、平面向量等基础 知识,考查运算求解能力、推理论证能力、考查转化与化归思想、数形结合思想、函数 与方程的思想、特殊与一般的思想. 【解析】因为 | A B | ? | A F2 | ? | B F2 |? 8 ,即 | A F1 | ? | F1 B | ? | A F2 | ? | B F2 |? 8 而
e? c a ?

| AF1 | ? | AF2 |? | F1 B | ? | BF2 |? 2 a
1 2 ?c? 1 2 a ?1? b ? a ? c ? 3
2 2 2

,





4a ?

?8 ? a

, 2 而

所求椭圆方程为

x

2

?

y

2

?1

4

3

? y ? kx ? m ? 2 2 2 ? ( 4 k ? 3) x ? 8 km x ? 4 m ? 1 2 ? 0 (2)由 ? 2 2 x y ? ?1 ? 3 ? 4
? ? 64 k m ? 4(4 k ? 3)(4 m ? 12) ? 0 ? 4 k ? m ? 3 ? 0
2 2 2 2 2 2

x0 ?

4 km 4k ? 3
2

? ?

4k m

, y0 ?

3 m

,? P ( ?

4k m

,

? y ? kx ? m ? ? Q ( 4, 4 k ? m ) ) ,由 ? m ?x ? 4 ?

3

设存在 M ( x1 , 0 ) ,则由 M P ? M Q ? 0 可得 ?
? ( 4 x1 ? 4 ) k m
2

???? ???? ?

16k m

?

4 kx1 m

? 4 x1 ? x1 ?
2

12k m

?3?0

? x1 ? 4 x1 ? 3 ? 0 ,由于对任意 m , k 恒成立,所以联立解得 x1 ? 1 .

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Http://www.fhedu.cn 故存在定点 M (1, 0) ,符合题意.
38. 【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线的运用,

并在此基础上求解点到直线的距离. 解 :(1) 设 A ( x 0 , ( x 0 ? 1) ) , 对 y ? x ? ( x ? 1) 求 导 得 y ? ? 2 ( x ? 1) , 故 直 线 l 的 斜 率
2

2

k ? 2 ( x 0 ? 1) ,当 x 0 ? 1 时,不合题意,所心 x 0 ? 1
1 2

圆心为 M (1, ) , M A 的斜率 k ? ?
2

1

( x 0 ? 1) ?
2

x0 ? 1 1 2 ? ? 1 ,解得 x ? 0 ,故 A (0,1) 0

由 l ? M A 知 kk ? ? ? 1 ,即 2 ( x 0 ? 1) ?

( x 0 ? 1) ?
2

x0 ? 1

所以 r ? | M A |?

(1 ? 0 ) ? (
2

1 2

? 1) ?
2

5 2
2

(2)设 ( a , ( a ? 1) ) 为 C 上一点,则在该点处的切线方程为 y ? ( a ? 1) ? 2 ( a ? 1)( x ? a )
2

即 y ? 2 ( a ? 1) x ? a ? 1
2

若 该 直 线 与 圆 M

相 切 , 则 圆 心 M

到 该 切 线 的 距 离 为

5 2

, 即

| 2 ( a ? 1) ? 1 ?
2

1 2

? a ?1|
2

[ 2 ( a ? 1)] ? ( ? 1)

?
2

5 2

,化简可得 a ( a ? 4 a ? 6) ? 0
2 2

求解可得 a 0 ? 0, a1 ? 2 ? 10 , a 2 ? 2 ? 10 抛物线 C 在点 ( a i , ( a i ? 1) )( i ? 0,1, 2 ) 处的切线分别为 l , m , n ,其方程分别为
2

y ? 2 x ? 1 ① y ? 2 ( a1 ? 1) x ? a1 ? 1 ②
2

y ? 2( a 2 ? 1) x ? a 2 ? 1 ③
2

②-③得 x ?

a1 ? a 2 2

? 2 ,将 x ? 2 代入②得 y ? ? 1 ,故 D (2, ? 1)

所以 D 到直线 l 的距离为 d ?

| 2 ? 2 ? ( ? 1) ? 1 | 2 ? ( ? 1)
2 2

?

6 5 5

.

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Http://www.fhedu.cn 法二:(Ⅰ)设 A ( x0 , y0 ), 对于抛物线 C 的切线方程为
y ? y0 ? ( x0 ? 1)( x ? 1) ①; 2

对于圆 M 的切线方程为 ( x0 ? 1)( x ? 1) ? ( y0 ? 1 )( y ? 1 ) ? r 2 ②.
2 2

因 为 ①② 是 共 点 公 切 线 , ? 2( x0 ? 1) ? ?
A( 0 , 1 . )

x0 ? 1 ( 斜 率 相 等 ), 结 合 y0 ? ( x0 ? 1) 2 . 解 之 得 1 y0 ? 2
y B2

M

代入②得 r ? 5 .
2

(Ⅱ)数形结合知,抛物线 C 与圆 M 应有三条公切线(如图). 由(Ⅰ)知,公切线 l 方程为: 2 x ? y ? 1 ? 0 . 今设另两公切线 m , n 与抛物线 C 切于点 B ( xi ,( xi ? 1)2 ) ( xi ? 0, i ? 1,2) , 则切线方程为
y ? ( xi ? 1) 2 ? ( xi ? 1)( x ? 1)即 2( xi ? 1) x ? y ? xi2 ? 1 ? 0 . 2

A O B1 D x

| 2( xi ? 1) ? 1 ? 1 ? xi2 ? 1| 2 ? 5 , Q xi ? 0 整理得 xi2 ? 4 xi ? 6 ? 0 又直线 m , n 与 M 相切应有 2 4( xi ? 1) 2 ? 1
2 记 m : 2( x1 ? 1) x ? y ? x12 ? 1 ? 0 , n : 2( x2 ? 1) x ? y ? x2 ? 1 ? 0 .则 x1 ? x2 ? 4

联立 m 与 n 的方程得 D (2, ? 1) .故 D (2, ? 1) 到 l 的距离为 d ?

| 2 ? 2 ? ( ? 1) ? 1| 5

?6 5 . 5

【点评】 该试题出题的角度不同于平常,因为涉及的是两个二次曲线的交点问题,并且要 研究两曲线在公共点出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来,是该试题的创新 处.另外对于在第二问中更是难度加大了,出现了另外的两条公共的切线,这样的问题对 于我们以后的学习也是一个需要练习的方向. 39. 【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度不太大,从形式到条件的设计都具 有一般性,相信平时对曲线的复习程度不错的学生做起来应该是得心应手.
? ?5 ? ? ? ?5 8 ?m 8 ?m ? 8 m?2

解 :(1) 原 曲 线 方 程 可 化 简 得 :

x

2

8 5?m

?

y

2

8 m ?2

?1

,由题意可得:

?0

,解

? 8 ?0 ? ?m ? 2

得:

7 2

? m ? 5

(2) 由 已 知 直 线 代 入 椭 圆 方 程 化 简 得 : (2 k 2 得: k 2
? 3 2

? 1) x ? 1 6 kx ? 2 4 ? 0
2

,

? = 3 2 (2 k ? 3)
2

,解

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Http://www.fhedu.cn 由韦达定理得: x M 设 N ( xN
, k x N ? 4)
? xN ? 16k 2k ? 1
2

①, x M x N

?

24 2k ? 1
2

,②

, M ( xM

, kx M ? 4 ) , G ( x G ,1)

MB

方程为: y

?

kx M ? 6 xM

x?2

,则 G ?

?

3 xM

? kx M

? ,1 ? ?6 ?

,

? AG ? ?

????

?

? ,? 1 ? ? xM k ? 6 ? 3 xM

???? , A N ? ? x N ,x N k ? 2 ? ,
???? ????

欲证 A ,G , N 三点共线,只需证 A G , A N 共线 即
3 xM xM k ? 6 ( xN k ? 2) ? ? xN

成立,化简得: (3 k

? k ) x M x N ? ? 6( x M ? x N )

将①②代入易知等式成立,则 A ,G ,N 三点共线得证.
40. 【解析】(I)点 P ( ? c , y1 )( y1 ? 0 ) 代入
b
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 得: y1 ?

b

2

a

?0 4?0 a P F1 ? Q F 2 ? ? ? ?1 ① ?c ? c 4 ? c



a

2

? 4 ②

c ? a ? b ( a , b , c ? 0) ③
2 2 2

c x
2

由①②③得: a ? 2, c ? 1, b ?

3 既椭圆 C 的方程为

?

y

2

?1

4

3

?0 y ?0 a (II)设 Q ( , y 2 ) ;则 P F1 ? Q F2 ? ? 2 ? ?1 ? y2 ? 2a 2 c ?c ? c a ?c c
a
2

b

2

2a ?

b

2

得: k P Q ?

a ? c 2 a a ?c c

x a

2 2

?

y b

2 2

?1? y ?

b ?
2

b a

2 2

? x ? y? ?
2 2

b a

2 2

x
2 2

b ?

b a

x

2

过点 P 与椭圆 C 相切的直线斜率 k ? y ? 得:直线 P Q 与椭圆 C 只有一个交点.

x??c

?

c a

? k PQ

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