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浙江省宁波市效实中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年浙江省宁波市效实中学高二(上)期中数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.排列数 =( )

A. 6 B. 20 C. 60 D. 120 2.已知等差数列{an}中,a5+a7+a9=21,则 a7 的值是( A. 7

B. 9 C. 11 D. 13 )

3.给出下列四个命题: ①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是( ) A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④ 4.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A. 1 B. C. D. ,则 S5 等于( )

5.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E、F,且 EF= ,则下 列结论中错误的是( )

A. B. C. D.

AC⊥BE EF∥平面 ABCD 三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值 △AEF 的面积与△BEF 的面积相等

6.已知正四棱锥 P﹣ABCD 棱长都等于 a,侧棱 PB,PD 的中点分别为 M,N,则截面 AMN 与底 面 ABCD 所成锐二面角的正切值为( ) A. B. C. 1 D.

7.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积 为( ) A. πa B.
2

C.

D. 5πa

2

8.6 个人站成前后两排,每排 3 人,其中甲不站前排,乙不站在后排的站法总数为( A. 72 B. 216 C. 360 D. 108 9.已知等差数列{an}满足 a2=3,a5=9,若数列{bn}满足 公式为(
n



,则{bn}的通项


n n n

A. bn=3 +1 B. bn=2 +1 C. bn=3 +2 D. bn=2 +2 10.已知在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,棱 AB,BC,BB1 两两垂直且长度相等,点 P 在线段 A1C1 (包括端点 A1,C1)上运动,直线 BP 与 B1C 所成角为θ,则θ的取值范围是( ) A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 11.在公比为 2 的等比数列{an}中, ,则 a1= .

12.如图,用 6 种不同的颜色为一块广告牌着色,要求在四个区域中相邻的区域不用同一种 颜色,则共有 种不同的方法(用数值表示) .

13.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 为 .

,则这个圆锥的全面积

14.一个几何体的三视图及部分数据如图所示,左视图为等腰三角形,俯视图为正方形,则 这个几何体的体积等于 .

15.如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,E 为 DC 边的中点,沿 AE 将△ADE 折起,使二面角 D﹣AE﹣B 为 60°,则直线 AD 与面 ABCE 所成角的正弦值为 .

16. 已知数列{an}满足 an=cos

, 则 a1+a2+a3+…+a2014=



17. 如图, 边长为 4 的正△ABC 顶点 A 在平面α上, B, C 在平面α的同侧, M 为 BC 的中点. 若 △ABC 在平面α上的射影是以 A 为直角顶点的三角形 AB1C1,则 M 到平面α的距离的取值范 围是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.已知{an}为等差数列,且 a3=﹣6,a6=0. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若等比数列{bn}满足 b1=﹣8,b2=a1+a2+a3,求数列{bn}的前 n 项和公式. 19.三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=BC=BB1=2,M,N 分别是 AB, A1C 的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 BCC1B1; (Ⅱ)求证:MN⊥平面 A1B1C.

20.四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC⊥底面 ABCD,已知∠ABC=45°, AB=2,BC=2 . (1)求直线 SD 与平面 ABCD 所成角的正切值; (2)求二面角 C﹣SA﹣B 的大小的余弦值.

21.已知数列{an}中,
*



(1)求证:数列{a2n﹣1}与{a2n}(n∈N )均为等比数列; (2)求数列{an}的前 2n 项和 T2n; × (3)若数列{an}的前 2n 项和为 T2n,不等式 3(1﹣ka2n)≥64T2n? a2n 对 n∈N 恒成立,求 k 的最大值. 22.已知直角三角形 ABE,AB⊥BE,AB=2BE=4,C,D 分别是 AB,AE 上的动点,且 CD∥BE, 将△ACD 沿 CD 折起到位置 A1CD,使平面 A1CD 与平面 BCD 所成的二面角 A1﹣CD﹣B 的大小为

θ,设

=λ,λ∈(0,1) .

(1)若θ= 切值;

且 A1E 与平面 BCD 所成的角的正切值为

,求二面角 A1﹣DE﹣B 的大小的正

(2)已知λ= ,G 为 A1E 的中点,若 BG⊥A1D,求 cosθ的取值.

2014-2015 学年浙江省宁波市效实中学高二 (上) 期中数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.排列数 =( )

A. 6 B. 20 C. 60 D. 120 考点: 排列及排列数公式. 专题: 排列组合. 分析: 直接利用排列数公式求解即可. 解答: 解:排列数 =5×4×3=60.

故选:C. 点评: 本题考查排列数公式的应用,基本知识的考查. 2.已知等差数列{an}中,a5+a7+a9=21,则 a7 的值是( A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 考点: 等差数列的性质;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 直接利用等差数列的性质结合已知得答案. 解答: 解:在等差数列{an}中, ∵a5+a7+a9=21, ∴3a7=21,得 a7=7. 故选:A. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的性质,是基础题. 3.给出下列四个命题: ①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是( ) A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④ 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系. )

分析: 利用空间两条直线关系的定义及判定方法,易判断①的对错;根据面面垂直的判定 定理,可得到②的真假;根据空间两条直线垂直的定义及判定方法,可判断③的真假,结合 面面垂直的判定定理及互为逆否命题同真同假,即可得到④的正误,进而得到结论. 解答: 解:分别与两条异面直线都相交的两条直线,可能相交也可能异面,故 A 错误; 根据面面垂直的判定定理, 当一个平面经过另一个平面的垂线, 那么这两个平面一定相互垂 直,故 B 正确; 垂直于同一直线的两条直线可能平行与可能相交也可能异面,故 C 错误; 由面面垂直的性质定理, 当两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另 一个平面也不垂直,故 D 正确; 故选 D 点评: 本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系,空间中直线与平面之间的 位置关系,熟练掌握空间线、面之间位置关系的定义、判定、性质,建立良好的空间想象能 力是解答本题的关键. 4.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A. 1 B. C. D. ,则 S5 等于( )

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用“裂项求和”即可得出. 解答: 解:∵ ∴ ∴ . , …+ = = .

故选 B. 点评: 熟练掌握“裂项求和”的方法是解题的关键.

5.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E、F,且 EF= ,则下 列结论中错误的是( )

A. AC⊥BE

B. EF∥平面 ABCD C. 三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值 D. △AEF 的面积与△BEF 的面积相等 考点: 棱柱的结构特征. 专题: 计算题. 分析: A.AC⊥BE,可由线面垂直证两线垂直; B.EF∥平面 ABCD,可由线面平行的定义证线面平行; C.三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值,可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值; D.由图形可以看出,B 到线段 EF 的距离与 A 到 EF 的距离不相等,故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确. 解答: 解:A.AC⊥BE,由题意及图形知,AC⊥面 DD1B1B,故可得出 AC⊥BE,此命题正确, 不是正确选项; B.EF∥平面 ABCD,由正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的两个底面平行,EF 在其一面上,故 EF 与平 面 ABCD 无公共点,故有 EF∥平面 ABCD,此命题正确,不是正确选项; C.三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值,由几何体的性质及图形知,三角形 BEF 的面积是定值,A 点到面 DD1B1B 距离是定值,故可得三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值,此命题正确,不是正确选 项; D.由图形可以看出,B 到线段 EF 的距离与 A 到 EF 的距离不相等,故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确,故 D 是错误的. 综上应选 D 故选 D 点评: 本题考查棱柱的结构特征,解答本题关键是正确理解正方体的几何性质,且能根据 这些几何特征,对其中的点线面和位置关系作出正确判断.熟练掌握线面平行的判断方法, 异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的知识保证. 6.已知正四棱锥 P﹣ABCD 棱长都等于 a,侧棱 PB,PD 的中点分别为 M,N,则截面 AMN 与底 面 ABCD 所成锐二面角的正切值为( ) A. B. C. 1 D.

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 综合题;空间角. 分析: 证明 BD⊥面 PAC,过 A 作直线 l∥BD,则 l⊥EA,l⊥AO,可得∠EAO 为所求二面角 的平面角,即可得出结论. 解答: 解:如图,正四棱锥 P﹣ABCD 中,O 为正方形 ABCD 的两对角线的交点,则 PO⊥面 ABCD,PO 交 MN 于 E,则 PE=EO, 又 BD⊥AC,∴BD⊥面 PAC, 过 A 作直线 l∥BD,则 l⊥EA,l⊥AO, ∴∠EAO 为所求二面角的平面角. 又 EO= AO= a,AO= a,

∴tan∠EAO= .

故选:B.

点评: 本题考查二面角的平面角及求法,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 7.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积 为( ) A. πa B.
2

C.

D. 5πa

2

考点: 专题: 分析: 积. 解答:

球内接多面体. 计算题. 由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心,求出球的半径,即可求出球的表面 解:根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱,上下底面中心连线的中点 ,

就是球心,则其外接球的半径为

球的表面积为



故选 B. 点评: 本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空 间形象能力. 8.6 个人站成前后两排,每排 3 人,其中甲不站前排,乙不站在后排的站法总数为( A. 72 B. 216 C. 360 D. 108 )

考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 由题意知本题是一个分步问题,先排有限制条件的元素,甲不在前排先安排甲,乙 不在后排再安排乙,剩下的 4 个元素在 4 个位置排列,最后根据分步计数原理得到结果. 解答: 解:先排有限制条件的元素, 甲不在前排,则甲有 C3 种站法, 1 乙不在后排,则乙有 C3 种站法, 4 剩下的 4 个元素在 4 个位置排列,有 A4 种结果,
1

根据分步计数原理知共有 C3 C3 A4 =216, 故选 B. 点评: 本题考查分步计数原理,是一个站队问题,分步乘法计数原理首先确定分步标准, 其次满足必须并且只需连续完成这 n 个步骤,这件事才算完成. 9.已知等差数列{an}满足 a2=3,a5=9,若数列{bn}满足 公式为(
n

1

1

4

,则{bn}的通项


n n n

A. bn=3 +1 B. bn=2 +1 C. bn=3 +2 D. bn=2 +2 考点: 等比数列的性质;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由已知,求出等差数列{an}通项公式,再代入 得出{bn}的递推关系式,再

求{bn}的通项公式 解答: 解:由已知,等差数列{an},d=2,则{an}通项公式 an=2n﹣1,bn+1=2bn﹣1 两边同减去 1,得 b n+1﹣1=2(bn﹣1 ) ∴数列{bn﹣1}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列, n﹣1 n bn﹣1=2×2 =2 , n ∴bn=2 +1 故选 B 点评: 本题考查等差数列,等比数列的判断、通项公式、转化变形构造能力. 10.已知在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,棱 AB, BC,BB1 两两垂直且长度相等,点 P 在线段 A1C1 (包括端点 A1,C1)上运动,直线 BP 与 B1C 所成角为θ,则θ的取值范围是( ) A. B. C. D.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角;空间向量及应用. 分析: 画出图形,建立空间直角坐标系,设棱长 AB=1,P(﹣a,1﹣a,1) (0≤a≤1) , 求出 、 的坐标表示,利用空间向量的夹角公式,求出结果.

解答: 解:画出图形,建立空间直角坐标系,如图所示; 设棱长 AB=1,

则 B(0,0,0) ,C(0,1,0) ,B1(0,0,1) , 设 P(﹣a,1﹣a,1) (0≤a≤1) , 则 =(﹣a,1﹣a,1) , =(0,1,﹣1) ,

∴cosθ=|

|

=|

|

=



当 a=0 时,cosθ=0, 当 a≠0 时,cosθ= ? = ? ;

∵0<a≤1, ∴ ≥1,



≥1,当且仅当 a=1 时“=”成立;

∴cosθ≤ ,即 0≤cosθ≤ ; 又∵0≤θ≤ ∴ ≤θ≤ , , ≤θ≤ .

即θ的取值范围是

故选:C. 点评: 本题考查了利用空间向量的知识求空间角的问题,解题时建立适当的坐标系是解题 的关键,属于中档题. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 11.在公比为 2 的等比数列{an}中, ,则 a1= 2 .

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用等比数列的定义,结合条件,即可求 a1 的值. 解答: 解:∵公比为 2 的等比数列{an}中, ,

∴8a1=(2a1) ∵a1≠0 ∴a1=2 故答案为:2 点评: 本题考查等比数列的通项,考查学生的计算能力,属于基础题. 12.如图,用 6 种不同的颜色为一块广告牌着色,要求在四个区域中相邻的区域不用同一种 颜色,则共有 480 种不同的方法(用数值表示) .

2

考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 应用题;排列组合. 分析: 根据题意,分分四个步骤来完成着色,即依次考虑为①、②、③、④着色时各自的 方法数,由乘法原理计算可得答案. 解答: 解:完成着色这件事,共分四个步骤,即依次考虑为①、②、③、④着色时各自的 方法数, 为①着色有 6 种方法, 为②着色有 5 种方法, 为③着色有 4 种方法, 为④着色也只有 4 种方法. ∴共有着色方法 6×5×4×4=480, 故答案为:480.

点评: 本题考查涂色问题,是排列、组合的典型题目,一般涉及分类加法原理与分步乘法 原理,注意认真分析题意,把握好限制条件. 13.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 考点: 专题: 分析: 解答: 所以 ,则这个圆锥的全面积为 6π .

旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 计算题;空间位置关系与距离. 先求出圆锥的底面半径和母线长,然后再求圆锥的全面积. 解:一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 ,则它的边长是 a, = ,∴a=2 , ×2 =6π

这个圆锥的全面积是:2π+ ×2π×

故答案为:6π. 点评: 本题考查圆锥的有关知识,考查空间想象能力,是基础题.

14.一个几何体的三视图及部分数据如图所示,左视图为等腰三角形,俯视图为正方形,则 这个几何体的体积等于 .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 三视图复原几何体是底面是正方形,一条侧棱垂直底面的一个顶点,求出底面面积, 即可求出体积. 解答: 解:三视图复原几何体是底面是正方形,一条侧棱垂直底面的一个顶点, 底面对角线的长为 1,高为 2,底面面积是 所以它的体积是 故答案为: . 点评: 本题考查由三视图求体积,解答的关键是利用三视图复原原来的几何体,是基础题. 15.如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,E 为 DC 边的中点,沿 AE 将△ADE 折起,使二面角 D﹣AE﹣B 为 60°,则直线 AD 与面 ABCE 所成角的正弦值为 . , ,

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 证明题;综合题;压轴题. 分析: 作 DO 垂直面 ABCD,垂足为 O,过 O 作 OF 垂直 AE 于 F,连接 DF、OA,则∠OFD 为二 面角 D﹣AE﹣B 的平面角等于 60°,∠OAD 为直线 AD 与面 ABCD 所成角,解三角形 OFD,和 三角形 OAD,即可求出直线 AD 与面 ABCE 所成角的正弦值. 解答: 解:作 DO 垂直面 ABCD,垂足为 O,过 O 作 OF 垂直 AE 于 F,连接 DF、OA, 则 DF 垂直 AE,∠OFD 为二面角 D﹣AE﹣B 的平面角,∠OFD=60°, ∠OAD 为直线 AD 与面 ABCD 所成角,

AE= DF= DO=DF? sin∠OAD= 故答案为: = = =

= , ?

,DF? AE=AD? DE, =sin∠OFD=sin60° = , ,



点评: 本题考查的知识点是直线与平面所成的角,其中添加辅助线,构造出∠OAD 为直线 AD 与面 ABCD 所成角,将线面夹角问题转化为解三角形问题,是解答本题的关键.

16.已知数列{an}满足 an=cos .

,则 a1+a2+a3+…+a2014=

考点: 数列的求和. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: 首先求出数列的周期,进一步求出结果. 解答: 解: 所以: , , , , 数列的周期为:3, 所以:a1+a2+a3=0 进一步求得:a1+a2+a3+…+a2014= 故答案为: . , , ,

点评: 本题考查的知识要点:数列的各项的值,数列的周期在运算中的应用. 17. 如图, 边长为 4 的正△ABC 顶点 A 在平面α上, B, C 在平面α的同侧, M 为 BC 的中点. 若 △ABC 在平面α上的射影是以 A 为直角顶点的三角形 AB1C1,则 M 到平面α的距离的取值范 围是 .

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 设出 B,C 到面的距离,则 M 到平面α的距离为两者和的一半,确定 ab=8,即可求 出 M 到平面α的距离的取值范围. 解答: 解:设 B,C 到平面α距离分别为 a,b,则 M 到平面α距离为 h= 射影三角形两直角边的平方分别 16﹣a ,16﹣b , 2 2 2 设线段 BC 射影长为 c,则 16﹣a +16﹣b =c , (1) 又线段 AM 射影长为 ,所以( ) + 由(1) (2)联立解得 ab=8, ∵a<4,b<4, ∴2<a<4, ∴h= (a+ )∈ ,
2 2 2

=12, (2)

故答案为: . 点评: 本题考查 M 到平面α的距离的取值范围,考查学生分析解决问题的能力,确定 ab=8 是关键. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.已知{an}为等差数列,且 a3=﹣6,a6=0. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若等比数列{bn}满足 b1=﹣8,b2=a1+a2+a3,求数列{bn}的前 n 项和公式. 考点: 等比数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设出等差数列的公差为 d,然后根据第三项为﹣6,第六项为 0 利用等差数列 的通项公式列出方程解出 a1 和 d 即可得到数列的通项公式; (Ⅱ)根据 b2=a1+a2+a3 和 an 的通项公式求出 b2,因为{bn}为等比数列,可用 然后利用首项和公比写出等比数列的前 n 项和的公式. 解答: 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差 d. 因为 a3=﹣6,a6=0 求出公比,

所以

解得 a1=﹣10,d=2

所以 an=﹣10+(n﹣1) ? 2=2n﹣12 (Ⅱ)设等比数列{bn}的公比为 q 因为 b2=a1+a2+a3=﹣24,b1=﹣8, 所以﹣8q=﹣24,即 q=3, 所以{bn}的前 n 项和公式为 点评: 考查学生会根据条件求出等差数列的通项公式和等比数列的前 n 项和的公式,此题 是一道基础题. 19.三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=BC=BB1=2,M,N 分别是 AB, A1C 的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 BCC1B1; (Ⅱ)求证:MN⊥平面 A1B1C.

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 计算题;证明题. 分析: (Ⅰ)欲证 MN||平面 BCC1B1,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 MN 与平 面 BCC1B1 内一直线平行即可,而连接 BC1,AC1.根据中位线定理可知 MN||BC1,又 MN? 平面 BCC1B1 满足定理所需条件; (Ⅱ)以 B1 为原点,A1B1 为 x 轴,B1B 为 y 轴,B1C1 为 z 轴建立空间直角坐标系 B1﹣xyz,求 出平面 A1B1C 的法向量为 n=(x,y,z) ,而 ,根据法向量的意义可知 MN⊥平面 A1B1C.

解答: 证明: (Ⅰ)证明:连接 BC1,AC1. 在△ABC1 中,∵M,N 是 AB,A1C 的中点,∴MN||BC1. 又∵MN? 平面 BCC1B1,∴MN||平面 BCC1B1. (Ⅱ)如图,以 B1 为原点建立空间直角坐标系 B1﹣xyz. 则 B1(0,0,0) ,C(0,2,2) ,A1(﹣2,0,0) ,M(﹣1,0,2) ,N(﹣1,1,1) ∴ =(0,2,2) , , .

设平面 A1B1C 的法向量为 n=(x,y,z) . 令 z=1,则 x=0,y=﹣1,∴n=(0,﹣1,1) . ∴ .∴MN⊥平面 A1B1C.

点评: 判断或证明线面平行的常用方法有:①利用线面平行的定义(无公共点) ;②利用线 面平行的判定定理(a? α,b? α,a∥b? a∥α) ;③利用面面平行的性质定理(α∥β, a? α? a∥β) ;④利用面面平行的性质(α∥β,a? α,a? ,a∥α? ? a∥β) . 20.四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC⊥底面 ABCD,已知∠ABC=45°, AB=2,BC=2 . (1)求直线 SD 与平面 ABCD 所成角的正切值; (2)求二面角 C﹣SA﹣B 的大小的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)建立空间坐标系,求出直线 SD 的方向向量,和平面 ABCD 的一个法向量,根据 两个向量的夹角公式线面夹角的正弦,再由同角三角函数关系求出线面夹角的正切值. (2)求出两个平面 SAC 和 SAB 的法向量,利用两个法向量的夹角的余弦值,得到二面角 C ﹣SA﹣B 的大小的余弦值 解答: 解: (1)作 SO⊥BC,垂足为 O,连接 AO,由侧面 SBC⊥底面 ABCD,得 SO⊥平面 ABCD. 因为 SA=SB,所以 AO=BO. 又∠ABC=45°,△AOB 为等腰直角三角形,AO⊥OB

如图,以 O 为坐标原点,OA 为 x 轴正向,建立直角坐标系 O﹣xyz, ∵AB=2,BC=2 ∴A( ,0,0) ,B(0, ∵ =( ,﹣2 , ,0) ,C(0,﹣ ,0) ,D( ,﹣2 ,0) ,S(0,0,1) ,

,﹣1) ,由平面 ABCD 的一个法向量为

=(0,0,1) ,

设直线 SD 与平面 ABCD 所成角的为θ, 则 sinθ= = ,

则 cosθ=

,tanθ=

, . =(0,﹣ ,﹣1) ,

即直线 SD 与平面 ABCD 所成角的正切值为 (2) =( ,0,﹣1) , =(0,

,﹣1) ,

设平面 SAC 的一个法向量为 =(x,y,z) , 则由 ,得:

令 z=

,则 =(1,﹣1,

)是平面 SAC 的一个法向量;

设平面 SAB 的法向量为 =(a,b,c) , 则由 ,得:

令 c=

,则 =(1,1,

)是平面 SAB 的一个法向量;

设钝二面角 C﹣SA﹣B 的平面角为α, 则 cosα=﹣ = .

点评: 本题考查利用空间向量解决立体几何问题,解题的关键是建立坐标系,写出要用的 点的坐标,进而写出向量的坐标,然后进行向量的有关运算.

21.已知数列{an}中,
*



(1)求证:数列{a2n﹣1}与{a2n}(n∈N )均为等比数列; (2)求数列{an}的前 2n 项和 T2n; × (3)若数列{an}的前 2n 项和为 T2n,不等式 3(1﹣ka2n)≥64T2n? a2n 对 n∈N 恒成立,求 k 的最大值. 考点: 等比关系的确定;等比数列的前 n 项和;不等式的证明. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)由题意知数列 a1,a3,…,a2n﹣1,…是以 1 为首项, 为公比的等比数列;数 列 a2,a4,…,a2n,…是以 为首项, 为公比的等比数列; (2)利用等比数列的求和公式得到即可; (3)不等式 3(1﹣ka2n)≥64T2n? a2n 对 n∈N 恒成立等价于 64T2n? a2n≤3(1﹣ka2n)?64[3 ﹣3? ] ≤3﹣3k ?2 +
n ×

≥64+k.

≥16 当且仅当 n=3 时取等

号,所以 64+k≤16,即 k≤﹣48 求出 k 的最大值即可. 解答: 解: (1)∵



∴数列 a1,a3,…,a2n﹣1,…是以 1 为首项, 为公比的等比数列; 数列 a2,a4,…,a2n,…是以 为首项, 为公比的等比数列.

(2) T2n= (a1+a3+…+a2n﹣1) + (a2+a4+…+a2n) =

+

=3﹣3?

(3)64T2n? a2n≤3(1﹣ka2n)?64[3﹣3? 64+k ≥16 当且仅当 n=3 时取等号,

]

≤3﹣3k

?2 +

n



所以 64+k≤16,即 k≤﹣48 ∴k 的最大值为﹣48 点评: 考查学生对等比关系的确定能力,求等比数列前 n 项的能力.

22.已知直角三角形 ABE,AB⊥BE,AB=2BE=4,C,D 分别是 AB,AE 上的动点,且 CD∥BE, 将△ACD 沿 CD 折起到位置 A1CD,使平面 A1CD 与平面 BCD 所成的二面角 A1﹣CD﹣B 的大小为

θ,设

=λ,λ∈(0,1) .

(1)若θ= 切值;

且 A1E 与平面 BCD 所成的角的正切值为

,求二面角 A1﹣DE﹣B 的大小的正

(2)已知λ= ,G 为 A1E 的中点,若 BG⊥A1D,求 cosθ的取值.

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;作图题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由题意可证 A1C⊥平面 BCD,从而∠A1EC 为直线 A1E 与平面 BCD 所成的角,设 A1C=x,由勾股定理可求得 x=2,作出二面角 A1﹣DE﹣B 的平面角∠A1OC,在直角三角形中求 正切值即可, (2)由题意可知,A1B=BE=2,A1C=BC=2,故△A1CB 是等边三角形,从而求 cosθ的取值. 解答: 解: (1)由题意,∠A1CB=θ= ,∴A1C⊥CB,

∵A1C⊥CD,CB∩CD=C, ∴A1C⊥平面 BCD, ∴∠A1EC 为直线 A1E 与平面 BCD 所成的角, 设 A1C=x, ∵A1E 与平面 BCD 所成的角的正切值为 ∴(4﹣x) +4=(
2 2

,∴CE=

x,

x) ,∴x=2,即 C 为 AB 的中点, ,

在图 1 中,设 C 在 AD 上的射影为 O,则 CO= ∠A1OC 为二面角 A1﹣DE﹣B 的平面角,

∴二面角 A1﹣DE﹣B 的大小的正切值为 tan∠A1OC= (2)∵ =λ= ,∴C 为 AB 的中点,

=



又∵G 为 A1E 的中点,BG⊥A1D, ∴A1B=BE=2, 又∵A1C=BC=2, 故△A1CB 是等边三角形,

故 cosθ= .

点评: 本题考查了空间中的位置关系,考查了学生的空间想象力与作图能力,同时考查了 勾股定理的应用,属于难题.


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