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1立体几何初步练习题及答案

时间:2015-03-05


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立体几何初步测试题
1.如图,设 A 是棱长为 a 的正方体的一个顶点,过从此顶点出发的三条棱的中点作截面,截 面与正方体各面共同围成一个多面体,则关于此多面体有以下结论,其中错误的是( A.有 10 个顶点 C.截面平行于平面 CB1D1 B.体对角线 AC1 垂直于截面 47 D.此多面体的表面积为 a2 8 )

1 1 1 1 2 2 3 45 解析 此多面体的表面积 S=6a2-3× × a× a+ × a× a× = a2 2 2 2 2 2 2 2 8 + 3 2 45+ 3 2 a= a .故选 D 8 8

2.(2012· 福建宁德二模)如图是一个多面体的三视图,则其全面积为 ( A. 3 C. 3+6 ) 3 B. 2 +6 D. 3+4

解析 由几何体的三视图可得,此几何体是正三棱柱,其全面积为 S 1 =3×( 2)2+2×2×( 2)2×sin60° =6+ 3.故选 C.
3.(2012· 江西抚州一中模拟)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的 表面积是( ) A.22π B.12C.4π+24 D.4π+32

解析 由几何体的三视图可得,此几何体是上面一个球、下面一个长 方体组成的几何体,此几何体的表面积 S=4π×12+2×2×2+8×3 =4π+32.故选 D. 4 一个与球心距离为 1 的平面截球体所得的圆面面积为 π,则球 的体积为( 8 2π A. 3 32π C. 3 ) 8π B. 3 D.8π

4 解析 由题意,球的半径为 R= 12+12= 2,故其体积 V=3π( 2)3 8 2π = 3 ,选 A. 5.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 AD 的中点,则异 面直线 C1E 与 BC 所成的角的余弦值是( )

10 A. 5 1 C.3

10 B. 10 2 2 D. 3

解析 因为 BC∥B1C1, 故∠EC1B1 即为异面直线 C1E 与 BC 所成 的角,在△EB1C1 中,由余弦定理可得结果,选 C. 6.设 m,n 是不同的直线,α、β、γ 是不同的平面,有以下四个命 题: ① m∥n? ?
? n?α ? ? α∥β? ? ? β ∥ γ ;② ? α∥γ ? ? α⊥β ? m⊥α? ? ? ? m ⊥ β ;③ ? ? α ⊥ β ;④ ? ? m∥α? m∥β?

??m∥α.其中正确的命题是(

) B.②③ D.②④

A.①④ C.①③

解析 由定理可知①③正确,②中 m 与 β 的位置关系不确定,④中 可能 m?α.故选 C. 7.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AB 的中点, 则点 C 到平面 A1DM 的距离为( )

6 A. 3 a 2 C. 2 a

6 B. 6 a 1 D.2a

解析 设点 C 到平面 A1DM 的距离为 h,则由已知得 DM=A1M=
?a? 5 a2+?2?2 = 2 a , A1D = ? ?

1 2 a , S △ A1DM = 2 ×

2 a×

? 5 ?2 ? 2 ?2 6 1 ? a? -? a? = a2,连接 CM,S△CDM= a2,由 VC-A1DM= 4 2 ? 2 ? ? 2 ?

1 1 6 1 6 VA1-CDM, 得3S△A1DM· h=3S△CDM· a, 4 a2· h=2a2· a, 所以 h= 3 a, 6 即点 C 到平面 A1DM 的距离为 3 a,选 A 8.设 a,b,c 是空间三条直线,α,β 是空间两个平面,则下列命

题中,逆命题不成立的是(

)

A.当 c⊥α 时,若 c⊥β,则 α∥β B.当 b?α 时,若 b⊥β,则 α⊥β C.当 b?α,且 c 是 a 在 α 内的射影时,若 b⊥c,则 a⊥b D.当 b?α,且 c?α 时,若 c∥α,则 b∥c 解析 写出逆命题,可知 B 中 b 与 β 不一定垂直.选 B 二、填空题 9.一个五面体的三视图如图,正视图与侧视图都是等腰直角三角形, 俯 视 图 为直 角梯形 , 部 分边 长如图 所 示 ,则 此五面 体 的 体积 为 ________ 解析 由三视图可知,此几何体是一个底面为直角梯形,有一条 1 1 侧棱垂直于底面的四棱锥,其体积为 V=3×2×(1+2)×2×2=2.

10.三棱锥 S-ABC 中,∠SBA=∠SCA=90° ,△ABC 是斜边 AB =a 的等腰直角三角形,则以下结论中:

①异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90° ; ②直线 SB⊥平面 ABC; ③平面 SBC⊥平面 SAC; 1 ④点 C 到平面 SAB 的距离是2a. 其中正确结论的序号是________. 解析 由题意知 AC⊥平面 SBC,故 AC⊥SB,SB⊥平面 ABC, 平面 SBC⊥平面 SAC,①、②、③正确;取 AB 的中点 E,连接 CE,

1 可证得 CE⊥平面 SAB,故 CE 的长度即为 C 到平面 SAB 的距离2a, ④正确. 答案 ①②③④ 11.如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 为棱 AA1 的中点,若 截面△ BC1D 是面积为 6 的直角三角形,则此三棱柱的体积为 ________.

解析 设正三棱柱的底面边长为 a, 高为 2h, 则 BD=C1D= a2+h2, BC1 = a2+4h2 , 由 △ BC1D 是 面 积 为 6 的 直 角 三 角 形 , 得

?2×?a +h ?=a +4h ?1 2 2 ?2?a +h ?=6
×8×sin60° ×4=8 3 三、解答题

2

2

2

2

2 ? ?a =8 1 ,解得? ,故此三棱柱的体积为 V=2 ?h=2 ?

12..(本小题满分 12 分) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,BC=3,AC=6,D,E 分 别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2.将△ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2.

(1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直? 说明理由. 解 (1)因为 AC⊥BC,DE∥BC,

所以 DE⊥AC. 所以 ED⊥A1D,DE⊥CD,所以 DE⊥平面 A1DC. 所以 DE⊥A1C. 又因为 A1C⊥CD. 所以 A1C⊥平面 BCDE. (2)

如图, 以 C 为坐标原点, 建立空间直角坐标系 C—xyz, 则 A1(0,0, 2 3),D(0,2,0),M(0,1, 3),B(3,0,0),E(2,2,0). → → 设平面 A1BE 的法向量为 n=(x,y,z),则 n· A1B=0,n· BE=0. → → ?3x-2 3z=0, ? 又A1B=(3,0,-2 3),BE=(-1,2,0),所以? ?-x+2y=0. ? 令 y=1,则 x=2,z= 3. 所以 n=(2,1, 3). 设 CM 与平面 A1BE 所成的角为 θ. → 因为CM=(0,1, 3),

? → ? → CM ? 4 2 ? n· 所以 sinθ=|cos〈n,CM〉|= = =2. ? → ? 8× 4 ?|n||CM|?
π 所以 CM 与平面 A1BE 所成角的大小为4. (3)线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直,理 由如下: 假设这样的点 P 存在,设其坐标为(p,0,0),其中 p∈[0,3]. 设平面 A1DP 的法向量为 m=(x,y,z),则 → → m· A1D=0,m· DP=0. → → 又A1D=(0,2,-2 3),DP=(p,-2,0),
? ?2y-2 3z=0, 所以? ? ?px-2y=0.

令 x=2,则 y=p,z=

p . 3

所以 m=?2,p,
?

?

p? ?. 3?

平面 A1DP⊥平面 A1BE,当且仅当 m· n=0 时成立, 即 4+p+p=0. 解得 p=-2,与 p∈[0,3]矛盾. 所以线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直. 13. 如图,直三棱柱 ABC—A′B′C′,∠ BAC = 90° , AB = AC = λAA′,点 M,N 分别为 A′B 和 B′C′的中点.

(1)证明:MN∥平面 A′ACC′; (2)若二面角 A′—MN—C 为直二面角,求 λ 的值. 解

(1)解法一:如图,连接 AB′,AC′,由已知∠BAC=90° ,AB

=AC,三棱柱 ABC—A′B′C′为直三棱柱,所以 M 为 AB′中点. 又因为 N 为 B′C′的中点,所以 MN∥AC′. 又 MN?平面 A′ACC′,AC′?平面 A′ACC′,因此 MN∥平面 A′ACC′


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