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高中数学(人教版)选修2-3单元质量检测:2.4正态分布

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2.4 正态分布
(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1 .设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数 f(x) 的图象,且 f(x) = φμ , σ(x) = -?x-10?2 e ,则这个正态总体平均数与标准差分别是( 8 A.10 与 8 C.8 与 10 ) 1 8π

B.10 与 2

D.2 与 10

解析: 由正态密度函数的定义可知,总体的均值 μ=10,方差 σ2=4,即 σ=2. 答案: B 2. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0, σ2). 若 P(ξ>2)=0.023, 则 P(-2≤ξ≤2)=( A.0.477 C.0.954 B.0.628 D.0.977 )

解析: 因为随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,σ2), 所以正态曲线关于直线 x=0 对称, 又 P(ξ>2)=0.023, 所以 P(ξ<-2)=0.023, 所以 P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=1-2×0.023=0.954,故选 C. 答案: C 3.正态总体 N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率为 P1,P2,则二者大小关系为 ( ) A.P1=P2 C.P1>P2 B.P1<P2 D.不确定

解析: 根据正态曲线的特点,图象关于 x=0 对称,可得在区间(-2,-1)和(1,2)上取 值的概率 P1,P2 相等. 答案: A 4.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),若 P(ξ>1)=p,则 P(-1<ξ<0)=( 1 A. +p 2 C.1-2p B.1-p 1 D. -p 2 )

1 1 1 1 解析: P(-1<ξ<0)= P(-1<ξ<1)= [1-2P(ξ>1)]= -P(ξ>1)= -p. 2 2 2 2 答案: D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
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?x-μ?2 1 5.关于正态曲线 φμ,σ(x)= e- ,x∈(-∞,+∞)有以下命题: 2σ2 2πσ ①正态曲线关于直线 x=μ 对称; ②正态曲线关于直线 x=σ 对称; ③正态曲线与 x 轴一定不相交; ④正态曲线与 x 轴一定相交; ⑤正态曲线所代表的函数是偶函数; ⑥曲线对称轴由 μ 确定,曲线的形状由 σ 决定; ⑦当 μ 一定时,σ 越大,曲线越“矮胖”,σ 越小,曲线越“高瘦”. 其中正确的是________.(填序号) 解析: 根据正态分布曲线的性质可得,由于正态曲线是一条关于直线 x=μ 对称,在 x=μ 处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸时逐渐降低的曲线,该曲线总是位于 x 轴 的上方,曲线形状由 σ 决定,而且当 μ 一定时,比较若干个不同的 σ 对应的正态曲线,可以 发现 σ 越大,曲线越“矮胖”,σ 越小,曲线越“高瘦”.故①③⑥⑦正确. 答案: ①③⑥⑦ 6. 某种零件的尺寸 X(cm)服从正态分布 N(3,1), 则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件 数约占总数的________. 解析: 属于区间(μ-2σ, μ+2σ)即区间(1,5)的取值概率约为 95.4%, 故不属于区间(1,5) 这个尺寸范围的零件数约占总数的 1-95.44%=4.56%. 答案: 4.56% 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.据调查统计,某市高二学生中男生的身高 X(单位:cm)服从正态分布 N(174,9),若 该市共有高二男生 3 000 人,试计算该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数. 解析: 因为身高 X~N(174,9), 所以 μ=174,σ=3, 所以 μ-2σ=174-2×3=168, μ+2σ=174+2×3=180, 所以身高在(168,180]范围内的概率为 0.954 4. 又因为 μ=174.所以身高在(168,174]和(174,180]范围内的概率相等均为 0.477 2, 故该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数是 3 000×0.477 2≈1 432(人). 8.灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为 X(单位:小时),已知 X~N(1 000,302),要使灯泡的 平均寿命为 1 000 小时的概率约为 99.7%,问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上? 解析: 因为灯泡的使用寿命 X~N(1 000,302), 故 X 在(1 000-3×30,1 000+3×30)的概率为 99.7%, 即 X 在(910,1 090)内取值的概率约为 99.7%,
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故灯泡的最低使用寿命应控制在 910 小时以上. ?尖子生题库?☆☆☆ 9.(10 分)已知某地农民工年均收入 ξ 服从正态分布,某密度函数图象如图所示.

(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式; (2)求此地农民工年均收入在 8 000~8 500 之间的人数百分比. 解析: 设农民工年均收入 ξ~N(μ,σ2), 结合图象可知 μ=8 000,σ=500. (1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式 ?x-μ?2 1 P(x)= e- 2σ2 2πσ = ?x-8 000?2 1 e- ,x∈(-∞,+∞). 2×5002 500 2π

(2)∵P(7 500<ξ≤8 500) =P(8 000-500<ξ≤8 000+500) =0.682 6. ∴P(8 000<ξ≤8 500) 1 = P(7 500<ξ≤8 500) 2 =0.341 3. ∴此地农民工年均收入在 8 000~8 500 之间的人数百分比为 34.13%.

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