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2015届高考调研文科选修4-1-1


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选修 4-1

几 何 证 明 选 讲

第 1 课时

/>相 似 三 角 形 的 判 定 及 有 关 性 质

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理解相似三角形的定义与性质,了解平行截割定理,证明直 角三角形射影定理.

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请注意!

此部分多和圆的有关知识,结合考查.

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1.平行线等分线段定理 如果一组 平行线 在 一条 直线上截得的线段相等, 那么在其他 直线上截得的线段也相等. 推论 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分 第三边. 推论 2: 经 过 梯 形 一 腰 的 中 点 , 且 与 底 边 平 行 的 直 线 腰.

平分 另一

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2.平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 三 条 平 行 线 截 两 条 直 线 , 所 得 的

对应 线段成比例.

推论:平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长 线)所得的对应线段成 比例 . 3.相似三角形的判定 判定定理 1:两角对应 相等 ,两三角形相似. 判定定理 2:两边对应 成比例且夹角相等 ,两三角形相似. 判定定理 3:三边对应 成比例 ,两三角形相似.

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4.直角三角形相似的判定 定理 1: 如 果 两 个 直 角 三 角 们相似. 定理 2: 如 果 两 个 直 角 三 角 形 的 两 条 那么它们相似. 定理 3: 如 果 一 个 直 角 三 角 形 的 斜 边 和 一 条 直 角 边 与 另 一 个 三角形的斜边 和 一 条 直角边 对 应 成 比 例 , 那 么 这 两 个 直 角 三 角 形相似.
直角 边 对 应 成比例 ,

形有一个锐角 对 应 相 等 , 那 么 它

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5.相似三角形的性质定理 1 ( ) 相 似 三 角 形 对 应 高 的 比 、 对 应 中 线 的 比 和 对 应 角 平 分 线 的比都等于相似 比; 2 ( ) 相似三角形周长的比等于相似 比; 3 ( ) 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ; 4 ( ) 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似 比,外接 圆的面积比等于相似比的 平方 .

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6.直 角 三 角 形 的 射 影 定 理 和 逆 定 理 1 ( ) 定 理 : 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 高 是 两 直 角 边 在 斜 边 上 射 影 的 比 例 中项; 两 直 角 边 分 别 是 它 们 在 斜 边 上 中 项 . 2 ( ) 逆 定 理 : 如 果 一 个 三 角 形 一 边 上 的 高 是 另 两 边 在 这 条 边 上 的 射 影 的

射影 与斜边 的 比 例

比例中项

, 那 么 这 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形 .

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1. 如图,D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 上 的 点 , AD BC, 且 =2, 那 么 △A D E 与四边形 D B C E DB 的 面 积 比 是

DE∥

________.

4 答案 5
AD AD 2 解析 ∵ =2,∴ = . DB AB 3 S△D S△D 4 A E A E 故 =9,∴ S△B S四边形D C A B C E 4 =5.

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2. 如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点, BF AE 交 BC 于 F,则 =________. FC

1 答案 2
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解析 过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 M,

如右图,可知 M 为 DC 的中点, EM 1 EM 3 故 =2, =4. BC FC FC 2 BF 1 ∴ =3, =2. BC FC
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3.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,CD⊥AB 于 D, 已 知 AD=2,则 BD 的长是________.
答案 6

AC=4,

解析 由直角三角形射影定理,得 AC2=AD· AB. AC2 42 ∴AB= = =8,∴BD=AB-AD=8-2=6. AD 2

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4. 如 图 , 在

△ABC 中,∠AED=∠B,DE=6,AB=10,AE ) B.7

=8,则 BC 的长为( 15 A. 4 15 C. 2
答案 C

24 D. 5

解析 由已知条件∠AED=∠B, ∠A 为 公 共 角 , 所 以 6×10 15 DE AE ∽△A C B ,则有 = ,从而 BC= 8 = 2 . BC AB
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△A D E

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5. 2 ( 0 1 4 ·

济南二模)如图,Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的

高,CD=6,且 AD∶BD=3∶2,则斜边 AB 上的中线 CE 的长 为________.

5 6 答案 2
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例 1 如图 AD 是△ABC 的中线,E 是 CA 边 的 三 等 分 点 , BE 交 AD 于点 F,则 AF∶FD 为( A.2∶1 C.4∶1 B.3∶1 D.5∶1 )

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【解析】 要求 AF∶FD 的 比 , 需 要 添 加 平 行 线 寻 找 与 之 相 等 的 比 . 注 意 到 D 是 BC 的 中 点 , 可 过 D 作 DG∥ AC 交 BE 于 G,

1 1 则 DG=2EC.又 AE=2EC,故 AF∶FD=AE∶DG=2EC∶2EC =4∶1.
【答案】 C

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探究 1 本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用.解 题关键是通过作辅助线,发现其中的平行关系进行推理求解.另 外,本题还可以过 D 点作 BE 的平行线进行推理求解.

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思考题 1 如右图,已知 M、N 分别是?A B C D

的边 AB、

边 CD 的中点,CM 交 BD 于点 E,AN 交 BD 于点 F.请你探讨 BE、EF、FD 三条线段之间的关系,并给出证明.

【思路】 在△C D E ∥CE, 即 可 由 推 论 者之间的关系.

中,N 是边 CD 的 中 点 , 只 要 证 明

NF

1 得 DF=EF.同理可得 BE=EF, 由 此 得 出 三

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【解析】 ∵四边形 A B C D AB、CD 的中点, ∴四边形 A M C N ∵在△C D E

是平行四边形,M、N 分别是边

是平行四边形.

中,N 是 CD 的中点,且 FN∥CE,

∴F 是 DE 的中点,即 DF=EF. 同理在△ABF 中,M 是 AB 的中点,且 AF∥MC, ∴E 是 BF 的中点,即 EF=BE. 故 BE=EF=DF.
【答案】 BE=EF=DF
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例2 1 ( ) 如图,BD、CE 是△ABC 的 高 . 求 证 : ABC.

△A D E ∽△

【思路】 由于△A D E

与△A B C

有一公共顶点 A,可根据

“对于任意两个三角形, 如果一个三角形的两边和另一个三角形 的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.” 去证明.
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【证明】 ∵BD、CE 是△ABC 的高, ∴∠AEC=∠A D B =9 0 . ° 又∵∠A=∠A,∴△A E C ∽△A D B . AD AE AD AB ∴ = ,从而 = . AB AC AE AC 又∵∠A=∠A,∴△A D E ∽△ABC.
【答案】 略

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2 ( ) 如图,在△ABC 中,D 是 AC 中点,E 是 BD 三等分点, AE 的延长线交 BC 于 F,求 S△BEF S四边形D E F C 的值.

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BF BE 【解析】 过 D 点作 DM∥AF 交 BC 于点 M, 则 = = BM BD 1 . 3

S△BEF 1 ∵EF∥DM,∴ =9,即 S△B D M =9S△BEF. S△B D M ∵D 是 AC 的中点,DM∥AF,
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BM 3 ∴FM=MC,∴ = . MC 2 S△D 2 2 M C ∴ =3,即 S△D M C = S△B D M =6S△E F B . 3 S△B D M ∴S 四边形 D E F C =14S△E F B ,∴ S四边形D E F C 1 【答案】 14 S△BEF 1 =14.

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探究 2 1 ( ) 判 定 两 个 三 角 形 相 似 要 注 意 结 合 图 形 性 质 灵 活 选 择 判 定 定 理 . 相 似 三 角 形 的 判 定 定 理 可 能 要 同 时 用 到 , 先 证 两 个 三 角 形 相 似 , 以 此 作 铺 垫 , 再 证 另 两 个 三 角 形 相 似 . 2 ( ) 相 似 三 角 形 性 质 的 作 用 ①可 用 来 证 明 线 段 成 比 例 、 角 相 等 ; ②可 间 接 证 明 线 段 相 等 ; ③为 计 算 线 段 长 度 及 角 的 大 小 创 造 条 件 ; ④可 计 算 周 长 、 特 征 线 段 长 等 .
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思考题 2 1 ( ) △ABC 是一块锐角三角形材料,边 BC=1 2 cm,高 AD=c 8 m , 要 把 它 加 工 成 正 方 形 零 件 , 使 正 方 形 的 一 边 AB、AC 上 , 求 这 个 正 方 形 的 边

在 BC 上 , 其 余 两 个 顶 点 分 别 在 长.

【解析】 如 图 , 设 正 方 形

P Q M N

为 加 工 成 的 正 方 形 零 件 .



ABC 的高 AD 与边 PN 相交于点 E,设正方形的边长为 xc m .

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∵PN∥BC,∴△A P N ∽△ABC. 8-x x AE PN ∴ = ,即 8 =12, AD BC 解得 x=c ( m 8 4 .) .

答:加工成的正方形零件的边长为 c 8 m 4 .
【答案】 c 8 m 4 .

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2 ( )

已 知 如 右 图 , 正 方 形

A B C D

的边长为 4, P 为 AB 上的点, )

且 AP∶PB=1∶3,PQ⊥PC,则 PQ 的长为( A.1 3 C.2 5 B. 4 D. 2

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【解析】 ∵PQ⊥PC,∴∠A P Q +∠B P C =9 0 . ° ∴∠A Q P =∠B P C .∴Rt△A P Q ∽Rt△P B C . AP AQ ∴ = . BC BP ∵AB=4,AP∶PB=1∶3, AP· BP 1×3 3 ∴PB=3,AP=1,∴AQ= = = . 4 4 BC ∴PQ= AQ +AP =
【答案】 B
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2

2

9 5 16+1 =4.

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例3 1 ( ) 如图,已知在正方形 A B C D

中,O 为 AB 的中点,

1 E 为 AD 上一点,且 AE=4AD,OK⊥EC.求证:OK2=KE· KC.

【思路】

根 据 欲 证 式 子 的 结 构 特 征 及 题 设 , 若 能 证 得



C O E =90° ,则结论可证.
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【 证 明 】

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连 接 OE、OC. 1 1 AE 方 法 一 : ∵AE=4AD, OA=OB=2AD, BC=AB=AD, ∴ OB OA 1 = =2. BC
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又∵ ∠ A=∠B=90° , ∴ △ EAO∽ △O B C ,∴ ∠A E O =∠B O C . 又∵ ∠ AEO+∠A O E =90° , ∴ ∠A O E +∠B O C =90° ,∴ ∠E O C =9 0 . ° 在 Rt△E O C 中 , ∵OK⊥EC, ).

∴OK2= KE· KC(射 影 定 理

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方法二:设 AB=BC=4a,由题意,AE=a, OA=OB=2a,ED=3a.∴OE2=a2+(2a)2=5a2, OC2=OB2+BC2=(2a)2+(4a)2=20a2, EC2=ED2+CD2=(3a)2+(4a)2=25a2. ∴OE2+OC2=EC2. ∴△E O C 是直角三角形.

又∵OK⊥EC,∴OK2=KE· KC.
【答案】 略
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2 ( ) 如右图,BD、CE 分别是△A B C

的两边上的高,过 D 作

DG⊥BC 于 G,分别交 CE 及 BA 的延长线于 F、H. 求证:①DG2=BG· CG; ②BG· CG=GF· GH.

【证明】 ①DG 为 Rt△BCD 斜边上的高, ∴由射影定理,得 DG2=BG· CG.
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②∵DG⊥BC,∴∠ABC+∠H=9 0 . ° ∵CE⊥AB,∴∠A B C +∠E C B =9 0 . ° ∴∠ABC+∠H=∠ABC+∠E C B . ∴∠H=∠E C B . 又∵∠HGB=∠F G C =9 0 °, ∴Rt△H B G ∽Rt△C F G . BG GH ∴ = ,∴BG· CG=GF· GH. GF GC
【答案】 略
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探究 3 1 ( ) 应用射影定理有两个条件:一是直角三角形;二 是斜边上的高. 2 ( ) 应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量. 3 ( ) 利用直角三角形的射影定理可证明有关命题.

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思考题 3 如图 AC 为⊙O 的直径, BD⊥AC 于 P, PC=2, PA=8,则 CD 的长为________,c o s ∠A C B =_ _ _ _ _ _ _ _ .

【解析】 由射影定理,得 CD2=CP· CA=2×10. ∴CD=2 5. CP 2 5 c o s ∠A C B =n i s ∠A=n i s ∠D= = = . CD 2 5 5
【答案】 2 5 5 5
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1.相似三角形的判定定理的选择 1 ( ) 已知有一角相等时,可选择判定定理 2 1 , ; 2 ( ) 已知有两边对应成比例时,可选择判定定理 3 2 , ; 3 ( ) 判 定 直 角 三 角 形 相 似 时 , 首 先 看 是 否 可 以 用 判 定 直 三 角 形的 方 法 来 判 定 , 如 不 能 再 考 虑 用 判 定 一 般 三 角 形 相 似 的 方 法 来 判定.

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2. 关 于 直 角 三 角 形 射 影 定 理 1 ( ) 射 影 定 理 的 两 个 条 件 : 一 是 直 角 三 角 形 ; 二 是 斜 边 上 的 高 , 二 者 缺 一 不 可 . 2 ( ) 应 用 射 影 定 理 可 求 直 角 三 角 形 的 边 长 、 面 积 等 有 关 量 , 同 时 还 可 用 于 研 究 相 似 问 题 , 比 例 式 等 问 题 .

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课时作业(七十四)

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