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专题:离散型随机变量及其分布列


专题:离散型随机变量及其分布列

1. 离散型随机变量的分布列 (1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量;按一定 次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. (2)设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,?,xi,?,xn,X 取每一个值 xi(i= 1,2,?,n)的概率 P(X=xi)=pi,则称表 X P

x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

为随机变量 X 的概率分布列,简称为 X 的分布列,具有性质: ①pi__≥__0,i=1,2,?,n;②p1+p2+?+pi+?+pn=__1__. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 2. 如果随机变量 X 的分布列为 X P 1 p 0 q

其中 0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布. 3. 超几何分布列 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件{X=k}发生的
n k Ck MCN-M 概率:P(X=k)= (k=0,1,2,?,m),其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n、 n CN


M、N∈N*,则称分布列 X P 为超几何分布列. 0
n-0 C0 CN -M M· Cn N

1
n-1 C1 MCN-M Cn N

? ?

m
n-m Cm M C N -M n CN

1. 设随机变量 X 的分布列如下: X P 则 p=________. 2. 设某运动员投篮投中的概率为 0.3,则一次投篮时投中次数 X 的分布列是________. 3. 在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一 球,又记下它的颜色,写出这两次取出白球数 η 的分布列为__________. 1 1 6 2 1 3 3 1 6 4 p

1

1 4. 已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= k,k=1,2,?,则 P(2<X≤4)等于 2 3 A. 16 1 B. 4 1 C. 16 5 D. 16

(

)

5. 随机变量 X 的分布列如下: X P -1 a 0 b 1 c ( 2 D. 3 )

其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)等于 1 A. 6 1 B. 3 1 C. 2

题型一 离散型随机变量的分布列的性质 例 1 k? 设随机变量 ξ 的分布列为 P? ?ξ=5?=ak(k=1,2,3,4,5),则常数 a 的值为________,

3? P? ?ξ≥5?=________. 若离散型随机变量 X 的分布列为 X P 0 9c -c
2

1 3-8c

则常数 c=________,P(X=1)=________. 题型二 离散型随机变量的分布列的求法及应用 例2 随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三

等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、 1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ξ. (1)求 ξ 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ξ 的均值); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为 70%.如果 此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少? 某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品 3 件, 当天营业结束后检查存货,若发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 货 , ...3 件,否则不进 .. . 将频率视为概率. (1)求当天商店不进货 的概率; ... (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的概率分布列和数学期望. 题型三 超几何分布
2

例3

一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1

7 个白球的概率是 . 9 (1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 X,求随机变量 X 的分布列. 2013 年 10 月 1 日,为庆祝中华人民共和国成立 64 周年,来自北京大学和 清华大学的 6 名大学生志愿者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维 3 持秩序这三个岗位服务,且运送矿泉水岗位至少有 1 名北京大学志愿者的概率是 . 5 (1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各 1 名的概率; (2)设随机变量 ξ 为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数,求 ξ 的分布列. 典例:在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽 得两张卡片的标号分别为 x、y,记 ξ=|x-2|+|y-x|. (1)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列. A 组 专项基础训练 一、选择题 1. 设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为 X P 则 q 等于 A.1 B.1± 2 2 C.1- 2 2 D.1+ 2 2 -1 1 2 0 1-2q 1 q2 ( )

2. 某射手射击所得环数 X 的分布列为 X P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22 ( D.0.51 )

则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为 A.0.28 B.0.88 C.0.79

3. 设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数,则 P(X=0)等于 A.0 1 B. 2 1 C. 3 2 D. 3 ( )

4. 在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 个村
6 C4 7C8 庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于 10 的是 C15

(

)

二、填空题
3

5. 设随机变量 X 等可能取值 1,2,3,?,n,如果 P(X<4)=0.3,那么 n=______. 6. 已知随机变量 ξ 只能取三个值:x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则公差 d 的取值范 围是________. 7. 从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 X 个红球,则随机变量 X 的概率分布列为 X P 三、解答题 8. 从一批含有 13 件正品与 2 件次品的产品中, 不放回地任取 3 件, 求取得次品数的分布列. 9. 某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会,它们获得冠军的概 1 1 2 率分别为 , , . 2 3 3 (1)求该高中获得冠军个数 X 的分布列; (2)若球队获得冠军,则给其所在学校加 5 分,否则加 2 分,求该高中得分 η 的分布列. B 组 专项能力提升 一、选择题 a 1. 随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)= (n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则 n?n+1? 1 5? P? ?2<X<2?的值为 2 A. 3 3 B. 4 4 C. 5 5 D. 6 ( ) 0 1 2

2. 袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后,若取得黑球则另换 1 个红球放 回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为 ξ,则表示“放回 5 个红球”事件的是 ( A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ≤5 )

3. 设随机变量 X 的概率分布列如下表所示: X P 0 a 1 1 3 2 1 6 ( 5 D. 6 )

F(x)=P(X≤x),则当 x 的取值范围是[1,2)时,F(x)等于 1 A. 3 二、填空题 4. 已知随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k)= 5. 设随机变量 X 的概率分布列为 2
k-1,k=1,2,3,?,n,则

1 B. 6

1 C. 2

1

P(2<ξ≤5)=________.

4

X P 则 P(|X-3|=1)=________.

1 1 3

2 m

3 1 4

4 1 6

6. 如图所示,A、B 两点 5 条连线并联,它们在单位时间内能通过的最 大信息量依次为 2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通 过的最大信息总量为 ξ,则 P(ξ≥8)=_______. 三、解答题 7. 某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查. 瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆 能力.某班学生共有 40 人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记 忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为 3 人. 视觉 听觉 偏低 听觉 记忆 能力 中等 偏高 超常 偏低 0 1 2 0 视觉记忆能力 中等 7 8 a 2 偏高 5 3 0 1 超常 1 b 1 1

由于部分数据丢失,只知道从这 40 位学生中随机抽取一人,视觉记忆能力恰为中等,且 2 听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为 . 5 (1)试确定 a,b 的值; (2)从 40 人中任意抽取 3 人,求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常 的学生的概率; (3)从 40 人中任意抽取 3 人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人 数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列.

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