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福建省莆田市仙游一中2015届高三上学期期中考试数学理试题含答案


莆田市仙游一中 2015 届高三上学期期中考试

数学(理科)试卷
一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
b 为向量,则“ a ? b ? a b ”是“ a // b ”的( 1. 设 a、



A.充分必要条件 要条件

B.必要不充分条件 C.

充分不必要条件 D.既不充分也不必

2. 已知正角 ? 的终边上一点的坐标为 ( sin
5? 2? B. 6 3 3.下列命题中是假命题 的是 ...

A.

2? 2? ) , 则角 ? 的最小值为( ) , cos 3 3 5? 11? C. D. 3 6




2

A. ?m ? R, 使f ( x) ? (m ? 1) ? x m ?4m?3是幂函数 , 且在(0,??) 上递减 2 B. ?a ? 0,函数f ( x) ? ln x ? ln x ? a有零点 C. ?? , ? ? R, 使 cos(? ? ? ) ? cos? ? sin ? ; D. ?? ? R,函数f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数 4.将函数 y ? f ?( x) sin x 的图象向左平移 象,则 f ( x) 是( ) A. 2 cos x B. 2 sin x 5.若 sin(? ? ? ) sin ? ? cos(? ? ? ) cos ? ? ( ) A. 7 B.

? 个单位,得到函数 y ? 1 ? 2 sin 2 x 的图 4
C. sin x D. cos x

? 4 ,且 ? 为第二象限角,则 tan( ? ? ) ? 4 5
C. ?7 D. ?

1 7

1 7

6.若函数 f ( x), g ( x)满足 ? 1 ?1 f ( x ) g ( x ) dx ? 0, 则称 f ( x ), g ( x )为区间?? 1,1? 上的一组正 交 函 数 , 给 出 三 组 函 数 : ① f ( x) ? sin
1 1 x, g ( x) ? cos x ; ② 2 2

f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x ? 1 ; ③ f ( x) ? x, g ( x) ? x 2 其中为区间 [ ?1,1] 的正交函数的组数

是( ) A.0

B.1

C.2

D.3

? 7.函数f ( x) ? x ? 3 ? 12 ? 3x的值域为
A.[1, 2 ] B[1,2]

?
3 D[1, ] 2

C.[1, 3 ]

1

8.函数 y ? 1 ? 标之和等于( A.2

x 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐 x ?1 ) B. 8 C. 4 D.6
a

9. 已 知 向 量 a, b, c 满 足 a ? 4, b ? 2 2,
(c ? a ) ? (c ? b) ? ?1 ,则 c ? a 的最大值为(

与 b 的夹 角为

?
4



) D. 2 ? 1

A. 2 ?

1 2

B.

2 ?1 2

C.

2 ?1 2

1 10. 已知定义在 ?0,??? 上的函数 f ?x ? , 当 x ? ?0,1? 时,f ( x) ? 2 ? 4 x ? ; 当 x>1 时, 2

f ?x ? ? af ?x ? 1?, a ? R, a 为常数.下列有关函数 f ?x ? 的描述:
?3? ①当 a ? 2 时, f ? ? ? 4 ; ?2?

②当 a <1, 函数 f ?x ? 的值域为 ?- 2,2? ;
x? 1 2

③当 a>0 时,不等式 f ?x ? ? 2a

在区间 ?0,??? 上恒成立;

④当 - 1<a<0 时, 函数 f ?x ? 的图像与直线 y ? 2an?1 n ? N ? 在 ?0,n?内的交点个
1 ? ?? 1? 数为 n ? .其中描述正确的个数有( 2
n

?

?

)

A.4

B.3

C.2

D.1 二.填空题(本大题有 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 当 x ? 0 时, f ( x) ? xe? x , 则当 x ? 0 时, f ( x) ? ______ . 12.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 67 ,30 ,此 时气球的高是 46m ,则河流的宽度 BC 约等于

m.

(用四舍五入法将结果精确到个位。 参考数据: sin 67 ? 0.92 ,
cos 67 ? 0.39 , sin 37 ? 0.60 , cos 37 ? 0.80 , 3 ? 1.73 )
B
C

13. 过 函数 f ( x) ? x3 ? 3x 上的点 M (?2, ?2) 的切线方程 . 是 .

14.在正△ABC 所在平面上有三点 P, Q, R 满足

PA ? PB ? PC ? AB , QA ? QB ? QC ? BC ,

2

RA ? RB ? RC ? CA ,则△ PQR 与△ ABC 的面积之比为
15.已知函数

.

?|1nx |,0 ? x ? e, f ( x) ? ? 若a, b, c互不相等, 且f (a) ? f (b) ? f (c), 则a ? b ? c的 取值范 ?2 ? ln x, x ? e.
围为 .

三.解答题(本大题有 5 小题,共 80 分)
16. (本小题共 13 分) 已知集合 A= x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,集合 B= y y ? x 2 ? 2 x ? a ,集合
C= x x 2 ? ax ? 4 ? 0 .命题 p : A B ? ? ,命题 q : A ? C

?

?

?

?

?

?

(Ⅰ)若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若命题 p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围.

17. (本小题共 13 分) 叙述 并证明 余弦定理. .. ..

18. (本小题共 13 分) 已知函数 g ( x) ? ax 2 ? 2ax ? 1 ? b ( a ? 0 )在区间 [2 , 3] 上有最大值 4 和最小值 g ( x) . 1 .设 f ( x) ? x (I)求 a 、 b 的值; (II)若不等式 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 在 x ? [?1 , 1] 上有解 ,求实数 k 的取值范围. ..

19. (本小题共 13 分) 已知向量 a ? (cos ? x ? sin ? x,sin ? x) , b ? (? cos ? x ? sin ? x, 2 3 cos ? x) ,设 函数 f ( x) ? a? b ? ? ( x ? R ) 的图象关于直线 x ? ? 对称,其中 ? , ? 为常数,且 1 ? ? ( ,1) 2 (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;
? ? ? ?

3

? 3 (Ⅱ)若 y ? f ( x) 的图象经过点 ( , 0) , 求函数 f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的取值范 4 5 围。
20. (本小题共 14 分) 一个圆柱形圆木的底面半径为 1m,长为 10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两 个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰 梯形 ABCD (如图所示,其中 O 为圆心, C , D 在半圆上) ,设 ?BOC ? ? ,木梁的 体积为 V(单位:m3) ,表面积为 S(单位:m2) . (1)求 V 关于 θ 的函数表达式; (2)求 θ 的值,使体积 V 最大; (3) 问当木梁的体积 V 最大时, 其表面 积 S 是否也最大?请说明理由. 21.(本小题共 l4 分) 2 1 已知函数 f ( x) ? x ? , h( x) ? x 3 2
? h( x, ) 求 (I) 设 函 数 F ( x) ? f ( x)
F ( x) 的单调区间与极值;
a?R (Ⅱ) 设 , 解 关 3 3 log 4 [ f ( x ? 1) ? ] ? log h(a2? x) ? log h(4 ? x) ; 2 2 4
100 1 (Ⅲ)试比较 f (100)h(100) ? ? h(k ) 与 的大小. 6 k ?1



x







自主招生题: (10 分,供学有余力的同学选做,可按实际得分加入本科目考试总 分) 求 函 数 f ( x) ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x ? 2 ? sin x ? 2 ? sin x ? 3 ? sin x ? 3 ? sin x 的最大值。 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D D B B C B C D B 二、填空题 11、 xe x 12、 60 13、 y ? ?2 和 y ? 9 x ? 16

14、

1:3

15、(

,2+e2)
4

三、解答题 16、解答: y ? x 2 ? 2 x ? a ? ( x ? 1)2 ? a ? 1 ? a ? 1,? B ? ? y y ? a ? 1? 解; ,
A ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ?x 1 ? x ? 2? ,
C ? x x 2 ? ax ? 4 ? 0

?

?

?

?

(Ⅰ)由命题 p 是假命题,可得 A B=? ,即得 a ? 1 ? 2,? a ? 3 .?????7 分 (Ⅱ) p ? q 为真命题,? p、q 都为真命题, 即 A B ? ?, 且A?C

? a ?1 ? 2 ? ? 有 ? 1 ? a ? 4 ? 0 ,解得 0 ? a ? 3 .?????13 分 ?4 ? 2a ? 4 ? 0 ?
17、解答:
【解】叙述: 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹 角的余弦之积的两倍。或:在△ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A , b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ,

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .?????5 分
证明: (证法一) 如图, c ? BC
2

? AC? AB ?
2

?

??

AC ? AB
2

?

? AC ? 2 AC ? AB ? AB ? AC ? 2 AC ? AB cos A ? AB
? b2 ? 2bc cos A ? c 2
即 同理可证

2

2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ,

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C
(证法二)已知 ?ABC 中, A, B, C 所对边分别为 a, b, c, ,以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,则 C (b cos A, b sin A), B(c,0) , ∴ a ?| BC | ? (b cos A ? c) ? (b sin A) ? b cos A ? 2bc cos A ? c ? b sin A
2 2 2 2 2 2 2 2 2

5

? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,
即 同理可证

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ,

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ?????13 分

18、解答: 解析: (1 ) g ( x) ? a ( x ? 1) 2 ? 1 ? b ? a ,因为 a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [2 , 3] 上是 增函数,

? g (2) ? 1 ?a ? 1 故? ,解得 ? .?????6 分 ? g (3) ? 4 ?b ? 0
( 2 ) 由 已 知 可 得 f ( x) ? x ?
2x ? 1 ? 2 ? k ? 2x , x 2
2

1 ? 2 , 所 以 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 可 化 为 x

1 1 ? 1 ? 化 为 1 ? ? x ? ? 2 ? x ? k , 令 t ? x , 则 k ? t 2 ? 2t ? 1 , 因 x ? [?1 , 1] , 故 2 2 ?2 ?

?1 ? t ? ? , 2? , ?2 ?
?1 ? 记 h(t ) ? t 2 ? 2t ? 1 , 因为 t ? ? , 2? , 故 h(t ) max ? 1 , 所以 k 的取值范围是 (?? , 1] . ?2 ?

?????13 分 19、解答:

∵函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称, ? ? ? ∴ sin(2? x ? ) ? ?1 即 2? x ? ? k? ? 6 6 2 ∴

??

k 1 ? ,k ?Z 2 3



? ? ( ,1)

1 2

,∴

??

5, 6



T?

6? ?????7 分 5

6

? ? (Ⅱ)∵ y ? f ( x) 的图象经过点 ( , 0) ,∴得 f ( ) ? 0

20、解答:

21

7

8


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