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2008-2014年广东理科高考数列题


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2008-2014 年广东理科数列高考题 2008 年
记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? A.16 B.24 C.36

1 , S4 ? 20 ,则 S6 ? ( ) 2 D.48

设 p, q 为 实 数 , ?,? 是 方 程 x2 ?

px? q ?0 的 两 个 实 根 , 数 列 {xn } 满 足 x1 ? p , x2 ? p2 ? q , 4, …) . (1)证明: ? ? ? ? p , ?? ? q ; (2)求数列 {xn } 的通项公式; xn ? pxn?1 ? qxn?2 ( n ? 3, 1 (3)若 p ? 1 , q ? ,求 {xn } 的前 n 项和 Sn . 4

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2009 年
已 知 等 比 数 列 {an } 满 足 an ? 0 n ,?

1 , 2, , 且 a5 ? a n 2 ?

5

? 22n ( n ? 3, ) 则 当 n ?1 时 ,

l o2 g a 1 ?
A. n(2n ? 1)
w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

l o a g ?3 2

?

n?2

a l o g 2?
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

1

B. (n ? 1)2

C. n2

D. (n ? 1)2

已知曲线 Cn : x2 ? 2nx ? y2 ? 0(n ? 1, 2, ) .从点 P(?1, 0) 向曲线 Cn 引斜率为 kn (kn ? 0) 的切线 ln ,切

点为 Pn ( xn , yn ) . (1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?

? x2 n?1 ?

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn

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2010 年
5 { a } a ? a ? 2 a a a 1 , 且 4 与2 7 的等差中项为 4 ,则 S5 = 已知 n 为等比数列,Sn是它的前n项和。若 2 3
A.35 B.33 C.31 D.29

2011 年
11.等差数列 {an } 前 9 项的和等于前 4 项的和。若 a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 ,则 k=____________; 20. (本小题共 14 分)设 b>0,数列 ?an ? 满足 a1=b, an ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n, an ?
b n ?1 ?1 2n ?1

nban?1 (n ? 2) . an ?1 ? 2n ? 2

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2012
2 已知递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a3 ? a2 ? 4 ,则 an ?



设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1, n ? N * ,且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列。 (1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有
1 1 ? ? a1 a2 ? 1 3 ? 。 an 2

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2013
在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? _____. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有
1 1 ? ? a1 a2 ? 1 7 ? . an 4
2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

.

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2014 年
若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e 5 ,则 ln a1 ? ln a2 ? 设数列 ?an ? 的前 n 和为 Sn ,满足 Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n, n ? N * ,且 S3 ? 15 . (1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;

? ln a20 ?

.

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2008
【解析】 S 4 ? 2 ? 6d ? 20 ,? d ? 3 ,故 S 6 ? 3 ? 15d ? 48 ,答案 D 【解析】 (1)由求根公式,不妨设 ? ? ? ,得 ? ?

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ,? ? 2 2

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ? ? p , ?? ? ? ?q 2 2 2 2 ?s ? t ? p (2)设 xn ? sxn?1 ? t ( xn?1 ? sxn?2 ) ,则 xn ? (s ? t ) xn?1 ? stxn?2 ,由 xn ? pxn?1 ? qxn?2 得 ? , ? st ? q 消去 t ,得 s 2 ? ps ? q ? 0 ,? s 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的根,由题意可知, s1 ? ? , s2 ? ? ?? ? ? ?
? s1 ? ? ? s2 ? ? ?s ? t ? p 或? ①当 ? ? ? 时,此时方程组 ? 的解记为 ? ? t1 ? ? ? t2 ? ? ? st ? q ? xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ), xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ),

即 ?xn ? t1xn?1? 、 ?xn ? t2 xn?1? 分别是公比为 s1 ? ? 、 s2 ? ? 的等比数列, 由等比数列性质可得 xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 , xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 , 两式相减,得 (? ? ? ) xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2

x2 ? p2 ? q, x1 ? p ,? x2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? , x1 ? ? ? ?
?( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n , ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? n?2 ? ? n

? n ?? n ? n?1 ? ? n?1 ,? xn ? ? ?? ? ?? 2 2 ②当 ? ? ? 时,即方程 x ? px ? q ? 0 有重根,? p ? 4q ? 0 , 即 (s ? t )2 ? 4st ? 0 ,得 (s ? t )2 ? 0,? s ? t ,不妨设 s ? t ? ? ,由①可知 xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 , ? ? ? ,? xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? n x x 1 x x 1 ? 1 ,即 nn ? nn? ?1 即? xn ? ? xn?1 ? ? n ,等式两边同时除以 ? n ,得 nn ? nn? ?1 ? ? ? ? ?1 x x x 2? ? n ? 1 ? n ? 1 ,? xn ? n? n ? ? n ? 数列 { nn } 是以 1 为公差的等差数列,? nn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? ? ? ? ? n ?1 n ?1 ? ? ?? , (? ? ? ) ? 综上所述, xn ? ? ? ? ? ? n? n ? ? n , (? ? ? ) ? 1 1 1 (3)把 p ? 1 , q ? 代入 x2 ? px ? q ? 0 ,得 x 2 ? x ? ? 0 ,解得 ? ? ? ? 4 4 2 1 1 ? xn ? n ( ) n ? ( ) n 2 2
?(? ? ? ) xn?1 ? ? ? ? ,即? xn?1 ?
n n

1 1 1 ? ? 1 1 1 1 ? ? 1 Sn ? ? ( ) ? ( ) 2 ? ( )3 ? ... ? ( ) n ? ? ? ( ) ? 2 ( ) 2 ? 3 ( )3 ? ... ? n ( ) n ? 2 2 2 ? ? 2 2 2 2 ? ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? 1 ? ( )n ? ? ( ) ? 2 ( ) 2 ? 3 ( )3 ? ... ? n ( ) n ? ? 1 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 3 ? ( n ? 3)( ) n 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 2

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2009
2 【 解 析 】 由 a5 ? an 22n ( n ? 3得 ) an ? 2 2 n , a n ? 0 , 则 an ? 2 n , 2? 5?

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ?

log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,选 C.
2 2 2 解: ( 1 ) 设 直 线 ln : y ? k n ( x ? 1) ,联立 x 2 ? 2nx ? y 2 ? 0 得 (1 ? k n ) x 2 ? (2k n ? 2n) x ? k n ? 0 ,则

2 2 2 ? ? (2k n ? 2n) 2 ? 4(1 ? k n )k n ? 0 ,∴ k n ?

n 2n ? 1

(?

n 2n ? 1

舍去)

2 xn ?

2 kn n n2 n 2n ? 1 ? , 即 xn ? , ∴ y n ? k n ( xn ? 1) ? 2 2 n ?1 n ?1 1 ? k n (n ? 1)

n 1 ? xn n ?1 ? ? ( 2) 证 明 : ∵ n 1 ? xn 1? n ?1 1?
x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2n?1 ?

1 2n ? 1

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 ? ????? ? ? ????? ? 2 4 2n 3 5 2n ? 1

1 2n ? 1

∴ x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2 n?1 ?

1 ? xn 1 ? xn

由于

xn 1 ? xn 1 ,可令函数 f ( x) ? x ? 2 sin x ,则 f ' ( x) ? 1 ? 2 cosx ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ? ? yn 2n ? 1 1 ? xn

cos x ?

? ? 2 ,给定区间 (0, ) ,则有 f ' ( x) ? 0 ,则函数 f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,∴ f ( x) ? f (0) ? 0 , 4 4 2 ?
1 1 ? ? ? , 2n ? 1 3 4

即 x ? 2 sin x 在 (0, ) 恒成立,又 0 ? 4 则有

1 ? xn x 1 1 ,即 ? 2 sin n . ? 2 sin 2n ? 1 2n ? 1 1 ? xn yn

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

2011
答案:10; 解(1)法一:
an ban?1 n a ? 2(n ? 1) 1 2 n ? 1 ,得 ? n?1 , ? ? ? ? n an ?1 ? 2(n ? 1) an ban?1 b b an?1

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2 1 n ? bn ,则 bn ? ? bn ?1 ? (n ? 2) , b b an 2 2 2 ? (bn ?1 ? ? ) ,则 bn ? ? bn ?1 ? ? ( ? 1) , b b b

设 bn ? ? ?

2 1 1 1 2 1 ? ? (bn ?1 ? ) (n ? 2) , 令 ? ( ? 1) ? ,得 ? ? ,? bn ? b b 2?b 2?b b 2?b
知 bn ?
? bn ?

1 1 1 1 2 ? (b1 ? ) ? ( ) n ?1 ,又 b1 ? , 是等比数列,? bn ? b 2?b 2?b 2?b b
1 2 1 1 2n ? b n nbn (2 ? b) ? ( )n ? ? ? ? a ? , . n 2?b b 2?b 2?b bn 2n ? b n 2b2 2b2 (b ? 2) 3b3 3b3 (b ? 2) ? 2 a ? ? , , 2 b?2 b ? 22 b 2 ? 2b ? 4 b3 ? 23

法二: a1 ? b , a2 ?

nb n (b ? 2) 猜想 an ? n ,下面用数学归纳法证明: b ? 2n

①当 n ? 1 时,猜想显然成立;
kb k (b ? 2) ②假设当 n ? k 时, ak ? k ,则 b ? 2k

ak ?1 ?

(k ? 1)b ? ak (k ? 1)b ? kbk (b ? 2) (k ? 1)bk ?1 (b ? 2) ? k ? , ak ? 2(n ? 1) kb (b ? 2) ? 2k ? (bk ? 2k ) bk ?1 ? 2k ?1
nb n (b ? 2) . b n ? 2n

所以当 n ? k ? 1 时,猜想成立,由①②知, ?n ? N * , an ? (2) b2n ? 22n ? 2 b2n ? 22n ? 2n?1 bn ,

b2n?1 ? 2 ? b ? 22n?1 ? 2 b2n ? 22n ? 2n?1 bn ,
, b n ?1 ? 2n ?1 ? b n ?1 ? 2n ?1 ? 2 b 2 n ? 22 n ? 2n ?1 b n ,以上 n 个式子相加得
b2n ? b2 n?1 ? 2 ? ? bn?1 ? 2n?1 ? bn?1 ? 2n?1 ? ?b ? 22n?1 ? 22n ? n ? 2n?1 bn ,

n ? 2n?1 bn (b ? 2) [(b2n ? b2n?1 ? 2 ? an ? n?1 n ? 2 (b ? 2n )

? b ? 22n?1 ? 22n ) ? bn ? 2n ](b ? 2) 2n?1 (bn ? 2n )

?
?

(b2 n ? b2 n?1 ? 2 ?

? b ? 22n?1 ? 22 n )(b ? 2) ? bn ? 2n (b ? 2) 2n?1 (bn ? 2n )

(b2n?1 ? 22n?1 ) ? bn?1 ? 2n ? bn ? 2n?1 2n?1 (bn ? 2n )

?

(b2n?1 ? bn?1 ? 2n ) ? (bn ? 2n?1 ? 22n?1 ) b n ?1 ? n ?1 ? 1 . 2 2n?1 (bn ? 2n )

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2012
答案: 2n ? 1
19. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1, n ? N * ,且 a1 , a2 ? 5, a3

?2a1 ? a2 ? 22 ? 1 ? a1 ? 1 ? ? 3 解: (1)由题 ?2(a1 ? a2 ) ? a3 ? 2 ? 1,解得 ? a2 ? 5 ,故 a 1 ? 1. ? a ? 19 ?2(a ? 5) ? a ? a ? 3 1 3 ? 2
(2)当 n ? 1 时, a1 ? 1 ; 当 n ? 2 时, 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 ①
2Sn?1 ? an ? 2n ? 1



①-②得 2an ? an?1 ? an ? 2n ,整理得 3an ? an ?1 ? 2n ,

an ?1 3 a 3 ?a ? ?1 ? ( n ? 1) ,故 ? n ? 1?( n ?2) 为公比为 n ?1 n n 2 2 2 2 ?2 ?
n

的等比数列, 首项为

a a2 9 9 3 ?1 ? , ?1 ? ( ?) 故 n 2 n 2 4 2 4 2

n?2

3 (? ) 2

, 经验证当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 3 ? 2. an ? 3n ? 2n ,

n n * 综上, an ? 3 ? 2 (n ? N ) 。

(3)当 n ? 3 时
1 2 an ? 3n ? 2n ? (1 ? 2)n ? 2n ? 1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? 1 2 ? 1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? n?1 ? Cn ? 2n?1 ? 2n ? 2n

n?1 2 ? Cn ? 2n?1 ? Cn ? 22 ? 2n(n ?1)

又因为 a2 ? 5 ? 2 ? 2 ? (2 ?1) ,所以, an ? 2n(n ?1), n ? 2 。 所以,
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an 2n(n ? 1) 2 n ? 1 n 1 1 1 ? ? ? a1 a2 a3 ? 1 1 1 1 1 ? 1 ? (1 ? ? ? ? an 2 2 3 4 ? 1 1 1 1 3 ? ) ? 1 ? (1 ? ) ? . n ?1 n 2 n 2

所以,

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2013
1. 【解析】 20 ;依题意 2a1 ? 9d ? 10 ,所以 3a5 ? a7 ? 3? a1 ? 4d ? ? a1 ? 6d ? 4a1 ?18d ? 20 . 或: 3a5 ? a7 ? 2 ? a3 ? a8 ? ? 20
1 2 2. 【解析】(Ⅰ) 依题意, 2 S1 ? a2 ? ? 1 ? ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 3 3 1 2 (Ⅱ) 当 n ? 2 时, 2S n ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n , 3 3 1 2 3 2 2S n ?1 ? ? n ? 1? an ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3 1 2 两式相减得 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? 3n 2 ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? 3 3 a a a a 整理得 ? n ? 1? an ? nan?1 ? n ? n ? 1? ,即 n ?1 ? n ? 1 ,又 2 ? 1 ? 1 n ?1 n 2 1
a ?a ? 故数列 ? n ? 是首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列, 1 ?n? a 所以 n ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ,所以 an ? n2 . n 1 7 1 1 1 5 7 (Ⅲ) 当 n ? 1 时, ? 1 ? ;当 n ? 2 时, ? ? 1 ? ? ? ; a1 4 a1 a2 4 4 4

当 n ? 3 时,

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ,此时 an n ? n ? 1? n n ? 1 n
? 1 1 1 1 ? 1? ? 2 ? 2 ? an 4 3 4 ? 1 1 ?1 1? ?1 1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 n 4 ? 2 3? ?3 4? 1? ? 1 ?? ? ? ? n ?1 n ?

1 1 ? ? a1 a2
? 1?

1 1 1 7 1 7 ? ? ? ? ? 4 2 n 4 n 4

综上,对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? an 4

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2014
答案 : 50 提示: a10 a11 ? a9 a12 ,? a10 a11 ? e5 , 设S ? ln a1 ? ln a2 ?
解 : (1) a1 ? S1 ? 2a2 ? 3 ?12 ? 4 ?1 ? 2a2 ? 7
2

? ln a20 , 则S ? ln a20 ? ln a19 ?

? ln a1 ,

? 2S ? 20 ln a1a20 ? 20 ln a10 a11 ? 20 ln e5 ? 100 ,? S ? 50.
① ② a1 +a2 =S 2 ? 4a3 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? 4( S3 ? a1 ? a2 ) ? 20 ? 4(15 ? a1 ? a2 ) ? 20,? a1 +a2 ? 8 ?a1 ? 3 联立①, ②解得 ? ,? a3 ? S3 ? a1 ? a2 ? 15 ? 8 ? 7, ?a2 ? 5 综上a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 7, (2) S n ? 2nan ?1 ? 3n 2 ? 4n ③ ? ④并整理得:an ?1 ? ③ ④ ?当n ? 2时, S n ?1 ? 2(n ? 1)an ? 3(n ? 1) 2 ? 4(n ? 1) 2n ? 1 6n ? 1 an ? , 2n 2n 由(1)猜想an ? 2n ? 1,以下用数学归纳法证明 : (i )由(1)知, 当n ? 1时, a1 ? 3 ? 2 ?1 ? 1, 猜想成立; (ii )假设当n ? k时, 猜想成立, 即ak ? 2k ? 1, 则当n ? k ? 1时, ak ?1 ? 2k ? 1 6k ? 1 ak ? 2k 2k 2k ? 1 1 ? ? (2k ? 1) ? 3 ? 2k 2k 2 4k ? 1 1 ? ?3? 2k 2k ? 2k ? 3 ? 2(k ? 1) ? 1 这就是说n ? k ? 1时, 猜想也成立, 从而对一切n ? N ? , an ? 2n ? 1.

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