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1.1分类计数原理和分步计数原理(1)


? 1.1分类加法计数原理与分步 乘法计数原理(1)

问题1 某家庭欲在五一期间从甲地到乙地进行 自费旅游,可以乘火车,也可以乘汽车,一天 中,火车有3班,汽车有2班,那么一天中,乘 坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同 的走法?
因为一天中乘火车有3种走法, 乘汽车有2种走法,每一种走法都 可以从甲地到乙地,所以共有

>火车3 火车2 火车1


汽车1 汽车2

3 + 2 = 5种不同的走法。

问题2
用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号,总共能够编出多 少种不同的号码? 给座位编号有两类方法: 分析: 第1类方法:用英文字母编号,有26种方法; 第2类方法:用阿拉伯数字编号,有10种方法。

所以,给教室里的座位编号,总共能够编出

26+10=36种不同的号码.

一、 1、分类加法计数原理 完成一件事,有两类方案,在第1类方案中有 m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方 法,那么完成这件事共有

N= m+ n种不同的方法.

例1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下: A大学 生物学 化学 医学 物理学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学

工程学 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?
解:这名同学在A大学中有5种专业选择,在B大学中有4种专业选择。
根据分类加法计数原理:这名同学可能的专业选择共有5+4=9种。

探究
问题. 若C大学有新闻学、金融学、人力资
源学也是自己感兴趣的强项专业,他有多 少种选择?

解: 5+ 4 + 3 = 9 种方法。

? 1.如果完成一件事有三类不同方案,在第1 类方案中有m1种不同的方法,在第2类方 案中有m2种不同的方法,在第3类方案中 有m3种不同的方法.那么完成这件事有多少 m1+m2+m3 不同的方法? ? 2.如果完成一件事有n类不同方案,在每一 类中都有若干种不同的方法,那么应当如 何计数呢? m1+m2+m3+…+mn

2、知识的推广:
分类加法计数原理 完成一件事,有n类办法,在第1类 办法中有 m1种不同方法,在第2类办法中有m2种不同 方法,……在第n类办法中有 mn 种不同方法,那么完 成这件事共有: N ? m1 ? m2 ? ?? ? mn 种不同的 方法。
对于分类加法计数原理,我们应注意以下几点: (1 )从分类加法计数原理中可以看出,各类之间相互独立, 都能完成这件事,且各类方法数相加,所以分类计数原理又称加 法原理; (2 )分类时,首先要根据问题的特点确定一个分类的标准, 然后在确定的分类标准下进行分类; (3 )完成这件事的任何一种方法必属于某一类,并且分别属 于不同两类的两种方法都是不同的方法。

问题3 后来听说丙地也是旅游胜地,于是改变 行程,先从甲地到乙地,再于次日从乙地到丙 地,一天中从乙地到丙地,有飞机2班,轮船有 2班,那么两天中,从甲地到丙地共有多少种不 同的走法? 飞机2
火车3


汽车2


轮船2



4+4+4+4+4+4=4×5=20

思考
用前6个大写英文字母和1~9九个阿 拉伯数字,以A1,A2,· · · ,B1, B2,· · · 的方 式给教室里的座位编号,总共能编出多少 个不同的号码?

字母

数字
1 2 3 4

得到的号码
A1 A2

A3
A4

A

5
6

A5
A6

7
树形图 8

A7
A8

9

A9

分析:由于前6个英文字母中的任意一个都能与9 个数字中的任何一个组成一个号码,而且它们 各个不同,因此共有6×9=54个不同的号码。

二、 1、分步乘法计数原理 完成一件事,需要分成两个步骤。做第1步有m 种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成 这件事共有

N= m×n种不同的方法

例2.设某班有男生30名,女生24名。现要从中选出男、 女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不同的 选法?

分析: 选出一组参赛代表,可以分两个步骤。 第1步选男生,第2步选女生。 第2步,从24名女生中选出1人,有24种方法。 根据分步乘法计数原理,共有 32×24=720种不同的选法。

解: 第1步,从30名男生中选出1人,有30种方法;

探究某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜,2种汤。现要配 成一荤一素一汤的套餐,问可以配多少种不同的种类?

? 1.如果完成一件事需要三个步骤,做第1 步有m1种不同的方法,做第2步有m2种 不同的方法,做第3步有m3种不同的方法, 那么完成这件事有多少种不同的方法? m1×m2×m3 ? 2.如果完成一件事情需要n个步骤,做每 一步中都有若干种不同方法,那么应当 如何计数呢? m1×m2×m3×…×mn

2、知识的推广:
分步乘法计数原理完成一件事,需要分n个步骤,做第 1步有 m1种不同方法,做第2步有m2种不同方法,…… 做第n步有 mn 种不同方法,那么完成这件事共有

种不同的方法。

N ? m1 ? m2 ? ??? mn

对于分步乘法计数原理,我们也应注意以下几点:

( 1 )分步乘法计数原理与“分步”有关,各个步骤相互依
存,只有各个步骤完成了,这件事才算完成,且各步骤方法数相 乘,所以分步乘法计数原理又称乘法原理;

(2)分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准;
( 3 )分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完 成n个步骤后这件事才算完成。

例3 、 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同 的文艺书,第3层放有2本不同的体育书。 ⑴ 从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? ⑵ 从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法? 解:⑴ 从从书架上任取1本书,有3类办法:第1类办法是从第 1层取1本计算机书,有4种方法;第2类办法是从第2层取1本文艺 书,有3种方法;第3类办法是从第3层取1本体育书,有2种方法 。 根据分类加法计数原理,不同的取法种数是 N ? m1 ? m2 ? m3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 9(种) ⑵ 从书架的第1、2、3层各取1本书,可以分3个步骤:第1步从 第1层取1本计算机书,有4种方法;第2步从第2层取1本文艺书, 有3种方法;第3步从第3层取1本体育书,有2种方法 。根据分步 乘法计数原理,不同的取法种数是 N ? m1 ? m2 ? m3 ? 4 ? 3? 2 ? 24(种)
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点评:要正确分类,合理分步。分类用加法,分步用乘法。

例4 要从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2 幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问 共有多少种不同的挂法?
解:从4幅画中选出2幅挂在左、右两边墙上,可以分两 个步骤完成:第1步,从4幅画中选1幅挂在左边墙上, 有4种选法;第2步,从剩下的3幅画中选1幅挂在右边墙 上,有3种选法.根据分步乘法计数原理,不同挂法的种 数是 N=4×3=12 左边墙 右边墙

4种

3种

12种挂法可以表示如下: 左边 得到的挂法 右边
甲 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 左甲右乙 左甲右丙 左甲右丁 左乙右甲 左乙右丙 左乙右丁 左丙右甲 左丙右乙





左丙右丁
左丁右甲 左丁右乙 左丁右丙



甲 乙 丙

例4 要从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2 幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问 共有多少种不同的挂法?
思考 若还需要再选1幅画挂在在前面墙上的 指定位置,共有多少种不同的挂法?
左边墙 右边墙 前面墙

4种

3种

2种

N=4 × 3 × 2=24

左边

右边


前边
丙 丁

得到的挂法
左甲右乙前丙 左甲右乙前丁 左甲右丙前乙


甲 丙 丁

左甲右丙前丁
左甲右丁前乙


丁 丙

左甲右丁前丙

……

三、分类加法计数与分步乘法计数原理的区别和联系: 加法原理 乘法原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是 关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法,关键词是“分类” 步骤,关键词是“分步”

联系
区别一

区别二

每一步得到的只是中间结果, 每类办法中的任何一种 任何一步都不能独立完成 方法都能独立完成 这件事情,缺少任何一步也 这件事情。 不能完成这件事情,只有每 个步骤完成了,才能完成这 件事情。

区别三

各类办法是互斥的、 独立的

各步之间是相关联的

点评: 我们可以把加法原理看成“并联电路”;乘法 原理看成“串联电路”. 如图:
m
1

A

m2 …… m
n

B A
m1 m2 …... mn

B

四、课堂练习:
1、课本 P6 练习No.1、2、3; 课堂练习2: 1、一个口袋内装有5个小球,另一个口袋内装有 4个小球,所有这些小球的颜色互不相同,从两 个口袋内任取一个小球,共有 9 种不同的取法. 2、由1至5这5个数字可以组成 字的三位数.

60

个没有重复数

3、有3封信有4个不同的邮箱,则有多少种不同的 投递方式?64

N=4×4×4=64.

4、有不同的中文书7本,不同的英文书5本,不 同的日文书4本,现要从中取不同文字的书两本, 有 种不同的取法 . 83

N=7×5+7×4+5×4=83.

五、课堂小结:
1.知识收获:分类加法计数原理和分步乘法计数
原理,以及它们的区别和联系。完成一件事有多少种不 同的方法,先看完成这件事情的一种方法是怎样的,是 要分几类来完成,还是可以分几步来完成,从而判断是 用分类计数原理还是用分步计数原理也就不难了,但有 些较复杂的问题可能不是简单的“分类”或“分步”就 可以解决的,而要把两者结合起来考虑。在“分类”或 “分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不 遗漏. 2.方法收获:分类讨论思想,化归思想。 3.思维收获:抽象概括问题的能力。

何时用加法原理、乘法原理呢?
加法原理 完成一件事情有n类方法,若每一类方 法中的任何一种方法均能将这件事情 从头至尾完成. 分类要做到“不重不漏”

乘法原理 完成一件事情有n个步骤,若每一步的 任何一种方法只能完成这件事的一部 分,并且必须且只需完成互相独立的 这n步后,才能完成这件事. 分步要做到“步骤完整”

练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的 密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的 密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。

答:首位数字不为0的密码数是 N =9×10×10 = 9×102 种, 首位数字是0的密码数是 N = 1×10×10 = 102 种。 由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首 位数字是0的密码数之和等于密码总数。

问: 若设置四位、五位、六位、…、十位等 密码,密码数分别有多少种?
答:它们的密码种数依次是 104 , 105, 106, …… 种。

练习 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种?

练习 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种? 解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四 步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种 数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。

练习 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种?
问: 若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢?

答:它们的涂色方案种 数分别是 0, 4×3×2×2 = 48, 5×4×3×3 = 180 种。

如图,该电路 从A到B共有多 少条不同的线 路可通电?

A

B

分类完成

分步完成

解: 从总体上看由A到B的通电线路可分二类, 第一类, m1 = 4 条 第二类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据加法原理, 从A到B共有 N = 4 + 4 = 8 条不同的线路可通电.

点评:
加法原理看成“并联电路”;
m1 A m2 …… mn B

乘法原理看成“串联电路”
A m1 m2 …... mn B

练习 如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点 爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?
D1 A1 D A B B1 C1

C

解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶 点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完 成,所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近 路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。
D1

C1 B1

A1
D A

C B


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