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【人教版】数学(理)一轮复习:第8章《平面解析几何》(第8节)

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? 第八节 曲线与方程(理) ? ? ? [主干知识梳理] ? ? ? 一、曲线与方程 在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合 某种条件的点的轨迹 ) 上的点与一个二元方程 f(x , y) = 0 的实数解建立了如下的关系: 1.曲线上点的坐标都是 ; 2.以这个方程的解为坐标的点都是 . 这个方程的解 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程 曲线上的点 的曲线. ? ? ? ? ? ? 二、求动点的轨迹方程的一般步骤 1.建系——建立适当的坐标系; 2.设点——设轨迹上的任一点P(x,y); 3.列式——列出动点P所满足的关系式; 4.代换——依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等 将其转化为关于x,y的方程式,并化简; 5.证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 三、曲线的交点 设曲线 C1 的方程为 F1(x,y)=0,曲线 C2 的方程为 F2(x,y)=0, 则 ? ?F1(x,y)=0, C1,C2 的交点坐标即为方程组? 的实数解, ? ?F2(x,y)=0 若此方程组无解,则两曲线无交点. ? ? ? ? ? [基础自测自评] 1.(教材习题改编)方程x2+xy=x表示的曲线是( ) A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线 C [ 方程变为 x(x + y - 1) = 0 ,则 x = 0 或 x + y - 1 = 0 , 故方程表示直线x=0和直线x+y-1=0.] ? ? 2 .已知点 P 是直线 2x - y + 3 = 0 上的一个动点,定点 M( - 1 , 2) , Q 是线段 PM 延长线上的一点,且 |PM| = |MQ|,则Q点的轨迹方程是 ? ( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 ? ? C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 D [由题意知,M为PQ中点,设Q(x,y),则P为(-2 -x,4-y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0.] ? ? ? ? 3.(教材习题改编)若点P到直线x=-1的距离比它到点(2, 0)的距离小1.则点P的轨迹为 ? ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 D [ 依题意,点P 到直线 x=- 2的距离等于它到点 (2 , 0)的距离,故点P的轨迹是抛物线.] 4.动点 P(x,y)到定点 A(3,4)的距离比 P 到 x 轴的距离多一个单 位长度,则动点 P 的轨迹方程为________. 解析 由|PA|=|y|+1, 即 (x-3)2+(y-4)2=|y|+1. 当 y>0 时得 x2-6x-10y+24=0. 当 y≤0 时得(x-3)2+15=6y,无轨迹. 答案 x2-6x-10y+24=0(y>0) ? ? ? ? ? 5 .一圆形纸片的圆心为 O ,点 Q 是圆内异于 O 的一点, 点A在圆周上.把纸片折叠使点 A与点Q重合,然后抹平 纸片,折痕CD 与OA 交于 P 点,当A点运动时,点 P的轨 迹是________. 解析 由条件知折痕CD垂直平分AQ, 故|PQ|+|PO|=|PA|+|PO|=|OA|>|OQ|, 故点P的轨迹是以O,Q为焦点的椭圆. 答案 椭圆 ? [关键要点点拨] ? 1.曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念, 寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完 备性与纯粹性”的影响. ? 2.求轨迹方程的常用方法: ? (1) 直接法:直接利用条件建立 x,y 之

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