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1.3.3函数的最大(小)值与导数(高中数学人教A选修2-2).ppt


1.3.3函数的最大 (小)值与导数
高二数学 选修2-2

第三章

导数及其应用

一、知识回顾:
函数极值的定义
函 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 数 极 值 与 求极值的步骤:1.求导,2.求极值点,3.列表,4.求极值 导 数
y y<

br />
函数极值的求法
必要条件

? ?
o
x0

?
x

?
x0

o

x

设 f ( x )在点 x0 处存在导数,且在 x0 ' 处取得极值,那么必定有 f ( x0 ) ? 0.

函数极值的判定定理
x
f ’(x)

x<a

x=a

x>a

0 + 极大值和极小值 极大值点和极小值点 单调 单调 统称为极值 f(x) 统称为极值点 极小值 递减 递增 x x<b + 单调 递增 x=b 0 极大值 x>b -

f(b) y

f ’(x) f(x)

a o b

x y=f(x)

单调 f(a) 递减

结合课本练习思考
极大值一定比极小值大吗?
y
y ? f ( x)

a

x1

o

极 大 值
x2
x3

x4

极 小 值

极 小 值
x5 x6

b

x

结论:不一定

极值是函数的局部性概念

二、新课引入
在某些问题中,往往关心的是函数在 整个定义域区间上,哪个值最大或最小的 问题,这就是我们通常所说的最值问题. 导数的应用之三:求函数最值.

函数最值的概念
?定义:可导函数 f ( x)

在闭区间 [a,b]上所有点处的函数值中最大 (或最小)值,叫做函数 f ( x) 的 最大(或最小)值。 ?一般地,在闭区间上连续的函数 f ( x) 在[a,b]上必有最大值与最小值。
举例说明

图1
y ? f ( x)

y

函数y=f(x)在区间[a,b]上 最大值是f (a), 最小值是f (b).

a

o

b

x

单调函数的最大值和最小值容易被找到。

图2

y
y ? f ( x)

a x1 x2 o x3
函数y=f (x)在区间[a,b]上

x4

x5

b

x

最大值是f (x3), 最小值是f (x4).

观察下列图形,你能找出函数的最值吗?

x ? (a, b) 在开区间内 的连续函数 不一定有最 大值与最小 值.
在闭区间 x ? [a, b] 上的连续函 数必有最大 值与最小值

y

因此:该函数没 有最值。 y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

y f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)
y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

如何求出函数在[a,b]上的最值?
y
y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

一般的如果在区间,[a,b]上函数y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线,那么它 必有最大值和最小值。

观察右边一个定义在 区间[a,b]上的函数 y=f(x)的图象:

y

y=f(x)

a

x1

o

X2

X3

b

x

f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值,_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ,最小值 大值,在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 是_______
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下,怎 样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?

观察极值与最值的关系:

y
y ? f ( x)

a

x1

o

x2

x3

x4

x5

x6

b

x

问:最大值与最小值可能在何处取得? 怎样求最大值与最小值?

例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1,5]内 的最大值和最小值. 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方,利用 二次函数单调性处理

例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1,5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0,即2x-4=0, 得x=2。 x 1 ( 1, 2) 2 ( 2, 5) 5
y
'

3

0 2

+
11

y

故函数f(x) 在区间[1,5]内有极小值为2, 最大值为11,最小值为2

求函数在闭区间内的最值的步骤
(1) 求出函数 y = f (x)在(a , b)内的全部驻点和
驻点处的函数值;

(2) 求出区间端点处的函数值;
(3) 比较以上各函数值,其中最大的就是函数 的最大值,最小的就是函数的最小值。

题型:求函数的最大值和最小值 例1:求函数f ( x) ? 6 ?12x ? x3在??3,上的最大值与最小值 3? .
解:f ' ? x ? ? 12 ? 3x2
'

x ???3,3?
1、求出所有导数为0的点;

令f ? x ? ? 0, 解得:x ? 2或x ? ?2
又f (2) ? 22,f (?2) ? ?10,f (3) ? 15, f (?3) ? ?3

?函数f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3在? ?3, 3? 上的 最大值为22,最小值为 ? 10.

2、计算;

3、比较确定最值。

题型:求函数的最大值和最小值
例2:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大 值与最小值.
3 ? y ? 4 x ? 4 x. 解:

令 y? ? 0 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y?, y 的变化情况如下表: x -2 (-2,-1) -1 (0 (0,1) 1 (1,2 2 1,0) ) y’ 0 + 0 - 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表可知,最大值是13,最小值是4.

练习:函数 y = x? + 3 x? -9x在 [-4 , 4 ]上的最大值 为 76 ,最小值为 -5 . 分析: (1) 由 f ?(x)=3x? +6x-9=0, 得x1=-3,x2=1 函数值为f (-3)=27, f (1)=-5 (2) 区间[-4 , 4 ]端点处的函数值为 f (-4) =20 , f (4) =76 当x变化时,y′ 、 y的变化情况如下表: x -4 (-4,-3) -3 (3,1) 1 (1,4) 4

y′ + 0 0 + 0 y 20 76 27 -5 比较以上各函数值,可知函数在[-4 , 4 ]上的最大 值为 f (4) =76,最小值为 f (1)=-5

1 求f(x) ? x ? sinx在区间[0,2π ]上的最值。 2、 2

解 f ?( x) ? 1 ? cos x
2



2 4 f ?( x) ? 0 解得 x1 ? ? , x2 ? ? 3 3
2 ? 3

x 0 (0,
f ?( x )
f ( x)

2 ? 3

)
?
3

(

4 2 ? ? 3 3

, )

4 ? 3

(4 ? 2 ,? )
3

2?

+
0

0
? 3 2

-

0
2 3 ?? 3 2

+
?

函 数 f(x)的 最 大 值 是π, 最小值是0.

练习
P31 (1)----(4)

1.函数在闭区间[a,b]上的最值 一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一 条 连续不断 的曲线,那么它必有最大值和最小值. 2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤

(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 极值 ;
(2)将函数y=f(x)的 各极值 与 端点处的函数值f(a) , f(b)比较,其中最大的一个是 最大值 ,最小的一个是 最小值 .

求函数的最值时,应注意以下几点: (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念.

(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值.

(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小 值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则 一定是极大值(或极小值). (4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值.

y y=f(x) o y y=f(x)

y

y=f(x)

a

b x

o a
y y=f(x)

b x

o

a

b x

o a

b x

在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值, 在开区间内的连续函数不一定有最大值与 最小值.

函数的最值一般有两种情况:
(1) 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少),

则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值),f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
y y?f ( x )

y
y?f ( x )

O

a

b

x O

a

b

x

函数的最值一般分为两种情况:

(2)如果函数在区间(a, b)内有极值,将y=f(x) 的各极值与 f(a) 、 f(b)比较,其中最大的一个 为最大值,最小的一个最小值.
如果函数在区间 (a, b) 内有且仅有一个极大 (小)值,而没有极小(大)值,则此极大(小)值就是 函数在区间[a, b]上的最大(小)值。
y y?f ( x ) f ( x0 ) O a x0 b x O a x0 b y

y ?f ( x )
f ( x0 )

x

※动手试试
? 1? 讨论函数( f x)=4x ? 4 x ? x在 ? 0, ?的最值情况。 ? 2?
3 2

f '( x) ? 12x2 ? 8x ? 1 ? (2 x ?1)(6 x ?1)
f ( x)最大值 1 ? f( ) 6

没有最小值

例题2:已知函数f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 2 ? a在 ? ?2, 2? 上有最小值 ? 37

?1? 求实数a的值;
2

2? 上的最大值。 ? 2 ? 求f ( x)在? ?2,

解:(1 )f ?( x) ? 6 x ?12 x
又f (?2) ? ?40 ? a,

令f ?( x) ? 0解得x ? 0或x ? 2
f (0) ? a, f (2) ? ?8 ? a

由已知得 ? 40 ? a ? ?37解得a ? 3

(2)由 (1)知f ( x)在??2, 2?的最大值为3.
反思:本题属于逆向探究题型: 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大 小上,从而解决问题,往往伴随有分类讨论。