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泄露天机 数学 理科(教师用卷) - 副本

时间:2016-03-12


一、选择题
1.设集合 A ? ??1,0,1,2,3? , B ? x x ? 2 x ? 0 ,则 A ? B =(
2

?

?



A. ?3? 答案:C

B. ?2,3?

C. ??1,3?

D. ?

0,1, 2?

解析:集合 B ? x x 2 ? 2 x ? 0 ? x x ? 2或x ? 0 , A ? B ? ??1,3? 。

?

? ?

?

2.若 z (1 ? i) ? i (其中 i 为虚数单位) ,则 | z | 等于(



A.1 答案:C

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

1 1 2 ? i ,则 | z | = ,故选 C。 2 2 2 ?? ? ?? ? ?? ? 3.已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 m ? n ? m ? n ,则 ? = (
解析:化简得 z ?

?

? ?

?



A.

?4 B. ?3 C. ?2 D. -1
?? ? ?? ?

答案:B 解析: m ? n ? (2? ? 3,3), m ? n ? (?1, ?1) ,

?? ? ?? ? ? m ? n ? m ? n ,? ? 2? ? 3? ? ? ?1? ? 3 ? 0,? ? ? ?3 。

?

? ?

?

4.命题“ ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是() A. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 C. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 答案:C 解 析 : 命 题 “ ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ” 是 特 称 命 题 , 则 它 的 否 定 是 全 称 命 题 , 即 B. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 D. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

?x ? R x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

5.某几何体的三视图如图所示,图中三个正方形边长均为 2,则该几何体的体积为()

A.

3 8

B. 8 ? 2? C.

4 ? 3

D. 8 ?

2 ? 3

答案:D 解析:由三视图可知此几何体是:棱长为 2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体, 其体积为 2 ? ? ? ?1 ? 2 ? 8 ?
3 2

1 3

2? ,故选 D。 3

?x ? 1 ? 6.已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 ,则 a ? () ? y ? a ( x ? 3) ?
A.

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

答案:B 解析: 依题意可以画出不等式表示的图形, 当过点 ?1, ?2a ? 时取最小值, 即 2-2 a =1, a= 7. 执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 22 ,则输出的 s 的值为() A. 232 B. 211 C. 210 D. 191

1 2。

答案:B 解析:第一次运行时, S ? 1, i ? 2 ;第二次运行时, S ? 1 ? 1, i ? 3 ; 第三次运行时, S ? 1 ? 1 ? 2, i ? 4 ;第四次运行时, S ? 1 ? 1 ? 2 ? 3, i ? 5 ;

S ? 1 ? 1 ? 2 ? 3, i ? 5 ; S ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4, i ? 6 ; 第五次运行时, …, 以此类推, 时,
第五次运行时, S ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4, i ? 6 ;…,以此类推,

? 20, i? 直到 S ? 1 ? 1? 2? 3? 4? … ? 19
S ? 1? 20 ? ?1 ? 20 ? ? 211 .故选 B。 2

22 ,程序才刚好不满足 i ? n ,故输出

8.如图是 2013 年某大学自主招生面试环节中, 七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图, 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和众数依次为() A.85,84 B.84,85C.86,84 D.84,86

7 9 8 4 4 6 4 7 9 3
答案:A 解 析 : 去 掉 一 个 最 高 分 和 一 个 最 低 分 后 , 所 剩 数 据 为 84,84,86,84,87 , 平 均 数 为

84 ? 84 ? 86 ? 84 ? 87 ? 85 ,众数为 84. 故选 A。 5
? ?? ? sin ? cos 3 2 9.若 sin(? ? ? ) ? , ? 是第三象限的角,则 ? ?? ? 5 sin ? cos 2
A.

?? 2 ? () ?? 2

1 2

B. ?

1 2

C. 2

D. ?2

答案:B
3 4 解析:由题意 sin ? ? ? ,因为 ? 是第三象限的角,所以 cos ? ? ? , 5 5
? sin ) 2 2 2 2 2 2 2 ? 1 ? sin ? ? ? 1 。 因此 ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? cos ? 2 sin ? cos cos ? sin cos 2 ? sin 2 2 2 2 2 2 2 sin cos (cos

? ??

? cos

? ??

?

? sin

?

?

?

10.函数 f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

? ( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到 f ? x ? 的图象, 3?

只需将函数 g ? x ? ? sin ? ? x ?

? ?

??

? 的图象( 3?



A.向左平移

? 个单位长度 2 ? 个单位长度 4

B.向右平移

? 个单位长度 2

C.向左平移

D.向右平移

? 个单位长度 4

答案:C 解析:因为函数 f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

2? ? 的最小正周期为 ? ,所以 ? ? ? ? 2 ,则 3?

?? ? f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? 3? ?
? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? ? cos ?2 ? x ? ? ? ? ,则用 x ? 换 x 即 4 3? 3 2? 4 ? 3? ? ? ? ?
可得到 f ? x ? 的图像,所以向左平移

? 个单位长度,则选 C。 4


11. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0) 的离心率为 2 ,则 a 的值为( a2 1 ? a2
B.

A.

1 2

2 2

C.

1 3

D.

3 3

答案:B 解析:依题意 0 ? a ? 1 , c ? 1 ,?

1 2 。 ? 2,? a ? a 2


12.已知函数 f ? x ? ? x ?
2

ln x x

,则函数 y ? f ? x ? 的大致图像为(

答案:A 解 析 : 由 函 数 的 奇 偶 性 可 知 函 数 为 非 奇 非 偶 函 数 , 所 以 排 除 B,C, 再 令

1 1 1 e ? 1? x ? ? , f ? x? ? ? ? ? ? ? 2 ? e ? 0 ,说明当 x 为负值时,有小于零的函 1 e e ? e? ? e
2

ln ?

数值,所以排除 D。

二、填空题

? 1 ? 13.二项式 ? ? x 2 ? 的展开式中的常数项是________. ? x ?
答案:45
10 ? r 5r ? ?5 1 10?r 2 r r r 2r r r 2 解析: Tr ?1 ? C ( ) (? x ) ? C10 x (?1) x ? C10 (?1) x 2 ,则 x r 10

10

5r 2 ? 5 ? 0 ? r ? 2 ,故常数项为 C10 (?1)2 ? 45 。 2
14.如图, 设 D 是图中边长为 4 的正方形区域, E 是 D 内函数 y ? x 图
2

象下方的点构成的区域.在 D 内随机取一点, 则该点落在 E 中的概 率为。

答案:

1 3

解析:由几何概型得,该点落在 E 中的概率为 P ?

2? x 2dx
0

2

4? 4

x3 2 8 |0 2 ? 3 ? 1。 ? 3 ? 16 16 3 2

15. A、B、C、D 是同一球面上的四个点 , 其中 ?ABC 是正三角形 , AD ⊥平面 ABC ,

AD=4,AB=2 3 ,则该球的表面积为_________。
答案:32 ? 解析:由题意画出几何体的图形如图, 把 A、B、C、D 扩展为三棱柱,上下底面中心连线的中点与 A 的距离 为球的半径, AD=4, AB=2 3 , △ABC 是正三角形, 所以 AE=2, AO=2 2 。 所求球的表面积为:4 ? (2 2 ) =32 ? 。
2

16. 已知等差数列 {an } 前 n 项和为 S n ,且满足 答案:2 解析: ∵ Sn ? na1 ? 又

S5 S2 ? ? 3 ,则数列 {an } 的公差为。 5 2

n(n ? 1) S S S n ?1 5 ?1 2 ?1 3 d, ∴ n ? a1 ? ∴ 5 ? 2 ? (a1 ? d, d ) ? (a1 ? d) ? d , 2 n 2 5 2 2 2 2

S5 S2 ? ? 3 ,∴ d ? 2 。 5 2

三、解答题

17. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c 已知

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? . cos B b

(I)求

1 sin C 的值; (II)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的 面积 S 。 4 sin A

解: (Ⅰ)由正弦定理,得

2c ? a 2sin C ? sin A ? b sin B

所以

cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? cos B sin B

即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ) ,即 sin C ? 2sin A 因此

sin C ?2 sin A

(Ⅱ)由

sin C ? 2 c ? 2a sin A 得
2 2

由 b ? a ? c ? 2ac cos B 及 cos B ?
2

1 ,b ? 2 4

得 4 ? a ? 4a ? 4a ?
2 2 2

1 ,解得 a ? 1 ,因此 c ? 2 4

又 0 ? B ? ? 所以 sin B ?

15 1 15 ,因此 s ? ac sin B ? 4 2 4

18. 第 117 届中国进出品商品交易会(简称 2015 年春季广交会)将于 2015 年 4 月 15 日在 广州举行,为了搞好接待工作,组委会在广州某大学分别招募 8 名男志愿者和 12 名女志愿 者,现将这 20 名志愿者的身高组成如下茎叶图(单位:cm) ,若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子” ,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子” 。

(1)计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数(保留一位小数) 。 (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ? 表示所选志愿者中为女志愿者的人数,试

写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望。 解: (1)根据茎叶图可得: 男志愿者的平均身高为

159 ? 169 ? 170 ? 175 ? 176 ? 182 ? 187 ? 191 ? 176.1(cm) 8
168 ? 169 ? 168.5(cm) 2

女志愿者身高的中位数为

(2)由茎叶图可知,“高个子”有 8 人,“非高个子”有 12 人,而男志愿者的“高个 子”有 5 人,女志愿者的“高个子”有 3 人

? 的可能值为 0,1,2,3,
1 2 3 3 2 1 故 P(? ? 0) ? C5 ? 10 , P(? ? 1) ? C5 C3 ? 30 , P(? ? 2) ? C5C3 ? 15 , P(? ? 3) ? C3 ? 1 , 3 3 3 3 C8 56 C8 56 C8 56 C8 56

即 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

10 56

30 56

15 56

1 56

所以 ? 的数学期望 E? ? 0 ?

10 30 15 1 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? 56 56 56 56 8



19. 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=

1 AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD. 2

(I)证明:DC1⊥BC; (II)求二面角 A1-BD-C1 的大小. 解:(I)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形. 由于 D 为 AA1 的中点,故 DC=DC1. 又 AC ?

z

1 AA1 ,可得 DC12+DC2=CC12, 2

所以 DC1⊥DC.而 DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以 DC1⊥平面 BCD. BC ? 平面 BCD,故 DC1⊥BC. x (II)由(I)知 BC⊥DC1,且 BC⊥CC1, 则 BC⊥平面 ACC1,所以 CA,CB,CC1 两两相互垂直.

y

以 C 为坐标原点,CA 的方向为 x 轴的正方向, CA 为单位长,建立如图所示的空间 直角坐标系 C-xyz.由题意知 A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2). 则A , BD ? (1, ?1,1) , DC1 ? (?1,0,1) , 1D ? (0,0, ?1) 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 A1B1BD 的法向量,

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

????

??? ? ? n ? BD ?0 ?x ? y ? z ? 0 ? 则 ? ???? ,即 ? ,可取 n=(1,1,0). ? z ? 0 n ? A D ? 0 ? ? ? 1
同理,设 m 是平面 C1BD 的法向量,

??? ? ? ? m ? BD ? 0 可取 m=(1,2,1). ? ? ???? m ? DC ? 0 ? ? 1

cos ? n,m ??

n? m 3 . ? n m 2

故二面角 A1-BD-C1 的大小为 30°

x2 y2 1 20. 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1) 的距离为 10 . a b 2
(I)求椭圆 C 的标准方程; (II) 若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点( A、 B 不是左右顶点),且以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出 该定点的坐标. y l A P x A2

c 1 解: (I)由题: e ? ? ① a 2
左焦点 (-c,0) 到点 P(2,1) 的距离为:

F1 O B
2

F2

d =

(2 + c)

2

+ 1

2

= 10 ② = a -c
2 2

由①②可解得 c = 1,a = 2 ,b ∴所求椭圆 C 的方程为

= 3。

x
4

2

+

y
3

2

= 1 。

(II)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),将 y = kx + m 代入椭圆方 程得 (4k + 3) x + 8kmx + 4m -12 = 0。 8km 4m -12 ∴x1 + x2 = - 2 ,x1x2 = ,且 y1 = kx1 + m, 2 4k + 3 4k + 3
2 2 2 2

y

l

A

P x

y2 = kx2 + m。
∵AB 为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ,

F1 B

O

F2

A2

→ → 所以 A2A ? A2B = 0。 所以 (x1-2,y1)·(x2-2,y2) = (x1-2) (x2-2) + y1y2 = (x1-2) (x2-2) + (kx1 + m) (kx2 + m) = (k = (k
2

+ 1) x1x2 + (km-2) (x1 + x2) + m
2

2

+ 4

2

4m -12 8km 2 + 1)· 2 -(km-2)· 2 + m + 4 = 0 。 4k + 3 4k + 3

2 2 2 整理得 7m + 16km + 4k = 0.∴m = - k 或 m = -2k 都满足 △ > 0。 7 若 m = -2k 时,直线 l 为 y = kx-2k = k (x-2) ,恒过定点 A2(2,0),不合题意 舍去; 2 2 2 2 若 m = - k 时,直线 l 为 y = kx- k = k (x- ), 恒过定点 ( ,0) 。 7 7 7 7 61. 已知 f ( x) ? ?

1 2 ax ? x ? ln(1 ? x) ,其中 a ? 0 . 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调递减区间; (Ⅱ)若 f ( x) 在 [0, ??) 上的最大值是 0 ,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)函数 f ( x) ? ?

1 2 ax ? x ? ln(1 ? x) ? a ? 0? 的定义域为 ? ?1, ??? , 2

1? a ? ? ax ? x ? ? ax ? ?1 ? a ? x 1 a ? ?? ? f '( x ) ? ?ax ? 1 ? ?? x ?1 1? x x ?1
2

令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 0, x2 ? ①当 0 ? a ? 1 时, x1 ? x2 ,

1? a 1 ? ?1 , a a

f ( x) 与 f ?( x ) 的变化情况如下表
x

(?1, 0)
?


0

1 (0, ? 1) a

1 ?1 a
0

1 ( ? 1, ?? ) a

f ?( x )
f ( x)

0

?


?


f (0)

1 f ( ? 1) a

所以 f ( x) 的单调递减区间是 (?1, 0) , ( ? 1, ?? ) ;

1 a

②当 a ? 1 时, x1 ? x2 ? 0 , f '( x ) ? ? 故 f ( x) 的单调递减区间是 (?1, ??) ; ③当 a ? 1 时, ?1 ? x2 ? 0 ,

x2 ?0, x ?1

f ( x) 与 f ?( x ) 的变化情况如下表
x
1 (?1, ? 1) a
1 ?1 a
0

1 ( ? 1, 0) a

0

(0, ??)
?


f ?( x ) f ( x)

?


?


0

1 f ( ? 1) a

f (0)

所以 f ( x) 的单调递增减区间是 ( ?1,

1 ? 1) , (0, ??) . a 1 a

综上,当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 的单调递增减区间是 (?1, 0) , ( ? 1, ?? ) ;

当 a ? 1 时, f ( x) 的单调递增减区间是 ( ?1,

1 ? 1) , (0, ??) ; a

当 a ? 1 时, f ( x) 的单调递增减区间是 (?1, ??) . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ① 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (0, ??) 的最大值是 f ( ? 1)

1 a

但 f ( ? 1) ? f (0) ? 0 ,所以 0 ? a ? 1 不合题意; ② 当 a ? 1 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,

1 a

f ( x) ? f (0) ,可得 f ( x) 在 [0, ??) 上的最大值为 f (0) ? 0 ,符合题意.

? f ( x) 在 [0, ??) 上的最大值为 0 时, a 的取值范围是 ?a a ? 1? 。

21. 已知函数 f ( x) ? e ? ax ?1(a ? 0, e 为自然对数的底数)
x

(I)求函数 f ( x ) 的最小值; (II)若 f ( x ) ≥0 对任意的 x ∈R 恒成立,求实数 a 的值;
x x ? ? 解:(I)由题意 a , 由f 得 x?lna. ? 0 ,f () x ? e ? a () x? e ?? a0

当x 时, f ?(x ? ( ? ? , l n) a时, f ?(x )?0;当 x ? ( l n, a ? ? ) )?0. ∴ f ( x) 在 ( ? ? ,l na )单调递减,在 ( l na ,? ? )单调递增 即 f ( x ) 在 x?lna处取得极小值,且为最小值,
l n a 其最小值为 f ( l n a ) ? e ?? a l n aa 1 ? ?? a l n a 1 .

(II) f (x) )m ≥ 0. ≥ 0对任意的 x ?R 恒成立,即在 x ?R 上, f (x in 由(I),设 g ,所以 g(a) ( a ) ? a ? aa l n ? 1 . ≥ 0.

? 由g 得 a ? 1. ( a ) ? 1 ? l n a ? 1 ? ? l n a ? 0
易知 g ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1 , ??) 上单调递减, ∴ g ( a ) 在 a ? 1 处取得最大值,而 g( 1 ) ?0. 因此 g(a) ≥ 0的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1

22.请考生在 A,B,C 三题中任选一题作答,如果多做,则 按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所 选题目对应的标号涂黑. A.选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, BC , CD 为 圆 O 的切线, B , D 为切点. (Ⅰ)求证: AD // OC ; (Ⅱ)若圆 O 的半径为 2,求 AD ? OC 的值. 解:(I)连接 BD, OD,? CB, CD 是圆 O 的两条切线,

? BD ? OC ,

? ?ODB ? ?DOC ? 90? ,又? AB 为圆 O 的直径,? AD ? DB , ? ?ADO ? ?ODB ? 90? ??DOC ? ?ODA ,? AD / / OC ,即得证,
(II)? AO ? OD ,? ?DAO ? ?DOC ,? Rt △ BAD∽ Rt △ COD ,

AD ? OC ? AB ? OD ? 8 。
B.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin ?

(Ⅰ)以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求△ ABM 面积的最大值. 解: (I)圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?

所以普通方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4

? 圆 C 的极坐标方程: ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0
(II)点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

| 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | 2



ABM 的面积 S ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin(
所以△ ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2

1 2

?
4

??) ? 9 |

C.选修 4-5:不等式选讲 已知函数

f ( x) ? k ? x ? 3 , k ? R

且 f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ??1,1?

(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 a , b, c

是正实数,且

1 1 1 1 2 3 ? ? ? 1 ,求证: a ? b ? c ? 1 。 ka 2kb 3kc 9 9 9

解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? k ? x ? 3 ,所以 f ( x ? 3) ? 0 等价于 x ? k 由 x ? k 有解,得 k ? 0 ,且其解集为 ? x ? k ? x ? k ? 又 f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ??1,1? ,故 k ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 1 1 ? ? ?1 a 2b 3c

又 a , b, c 是正实数, 由均值不等式得

1 1 1 a a 2b 2b 3c 3c a ? 2b ? 3c ? (a ? 2b ? 3c)( ? ? ) ? 3? ? ? ? ? ? ? a 2b 3c 2b 3c a 3c a 2b a 2b a 3c 2b 3c 3? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3? 2? 2? 2 ? 9 2b a 3c a 3c 2b 当且仅当 a ? 2b ? 3c 时取等号。 1 2 3 也即 a ? b ? c ? 1 9 9 9


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2015年湖南高考泄露天机文科数学卷(学生用卷)

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2016年当代中学生报泄露天机卷(数学理科)

2016年当代中学生报泄露天机卷(数学理科)_数学_高中教育_教育专区。2016 年当代中学生报泄露天机卷(数学理科)编审:本报数学研究中心 一、选择题 1. 复数 z 为纯...

泄露天机——2016年金太阳高考押题 精粹 数文(教师用卷)

泄露天机——2016年金太阳高考押题 精粹 数文(教师用卷)_高考_高中教育_教育...数学文科本卷共 48 题,三种题型:选择题、填空题和解答题.选择题 30 小题,...