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三角函数性质——定义域、值域讲解


三角函数定义域和值域
一、求定义域 例 1.求下列函数的定义域: (1) y ? (3) y ? (5) y ?

sin

x 3

(2) y ? lg(2 cos x ? 1) (4) y ? (6) y ?

36 ? x 2 ? lg cos x

sin x

? 2sin x ? 1 tan x
lg(1 ? tan x) 1 ? 2 sin x
? ?

2 ? log 1 x ? tan x
2

解: (1) {x 6k? ? x ? 6k? ? 3? , k ? Z }

(2) ? 2k? ?

?
3

, 2k? ?

??

? ?k ? Z ? 3?

(3) ?? 6, ?

? ?

3? ? ? ? ? ? ? 3? ? 6 ? ? ?- , ? ? ? , 2 ? ? 2 2? ? 2 ? ?

? ? ? x ? k? ? 2 , ? (4) ? tan x ? 0, ? 2sin x ? 1 ? 0. ? ?

? ? ? x ? k? ? 2 , ? 即 ? x ? k? , , ? ? 7? ? 2 k? ? ? x ? 2 k? ? . 6 6 ?
?
6 ? x ? 2k? ? 7? ? 且 x ? k? , x ? k? ? , k ? Z } 6 2

故函数的定义域为 {x 2k? ?

?2 ? log 1 x ? 0, ? 2 (5) ? ? tan x ? 0. ?
故函数的定义域为 (0,

?0 ? x ? 4, ? 即? ? ? k? ? x ? k ? ? 2 . ?

?
2

) ? [? , 4] .

(6) 函数的定义域为 ?

?1 - tanx ? 0, (*) 的解集,由于 y=tanx 的最小正周期为 π ,y=sinx 的最小正周 ?1 - 2sinx ? 0.

π 3π 期为 2π ,所以原函数的周期为 2π ,应结合三角函数 y=tanx 和 y=sinx 的图象先求出(- , )上满 2 2 足(*)的 x 的范围,再据周期性易得所求定义域为{x|2kπ - 5π 2kπ + ,k∈Z} . 4 总结:在确定三角函数的定义域时,应注意以下几点: π π 5π <x<2kπ + ,或 2kπ + < x< 2 6 6

1、 正、余弦函数的定义域是 R,正切函数的定义域是 {x | x ? k? ? 2、 若函数是分式函数,则分母不能为零; 3、 若函数是偶次根式函数,则被被开方式非负;

?
2

, k ? Z} ;

4、 若函数是形如 y ? log a f ( x)( a ? 0, a ? 1) 的函数,则定义域由 f ( x) ? 0 确定; 5、 若函数是有多个函数通过四则运算而构成,则函数定义域应是各部分定义域的交集。 二、求值域、最值 1、 y ? a sin x ? b, (a ? 0) 型: 当 a ? 0 时, y ? [?a ? b, a ? b] ; 当 a ? 0 时 y ? [a ? b,?a ? b]

例 1、若函数 y ? a cos x ? b 的最大值是 1,最小值是 ?7 ,求 a,b

a ? 0, a ? b ? 1, ?a ? b ? ?7 ? a ? 4,b ? ?3 a ? 0, ?a ? b ? 1, a ? b ? ?7 ? a ? ?4, b ? ?3
2、 y ? a sin x ? b cos x 型: 利用公式 a sin x ? b cos x ?
2 2

a 2 ? b 2 sin(x ? ? ), tan? ?

b , a ? 0 可以转化为一个三角函数的情形。 a

3、 y ? a sin x ? b cos x ? c sin x cos x 型: 这是关于 sin x, cos x 的二次齐次式,通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式,可转化为

y ? m sin 2 x ? n cos 2 x ? p 的形式。
例 1、求函数 f ( x) ? 5 sin x cos x ? 5 3 sin x ?
2

5 3 ( x ? R) 的最大值和最小值。 2

答案: f ( x) ? 5 sin(2 x ? 例 2、求函数 f ( x) ?

?
3

)

3 sin(2 x ? ) ? 2 sin 2 ( x ? )( x ? R) 的最大值和最小值。 6 12

?

?

答案: f ( x) ? 2 sin(2 x ?
2

?
3

) ?1

4、 y ? a sin x ? b sin x ? c(a ? 0) 型: 此类型可化为 y ? at ? bt ? c(a ? 0) 在区间 [?1,1] 上的最值问题。
2

例 1、求函数 y ? cos x ? 2 sin x ? 1 ( x ? R )的最值
2

解: y ? 1 ? sin x ? 2 sin x ? 1 ? ?(sin x ? 1) ? 3
2 2

例 2、求函数 y ? cos x ? a cos x ?
2

5 3 ? a ? (0 ? x ? ) 的最小值。 8 2 2 5 3 a 2 a 5 3 2 解: y ? cos x ? a cos x ? a ? ? (cos x ? ) ? ? a ? 8 2 2 4 8 2

∴函数的最大值为 3 ,最小值为 ? 1。

?0 ? x ?

?
2

,? 0 ? cos x ? 1 ,

a 5 3 a ? a? ?若 ? 2 ? x ? 0 ,则当 cos x ? ? 时, y min ? ? 4 8 2 2
若 a ? 0 ,则当 cos x ? 0 时, ymin ? 若 a ? 0 ,则当 cos x ? 1 时, ymin
2

5 3 a? 8 2 13 1 ? a? 。 8 2 2 3
( D )

练习:函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 在区间 [? ? ,? ] 上的最大值为 1 ,则 ? 的值是 A.0 B.

? 3

C.

? 2

D. ?

?
2

5、 y ? a(sin x ? cos x) ? b sin x cos x 型:

t 2 ?1 利用换元法,设 t ? sin x ? cos x , t ? [? 2 , 2 ] ,则 sin x cos x ? ,转化为关于 t 的二次函数 2 y ? at ? b t 2 ?1 b 2 b ? t ? at ? . 2 2 2

例 1、 求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 的最大值. 分析 若有 y ? sin x cos x ? sin x ? cos x 可以令: sin x ? cos x ? t , 则y ?

t 2 ?1 ?t 2

解:设 sin x ? cos x ? t (? 2 ? t ?

2) ,则 sin x ? cos x ?

t 2 ?1 1 2 1 ,则 y ? t ? t ? ,当 t ? 2 时, 2 2 2

1 y 有最大值为 ? 2 . 2
(换元法)求函数 y ?

x ? 1 ? x 的最大值和最小值,并指出当 x 分别为何值时取到最大值和最小值。

解:∵定义域为 0≤x≤1,可设 x ? cos2 x 且 0 ? ? ?

?
2

1 ? x ? 1 ? cos2 ? ? sin 2 ? , 0 ? ? ?
∴y?

?
2

cos2 ? ? sin 2 ? ? sin? ? cos? ? 2 sin(? ?

?
4

)

∵0 ?? ? ∴当 ? ?

?
2

,∴

?
4

?? ?

?
4

?

2 ? 3? ,∴ ? sin(? ? ) ? 1 即1 ? y ? 2 2 4 4

?
4

?

?
4

或? ?

?
4

?

3? ? ,即θ =0 或 ? ? (此时 x=1 或 x=0) ,y=1; 2 4

1 ) y? 2, , 2 4 2 1 当 x=0 或 x=1 时,y 有最小值 1;当 x ? 时,y 有最大值 2 。 2
当? ? ,即 ? ? 时, (此时 x ? 评析:利用三角换元法求解此类问题时,要注意所设角的取值范围,要同原函数定义域相一致,尽量 恰到好处。 6、 y ?

?

?

a sin x ? b 型: c sin x ? d

可以分离常数,利用正弦函数的有界性。

sin x ? 1 的值域。 2 ? sin x 2 y ?1 sin x ? 1 解法一:由 y ? 变 形 为 ( y ? 1)sin x ? 2 y ? 1 , 知 y ? ?1 , 则 有 sin x ? , y ?1 2 ? sin x 2 y ?1 2 y ?1 2 2 则此函数的值 | sin x |?| |? 1 ?| | ? 1 ? (2 y ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ? ? y ? 0 , y ?1 y ?1 3 2 域是 y ? [ ? , 0] 。 3 1 解法二: y ? ?1 ? ,利用 sin x ? 1 来解。 2 ? sin x
例 1 求函数 y ? 练习:1、求函数 y ?

1 ? cos x 的值域 3 ? cos x

(? ?, 3] ? [1,+?) ?

2、函数 y ? sin x 的定义域为[a,b],值域为 [?1, ] ,则 b-a 的最大值和最小值之和为 A.

1 2

b

4? 3

B. 2?

C.

8? 3

D. 4?

7、 y ?

a sin x ? b 型: c cos x ? d

此类型最值问题可考虑如下几种解法: ① 转化为 a sin x ? b cos x ? c 再利用辅助角公式求其最值; ② 采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值; ③ 也可利用导数。 例 1、求函数 y ?

sin x 的值域。 cos x ? 2 sin x 解法 1:将函数 y ? 变形为 y cos x ? sin x ? 2 y , cos x ? 2 2y | 2y | ? 1 ? (2 y)2 ? 1 ? y 2 , ∴ sin( x ? ? ) ? 由 | sin( x ? ? ) |? 2 2 1? y 1? y
解得: ?

3 3 , ? y? 3 3

故值域是 [ ?

3 3 , ] 3 3

解法 2:数形结合法

求原函数的值域等价于求单位圆上的点 P(cosx, sinx)与定点 Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。 作出如图得图象,当过 Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数

y P

y?

sin x 得最值, cos x ? 2
由几何知识,易求得过 Q 的两切线得斜率分别为 ? 结合图形可知,此函数的值域是 [ ?

3 3 、 。 3 3

O

Q

x

3 3 , ]。 3 3

练习:求函数 f (? ) ?

2 sin? ? 2 的最值。 cos? ? 3 y sin ? ? 1 解:由于 ? 2 cos? ? 3
∴y/2 即为单位圆上的点(cosθ ,sinθ )与定点(3,1)连线的斜率, 由数形结合可知 y/2∈[0,3/4], ∴ y∈[0,3/2]

8、 y ? a sin x ?

b (0 ? x ? ? ) 型 sin x

转化为对钩函数求函数最值问题。 例 1、求函数 y ?

1 ? sin x 的值域。 2 ? 2 sin x ? sin 2 x 1 ? sin x 1 ? 解: y ? 2 1 (1 ? sin x) ? 1 1 ? sin x ? 1 ? sin x
所以 y ? ? 0,

∵1-sinx>0

? ?

1? 2? ?


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