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北京市西城区2015—2016学年度第一学期高二数学(理科)期末考试试卷

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北京市西城区 2015 — 2016 学年度第一学期期末试卷

高二数学
(理科)
试卷满分:150 分 题号 分数 一 二 15 16 17 18 19 20 考试时间:120 分钟 三

2016.1

本卷总分

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的. 1.命题“若 a ? 1 ,则 a ? 0 ”的逆命题是( (A)若 a ? 0 ,则 a ? 1 (C)若 a ? 0 ,则 a ? 1 2.圆心为 (1, 2) ,且与 y 轴相切的圆的方程是( (A) ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 4
2 2

) (B)若 a ? 0 ,则 a ? 1 (D)若 a ? 0 ,则 a ? 1 ) (B) ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

(C) ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4
2 2

3.在空间中,给出下列四个命题: ① 平行于同一个平面的两条直线互相平行;②垂直于同一个平面的两个平面互相平行; ③ 平行于同一条直线的两条直线互相平行;④垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 其中真命题的序号是( (A)① ) (C)③ ) (D)④

(B)②

4.实轴长为 2 ,虚轴长为 4 的双曲线的标准方程是( (A) x ?
2

y2 ?1 4

(B) y ?
2

x2 ?1 4 y2 x2 ? 1,或 y 2 ? ?1 4 4

(C)

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 ,或 ? ? 1 4 16 4 16

(D) x ?
2

2016.1 北京西城区高二数学试卷(理科)

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5. “直线 l 垂直于平面 ? 内无数条直线”是“直线 l 垂直于平面 ? ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件



(D)既不充分也不必要条件

6. 某几何体的三视图如图所示.其中主视图中△ ABC 是边长为 2 的正三角形,俯视图为正六边形,那么该 几何 体的左视图的面积为( (A) (C) )

3 2
3 2

(B) 3 (D) 3

x2 y 2 P 使得 7.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F 1 , F2 ,若椭圆上存在点 a b ?F1PF2 是钝角,则椭圆离心率的取值范围是( )
(A) (0,

2 ) 2

(B) (

2 ,1) 2

(C) (0, )

1 2

(D) ( ,1)

1 2

8. 已知四面体 ABCD 的侧面展开图如图所示, 则其体积为( (A) 2 )

3 2 3 (C) 4 2 (D) 3
(B)

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二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上. 9. 命题“ ?x ? R , x ? 1 ? 0 ”的否定是_______.
2

10. 已知直线 l1 : 2 x ? ay ? 1 ? 0 , l2 : ax ? y ? 0 . 若 l1 ∥ l2 ,则实数 a ? _______. 11. 已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 (b ? 0) 的一个焦点是 (2, 0) ,则其渐近线的方程为_______. b2

12. 如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,直线 BC1 和

B1D1 所成角的大小为_______;直线 BC1 和平面 B1D1DB 所成角的大小为_______.

13. 在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知平面 ? 的一个法向量是 n ? (1, ?1, 2) ,且平面 ? 过点

A(0,3,1) .若 P( x, y, z) 是平面 ? 上任意一点,则点 P 的坐标满足的方程是_______.
14. 平面内到定点 F (0,1) 和定直线 l : y ? ?1 的距离之和等于 4 的动点的轨迹为曲线 C .关 于曲线 C 的几何性质,给出下列三个结论: ① 曲线 C 关于 y 轴对称; ② 若点 P( x, y) 在曲线 C 上,则 | y | ? 2 ; ③ 若点 P 在曲线 C 上,则 1 ? | PF | ? 4 . 其中,所有正确结论的序号是_______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为菱形, Q 是棱 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC ∥平面 BDQ ; (Ⅱ)若 PB ? PD ,求证:平面 PAC ? 平面 BDQ .

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16.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的准线方程是 x ? ? (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)设直线 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) 与抛物线相交于 M , N 两点,O 为坐标原点,证明:

1 . 2

OM ? ON .

17.(本小题满分 13 分)

?BAC ? 90? ,AC ? 2 3 ,AA 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ,AB ? 2 , 1 ? 3
点 D 在棱 B1C1 上,且 B1C1 ? 4B1D . (Ⅰ)求证: BD ? AC 1 ; (Ⅱ)求二面角 B ? A1D ? B1 的大小.

18.(本小题满分 13 分) 如图,在直角坐标系 xOy 中,已知圆 O : x ? y ? 4 .点 B , C 在圆 O 上,且关于 x
2 2

轴对称. (Ⅰ)当点 B 的横坐标为 3 时,求 OB ? OC 的值; (Ⅱ)设 P 为圆 O 上异于 B , C 的任意一点,直线 PB , PC 与 x 轴分别交于点 M ,

??? ? ????

N ,证明: | OM | ? | ON | 为定值.

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19.(本小题满分 14 分) 如图 1,四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, M 为 侧棱 PD 上一点.该四棱锥的俯视图和左视图如图 2 所示. (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)求证: AM ∥平面 PBC ; (Ⅲ)线段 CD 上是否存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 所有符合要求的点 N ;若不存在,说明理由.

3 ?若存在,找到 4

20.(本小题满分 14 分) 如图,已知四边形 ABCD 是椭圆 3x2 ? 4 y 2 ? 12 的内接平行四边形,且 BC , AD 分 别经过椭圆的焦点 F 1 , F2 . (Ⅰ)若直线 AC 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,求 AC 的长; (Ⅱ)求平行四边形 ABCD 面积的最大值.

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北京市西城区 2015 — 2016 学年度第一学期期末试卷

高二数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.A 2.B 3.C 4. D 5.B 6.C 7. B

2016.1

8.D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?x ? R, x2 ?1 ? 0 12. 60 ? , 30 ? 10. ? 2 13. x ? y ? 2 z ? 1 ? 0 11. y ? ? 3x 14. ①②③

注:12 题第一空 2 分,第二空 3 分;14 题少选不给分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:设 AC 交 BD 于点 O ,连结 OQ . 【 1 分】 因为 底面 ABCD 为菱形, 所以 O 为 AC 中点. 因为 Q 是 PA 的中点, 所以 OQ ∥ PC . 【 4 分】

因为 OQ ? 平面 BDQ , PC ? 平面 BDQ , 所以 PC ∥平面 BDQ . (Ⅱ)证明:连结 OP . 因为 底面 ABCD 为菱形, 所以 BD ? AC , O 为 BD 中点. 因为 PB ? PD , 所以 BD ? PO . 所以 BD ? 平面 PAC . 因为 BD ? 平面 BDQ , 【10 分】 【11 分】 【 8 分】 【 5 分】 【 6 分】

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所以 平面 PAC ? 平面 BDQ . 16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的准线方程为 x ? ? 所以 ?

【13 分】

p , 2

【 2 分】 【 4 分】 【 5 分】

p 1 ? ? , 解得 p ? 1 , 2 2

所以 抛物线的方程为 y 2 ? 2 x . (Ⅱ)证明:设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . 将 y ? k ( x ? 2) 代入 y 2 ? 2 x , 消去 y 整理得 k 2 x2 ? 2(2k 2 ? 1) x ? 4k 2 ? 0 . 所以 x1 x2 ? 4 .
2 2 2 由 y1 ? 2x1 , y2 ? 2 x2 ,两式相乘,得 y12 y2 ? 4 x1 x2 ,

【 7 分】 【 8 分】 【 9 分】 【10 分】

注意到 y1 , y2 异号,所以 y1 y2 ? ?4 . 所以直线 OM 与直线 ON 的斜率之积为 即 OM ? ON .

y1 y2 ? ? ?1 , x1 x2

【12 分】 【13 分】

17.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:因为 ABC ? A1B1C1 直三棱柱, 所以 AA 1 ? AB , AA 1 ? AC . 又 AB ? AC , 所以 AB , AC , AA1 两两互相垂直. 【 1 分】 如图,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz . 【 2 分】

则 B(2, 0, 0) , C(0, 2 3,0) , A 1 (0,0, 3) , B 1 (2,0, 3) , C 1 (0,2 3, 3) . 由 B1 D ?

???? ?

? 1 ???? 1 3 3 3 B1C1 ? (? , , 0) ,得 D( , , 3) . 4 2 2 2 2

【 3 分】

所以 BD ? (? ,

??? ?

???? 1 3 , 3) , AC ? (0,2 3, ? 3) . 1 2 2
【 4 分】

因为 BD ? AC ? 3?3 ? 0 , 1
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??? ? ????

所以 BD ? AC 1 . (Ⅱ)解: BD ? (? ,

【 5 分】

??? ?

???? 1 3 , 3) , A1B ? (2,0, ? 3) . 2 2
【 7 分】

???? ? ?m ? A1B ? 0, 设平面 A ??? ? 1DB 的一个法向量为 m ? (x1 , y1 , z1 ) ,则 ? m ? BD ? 0. ? ?
? 2 x1 ? 3 z1 ? 0, 3 3 ? 所以 ? 1 取 z1 ? 1, 得m ? ( , ? ,1) . 3 2 2 y1 ? 3 z1 ? 0. ? ? x1 ? ? 2 2
又平面 A 1 DB 1 的一个法向量为 n ? (0,0,1) , 所以 cos? m, n? ?

【 9 分】

【10 分】 【12 分】

m?n ? m n

1 1 ? , 2 3 9 ? ?1 4 4

因为二面角 B ? A1D ? B1 的平面角是锐角, 所以二面角 B ? A1D ? B1 的大小是 60 ? . 【13 分】

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为点 B 在圆 O 上,横坐标为 3 . 不妨设 B( 3,1) ,由对称性知 C( 3, ?1) , 【 2 分】 所以 OB ? OC ? 3 ? 1 ? 2 .

??? ? ??? ?

【 5 分】 【 6 分】 【 7 分】 【 9 分】

2 2 (Ⅱ)解:设 B( x0 , y0 ) ,由对称性知 C ( x0 , ? y0 ) ,且 x0 ? y0 ?4. 2 设 P( x1 , y1 ) ( y1 ? ? y0 ) ,则 x1 ? y12 ? 4 .

lPB : y ? y1 ?

y1 ? y0 y ?y ( x ? x1 ) , lPC : y ? y1 ? 1 0 ( x ? x1 ) . x1 ? x0 x1 ? x0

在上述方程中分别令 y ? 0 ,解得

xM ?

x0 y 1? x y x y ? x1 y0 1 0 , xN ? 0 1 . y1 ? y0 y1 ? y0
2 2 2 2 2 x0 y1 ? x12 y0 (4 ? y0 ) y12 ? (4 ? y12 ) y0 ? ? 4. 2 2 y12 ? y0 y12 ? y0

【11 分】

所以 xM ? xN ?

所以 | OM | ? | ON | ? 4 .
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【13 分】

19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:由俯视图可得, BD ? BC ? CD ,
2 2 2

所以 BC ? BD . 又因为 PD ? 平面 ABCD , 所以 BC ? PD , 所以 BC ? 平面 PBD .

【 1 分】

【 3 分】 【 4 分】 【 5 分】 【 6 分】

(Ⅱ)证明:取 PC 上一点 Q ,使 PQ : PC ? 1: 4 ,连结 MQ , BQ . 由左视图知 PM : PD ? 1 : 4 ,所以 MQ ∥ CD , MQ ?

1 CD . 4

? ? 在△ BCD 中, 易得 ?CDB ? 60 , 所以 ?ADB ? 30 , 又 BD ? 2 , 所以 AB ? 1 ,

AD ? 3 .
又因为 AB ∥ CD , AB ?

1 CD ,所以 AB ∥ MQ , AB ? MQ . 4
【 8 分】

所以四边形 ABQM 为平行四边形,所以 AM ∥ BQ . 因为 AM ? 平面 PBC , BQ ? 平面 PBC , 所以 直线 AM ∥平面 PBC . (Ⅲ)解:线段 CD 上存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 证明如下:

【 9 分】

3 . 4

【10 分】

因为 PD ? 平面 ABCD , DA ? DC ,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz . 所以 D(0,0,0), A( 3,0,0), B( 3,1,0),C(0,4,0), M (0,0,3) . 设 N (0, t ,0) ,其中 0 ? t ? 4 . 所以 AM ? (? 3,0,3) , BN ? (? 3, t ? 1,0) . 【11 分】

???? ? ???? 3 | AM ? BN | 3 ? ???? ? 要使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 ,则有 ???? . 4 | AM || BN | 4
所以

【12 分】

|3| 2 3 ? 3 ? (t ? 1)
2

?

3 ,解得 t ? 0 或 2 ,均适合 0 ? t ? 4 . 4

【13 分】 【14 分】

故点 N 位于 D 点处,或 CD 中点处时,均符合题意.
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20.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由 ?

? x ? 2 y ? 0,
2 2 ?3 x ? 4 y ? 12,

解得 x ? ? 3 ,

【 2 分】

所以 A, C 两点的坐标为 ( 3,
2

3 3 ) 和 (? 3, ? ) , 2 2
2

【 4 分】

所以 AC ? (2 3) ? ( 3) ? 15 . (Ⅱ)解:① 当直线 AD 的斜率不存在时, 此时易得 A(1, ) , B ( ?1, ) , C ( ?1, ? ) , D (1, ? ) , 所以平行四边形 ABCD 的面积为 | AB | ? | CD | ? 6 . ② 当直线 AD 的斜率存在时,设直线 AD 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 将其代入椭圆方程,整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . 设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) . 则 x1 ? x4 ?

【 5 分】

3 2

3 2

3 2

3 2

【 6 分】

【 8 分】

8k 2 4k 2 ? 12 x x ? , . 1 4 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

【10 分】

连结 AF1 , DF 1, 则平行四边形 ABCD 的面积 S ? 2S?AF1D ? | F 1F 2 || y1 ? y4 | ? 2 | y1 ? y4 | . 【11 分】 又 ( y1 ? y4 )2 ? k 2 ( x1 ? x4 )2 ? k 2[( x1 ? x4 )2 ? 4x1x4 ]

? 9?
所以 S ? 6

16k 2 (k 2 ? 1) . (3 ? 4k 2 )2

【13 分】

16k 2 (k 2 ? 1) ?6. (3 ? 4k 2 ) 2
【14 分】

综上, 平行四边形 ABCD 面积的最大值是 6 .

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