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第二章基本初等函数、导数及其应用第13课时


第二章

基本初等函数、导数及其应用

第13课时 导数的应用

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

教材回扣夯实双基
基础梳理

1.函数的最值
假设函数 y= f(x) 在闭区间 [a , b]上的

图 连续不间断 的曲线,则该 象是一条 _____________ 最大值 函数在 [a , b] 上一定能够取得 ________ 最小值 . 若 函 数 在 (a , b) 内 是 与 ________ 可导的 , 该 函 数 的 最 值 必 在 ________ ____________________ 极值点或区间端点处 取得.
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基本初等函数、导数及其应用

2.利用导数研究生活中的优化问题 3.几个注意点: ① 极值是在局部范围内讨论问题(局部 概念),最值是对整个定义域而言(整 体性的概念).

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基本初等函数、导数及其应用

②闭区间上的连续函数一定有最值,

开区间内的可导函数不一定有最值.
若有唯一的极值,则此极值必是函数

的最值.最值最多各有一个,而极值
则可能不止一个,也可能没有极值.

③如果函数不在闭区间 [a , b] 上可导 ,
则确定函数的最值时,不仅比较使该

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基本初等函数、导数及其应用

函数的导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的 点处的值.

④在解决实际应用问题时,如果函数
在区间内只有一个极值点 ,那么要根据

实际意义判断是最大值还是最小值即
可,不必再与端点的函数值进行比较.
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基本初等函数、导数及其应用

课前热身

1.函数f(x)=x3-3x(-1<x<1)(
A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,也无最小值 D.无最大值,但有最小值 答案:C

)

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基本初等函数、导数及其应用

2.(2012· 厦门调研)如果函数y=f(x)的

图象如下图,那么导函数y=f′(x)的图
象可能是( )

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基本初等函数、导数及其应用

解析:选A.如图,由

y=f(x)图象知,当x<
x1 时 ,f(x) 递增 ,故 f′(x)>0 ;在 (x1,0) 上 ,y=

f(x) 递减,故 f′(x)<0 ;在 x = 0 处 y = f(x)
的切线与x轴平行,故f′(0)=0;在(0,

x2) 上 ,y = f(x) 递增,故 f′(x)>0 ;在 x>x2
时 ,y = f(x) 递减,故 f′(x)<0. 综上可知, A项符合题意.
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基本初等函数、导数及其应用

3.(2012· 漳州质检)函数 f(x)=x+2cosx
? ? π ? ? 在区间?- ,0?上的最小值是( 2 ? ?

)

π A.- 2 π C. + 3 6
答案:A

B.2 π D. +1 3

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基本初等函数、导数及其应用

4.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常
数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函

数在[-2,2]上的最小值是________.
解析:f′(x)=6x(x-2),∵f(x)在(-

2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,
∴当x=0时,f(x)=m最大,∴m=3,

f(-2)=-37,f(2)=-5.
答案:-37
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基本初等函数、导数及其应用

5.电动自行车的耗电量 y 与速度 x 满足 1 3 39 2 的关系式为 y= x - x -40x(x>0). 为 3 2 使耗电量最小,则速度应定为________.

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基本初等函数、导数及其应用

解析:由y′=x2-39x-40=0得x=-1 或40. 当0<x<40时,y′<0;当x>40时,y′>0. 所以当x=40时,y有最小值. 答案:40

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基本初等函数、导数及其应用

考点探究讲练互动
考点突破 函数的最值
设函数 f(x)在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和 最小值的步骤:

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基本初等函数、导数及其应用

(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2) 将函数 y = f(x) 的各极值与端点处的 函数值 f(a) , f(b) 比较,其中最大的一 个是最大值,最小的一个是最小值.

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基本初等函数、导数及其应用

例1

(2010· 高考重庆卷)已知函数f(x)

=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R), g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数. (1)求f(x)的表达式; (2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间 [1,2]上的最大值与最小值.

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】 (1) 求导函数f′?x? → 列g?-x?=-g?x? → 比较系数求a,b (2) 解方程g′?x?=0 → 列出g′?x?,g?x?变化表 → 观察表得最值

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基本初等函数、导数及其应用

【解】

(1)由题意得f′(x)=3ax2+2x+

b,
因此g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2

+(b+2)x+b.
因为函数g(x)是奇函数,

所以g(-x)=-g(x),

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基本初等函数、导数及其应用

即对任意实数 x, 有 a(-x)3+(3a+1)(- x)2 + (b + 2)· ( - x) + b =- [ax3 + (3a + 1)x2+(b+2)x+b],从而 3a+1=0,b =0, 1 解得 a=- ,b=0, 3 1 3 因此 f(x)的表达式为 f(x)=- x +x2. 3

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基本初等函数、导数及其应用

1 3 (2)由(1)知 g(x)=- x +2x, 所以 g′(x) 3 =-x2+2.令 g′(x)=0,解得 x1=- 2,x2= 2,则当 x<- 2或 x> 2时, g′(x)<0 ,从而 g(x) 在区间 ( -∞,- 2], [ 2,+∞)上是减函数;当- 2 <x< 2时, g′(x)>0, 从而 g(x)在区间[- 2, 2]上是增函数.
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基本初等函数、导数及其应用

由上述讨论知, g(x)在区间 [1,2]上的最 大值与最小值只能在 x=1, 2,2 时取 5 4 2 4 得,而 g(1)= ,g( 2)= ,g(2)= , 3 3 3 因此 g(x)在区间[1,2]上的最大值为 g( 2) 4 2 4 = ,最小值为 g(2)= . 3 3

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基本初等函数、导数及其应用

【误区警示】

求 a,b 时直接由 g(x)

为奇函数得 3a+ 1= 0, b= 0,而不用 g( - x) = - g(x) . 求 最 值 时 , 不 比 较 g( 2)、 g(1)、 g(2), 直接得 g( 2)最大. 步 骤欠缺.

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变式训练 1.已知 f(x)=xln x.设实数 a>0,求函 f?x? 数 F(x)= a 在[a,2a]上的最小值. 1 解:F′(x)= (ln x+1),令 F′(x)=0 a 1 1 得 x= , 当 x∈(0, )时, F′(x)<0, F(x) e e 1 单调递减; 当 x∈( , +∞)时, F′(x)>0, e F(x)单调递增.
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基本初等函数、导数及其应用

1 (1)当 a≥ 时,F(x)在[a,2a]上单调递增, e F(x)min=F(a)=ln a; 1 1 1 1 (2)当 a< <2a, 即 <a< 时, F(x)在[a, ] e 2e e e 1 上单调递减,在 [ , 2a] 上单调递增, e 1 1 F(x)min=F( )=- ; e ea

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基本初等函数、导数及其应用

1 1 (3)当 2a≤ , 即 0<a≤ 时, F(x)在[a,2a] e 2e 上单调递减. ∴F(x)min=F(2a)=2ln 2a.

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基本初等函数、导数及其应用

导数的实际应用
(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定
要注意考虑实际问题的意义,不符合

实际意义的值应舍去.
(2)在实际问题中,有时会遇到函数在

区间内只有一个点使f′(x)=0的情形,

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基本初等函数、导数及其应用

那么不与端点值比较,也可以知道这 就是最大(小)值. (3)主要探究两类问题:①费用如何最 省;②利润如何最大问题。载体(建模 的解析式)可以是多项式函数(一般不 超过三次)、分式函数、指数函数、对 数函数等.
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例2 某电视生产厂家有 A、B 两种型

号的电视机参加家电下乡活动.若厂家 投放 A、 B 型号电视机的价值分别为 p、 q 万元,农民购买两种型号的电视机获 1 得的补贴分别为 p、mln(q+1)(m>0) 10

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基本初等函数、导数及其应用

万元.已知厂家把总价值为10万元
的A、B两种型号电视机投放市场,

且A、B两型号的电视机投放金额都
不低于1万元.

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基本初等函数、导数及其应用

2 (1)当 m= 时, 请你制订一个投放方案, 5 使得在这次活动中农民得到的补贴最多, 并求出其最大值; (2) 讨论农民得到的补贴随厂家投放 B 型号电视机金额的变化情况. ( 精确到 0.1,参考数据:ln 4≈1.4)

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】

由已知可建立农民获得

补贴的函数关系式. 2 (1)将 m= 代入后再利用导数可求其最 5 值. (2)先对 y 求导,并对 y′=0 的根分段 讨论,得出函数单调性即可说明问题.

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基本初等函数、导数及其应用

【解】 设 B 型号电视机的价值为 x 万元(1≤x≤9), 农民得到的补贴为 y 万 元.则 A 型号电视机的价值为(10-x) 万元, 由题意得: 1 y = (10 - x) + mln(x + 1) = mln(x + 1) 10 1 - x+1. 10

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基本初等函数、导数及其应用

2 2 1 (1)当 m= 时,有 y= ln(x+1)- x+1, 5 5 10 2 1 y′= - , 5?x+1? 10 由 y′=0,得 x=3. 当 x∈[1,3)时,y′>0; 当 x∈(3,9]时,y′<0.

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基本初等函数、导数及其应用

2 所以当 x=3 时,y 取得最大值,ymax= 5 ln 4-0.3+1≈1.3. 即厂家分别投放 A、B 两型号电视机 7 万元和 3 万元时, 农民得到的补贴最多, 最多补贴约 1.3 万元.

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基本初等函数、导数及其应用

m 1 (2)y′= - , x+1 10 令 y′=0,得 x=10m-1. 1≤10m-1≤9,即 0.2≤m≤1 时, x∈[1,10m-1), y′>0; x∈(10m-1,9], y′<0.

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基本初等函数、导数及其应用

当x∈[1,10m-1)时,随B型电视机投 放金额x的增加,农民得到的补贴逐渐

增加;
当x∈(10m-1,9]时,随B型电视机投

放金额x的增加,农民得到的补贴逐渐
减少.

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

实际应用中准确地确

定函数解析式,确定函数定义域是关
键.

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基本初等函数、导数及其应用

变式训练 2.统计表明,某种型号的汽车在匀速 行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶 速度 x(千米/时)的函数解析式可以表示 1 3 3 为 y= x - x+8(0<x≤120). 已 128000 80 知甲、乙两地相距 100 千米.

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基本初等函数、导数及其应用

(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶

时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,

从甲地到乙地耗油最少?最少为多少
升?

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基本初等函数、导数及其应用

解:(1)当 x=40 时,汽车从甲地到乙地 100 行驶了 =2.5 小时, 40
? ? 1 3 ? 3 × 40 - × 40 + 8 要耗油? ? ? ×2.5 128000 80 ? ?

=17.5(升). 即当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶 时,从甲地到乙地耗油 17.5 升.
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基本初等函数、导数及其应用

(2)当速度为 x 千米/时时, 汽车从甲地到 100 乙地行驶了 x 小时, 设耗油量为 h(x)升,依题意得 ? ? 100 1 3 1 2 ? ? 3 h(x) = ?128000x -80x+8? · x = x 1280 ? ? 800 15 + x - (0<x≤120), 4 x3-803 x 800 h′(x) = - = 2 2 640 x 640x (0<x≤120).
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基本初等函数、导数及其应用

令h′(x)=0,得x=80. 当x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函 数; 当x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增 函数. 所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80) =11.25.
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基本初等函数、导数及其应用

因为h(x)在(0,120]上只有一个极值, 所以它是最小值. 即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶 时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25升.

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基本初等函数、导数及其应用

导数与不等式
例3 (2010· 高考安徽卷 ) 设 a 为实数,

函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当a>ln 2-1且x>0时,ex>x2- 2ax+1.

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】

(2)中构造函数g(x)=ex

-x2+2ax-1,转化为求证g(x)恒大于 零.

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基本初等函数、导数及其应用

【解】

由f(x)=ex-2x+2a,

x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.
令f′(x)=0,得x=ln 2.于是当x变化 ,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

(-∞, x ln 2) f′ (x ) -
f(x )

ln 2

0

(ln 2,+ ∞) +

2(1-ln 单调递减 单调递增 2+ a)
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基本初等函数、导数及其应用

故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2), 单调递增区间是(ln 2,+∞),f(x)在x =ln 2处取得极小值,极小值为f(ln 2) =eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a). (2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1, x∈R, 于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
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基本初等函数、导数及其应用

由(1)知当a>ln 2-1时,g′(x)取最小值 为g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0. 于是对任意x∈R,都有g′(x)>0, 所以g(x)在R内单调递增. 于是当a>ln 2-1时,对任意x∈(0,+ ∞),都有g(x)>g(0).

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基本初等函数、导数及其应用

而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞), 都有g(x)>0. 即ex-x2+2ax-1>0, 故ex>x2-2ax+1.

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

对于类似本题中不等

式证明而言,我们可以从所证不等式 的结构和特点出发,结合已有知识,

构造一个新的函数,再借助导数确定
函数的单调性,利用单调性实现问题

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基本初等函数、导数及其应用

的转化,从而使不等式得到证明.用 导数方法证明不等式,其步骤一般是: 构造可导函数——研究单调性或最值 ——得出不等关系——整理得出结论.

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基本初等函数、导数及其应用

方法感悟
方法技巧 函数的最值与极值的辨析 最值是一个整体性概念,是指函数在 给定区间(或定义域)内所有函数值中 最大的值与最小的值,在求函数的最 值时,要注意:

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基本初等函数、导数及其应用

最值与极值的区别:极值是指某一点
附近函数值的比较.因此,同一函数

在某一点的极大(小)值,可以比另一
点的极小(大)值小(大);而最大、最

小值是指闭区间[a,b]上所有函数值
的比较,因而在一般情况下,两者是有

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基本初等函数、导数及其应用

区别的,极大(小)值不一定是最大(小)

值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,
但如果连续函数在区间(a,b)内只有

一个极值,那么极大值就是最大值,
极小值就是最小值.

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基本初等函数、导数及其应用

失误防范 1 .已知函数 f(x) 是增函数 ( 或减函数 ) 求参数的取值范围时,应令 f′(x)≥0( 或 f′(x)≤0)恒成立,解出参数的取值 范围,然后检验参数的值能否使f′(x) 恒等于 0 ,若能恒等于 0 ,则参数的这 个值应舍去,若f′(x)不恒为0,则由

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基本初等函数、导数及其应用

f′(x)≥0( 或 f′(x)≤0) 恒成立解出的

参数的取值范围确定.
2 .求函数最值时,要注意极值、端

点值的比较.
3 .要强化导数的工具性作用 ,在处理

方程的根、不等式恒成立等问题时 ,
注意导数的应用.
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基本初等函数、导数及其应用

考向瞭望把脉高考
命题预测 从近几年的高考试题来看,利用导数

来研究函数的最值及生活中优化问题
成为高考的热点,试题大多有难度,

注意的是不等式的证明按考纲的说明
应弱化,但会以另一种形式来体现.
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基本初等函数、导数及其应用

考查时多与函数的单调性、极值结合 命题,考生学会做综合题的能力. 预测2013年福建高考仍将以利用导数 研究函数的单调性、极值与最值结合 题目为主要考向,同时也应注意利用 导数研究生活中的优化问题.

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规范解答


(本题满分14分)(2011· 高考福建

卷)已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)

=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=
2.71828…是自然对数的底数).

(1)求实数b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
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基本初等函数、导数及其应用

(3)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M),使得对每一个 t∈[m,M],直 线 y=t 与曲线
? ?1 ?? ? ?? , e y=f(x)? x ∈ ? ? ??都有公共 e ? ? ??

点?若存在,求出最小的实数 m 和最大 的实数 M;若不存在,说明理由.

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【解】

(1)由f(e)=2得b=2.4分

(2)由(1)可得f(x)=-ax+2+axlnx. 从而f′(x)=alnx.因为a≠0,故: ①当a>0时,由f′(x)>0得x>1,由 f′(x)<0得0<x<1;

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②当a<0时,由f′(x)>0得0<x<1,由 f′(x)<0得x>1. 综上,当a>0时,函数f(x)的单调递增 区间为(1,+∞),单调递减区间为 (0,1); 当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为 (0,1),单调递减区间为(1,+∞).8分
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基本初等函数、导数及其应用

(3)当 a=1 时, f(x)=-x+2+xlnx, f′(x) =lnx. 由(2)可得,当 x
?1 ? ? 在区间?e ,e? ?内变化时, ? ?

f′(x),f(x)的变化情况如下表:

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x f′(x) f(x)

1 e

?1 ? ? ? , 1 ? ? ?e ?

1

(1,e) e

- 0 + 2 单调递 极小 单调 2- e 减 值 1 递增

2

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基本初等函数、导数及其应用

? ?1 ?? 2 ? ? ? 又 2- <2,所以函数 f(x)?x∈? ,e? ??的值域为 e e ? ? ?? [1,2].10 分

?m=1, 据此可得,若? 相对每一个 t∈[m , ?M=2

M], 直线 y=t 与曲线
? ?1 ?? ? ? ? y=f(x)?x∈? ,e? ??都有公共 ? ?e ??

点;并且对每一个 t∈(-∞,m)∪(M,+∞)

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基本初等函数、导数及其应用

直线 y=t 与曲线 公共点.

? ?1 ?? ? ? ?? y=f(x)?x∈?e,e??都没有 ? ? ??

综上,当 a=1 时,存在最小的实数 m=1, 最大的实数 M=2, 使得对每一个 t∈[m,M],直线 y=t 与曲 线
? ?1 ?? ? ? ? y=f(x)?x∈?e,e? ??都有公共点.14 ? ? ??



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基本初等函数、导数及其应用

知能演练轻松闯关

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第二章基本初等函数、导数及其应用第13课时课后达标检测

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第二章基本初等函数、导数及其应用

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第二章基本初等函数、导数及其应用第10课时课后达标检测

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第二章基本初等函数、导数及其应用第11课时课后达标检测

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2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 2 章基本初等 函数导数及其应用》 (第 13 课时) (新人教 A 版) 一、选择题 3π 1.与定积分∫0 1-...

第二章基本初等函数、导数及其应用第3课时课后达标检测

[基础达标] 一、选择题 1.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( ) 2 A.f(x)=3-x B.f(x)=x -3x 1 C.f(x)=- D.f(x)=-|x| x+1...