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广东省执信中学2012-2013学年高二上学期期末数学文试题(word版含答案)


2012-2013 学年度第一学期

高二级数学科(文科)期末考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封 线内相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答

案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各题目指定 区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.

50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.命题 p : ?x ? R, x ? 0 ,则 ? p 是 A. ?x? ? R, x? ? 0 C. ?x? ? R, x? ? 0 2. 函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 的递减区间是
? ? ? ? A. ? ? ?,? 6 ? 或 ? 6 ,?? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?

第一部分选择题(共

B. ?x? ? R, x? ? 0 D. ?x ? R, x ? 0

B. ?? 1,1?

C.

?? ?,?1? 或 ?1,???

? 6 6? D. ? ? ? ? 2 , 2 ? ? ?

3.命题 p :直线 l 与抛物线 C 有且仅有一个公共点;命题 q :直线 l 与抛物线 C 相切.则 p 是

q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 4.过抛物线 y ? 4 x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) 两点,如果
2

x1 ? x2 ? 6,则 PQ ?
A.8 A. 18
4

B.9 B. 18 3

C.10 C. 6 3 D. 12 3

D.11 2 正 视 图 俯 视 图 3 侧 视 图

5.一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的侧面积为 6.曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为 A. x ? 4 y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. 4 x ? y ? 3 ? 0

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 7.设实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 2 ,则 x ? y 的取值范围是 ?y ? 2 ?

A.

?4 ? ? 5 ,8? ? ?

B. 1,2 2

?

?
C.

C. ?1,8?

?2 5 ? D. ? ,2 2 ? ? 5 ?

8.已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程是 y ? ? 3x ,则双曲线的离心率是 A.

2 3 3

B. 2

4 3

D. 4

9. 已知 a1 , x, y, a2 成等差数列, b1 , x, y, b2 成等比数列.则 范围是 A.

?a1 ? a2 ?2 ? 2 的取值
b1b2
D.

?0,2?

B. ?? 2,0? ? ?0,2?

C.

?? ?,?2?? ?2,???

?? ?,?1?? ?1,???

10.设三次函数 f (x) 的导函数为 f ?(x) ,函数 y ? x ? f ?(x) 的图象的一部分如图所示,则正 确的是 A. f (x) 的极大值为 f ( 3 ) ,极小值为 f (? 3) B. f (x) 的极大值为 f (? 3) ,极小值为 f ( 3 ) C. f ( x ) 的极大值为 f (3) ,极小值为 f (?3) D. f (x) 的极大值为 f (?3) ,极小值为 f (3)

第二部分非选择题

(共 100 分)

开始 S=0 i=4

二.填空题:本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答 案填在答卷的相应位置. 11. cos2 15? ? sin 2 15? ? ___***_____. 12.如图所示的算法流程图中,输出 S 的值为
2 2

***_

. S=S+i i=i+1 否 i>10 是 输出 S

x y ? ? 1 的右焦点 13.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 6 2 重合,则 p 的值为___***_____.
2

14. 设 ? 是三角形的一个内角, m ? ?sin? , cos? ?, n ? ?1,1?

1 且 m ? n ? ,则方程 x2 sin ? ? y 2 cos? ? 1 表示的曲线是焦点 3
在_***_轴上的__***__(填抛物线、椭圆、双曲线的一种)

结束 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R) 的图象经过点 ? ,1 ? . (1)求 y ? f ( x) 的解析式,并求函数的最小正周期和最大值; (2)如何由函数 f ( x ?

?π ?2

? ?

?
4

) 的图象得到函数 f (2 x ) 的图象.

16. (本题满分 12 分) 某校高二(17)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破 坏,但可见部分如下,据此解答如下问题: (1)求全班人数; (2)求分数在 [80,90) 之间的人数;并计算频率分布直方图中 [80,90) 间的矩形的高; (3)若要从分数在 [80,100] 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中, 求至少有一份分数在 [90,100] 之间的概率. 茎 5 6 7 8 9 5 8 叶 6 8 2 3 3 5 6 8 9 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9

17. (本题满分 14 分)

2 AB, ABED 是边长为1的正方形, 2 平面 ABED ? 底面 ABC ,若 G, F 分别是 EC, BD 的中点. (1)求证: GF // 底面 ABC ; E D AC ⊥ EBC ; (2)求证: 平面 (3)求几何体 ADEBC 的体积 V . F
如图,三角形 ABC 中, AC ? BC ?

G

B

A

18. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E :

C

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 是 x 轴上方椭圆 a 2 b2 3 5 E 上的一点,且 PF1 ? F1 F2 , PF1 ? , PF2 ? . 2 2 (1)求椭圆 E 的方程和 P 点的坐标; (2)判断以 PF2 为直径的圆与以椭圆 E 的长轴为直径的圆的位置关系.

19. (本题满分 14 分)

已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx + c 的 图 象 通 过 原 点 , 对 称 轴 为 x ? ?2n ,

(n ? N* ) . f ?( x ) 是 f ( x) 的导函数,且 f ?(0) ? 2n, (n ? N* ) . (1)求 f (x) 的表达式(含有字母 n ) ;
(2)若数列 ?an ? 满足 an?1 ? f ?(an ) ,且 a1 ? 4 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (3)在(2)条件下,若 bn
an ?1 ?an 2

? n?2

, Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,是否存在自然数 M ,

使得当 n ? M 时 n ? 2n?1 ? Sn ? 50 恒成立?若存在,求出最小的 M ;若不存在,说明理由.

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ax ?

a ? 3 ln x ( x ? 0) . x

(1)当 a = 2 时,求 f (x) 的最小值; (2)若 f (x)在[1,e]上为单调减函数,求实数 a 的取值范围.

2012-2013 学年度第一学期
????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? ???????? 线??????????????????????O

高二级数学科(文科)期末考试答卷
成绩:
内的相应位置上答题,超出指定区域的答案无效. 2、如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要 求作答的答案无效.

注意事项:1、本答卷为第二部分非选择题答题区.考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题目指定区域

名:_______________学号:_______________

题号 得分





15

16

17

18

19

20

总分

二.填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答卷的相应位置) 11. 13. 12. 14.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (本题满分 12 分) 解:

16. (本题满分 12 分) 解:

17. (本题满分 14 分) 解:

E

D F
G

B

A

C

__

???????????????????? 18. (本题满分 14 分) 解:

19. (本题满分 14 分) 解:

O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 线??????????????????????O

20. (本题满分 14 分) 解:

2012-2013 学年度第一学期

高二级数学科(文科)期末试题答案
一、选择题:ABBAD DABCC 二、填空题: 11. 三、解答题 15.解: (Ⅰ)? 函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R) 的图象经过点 ? ,1 ?

3 2

12.49

13.4

14. y、椭圆

? m sin

?
2

? cos

?
2

?π ?2

? ?

?1

?m ? 1

…………………….2 分

? f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) 4 ? 函数的最小正周期 T ? 2?
当x?

?

…………….4 分 .5 分

?

4

? 2k? (k ? Z ) 时, f ( x) 的最大值为 2 ,…………………….6 分

? ?? ? f (2 x ? ) ? 2 sin? 2 x ? ? ………………8 分 4 4 4? ? ? ? ?? ? 先把 f ( x ? ) ? 2 sin x 图象上每一点向左平移 得到函数 2 sin? x ? ? 的图象.10 分 4 4 4? ? 1 ?? ? 再把函数 2 sin? x ? ? 的图象上任一点纵坐标不变,横坐标变为原来的 , 2 4? ? ? ?? ? 得 2 sin? 2 x ? ? ? f ( 2 x ? ) 的图象………………12 分 4 4? ?
(2)因为 f ( x ?

?

) ? 2 sin x

(可以先伸缩,后平移,相应得分) 16.解: (1)由茎叶图知:分数在 [50,60) 之间的频数为 2 .由频率分布直方图知:分数在

[50,60) 之间的频率为 0.008 ? 10 ? 0.08 .所以,全班人数为

2 ? 25 人.…4 分 0.08

(2)解:分数在 [80,90) 之间的人数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4 人 …故分数在 [80,90) 之间 的 频 率 为

4 ? 0.16 所 以 频 率 分 布 直 方 图 中 [80,90) 间 的 矩 形 的 高 为 25

0.16 ? 0.016 . …………………8 分 10 (3)将 [80,90) 之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4 ; [90,100] 之间的 2 个分数编号为 5,6 . 则在 [80,100] 之间的试卷中任取两份的基本事件为: (1,2) ,(1,3) ,(1,4) ,(1,5) ,(1,6) ,(2,3) ,(2,4) ,(2,5) ,(2,6) ,(3,4) ,(3,5) ,(3,6) , (4,5) , (4,6) , (5,6) 共 15 个. …其中,至少有一个在 [90,100] 之间的基本事件有 9 个, 9 3 ? .………………………12 分 故至少有一份分数在 [90,100] 之间的概率是 15 5
17(1)证:取 BE 的中点 H,连结 HF、GH, ∵G、F 分别是 EC 和 BD 的中点 ∴HG//BC,HF//DE,……………… 2 分 又∵ADEB 为正方形 ∴DE//AB,从而 HF//AB ∴HF//平面 ABC,HG//平面 ABC, HF∩HG=H, ∴平面 HGF//平面 ABC ∴GF//平面 ABC………………5 分 (证明 GF//AC,相应得分) (2)∵ADEB 为正方形,∴EB⊥AB,………………6 分 又∵平面 ABED⊥平面 ABC,交线是 AB,∴BE⊥平面 ABC ………………7 分 2 2 2 ∴BE⊥AC 又∵CA +CB =AB ∴AC⊥BC, ∵BC∩BE=B, ∴AC⊥平面 BCE ………10 分 (3)取 AB 的中点 N,连结 CN,因为 AC=BC,∴CN⊥AB, ……………… 11 分 又平面 ABED⊥平面 ABC,交线是 AB,CN 平面 ABC,∴CN⊥平面 ABED………… 12 分 ∵三角形 ABC 是等腰直角三角形,∴ CN ?

1 1 AB ? , 2 2

………………13 分

∵C—ABED 是四棱锥,

1 1 1 1 S ABED ? CN ? ? 1? ? 3 3 2 6 18.解: (1)? P 在椭圆 E 上 ?2a ? PF ? PF2 ? 4, a ? 2 , 1
∴VC—ABED=

…………14 分 ……………….2 分 ……….3 分

5 3 2 2 2 ? PF1 ? F1 F2 ,? F1F2 ? PF2 ? PF1 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 4, 2 2 ? b2 ? 3 . 2c ? 2, c ? 1 ,
所以椭圆 E 的方程是:

x2 y 2 ? ?1 4 3

………………6 分

3 ……….8 分 ? F1 (?1,0), F2 (1,0) ,? PF1 ? F1 F2 ? P ( ? 1 , ) 2 3 (2)线段 PF2 的中点 M (0, ) 4 3 3 2 25 2 ∴ 以 M (0, ) 为圆心 PF2 为直径的圆 M 的方程为 x ? ( y ? ) ? 4 4 16 5 圆 M 的半径 r ? …………….10 分 4 以椭圆 E 的长轴为直径的圆的方程为: x2 ? y 2 ? 4 ,圆心为 O (0, 0) ,半径为 R ? 2
…11 分 圆 M 与圆 O 的圆心距为 | OM |?

3 5 ? 2 ? ? R ? r …….13 分 4 4
…… 1 分

所以两圆内切.…….14 分 19. (I)由已知,可得 c ? 0 , f ?( x) ? 2ax ? b ,

?b ? 2n 1 ? ∴? b 解之得 a ? , b ? 2n …3 分 2 ? 2n ? 2a ? 1 ? f ( x) ? x 2 ? 2nx …… 4 分 2 (II)? an?1 ? an ? 2n …… 5 分 ? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 n(n ? 1) ? 4 ? n2 ? n ? 4 = 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1) ? 4 ? 2 ? …… 8 分 2 (III) an?1 ? an ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 4 ? (n 2 ? n ? 4) ? 2n

? bn ? n ? 2
1

an ?1 ?an 2

? n ? 2n
3 n

…… 10 分 (1) (2)
n?1

S n ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
2

2S n ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 23 4? ? n ? 2n?1
1 2 n

(1)—(2)得: ? S n ? 2 ? 2 ? ?2 ? n ? 2

? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n?1

…… 12 分 …… 13 分 …… 14 分

? n ? 2 n?1 ? S n = 2 n?1 ? 2 ? 50 ,即 2 n?1 ? 52 ,当 n ? 5 时, 2 n?1 ? 52
? 存在M ? 4 ,使得当 n ? M 时, n ? 2 n?1 ? S n ? 50 恒成立

2 20. (1) 当 a = 2 时,f (x) = 2x+ x -3lnx 2 3 2x2-3x-2 f ' (x) = 2-x2 -x = ………………………………………2 分 x2 1 令 f ' (x) = 0 得 x = 2 或-2 (∵x>0,舍去负值)………………………………3 分 x f' (x) f (x) ↘ - (0,2) 2 0 (2,+ ?) +

5-3ln2 ………………………………………5 分



∴ 当 a = 2 时,函数 f (x) 的最小值为 5-3ln2.………………………………… ax 2-3x-a (2)∵ f ' (x) = , x2 3 9+4a2 令 h(x) = ax 2-3x-a = a(x-2a )2- 4a ,………………………………8 分

6分

要使 f (x)在[1,e]上为单调递减函数,只需 f ' (x)在[1,e]内满足: f ' (x) ≤ 0 恒成立, ∵ h (1) = -3<0 ∴ h (e) = ae2-3e-a≤0,∴a≤ ① 当 0≤a≤
2

3e …………11 分 e2-1

3e 时,f ' (x) ≤ 0 恒成立 e -1

3 ② 当 a < 0 时,x= 2a ? [1,e], ∴h(x)<0 (x ? [ 1, e]) ∴ f ' (x) <0, 符合题意. 综上可知,当 a≤ ………………………………………13 分 14 分

3e 时,f (x) 在[1,e]上为单调函数.………………… e2-1

(分离变量法,相应得分)


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