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2013届人教A版文科数学课时试题及解析(15)导数与函数的极值、最值B


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课时作业(十五)B [第 15 讲 [时间:45 分钟 导数与函数的极值、最值] 分值:100 分]

基础热身 1.函数 f(x)=1+x-sinx 在(0,2π)上是( ) A.增函数 B.减函数 C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减 D.在(0,π)上减,在(π,2π)上增 2.[2012· 济南

模拟] 已知 f′(x)是函数 f(x)的导数,y=f′(x)的图象如图 K15-3 所示, 则 y=f(x)的图象最有可能是下图中的( )

图 K15-3

图 K15-4 3.函数 f(x)=x3+3x2+4x-a 的极值点的个数是( A.2 B.1 C.0 D.由 a 决定 a 4.f(x)= 的极大值为-2e,则 a=________. xlnx

)

能力提升 5.已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴切于点(1,0),则 f(x)的极值为( ) 4 A.极大值为 ,极小值为 0 27 4 B.极大值为 0,极小值为- 27 5 C.极小值为- ,极大值为 0 27 5 D.极小值为 0,极大值为 27 6. 已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值, 则实数 a 的取值范围是( ) A.-1<a<2 B.a<-3 或 a>6 C.-3<a<6 D.a<-1 或 a>2 7.已知 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]上的 最小值为( ) A.-5 B.-11 C.-29 D.-37 8.对任意的 x∈R,函数 f(x)=x3+ax2+7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A.0≤a≤21 B.a=0 或 a=7 C.a<0 或 a>21 D.a=0 或 a=21 9.函数 y=f′(x)是函数 y=f(x)的导函数,且函数 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线为 l:
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y=g(x)=f′(x0)(x-x0)+f(x0),F(x)=f(x)-g(x),如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象如图 K15-5 所示,且 a<x0<b,那么( )

图 K15-5 A.F′(x0)=0,x=x0 是 F(x)的极大值点 B.F′(x0)=0,x=x0 是 F(x)的极小值点 C.F′(x0)≠0,x=x0 不是 F(x)的极值点 D.F′(x0)≠0,x=x0 是 F(x)的极值点 10.[2011· 广东卷] 函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________处取得极小值. 11.[2011· 绵阳模拟] 图 K15-6 是函数 y=f(x)的导函数的图象,给出下面四个判断.

图 K15-6 ①f(x)在区间[-2,-1]上是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在区间[-1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数; ④x=3 是 f(x)的极小值点. 其中,所有正确判断的序号是________. 1 4 12.已知关于 x 的函数 f(x)=- x3+bx2+cx+bc,如果函数 f(x)在 x=1 处取极值- , 3 3 则 b=________,c=________. 13.设 a∈R,函数 f(x)=ax3-3x2,若函数 g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2]在 x=0 处取得 最大值,则 a 的取值范围是________. 14.(10 分)[2011· 北京卷] 已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.

15.(13 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线 l 不过第四 10 2 象限且斜率为 3,又坐标原点到切线 l 的距离为 ,若 x= 时,y=f(x)有极值. 10 3 (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

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难点突破 1 16.(12 分)已知 f(x)=xlnx,g(x)= x2-x+a. 2 (1)当 a=2 时,求函数 y=g(x)在[0,3]上的值域; (2)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; g′?x?+1 2 (3)证明:对一切 x∈(0,+∞),都有 xlnx> - 成立. ex e

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课时作业(十五)B 【基础热身】 1.A [解析] f′(x)=1-cosx>0,∴f(x)在(0,2π)上递增.故选 A. 2.B [解析] 根据导数值的正负与函数单调性的关系可以判断选项 B 正确. 3.C [解析] f′(x)=3x2+6x+4=3(x+1)2+1>0,则 f(x)在 R 上是增函数,故不存在 极值点. a?lnx+1? 4.2 [解析] 函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞),f′(x)=- 2 2 ,令 f′(x)=0,得 x ln x 1 x= ,当 a>0 时,列表如下: e 1 ?0,1? ?1,1? x (1,+∞) e e ? ? ?e ? 0 f′(x) + - - f(x) 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 1 1 a ? 当 x= 时,函数 f(x)有极大值 f? ?e?=1 1=-ae,故-ae=-2e,解得 a=2; e ln e e 当 a<0 时,列表如下: 1 ?0,1? ?1,1? x (1,+∞) e ? e? ?e ? 0 f′(x) - + + f(x) 单调递减 极小值 单调递增 单调递增 无极大值.故 a=2. 【能力提升】 ?f′?1?=0, ?3-2p-q=0, ?p=2, ? ? ? 5.A [解析] 由题设知:? ?? ∴? 所以 f(x)=x3 ? ? ? f ? 1 ? = 0 1 - p - q = 0 , q =- 1 , ? ? ? 1 2 ? -2x +x,进而可求得 f(1)是极小值,f? ?3?是极大值,故选 A. 6.B [解析] f′(x)=3x2+2ax+(a+6),因为函数有极大值和极小值,所以 f′(x)=0 有两个不相等的实数根,所以判别式 Δ=4a2-4×3(a+6)>0,解得 a<-3 或 a>6. 7.D [解析] 由 f′(x)=6x2-12x>0 得 x<0 或 x>2,由 f′(x)<0 得 0<x<2,∴f(x)在[- 2,0]上为增函数,在[0,2]上为减函数.∴x=0 时,f(x)max=m=3.又 f(-2)=-37,f(2)=-5. ∴f(x)min=-37. 8.A [解析] f′(x)=3x2+2ax+7a,令 f′(x)=0,当 Δ=4a2-84a≤0,即 0≤a≤21 时,f′(x)≥0 恒成立,函数不存在极值点. 9.B [解析] F′(x)=f′(x)-g′(x), ∴F′(x0)=f′(x0)-g′(x0)=f′(x0)-f′(x0)=0,且 x<x0 时,F′(x)=f′(x)-g′(x)= f′(x)-f′(x0)<0,x>x0 时,F′(x)=f′(x)-g′(x)=f′(x)-f′(x0)>0,故 x=x0 是 F(x)的极 小值点,选 B. 10. 2 [解析] f′(x)=3x2-6x, 令 f′(x)=0, 得 x1=0, x2=2, 当 x∈(-∞, 0)时, f′(x)>0, 当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,显然当 x=2 时 f(x)取极小值. 11.②③ [解析] 由函数 y=f(x)的导函数的图象可知:(1)f(x)在区间[-2,-1]上是减 函数,在[-1,2]上为增函数,在[2,4]上为减函数;(2)f(x)在 x=-1 处取得极小值,在 x=2 处取得极大值.故②③正确. 4 12.-1 3 [解析] f′(x)=-x2+2bx+c,由 f(x)在 x=1 处取极值- , 3 f′?1?=-1+2b+c=0, ? ? 可得? 1 4 ?f?1?=-3+b+c+bc=-3, ?

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? ? ?b=1, ?b=-1, 解得? 或? ?c=-1 ?c=3. ? ? 若 b=1,c=-1,则 f′(x)=-x2+2x-1=-(x-1)2≤0,此时 f(x)没有极值; 若 b=-1,c=3,则 f′(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1), 当-3<x<1 时,f′(x)>0,当 x>1 时,f′(x)<0, 4 ∴当 x=1 时,f(x)有极大值- . 3 故 b=-1,c=3 即为所求. 6? 3 2 2 2 13.? ?-∞,5? [解析] g(x)=ax -3x +3ax -6x=ax (x+3)-3x(x+2). 6 当 g(x)在区间[0,2]上的最大值为 g(0)时,g(0)≥g(2),即 0≥20a-24,得 a≤ . 5 6 6 2 3x 2 反之,当 a≤ 时,对任意 x∈[0,2],g(x)≤ x (x+3)-3x(x+2)= (2x +x-10) 5 5 5 3x = (2x+5)(x-2)≤0, 5 而 g(0)=0,故 g(x)在区间[0,2]上的最大值为 g(0). 6? 综上,a 的取值范围为? ?-∞,5?. 14.[解答] (1)f′(x)=(x-k+1)ex. 令 f′(x)=0,得 x=k-1. x 与 f(x)、f′(x)的变化情况如下:

x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞) 0 f′(x) - + k -1 f(x) -e 所以,f(x)的单调递增区间是(k-1,+∞);单调递减区间是(-∞,k-1). (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递增,所以 f(x)在区间[0,1]上的最小 值为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时,由(1)知 f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增, - 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek 1; 当 k-1≥1,即 k≥2 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递减. 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e. 15.[解答] (1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得 f′(x)=3x2+2ax+b. 当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b=0.① 2? 2 当 x= 时,y=f(x)有极值,则 f′? ?3?=0,可得 3 4a+3b+4=0.② 由①②解得 a=2,b=-4.设切线 l 的方程为 y=3x+m. 10 |m| 10 由原点到切线 l 的距离为 ,得 2 = , 10 3 +1 10 解得 m=± 1. ∵切线 l 不过第四象限,∴m=1. 由于切点的横坐标为 x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4, ∴c=5. (2)由(1)可得 f(x)=x3+2x2-4x+5, ∴f′(x)=3x2+4x-4. 2 令 f′(x)=0,得 x=-2 或 x= . 3 当 x 变化时,f(x)和 f′(x)的变化情况如下表:
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2 ?2,1? 3 ?3 ? 0 0 f′(x) + - + f(x) 极大值 极小值 2? 95 2 ∴f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=13, 在 x= 处取得极小值 f? 又 f(-3)=8, ?3?=27, 3 95 f(1)=4,∴f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 . 27 【难点突破】 1 3 16.[解答] (1)∵g(x)= (x-1)2+ ,x∈[0,3], 2 2 3 7 当 x=1 时,g(x)min=g(1)= ;当 x=3 时,g(x)max=g(3)= . 2 2 3 7 ? 故当 a=2 时,g(x)在[0,3]上的值域为? ?2,2?. 1 1 0, ?,f′(x)<0,f(x)单调递减,当 x∈? ,+∞?,f′(x)>0, (2)f′(x)=lnx+1,当 x∈? ? e? ?e ? f(x)单调递增. 1 ①0<t<t+2< ,t 无解; e 1? 1 1 1 ②0<t< <t+2,即 0<t< 时,f(x)min=f? =- ; e ? ? e e e 1 1 ③ ≤t<t+2,即 t≥ 时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt; e e 1 1 - ,0<t< , e e 所以 f(x)min= 1 tlnt,t≥ . e x 2 (3)g′(x)+1=x,所以问题等价于证明 xlnx> x- (x∈(0,+∞)),由(2)可知 f(x)=xlnx(x e e 1 1 ∈(0,+∞))的最小值是- ,当且仅当 x= 时取到. e e 1-x x 2 1 设 m(x)= x- (x∈(0,+∞)),则 m′(x)= x ,易得 m(x)max=m(1)=- ,当且仅当 x e e e e g′?x?+1 2 =1 时取到,从而对一切 x∈(0,+∞),都有 xlnx> - 成立. ex e x (-3,-2) -2

?-2,2? 3? ?

? ? ?

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