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3.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式


第三章

三角函数、三角恒等变换及解三角形第 2 课时 与诱导公式

同角三角函数的基本关系式

考情分析 ① 会运用同角三角函数进行简单的三角函 数式的化简、求值及恒等式证明.

考点新知 ① 理解同角三角函数的基本关系式:sin2 α sinα 2 +cos α=1, = tanα. cos α

π ±α]. 2

② 能运用诱导公式将任意角的三角函数化 为锐角的三角函数,会运用它们进行简单的 ② 理解正弦、余弦、正切的诱导公式[2kπ+ 三角函数式的化简、求值及恒等式证明. α(k∈Z),-α,π±α,

8 1. (必修 4P16 例 1 改编)α 是第二象限角,tanα=- ,则 sinα=________. 15 8 答案: 17 sin α+cos α=1, ? ? 8 解析:由? sinα 解得 sinα=± . ∵ α为第二象限角,∴ sinα>0,∴ 8 17 =- , ? 15 ? cos α sinα= 8 . 17
2 2

2. cos ?-

?

52 ? π =________. 3 ? 1 2

答案:-

解析:cos ?-

? 52π?=cos 52π=cos(17π+π)=-cosπ=-1. 3 ? 3 3 3 2

3. sin2 (π+α)-cos(π+α)· cos(-α)+1=________. 答案:2 2 2 2 解析:原式=(-sinα) -(-cos α)cosα+1=sin α+cos α+1=2. 5π π π 1 4. (必修 4P21 例题 4 改编)已知 cos? +α ?= ,且-π<α<- ,则 cos? -α ?= ? 12 ? 3 ? ? 2 12 ________. 答案:- 2 2 3

π π ?5π ? ? 解析:cos ? ?12-α? =cos[ 2 -? 12 +α? ] π 5π 7 ?5π ? =sin? +α ?. 又-π<α<- ,所以- π< +α< 12 2 12 12 - π π 5 2 2 2 2 . 所以 sin? π+α ?=- ,所以 cos ? -α ?=- . ? ? ? ? 12 12 3 12 3

? π+θ?-cos(π-θ) ? 2 5. (必修 4P22 习题 9(1)改编)已知 tanθ=2,则 =__________. π ? ? sin? +θ?-sin(π-θ) 2
sin? 答案:-2

?π ? sin? +θ?-cos (π-θ) cos θ-(-cos θ) 2 解析: = π cos θ-sinθ sin? +θ?-sin(π-θ) ?2 ?
= 2cos θ 2 2 = = =-2. cos θ-sinθ 1-tanθ 1-2

1. 同角三角函数的基本关系 (1) 平方关系:sin α+cos α=1. (2) 商数关系:tanα= 2. 诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+ α(k∈Z) sinα cos α tanα 二 π+α -sinα -cos α tanα 三 -α -sinα cos α -tanα 四 π-α sinα -cos α -tanα 函数名改变符号看象 限 五 π -α 2 cos α sinα 六 π +α 2 cosa -sinα sinα . cosα
2 2

函数名不变符号看象限

记忆规律:奇变偶不变,符号看象限. [备课札记]

题型 1

同角三角函数的基本关系式

1 例 1 (必修 4P23 第 18 题改编)已知 α 是三角形的内角,且 sinα+cos α= . 5 (1) 求 tanα的值; (2) 将 1 用 tanα表示出来,并求其值. cos2 α-sin2 α

1 ? ?sinα+cos α= ①, 5 解:(1) (解法 1)联立方程? 2 2 ? ?sin α+cos α=1 ②, 1 由①得 cos α= -sinα, 5 将其代入②,整理,得 25sin α-5sinα-12=0.
2

?sinα=5, ∵ α是三角形内角,∴ ? 3 ?cosα=-5,
4 4 ∴ tanα=- . 3 1 1? 1 (解法 2)∵ sinα+cos α= , ∴ (sinα+cos α)2 =? ?5? ,即 1+2sinαcos α=25,∴ 2sin 5 αcos α=- 24 24 49 ,∴ (sinα-cos α)2 =1-2sinαcos α=1+ = . 25 25 25
2

12 ∵ sinαcos α=- <0 且 0<α<π,∴ sinα>0,cos α<0. 25 7 ∵ sinα-cos α>0,∴ sinα-cos α= . 5 4 , ?sinα= , ?sinα+cosα=1 5 5 4 由? 得? ∴ tanα=- . 3 7 3 ?sinα-cosα=5, ?cosα=-5, (2) sin2 α+cos2 α tan2 α+1 1 = 2 . 2 2 = 2 cos α-sin α cos α-sin α 1-tan α
2

4 ∵ tanα=- , 3 tan2 α+1 1 ∴ = cos2 α-sin2 α 1-tan2 α



?-4? +1 ? 3?
4? 1- ? ?-3?
2

2

=-

25 . 7

变式训练 已知关于 x 的方程 2x -( 3+1)x+m=0 的两根为 sinθ和 cosθ,且 θ∈(0,2π). sin2 θ cos θ (1) 求 + 的值; sinθ-cos θ 1-tanθ (2) 求 m 的值; (3) 求方程的两根及此时 θ 的值. 解:(1) 由韦达定理可知 +1 ? sinθ+cosθ= 32 ? m ? sinθ·cosθ= 2 ①, 而 ②, sin2 θ cos θ + = sinθ-cosθ 1-tanθ
2

sin2 θ cos2 θ 3+1 + =sinθ+cos θ= . sinθ-cos θ cos θ-sinθ 2 (2) 由①两边平方得 1+2sinθcos θ= 将②代入得 m= (3) 当 m= 3 . 2 2+ 3 , 2



? ? ?

3 3 3 1 2 时,原方程变为 2x -(1+ 3)x+ =0,解得 x1 = ,x2 = , 2 2 2 2 1 3 sinθ= , sinθ= 2 2 或 1 3 cos θ= cos θ= . 2 2

? ? ?

∵ θ∈(0,2π),∴ θ=

π π 或 . 6 3 1+cos α - 1-cos α 1-cos α ). 1+cos α (1-sinα)2 )( cos2 α (1+cos α)2 - sin2 α

例 2 (必修 4P23 第 10(2)题改编)化简: ( 1+sinα - 1-sinα 1-sinα )· ( 1+sinα

解 : 原 式 = (

(1+sinα)2 - cos2 α

(1-cos α)2 1+sinα 1-sinα 1+cos α 1-cos α 2sinα 2cos α )=( - )( - )= · 2 sin α |cos α| |cos α| |sinα| |sinα| |cos α| |sinα| =?
? ?4,α在第一、三象限时, ?-4,α在第二、四象限时. ?

备选变式(教师专享) 已知 sinα·cosα<0,sinαtanα>0,化简: α cos · 2 α 2 α +sin · α 2 1+sin 2 1-sin α 1+cos 2 =________. α 1-cos 2

α π? 答案:± 2sin? ? 2+4 ? 解析:∵sinα·cosα<0,∴α为第二或第四象限角.

又∵sinα·tanα>0,∴α为第四象限角, α ∴ 为第二或四象限角. 2 α α 1-sin 1+cos α 2 α 2 ∴原式=cos · +sin · 2 ? α? 2 ? α? ?cos2 ? ?sin2 ? α α +cos ? 为第二象限角? ?sinα ?, 2 2 ?2 =? α α α ? ?-sin2 -cos2 ? ?2为第四象限角?, α π ∴原式=± 2sin? + ?. ?2 4? 题型 2 利用诱导公式进行化简求值 例 3 已知 sin(α-3π)=2cos(α-4π),求 解:∵ sin(α-3π)=2cos(α-4π), ∴ -sin(3π-α)=2cos(4π-α), ∴ ∴ = sinα=-2cos α,且 cosα≠0. sinα+5cos α -2cos α+5cos α 原式= = -2cos α+sinα -2cos α-2cos α sin(π-α)+5cos (2π-α) 的值. 3π ? ? 2sin ? 2 -α? -sin(-α)

3cos α 3 =- . -4cos α 4 备选变式(教师专享) 1 已知 cos(π+α)=- ,且角 α 在第四象限,计算: 2 (1) sin(2π-α); sin[α+(2n+1)π]+sin(π+α) (2) (n∈Z). sin(π-α)· cos (α+2nπ) 1 1 1 解:∵ cos(π+α)=- ,∴ -cos α=- ,cos α= . 2 2 2 又角α在第四象限,∴ sinα=- 1-cos2 α=- 3 . 2 3 . 2 =

(1) sin(2π-α)=sin[2π+(-α)]=sin(-α)=-sin α= (2) sin[α+(2n+1)π]+sin(π+α) sin(π-α)cos (α+2nπ) =

sin(α+2nπ+π)-sinα sinαcos α

sin(π+α)-sinα -2sinα 2 = =- =-4. sinαcos α sinαcos α cos α

5π ? 1 1. (2013· 广东文)已知 sin? ? 2 +α? =5,那么 cos α=________. 1 答案: 5 1 ?5π ? ?π ? 解析:sin? +α ?=sin? +α ?=cos α= . 2 2 5 2. 已知{an }为等差数列,若 a1 +a5 +a9 =π,则 cos(a2 +a8 )=________. 答案:- 1 2 π 2π ,∴ cos(a2 +a8)=cos2a5 =cos = 3 3

解析:由条件,知π=a1 +a5 +a9 =3a5 ,∴ a5 = 1 - . 2

π 1 3. 已知 sinα= ,且 α∈? ,π? ? ?,则 tanα=________. 3 2 答案:- 2 4 1 2 2 1- =- ,从而 tanα=- 9 3

1 ?π ? 解析:因为 sinα= ,α∈? ,π?,所以 cos α=- 3 2 2 . 4 4. 已知 2tanα·sinα=3,- 答案:0

π π <α<0,则 cos(α- )=____________. 2 6

2sin2 α 1 2 解析: 依题意得 =3, 即 2cos α+3cos α-2=0, 解得 cos α= 或 cos α=-2(舍 cos α 2 去). 又- π π <α<0,因此 α=- , 2 3 π? π π? π =cos ? ?- 3 - 6 ?=cos 2 =0. 6?

故 cos ? ?α-

1 1. 已知 0<x<π,sinx+cosx= . 5 (1) 求 sinx-cosx 的值; (2) 求 tanx 的值. 1 1 解:(1) ∵ sinx+cosx= ,∴ 1+2sinxcosx= , 5 25

24 24 ∴ 2sinxcosx=- , 又∵ 0<x<π, ∴ sinx>0, 2sinxcosx=- <0, ∴ cosx<0, ∴ sinx 25 25 7 -cosx>0,∴ sinx-cosx= 1-2sinxcosx = . 5 (2) sinx+cosx 1 tanx+1 1 4 = , = ,tanx=- . sinx-cosx 7 tanx-1 7 3

π ? 2 2 2 2. 已知 3cos (π+x)+5cos? ?2-x?=1,求 6sinx+4tan x-3cos (π-x)的值. 1 2 2 解:由已知得 3cos x+5sinx=1,即 3sin x-5sinx-2=0,解得 sinx=- 或 sinx=2(舍 3 1? 8 sin x 1 2 2 2 2 ? 1? 去).这时 cos x=1-? ?-3? =9,tan x=cos2 x=8,故 6sinx+4tan x-3cos (π-x)=6×?-3? 1 8 25 +4× -3× =- . 8 9 6 1 3. 已知在△ABC 中,sinA+cosA= . 5 (1) 求 sinA· cosA; (2) 判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3) 求 tanA 的值. 1 1 12 解: (1) 因为 sinA+cosA= ①, 两边平方得 1+2sinAcosA= , 所以 sinA· cosA=- . 5 25 25 (2) 由(1) sinAcosA=- 是钝角三角形. (3) (sinA-cosA)2 =1-2sinAcosA=1+ 又 sinA>0,cosA<0,sinA-cosA>0, 7 所以 sinA-cosA= ②, 5 4 3 所以由①,②可得 sinA= ,cosA=- , 5 5 sinA = cosA 4 5 3 - 5 4 =- . 3 1 3 cos (π+θ) cos θ[cos (π-θ)-1] 24 49 = . 25 25 12 <0,且 0<A<π,可知 cosA<0,所以 A 为钝角,所以△ ABC 25
2 2

则 tanA=

4.





sin(3

π



θ)









cos (θ-2π)

3π? ?3π ? sin ? ?θ- 2 ?cos (θ-π)-sin? 2 +θ?

的值.

1 1 解:因为 sin(3π+θ)=-sinθ= ,所以 sinθ=- . 3 3

原 式 =

-cos θ + cos θ(-cos θ-1)

cos (2π-θ) 1 = + 3 π 1 + cos θ ? cos (π-θ)+cos θ -sin ? - θ ? 2 ?

cos θ 1 1 2 2 2 = + = = = =18. -cos2 θ+cos θ 1+cos θ 1-cos θ 1-cos2 θ sin2 θ ? 1?2 ?-3?

1. 利用平方关系解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根据角 α 的范围进行 确定. 2. 应熟练应用诱导公式. 诱导公式的应用原则是: 负化正、 大化小、 化到锐角为终了. 诱 导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:① 负角变正角,再写成 2k π+ α(k∈Z),0≤α<2π;② 转化为锐角. π 3 ? 3. 在应用诱导公式时需先将角变形,有一定技巧,如化 π+α 为π+? ? 2 +α ?或 2π- 2

?π-α? . ?2 ?
请使用课时训练(A)第2课时(见活页).

[备课札记]


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3.2同角三角函数的基本关系与诱导公式

诱导公式在三角形中的应用 复习回顾,探究巩固 课件 教学设计 备注 【基础知识】 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R).π sin...