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2004年湖南省高中数学竞赛试题

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2004 年湖南省高中数学竞赛试题 一、 选择题: (本大题共 10 个小题; 每小题 5 分, 共 50 分, 在每小题给出的四个选项中, 有 且只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,g(x)是 R 上的偶函数,若 f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? 9 x ? 12 , 则 f ( x) ? g ( x) ? A. ? x ? 9

x ? 12 2 ( 2 ) C. ? x ? 9 x ? 12 D. x ? 9 x ? 12 2 2 B. x ? 9 x ? 12 2.有四个函数: ① y=sinx+cosx 其中在 (0, A.① 3.方程 x 2 ? x ? 1 ? x? x 2 ② y= sinx-cosx ( ③ y= sin x ? cos x ) C.①和③ ④ y? ? 2 sin x cos x ) 上为单调增函数的是 B.② ?1 D.②和④ π =3.141?, x 为实数), ? ( x 2 ? 1)? x 的解集为 A(其中π 为无理数, ( ) C .2 2 2 则 A 中所有元素的平方和等于 A.0 B.1 D.4 4.已知点 P(x,y)满足 ( x ? 4 cos? ) ? ( y ? 4 sin ? ) ? 4 (? ? R) , 则点 P(x,y)所在区域的面 积为 ( A.36π ) B.32π C.20π D.16π 5.将 10 个相同的小球装入 3 个编号为 1、2、3 的盒子(每次要把 10 个球装完),要求每个盒子 里球的个数不少于盒子的编号数,这样的装法种数为 A.9 B.12 C.15 ( D.18 ) D.-48 ) 6.已知数列{ an }为等差数列,且 S5=28,S10=36,则 S15 等于 ( A.80 7.已知曲线 C: y ? B.40 C.24 ? x 2 ? 2 x 与直线 l : x ? y ? m ? 0 有两个交点,则 m 的取值范围是 ( ) A. (? 2 ? 1, 2 ) B. (?2, 2 ? 1) C. [0, 2 ? 1) D. (0, 2 ? 1) 8.过正方体 ABCD—A1B1C1D1 的对角线 BD1 的截面面积为 S,Smax 和 Smin 分别为 S 的最大值 和最小值,则 S max 的值为 S min B. ( ) A. 3 2 6 2 C. 2 3 3 D. 2 6 3 ) 9.设 x ? 0.820.5 , y ? sin1, z ? log3 A.x<y<z B.y<z<x 7 ,则 x、y、z 的大小关系为 C.z<x<y ( D. z<y<x 10.如果一元二次方程 x 2 ? 2(a ? 3) x ? b 2 ? 9 ? 0 中,a、b 分别是投掷骰子所得的数字, 则该二次方程有两个正根的概率 P= A. ( ) C. 1 18 B. 1 9 1 6 D. 13 18 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 8 分,共 32 分) 11.设 P 是椭圆 x2 y2 ? ? 1 上异于长轴端点的任意一点,F1、F2 分别是其左、右焦点,O 为 16 9 2 中心,则 | PF 1 | ? | PF 2 | ? | OP | ? ___________. 12.已知△ABC 中, AB ? a, AC ? b ,试用 a 、 b 的向量运算式子表示△ABC 的面积,即 S△ABC=____

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