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2014年最全的初高中数学衔接教材


第一讲
1.1

数与式

数与式的运算

1.1.1.绝对值
绝对值的代数意义: 正数的绝对值是它的本身, 负数的绝对值是它的相反数, 零的绝对值仍是零.即 ?a, a ? 0, ? | a |? ?0, a ? 0, ??a, a ? 0. ? 绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点

到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示在数轴上,数 a 和数 b 之间的 距离. 练 习
1.填空: (1)若 x ? 5 ,则 x=_________;若 x ? ? 4 ,则 x=_________. (2)如果 a ? b ? 5 ,且 a ? ?1 ,则 b=________;若 1 ? c ? 2 ,则 c=________. 2.选择题: 下列叙述正确的是 (A)若 a ? b ,则 a ? b (C)若 a ? b ,则 a ? b 3.化简:|x-5|-|2x-13|(x>5) . (B)若 a ? b ,则 a ? b (D)若 a ? b ,则 a ? ?b ( )

1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; 2 2 2 (2)完全平方公式 (a ? b) ? a ? 2 a b? . b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: 2 3 (1)立方和公式 (a ? b) (a ? ab ? 2 b) ? 3 a? ; b 2 2 3 3 (2)立方差公式 (a ? b) (a ? a b ? b) ? a? ; b 2 2 2 2 (3)三数和平方公式 (a ? b ? c ) ? a ?b ?c 2 ? ( a b? b c ?; )a c 3 3 2 2 3 (4)两数和立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b ? ; b 3 3 2 2 3 (5)两数差立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b ? .b 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算: ( x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) . 例 2 已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a 2 ? b2 ? c2 的值. 练 习
1.填空:

1 2 1 2 1 1 a ? b ? ( b ? a) ( 9 4 2 3 2 (2) (4m ? ) ? 16m2 ? 4m ? (
(1)
1

) ;

);

(3 ) (a ? 2b ? c)2 ? a 2 ? 4b2 ? c 2 ? ( 2.选择题:

).
( (D) )

1 mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于 2 1 2 1 2 2 (A) m (B) m (C) m 4 3 2 2 (2)不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值
(1)若 x ?
2

1 2 m 16
( )

(A)总是正数 (C)可以是零

(B)总是负数 (D)可以是正数也可以是负数

1.1.3.二次根式
一般地,形如 a (a ? 0) 的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能 够开得尽方的式子称为 无理式. 例如 3a ? a2 ? b ? 2b , a2 ? b2 等是无理式, 而 2 x2 ?
2 x ? 1 , x2 ? 2xy ? y2 , a2 等是有理式. 2

1.分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子) 有理化,需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它 们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为 有理化因式 ,例如 2 与 2 , 3 a 与 a , 3 ? 6 与 3 ? 6 , 2 3 ? 3 2 与 2 3 ? 3 2 ,等等. 一般 地, a x 与 x , a x ? b y 与 a x ? b y , a x ? b 与 a x ? b 互为有理化因式. 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式, 化去分母中的根 号的过程; 而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中 的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行, 运算中要运用公式 a b ? ab (a ? 0, b ? 0) ;而对于二次根式的除法,通常先写 成分式的形式, 然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加 减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式. 2.二次根式 a2 的意义
a2 ? a ? ?
?a, a ? 0, ?? a, a ? 0.

例1

将下列式子化为最简二次根式: (1) 12b ; (2) a 2b (a ? 0) ; (3) 4 x 6 y ( x ? 0) .

例 2 计算: 3 ? (3 ? 3) . 例 3 试比较下列各组数的大小: (1) 12 ? 11 和 11 ? 10 ; 例4 (2)
2 和 2 2- 6 . 6?4

化简: ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 .

2

例 5 例 6

化简: (1) 9 ? 4 5 ; 已知 x ?

(2) x 2 ?

1 ? 2(0 ? x ? 1) . x2

3? 2 3? 2 ,求 3x2 ? 5xy ? 3 y 2 的值 . ,y? 3? 2 3? 2

练 习 1.填空: (1)

1? 3 =__ 1? 3

___; ___;

2 (2)若 (5 ? x)( x ? 3) ? ( x ? 3) 5 ? x ,则 x 的取值范围是_ _

(3) 4 24 ? 6 54 ? 3 96 ? 2 150 ? __ (4)若 x ? 2.选择题:

___; __.

5 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1 ,则 ? ? ______ 2 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1

x ? x?2 (A) x ? 2
等式 3.若 b ?

x 成立的条件是 x?2 (B) x ? 0

( (C) x ? 2 (D) 0 ? x ? 2



a2 ?1 ? 1 ? a2 ,求 a ? b 的值. a ?1
5- 4(填“>”,或“<”) .

4.比较大小:2- 3

1.1.4.分式
1.分式的意义 形如 分式
A A 的式子,若 B 中含有字母,且 B ? 0 ,则称 为分式.当 M≠0 时, B B

A 具有下列性质: B
A A? M ? ; B B?M A A?M ? . B B?M

上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式 a m?n? p 像 b , 这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. 2m c?d n? p 5x ? 4 A B ? ? 例1 若 ,求常数 A, B 的值. x( x ? 2) x x ? 2

3

. A ? 2 ,B ? 3 1 1 1 例 2 (1)试证: (其中 n 是正整数) ; ? ? n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 ? ? ? (2)计算: ; 1? 2 2 ? 3 9 ?10 1 1 1 1 ? ? ? ? . (3) 证明: 对任意大于 1 的正整数 n, 有 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 2 c 例 3 设 e ? ,且 e>1,2c2-5ac+2a2=0,求 e 的值. a 练 习 解得
1.填空题: 对任意的正整数 n, 2.选择题: 若

1 ? n(n ? 2)

(

1 1 ? ); n n?2
( )

2x ? y 2 x ? ,则 = x? y 3 y
(B)

(A)1

x? y 的值. x? y 1 1 1 1 ? ? ? ... ? 4.计算 . 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100 习题 1.1
3.正数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 2 xy ,求 1.解不等式: (1) x ? 1 ? 3 ; (3) x ?1 ? x ?1 ? 6 . 2.已知 x ? y ? 1 ,求 x3 ? y3 ? 3xy 的值. 3.填空: (1) (2 ? 3)18 (2 ? 3)19 =________;

5 4

(C)

4 5

(D)

6 5

(2) x ? 3 ? x ? 2 ? 7 ;

2 2 (2)若 (1 ? a ) ? (1 ? a ) ? 2 ,则 a 的取值范围是________;

(3)

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ________. 1? 2 2? 3 3? 4 4? 5 5? 6

1.2
1.十字相乘法 例1 分解因式: (1)x2-3x+2; (3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ;

分解因式

因式分解的主要方法有: 十字相乘法、 提取公因式法、 公式法、 分组分解法, 另外还应了解求根法及待定系数法.

(2)x2+4x-12; (4) xy ? 1 ? x ? y .

4

解: (1)如图 1.2-1,将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积,再将常数项 2 分解成-1 与-2 的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是 x2-3x+2 中的一次项,所以,有 x2-3x+2=(x-1)(x-2).
x x -1 -2 1 1 -1 -2 1 1 图 1.2-3 -2 6 x x -ay -by

图 1.2-1

图 1.2-2

图 1.2-4

说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图 1.2-1 中的 两个 x 用 1 来表示(如图 1.2-2 所示) . (2)由图 1.2-3,得 x2+4x-12=(x-2)(x+6). (3)由图 1.2-4,得

x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 = ( x ? ay)( x ? by)
(4) xy ? 1 ? x ? y =xy+(x-y)-1 =(x-1) (y+1) (如图 1.2-5 所示) . 2.提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式: (1) x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x ;

x y

-1 1

图 1.2-5

(2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 .

(2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? y 2 ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? ( y ? 2)( y ? 3) = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) . 或 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = (2x2 ? xy ? y 2 ) ? (4x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y)( x ? y) ? (4 x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) . 3.关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解. 若关于 x 的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1 、x2 ,则二次三项式

ax2 ? bx ? c(a ? 0) 就可分解为 a( x ? x1 )( x ? x2 ) . 例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式:
(1) x 2 ? 2 x ? 1; 练 习
多项式 2 x ? xy ?15 y 的一个因式为
2 2

(2) x2 ? 4 xy ? 4 y 2 .

1.选择题: ( (C) x ? 3 y (D) x ? 5 y )

(A) 2 x ? 5 y 2.分解因式: (1)x2+6x+8;

(B) x ? 3 y

(2)8a3-b3;
5

(3)x2-2x-1;

(4) 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) .

习题 1.2
1.分解因式: (1) a ? 1 ;
3

(2) 4 x ? 13x ? 9 ;
4 2

(3) b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ;
2 2

(4) 3x2 ? 5xy ? 2 y 2 ? x ? 9 y ? 4 .

2.在实数范围内因式分解: (1) x ? 5 x ? 3 ;
2

(2) x ? 2 2 x ? 3 ;
2

(3) 3x2 ? 4 xy ? y 2 ;
2 2 2

(4) ( x2 ? 2x)2 ? 7( x2 ? 2x) ? 12 .

3. ?ABC 三边 a , b , c 满足 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ,试判定 ?ABC 的形状. 4.分解因式:x2+x-(a2-a).

第二讲

函数与方程

2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变 形为 b 2 b 2 ? 4ac (x ? ) ? . ① 2a 4a 2 因为 a≠0,所以,4a2>0.于是 (1)当 b2-4ac>0 时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不 相等的实数根

?b ? b2 ? 4ac ; 2a (2)当 b2-4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数
x1,2= 根 x1=x2=-
b ; 2a
b 2 ) 2a

(3) 当 b2-4ac<0 时, 方程①的右端是一个负数, 而方程①的左边 ( x ?

一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根. 由此可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定, 我们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根的判别式, 通常用符号“Δ”来表示. 综上所述,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有
6

(1) 当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根

?b ? b2 ? 4ac ; 2a (2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根 b x1=x2=- ; 2a (3)当 Δ<0 时,方程没有实数根. 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实 数根,写出方程的实数根. (1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0; (3) x2-ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0. 说明:在第 3,4 小题中,方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而 变化,于是,在解题过程中,需要对 a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类 讨论. 分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题 中会经常地运用这一方法来解决问题.
x1,2=

2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根

x1 ?
则有

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b x1 ? x2 ? ? ? ?? ; 2a 2a 2a a 2 2 2 2 ?b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac b ? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? . 2a 2a 4a 2 4a a 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ?
b ,x1· x2 a

c = .这一关系也被称为韦达定理. a 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其 两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1· x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1· x2, 2 所以,方程 x +px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0,由于 x1,x2 是一 2 元二次方程 x +px+q=0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x +x1· x2=0.因此有 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0.

例2

已知方程 5 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值.
2

7

例3 已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且这 两个实数根的平方和比两个根的积大 21,求 m 的值. 例 4 已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数. 例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根. (1)求| x1-x2|的值; 1 1 (2)求 2 ? 2 的值; x1 x2 3 3 (3)x1 +x2 .

例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2-x+a-4=0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的取值范围.




(1)方程 x ? 2 3kx ? 3k ? 0 的根的情况是 ( ) (A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根 (2)若关于 x 的方程 mx2+ (2m+1)x+m=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值 范围是 ( )
2 2

1.选择题:

1 4 1 (C)m< ,且 m≠0 4
(A)m< 2.填空:

1 4 1 (D)m>- ,且 m≠0 4
(B)m>-

(1)若方程 x2-3x-1=0 的两根分别是 x1 和 x2,则 (2)方程 mx2+x-2m=0(m≠0)的根的情况是 (3)以-3 和 1 为根的一元二次方程是

1 1 ? = x1 x2

. . .

3.已知 a 2 ? 8a ? 16 ? | b ? 1|? 0 ,当 k 取何值时,方程 kx2+ax+b=0 有两个不相等的实 数根? 4.已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1 和 x2,求(x1-3)( x2-3)的值.

习题 2.1
1.选择题: (1)已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 (2)下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ? )

④方程 3 x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个
8

7 ; 3

( ) (D)4 个

(3)关于 x 的一元二次方程 ax2-5x+a2+a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 2.填空: (1)方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= . 2 2 2 (2)方程 2x -x-4=0 的两根为 α,β,则 α +β = . (3)已知关于 x 的方程 x2-ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是 . (4)方程 2x2+2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|= . 3.试判定当 m 取何值时,关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m+1) x+1=0 有两个不相等的 实数根?有两个相等的实数根?没有实数根? 4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相反数.

2. 2

二次函数

2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质
二次函数 y=ax2(a≠0)的图象可以由 y=x2 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到.在二次函数 y=ax2(a≠0)中,二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在 同一个坐标系中的开口的大小. 二次函数 y=a(x+h)2+k(a≠0)中, a 决定了二次函数图象的开口大小及方向; h 决定了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定了二次 函数图象的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”. 由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方 法: b b b2 b2 2 2 2 由于 y=ax +bx+c=a(x + x )+c=a(x + x + 2 )+c- a a 4a 4a 2 b b ? 4ac ? a( x ? ) 2 ? , 2a 4a 所以,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax2 的图象作左右平 移、上下平移得到的,于是,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质: b 4ac ? b2 , ), (1)当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 (? 2a 4a b b b 对称轴为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x> ? 时,y 随着 2a 2a 2a b 4ac ? b 2 x 的增大而增大;当 x= ? 时,函数取最小值 y= . 2a 4a b 4ac ? b2 , ), (2) 当 a<0 时, 函数 y=ax2+bx+c 图象开口向下; 顶点坐标为 (? 2a 4a b b b 对称轴为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x> ? 时,y 随着 2a 2a 2a b 4ac ? b 2 x 的增大而减小;当 x= ? 时,函数取最大值 y= . 2a 4a 例 1 求二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、 最大值(或最小值) ,并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?并
9

画出该函数的图象.

例 2 把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到 函数 y=x2 的图像,求 b,c 的值.

例 3 已知函数 y=x2,-2≤x≤a,其中 a≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出 函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值.





1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( ) (A)y=2x2 (B)y=2x2-4x+2 (C)y=2x2-1 (D)y=2x2-4x 2 2 (2)函数 y=2(x-1) +2 是将函数 y=2x ( ) (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2.填空题 (1) 二次函数 y=2x2-mx+n 图象的顶点坐标为(1, -2), 则 m= , n= . (2)已知二次函数 y=x2+(m-2)x-2m,当 m= 时,函数图象的顶点在 y 轴上;当 m= 时,函数图象的顶点在 x 轴上;当 m= 时,函数图象经过原点. (3)函数 y=-3(x+2)2+5 的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标 为 ;当 x = 时,函数取最 值 y= ;当 x 时,y 随着 x 的增大而减小. 3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况, 并画出其图象. (1)y=x2-2x-3; (2)y=1+6 x-x2. 4.已知函数 y=-x2-2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值 或最小值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3.

2.2.2 二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式: 1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交
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点的横坐标.
例 1 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点 (3,-1) ,求二次函数的解析式. 例 2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二 次函数的表达式.

例 3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函 数的表达式. 练 习

1.选择题: (1)函数 y=-x2+x-1 图象与 x 轴的交点个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无法确定 1 2 (2)函数 y=- (x+1) +2 的顶点坐标是 ( ) 2 (A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2) 2.填空: (1)已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可 设为 y=a (a≠0) . 2 (2)二次函数 y=-x +2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 . 3.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2).

习题 2.2
1.选择题: (1)把函数 y=-(x-1)2+4 的图象的顶点坐标是 ( ) (A) (-1,4) (B) (-1,-4) (C) (1,-4) (D) (1,4) (2)函数 y=-x2+4x+6 的最值情况是 ( ) (A)有最大值 6 (B)有最小值 6 (C)有最大值 10 (D)有最大值 2 (3)函数 y=2x2+4x-5 中,当-3≤x<2 时,则 y 值的取值范围是 ( ) (A)-3≤y≤1 (B)-7≤y≤1 (C)-7≤y≤11 (D)-7≤y<11 2.填空: (1)已知某二次函数的图象与 x 轴交于 A(-2,0),B(1,0),且过点 C(2,4) ,则该二 次函数的表达式为 . ( 2 )已知某二次函数的图象过点(- 1 , 0 ) , (0,3) , (1,4) ,则该函数的表达式 为 . 3.把已知二次函数 y=2x2+4x+7 的图象向下平移 3 个单位,在向右平移 4 个单位,求所 得图象对应的函数表达式. 4.已知某二次函数图象的顶点为 A(2,-18) ,它与 x 轴两个交点之间的距离为 6,求该 二次函数的解析式.

2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
11

方程

x2 ? 2xy ? y2 ? x ? y ? 6 ? 0 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程,这样的 方程叫做二元二次方程.其中 x 2 , 2 xy , y 2 叫做这个方程的二次项, x , y 叫做一次 项,6 叫做常数项. 我们看下面的两个方程组: ? x 2 ? 4 y 2 ? x ? 3 y ? 1 ? 0, ? ? 2 x ? y ? 1 ? 0;
2 2 ? ? x ? y ? 20, ? 2 2 ? ? x ? 5 xy ? 6 y ? 0. 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方 程组是由两个二元二次方程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组. 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程 组的解法. 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元 法来解. 例 1 解方程组 ? x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0, ① ? ② ? x ? 2 y ? 2 ? 0.

例2

解方程组 ? x ? y ? 7, ? ? xy ? 12.

① ②

练 习 1.下列各组中的值是不是方程组 ? x 2 ? y 2 ? 13, ? ?x ? y ? 5 的解?

? x ? 2, ? x ? 3, (1) ? (2) ? ? y ? 3; ? y ? 2; 2.解下列方程组: ? y ? x ? 5, (1) ? 2 2 ? x ? y ? 625;
(3)

? x ? 1, (3) ? ? y ? 4;

? x ? ?2, (4) ? ? y ? ?3; ? x ? y ? 3, (2) ? ? xy ? ?10;
2 ? ? y ? 2x , (4) ? 2 2 ? ? x ? y ? 8.

? x2 y 2 ? 1, ? ? 4 ?5 ? y ? x ? 3; ?

2.3.2
2

一元二次不等式解法

(1)当 Δ>0 时,抛物线 y=ax +bx+c(a>0)与 x 轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0), 方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1 和 x2(x1<x2),由图 2.3-2①可知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为
12

不等式 ax2+bx+c<0 的解为

x<x1,或 x>x2; x1<x<x2.

(2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有且仅有一个公共点,方程 ax2 b +bx+c=0 有两个相等的实数根 x1=x2=- ,由图 2.3-2②可知 2a 不等式 ax2+bx+c>0 的解为

b x≠-2a ;
不等式 ax2+bx+c<0 无解.

(3)如果△<0,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴没有公共点,方程 ax2+bx+c=0 没有实数根,由图 2.3-2③可知 不等式 ax2+bx+c>0 的解为一切实数; 不等式 ax2+bx+c<0 无解. 例3 解不等式:
2

(1)x +2x-3≤0; (3)4x2+4x+1≥0; (5)-4+x-x2<0.

(2)x-x2+6<0; (4)x2-6x+9≤0;

例 4 已知函数 y=x2-2ax+1(a 为常数)在-2≤x≤1 上的最小值为 n,试将 n 用 a 表示出 来.




(2)x2-x-12≤0; (4)16-8x+x2≤0.

1.解下列不等式: (1)3x2-x-4>0; (3)x2+3x-4>0;

2.解关于 x 的不等式 x2+2x+1-a2≤0(a 为常数) .

习题 2.3
1.解下列方程组:

? x2 2 ? ? y ? 1, (1) ? 4 ? x ? y ? 2 ? 0; ?
2 2 ? ? x ? y ? 4, (3) ? 2 2 ? ? x ? y ? 2.

(2) ?

?( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9, ? x ? 2 y ? 0;

2.解下列不等式: (1)3x2-2x+1<0; (3)2x-x2≥-1;

(2)3x2-4<0; (4)4-x2≤0.

第三讲
3 .1

三角形与圆
相似形
13

3.1.1.平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. AB DE AB DE = ? 如图 3.1-2, l1 // l2 // l3 ,有 .当然,也可以得出 .在运用该 BC EF AC DF 定理解决问题的过程中,我们一定要注意线段之间的对应关系,是“对应”线段成 比例. 例1 如图 3.1-2, l1 // l2 // l3 ,

且 AB = 2, BC = 3, DF = 4, 求 DE, EF .

例2

在 ABC 中, D, E 为边 AB, AC 上的点, DE // BC , 求证:

AD AE DE ? ? . AB AC BC 平行于三角形的一边的直线截其它两边(或两边的延长线) ,所得的对应线 段成比例. 平行于三角形的一边, 并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边 与原三角形的三边对应成比例. AB BD = . AC DC 例 3 的结论也称为角平分线性质定理,可叙述为角平分线分对边成比例(等 于该角的两边之比).

例3

在 V ABC 中, AD 为 ?BAC 的平分线,求证:

练习 1 1.如图 3.1-6, l1 // l2 // l3 ,下列比例式正确的 是( ) AD CE = A. DF BC CE AD = C. DF BC
AD = BE AF = D. DF BC AF BE CE
图 3.1-6

B.

2.如图 3.1-7, DE // BC, EF // AB, AD = 5cm, DB = 3cm, FC = 2cm, 求 BF .
图 3.1-7

3.如图,在 V ABC 中,AD 是角 BAC 的平分线,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求 BD 的长.
14

图 3.1-8

3.1.2.相似形
我们学过三角形相似的判定方法,想一想,有哪些方法可以判定两个三角形 相似?有哪些方法可以判定两个直角三角形相似? 例6 如图 3.1-12,在直角三角形 ABC 中, ?BAC 为直角, AD ^ BC于D . 求证: (1) AB2 = BD BC , AC 2 = CD CB ; (2) AD 2 = BD CD 练习 2 1.如图 3.1-15,D 是 V ABC 的边 AB 上的一点,过 D 点 作 DE//BC 交 AC 于 E. 已 知 AD : DB=2 : 3 , 则 等于( SVA D E: S四边形B C D E A. 2 : 3 B. 4 : 9 ) C. 4 : 5 D. 4 : 21
图 3.1-15

2. 若一个梯形的中位线长为 15,一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段 的比是 3 : 2 ,则梯形的上、下底长分别是__________. 3.已知: V ABC 的三边长分别是 3,4,5,与其相似的 V A ' B ' C ' 的最大边长是 15,求 A ' B ' C ' 的面积 SV A ' B 'C ' .

4.已知:如图 3.1-16,在四边形 ABCD 中,E、F、 G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. (1) 请判断四边形 EFGH 是什么四边形,试说明 理由; (2) 若四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC、 BD 满足什么条件时,EFGH 是菱形?是正方 形?

图 3.1-16

15

习题 3.1 V ABC 中, 1.如图 3.1-18, AD=DF=FB, AE=EG=GC, FG=4,则( ) A.DE=1,BC=7 B.DE=2,BC=6 C.DE=3,BC=5 D.DE=2,BC=8
图 3.1-18

2.如图 3.1-19,BD、CE 是 V ABC 的中线,P、Q 分别 是 BD、CE 的中点,则 PQ : BC 等于( A.1:3 C.1:5 B.1:4 D.1:6
图 3.1-19



3.如图 3.1-20, Y ABCD 中,E 是 AB 延长线上一点,DE 交 BC 于点 F,已知 BE:AB=2:3, SVBEF = 4 ,求 SVCDF .

图 3.1-20

4.如图 3.1-21,在矩形 ABCD 中,E 是 CD 的中点, BE ^ AC 交 AC 于 F,过 F 作 FG//AB 交 AE 于 G, 求证: AG 2 = AF FC .

图 3.1-21

3.2

三角形

3.2.1 三角形的“四心”
三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心 在三角形的内部,恰好是每条中线的三等分点. 例 1 求证三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为 2: 1. 图 3.2-3 已知 D、E、F 分别为 V ABC 三边 BC、CA、AB 的中点, 求证 AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2:1.
16

三角形的三条角平分线相交于一点, 是三角形的 内心. 三角形的内心在三角形的内部, 它到三角形的 三边的距离相等.(如图 3.2-5)
图 3.2-5

例2

已知 V ABC 的三边长分别为 BC = a, AC = b, AB = c ,I 为 V ABC 的内心,
A上 B 的 射 影 分 别 为 D、E、F , 求 证 :

、 A、 C 且 I 在 V ABC 的 边 B C b+ c- a AE = AF = . 2

三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形 的垂心一定在三角形的内部, 直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的 垂心在三角形的外部.(如图 3.2-8)

图 3.2-8

例4 已知 求证

求证:三角形的三条高交于一点.
V ABC 中, AD ^ BC于D, BE ^ AC于E, AD 与 BE 交于 H 点.
C H^ AB .

过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆, 该圆是三角形 ABC 的外接圆,圆心 O 为三角形的 外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等, 是各边 的垂直平分线的交点.

练习 1 1.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形. 2. (1) 若三角形 ABC 的面积为 S,且三边长分别为 a、b、c ,则三角形的内 切圆的半径是___________; (2)若直角三角形的三边长分别为 a、b、c (其中 c 为斜边长) ,则三角形 的内切圆的半径是___________. 并请说明理由. 练习 2
17

1.直角三角形的三边长为 3,4, x ,则 x = ________. 2.等腰三角形有两个内角的和是 100° ,则它的顶角的大小是_________. 3.已知直角三角形的周长为 3 ? 3 , 斜边上的中线的长为 1, 求这个三角形的面 积. 习题 3.2 A组 1.已知:在 ABC 中,AB=AC, ?BAC ? 120o , AD 为 BC 边上的高,则下列结论 中,正确的是() A. AD ?
3 AB 2

B. AD ?

1 AB 2

C. AD ? BD

D. AD ? )

2 BD 2

2.三角形三边长分别是 6、8、10,那么它最短边上的高为( A.6 B.4.5 C.2.4 D.8

3.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半,那么这个等腰三角形的顶角等 于_________. 4.已知:a, b, c 是 ABC 的三条边,a ? 7, b ? 10 , 那么 c 的取值范围是_________。
8 ,且 a 是整数,则 a 的值是_________。 5.若三角形的三边长分别为 1、a、

3 .3 圆
3.3.1 直线与圆,圆与圆的位置关系
设有直线 l 和圆心为 O 且半径为 r 的圆, 怎样判断直线 l 和圆 O 的位置关系?

图 3.3-1

观察图 3.3-1,不难发现直线与圆的位置关系为:当圆心到直线的距离 d > r 时,直线和圆相离,如圆 O 与直线 l1 ;当圆心到直线的距离 d = r 时,直线和圆 相切,如圆 O 与直线 l2 ;当圆心到直线的距离 d < r 时,直线和圆相交,如圆 O 与

18

直线 l3 . 在直线与圆相交时,设两个交点分别为 A、B.若直线经过圆心,则 AB 为直 径; 若直线不经过圆心, 如图 3.3-2, 连结圆心 O 和弦 AB 的中点 M 的线段 OM 垂 直于这条弦 AB .且在 RtVOMA 中, OA 为圆的半径 r , OM 为圆心到直线的距离 d , MA 为弦长 AB 的一半,根据勾股定理,有 AB 2 图 3.3-2 r2 - d 2 = ( ) . 2 当直线与圆相切时,如图 3.3-3, PA, PB 为圆 O 的切线,可 得 PA ? PB , OA ? PA. ,且在 Rt POA 中, PO2 ? PA2 ? OA2 . 如图 3.3-4, PT 为圆 O 的切线, PAB 为圆 O 的割线,我们可以 证得 PAT
PTB ,因而 PT 2 ? PA ? PB .
图 3.3-3

图 3.3-4

例1

如图 3.3-5,已知⊙O 的半径 OB=5cm,弦 AB=6cm,D 是 AB 的中点,求

弦 BD 的长度。 例2 已知圆的两条平行弦的长度分别为 6 和 2 6 ,

且这两条线的距离为 3.求这个圆的半径. 设圆 O1 与圆 O2 半径分别为 R, r ( R ? r ) , 它们可能有 哪几种位置关系?

图 3.3-7
19

观察图 3.3-7,两圆的圆心距为 O1O2 ,不难发现:当 O1O2 ? R ? r 时,两圆相 内切,如图(1) ;当 O1O2 ? R ? r 时,两圆相外切,如图(2) ;当 O1O2 ? R ? r 时, 两圆相内含,如图( 3 ) ;当 R ? r ? O1O2 ? R ? r 时,两圆相交,如图( 4 ) ;当

O1O2 ? R ? r 时,两圆相外切,如图(5).
例3 设圆 O1 与圆 O2 的半径分别为 3 和 2, O1O2 ? 4 , A, B 为两圆的交点,试求

两圆的公共弦 AB 的长度. 练习 1 1.如图 3.3-9,⊙O 的半径为 17cm,弦 AB=30cm,AB 所对的劣弧和优弧的中点分别为 D、C,求弦 AC 和 BD 的长。

图 3.3-9

2.已知四边形 ABCD 是⊙O 的内接梯形,AB//CD,AB=8cm,CD=6cm, ⊙O 的半 径等于 5cm,求梯形 ABCD 的面积。

3. 如 图 3.3-10 , ⊙ O 的 直 径 AB 和 弦 CD 相 交 于 点 E ,

AE ? 1cm, EB ? 5cm, ?DEB ? 60o , 求 CD 的长。
图 3.3-10

4.若两圆的半径分别为 3 和 8,圆心距为 13,试求两圆的公切线的长度.

3.3.2 点的轨迹
在几何中, 点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形,它是符合某个条 件的所有点组成的.例如, 把长度为 r 的线段的一个端点固定,另一个端点绕这个 定点旋转一周就得到一个圆, 这个圆上的每一个点到定点的距离都等于 r ; 同时, 到定点的距离等于 r 的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定 长 r 的点的轨迹. 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形, 叫做符合这个条件的点的轨迹.
20

这里含有两层意思: (1)图形是由符合条件的那些点组成的,就是说,图形上的 任何一点都满足条件; (2)图形包含了符合条件的所有的点,就是说,符合条件 的任何一点都在图形上. 下面,我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论,可以得出: (1) 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,定长为半径的 圆. 我们学过,线段垂直平分线上的每一点,和线段两个端点的距离相等;反过 来,和线段两个端点的距离相等的点,都在这条线段的垂直平分线上 .所以有下 面的轨迹: (2) 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹, 是这条线段的垂直平分 线. 由角平分线性质定理和它的逆定理,同样可以得到另一个轨迹: (3) 到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线. 练习 2 1.画图说明满足下列条件的点的轨迹: (1) 到定点 A 的距离等于 3cm 的点的轨迹; (2) 到直线 l 的距离等于 2cm 的点的轨迹; (3) 已知直线 AB // CD ,到 AB 、 CD 的距离相等的点的轨迹. 2.画图说明,到直线 l 的距离等于定长 d 的点的轨迹.

习题 3.3
1. 已知弓形弦长为 4,弓形高为 1,则弓形所在圆的半径为( A. 3 B. )

5 2

C.3

D.4

2. 在半径等于 4 的圆中,垂直平分半径的弦长为( A. 4 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 3



3. AB 为⊙O 的直径,弦 CD ? AB ,E 为垂足,若 BE=6,AE=4,则 CD 等于( ) A. 2 21 B. 4 6 C. 8 2 D. 2 6

4. 如 图 3.3-12 , 在 ⊙ O 中 , E 是 弦 AB 延 长 线 上 的 一 点 , 已 知 OB=10cm,OE=12cm, ?OEB ? 30 , 求 AB。
o

图 3.3-12

21

参考答案

第一讲 数与式
1.1.1.绝对值 1. (1) ?5 ; ?4 (2) ?4 ; ?1 或 3 2.D 3.3x-18 1.1.2.乘法公式 1 1 1 1 1. (1) a ? b (2) , (3) 4ab ? 2ac ? 4bc 3 2 2 4 2. (1)D (2)A 1.1.3.二次根式 1. (1) 3 ? 2 (2) 3 ? x ? 5 (3) ?8 6 (4) 5 . 2.C 3.1 4.> 1.1.4.分式 1 99 1.2 2.B 3. 2 ? 1 4. 100 习题 1.1 1. (1) x ? ?2 或 x ? 4 (2)-4<x<3 (3)x<-3,或 x>3 2.1 3. (1) 2 ? 3 (2) ?1 ? a ? 1 (3) 6 ? 1 1.2 分解因式 1. B 2. (1)(x+2)(x+4) (2) (2a ? b)(4a2 ? 2ab ? b2 ) (3) ( x ?1 ? 2)( x ?1 ? 2) 1. (1) ? a ? 1? ? a 2 ? a ? 1? (3) ?b ? c ??b ? c ? 2a ? (4) (2 ? y)(2 x ? y ? 2) . 习题 1.2 (2) ? 2x ? 3?? 2x ? 3?? x ? 1?? x ? 1?

(4) ?3 y ? y ? 4?? x ? 2 y ? 1?

? 5 ? 13 ?? 5 ? 13 ? x ? x ? 2. (1) ? ?? ? ; (2) x ? 2 ? 5 x ? 2 ? 5 ; ? 2 ?? 2 ? ? ?? ? ? 2 ? 7 ?? 2? 7 ? 3? x ? y x ? y? (3) ? x ? 3? ( x ? 1)( x ? 1 ? 5)( x ? 1 ? 5) . ? ? ? ?? ? ; (4) 3 3 ? ?? ? 3.等边三角形 4. ( x ? a ? 1)( x ? a)

?

??

?

第二讲
2.1

函数与方程
一元二次方程 练习 (3)x2+2x-3=0

1. (1)C (2)D 2. (1)-3 (2)有两个不相等的实数根 3.k<4,且 k≠0 4.-1 提示:(x1-3)( x2-3)=x1 x2-3(x1+x2)+9 习题 2.1
22

1. (1)C

提示:②和④是错的,对于②,由于方程的根的判别式 2 Δ<0,所以方程没有实数根;对于④,其两根之和应为- . 3 (3)C 提示:当 a=0 时,方程不是一元二次方程,不合题意. 17 2. (1)2 (2) (3)6 (3) 3 4 1 1 3.当 m>- ,且 m≠0 时,方程有两个不相等的实数根;当 m=- 时,方程 4 4 1 有两个相等的实数根;当 m<- 时,方程没有实数根. 4 4.设已知方程的两根分别是 x1 和 x2,则所求的方程的两根分别是-x1 和-x2,∵x1+x2
=7,x1x2=-1,∴(-x1)+(-x2)=-7,(-x1)× (-x2)=x1x2=-1,∴所求的方程为 y2 +7y-1=0.

(2)B

2.2

二次函数

2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 练 习
1. (1)D (2)D 2. (1)4,0 (2)2,-2,0 (3)下,直线 x=-2,(-2,5);-2,大, 5;>-2. 3. (1)开口向上;对称轴为直线 x=1;顶点坐标为(1,-4);当 x=1 时,函数 有最小值 y=-4;当 x<1 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x>1 时,y 随着 x 的增大而增大.其图象如图所示. (2)开口向下;对称轴为直线 x=3;顶点坐标为(3,10);当 x=3 时,函数 有最大值 y=10;当 x<3 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x>3 时,y 随 着 x 的增大而减小.其图象如图所示.
y y x=1 y=x -2x-3
2

(3,10)

-1 O

3

x 1 O

y=-x2+6x+1 x x=3 (2)

-3 (1,-4) (1) (第 3 题)

4.通过画出函数图象来解(图象略) . (1)当 x=-2 时,函数有最大值 y=3;无最小值. (2)当 x=-1 时,函数有最大值 y=4;无最小值. (3)当 x=-1 时,函数有最大值 y=4;当 x=1 时,函数有最小值 y=0.
23

(4)当 x=0 时,函数有最大值 y=3;当 x=3 时,函数有最小值 y=-12.

2.2.2 二次函数的三种表示方式 练 习
1. (1)A (2)C 2. (1)(x+1)(x-1) 3. (1)y=-x2+2x-3 (2)4 3 (2)y=2 (x-3)2+5

(3)y=2(x-1+ 2)( x+1- 2)

习题 2.2
1. (1)D (2)C (3)D (2)y=-x2+2x+3

2. (1)y=x2+x-2 3.y=2x2-12x+20 4.y=2x2-8x-10

2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法 练 习
1.(1) (2)是方程的组解; ? x1 ? 15, ? x2 ? ?20, 2. (1) ? ? ? y1 ? 20, ? y2 ? ?15; 5 ? x? , ? ? 3 (3) ? ?y ? ? 4. ? 3 ? (3) (4)不是方程组的解. ? x1 ? 5, ? x2 ? ?2, (2) ? ? ? y1 ? ?2, ? y2 ? 5;
? x1 ? 2, (4) ? ? y1 ? 2, ? x2 ? 2, ? ? y2 ? ?2.

2.3.2 一元二次不等式解法 练 习
4 1. (1)x<-1,或 x>3 ; (2)-3≤x≤4; (3)x<-4,或 x>1; (4)x=4. 2.不等式可以变为(x+1+a)( x+1-a)≤0, (1)当-1-a<-1+a,即 a>0 时,∴-1-a≤x≤-1+a; (2)当-1-a=-1+a,即 a=0 时,不等式即为(x+1)2≤0,∴x=-1; (3)当-1-a>-1+a,即 a<0 时,∴-1+a≤x≤-1-a.
24

综上,当 a>0 时,原不等式的解为-1-a≤x≤-1+a; 当 a=0 时,原不等式的解为 x=-1; 当 a<0 时,原不等式的解为-1+a≤x≤-1-a.

习题 2.3
? x1 ? 2, 1. (1) ? ? y1 ? 0,

10 ? x2 ? , ? ? x1 ? 0, ? 3 (2) ? ? ? y1 ? 0, ?y ? 4. 2 ? 3 ? ? ? x1 ? 3 ? 2, ? ? x2 ? 3 ? 2, (3) ? ? ? ? y1 ? 3 ? 2, ? ? y2 ? 3 ? 2; ? x3 ? ? 3, ? ? ? x ? 3, ? ? x2 ? 3, ? ? x4 ? ? 3, (4) ? 1 ? ? ? ? ? ? y1 ? 1, ? ? y2 ? ?1, ? ? y4 ? ?1. ? y3 ? 1,

24 ? x2 ? , ? ? 5 ? ? y ? ? 12 . 2 ? 5 ?

2. (1)无解 (3)1- 2≤x≤1+ 2

2 3 2 3 ?x? 3 3 (4)x≤-2,或 x≥2
(2) ?

第二讲
3.1 相似形 练习 1
1.D

三角形与圆

DE AD x 5 10 10 ? ,? ? , x ? ,即 BF ? . BC AB x?2 8 3 3 AB BD 5 35 ? ? ,? BD ? cm. 3. AC DC 4 9 AB BD ? ? F得 AC ? 4 . 作 CF // AB 交 AD 于 F , 则 , 又 ?A F C? ? F A E CF DC AB BD ? AC ? CF , ? . AC DC EG CE CEG CAB,? ? , 即 5 . 作 EG // AB 交 BC 于 G , AB AC AC CE DB DF AC ? ? ,? ? . AB EG EG EF AB
2.设 BF ? x,

练习 2 1. C
2.12,18 3.

S

ABC

1 ? ? 3 ? 4 ? 6,? S 2

A' B 'C '

15 ? ( ) 2 ? 6 ? 54. 5

25

4. (1)因为 EH //

1 BD //FG, 所以 EFGH 是平行四边形; (2)当 AC ?BD 时,EFGH 为 2

菱形;当 AC ? BD, AC ? BD 时, EFGH 为正方形.
2 5. (1)当 CD ? AC ? BD 时, ACP o PDB ; (2) ?APB ? 120 .

习题 3.1
1.B 2.B 3. S
CDF

?9

2 4 . BF 为 直 角 三 角 形 ABC 斜 边 上 的 高 , BF ? AF ? FC , 又 可 证

AG ? BF , ? AG 2 ? AF ? FC .

3.2 三角形 练习 1
1.证略 练习 2 1.5 或 7 2. 20 或 80
o
o

2.(1)

2S a?b?c ; (2) . a?b?c 2
3.C
2 2

4.设两直角边长为 a , b ,斜边长为 2,则 a ? b ? 1 ? 3 ,且 a ? b ? 4 ,解得 ab ? 3 ,

?S ?

1 ab ? 2 3 . 2 习题 3.2 A组
1.B 2. D 3. 120
o

5.可利用面积证.

4. 3 ? c ? 17

5.8

3.3 圆 练习 1
1 .取 AB 中点 M,连 CM , MD,则 CM ? AB, DM ? AB ,且 C ,O,M , D 共线,

OM ? 172 ? 152 ? 8, CM ? 25, DM ? 9, AC ? 5 34cm, BD ? 3 34cm.
2. O 到 AB, CD 的距离分别为 3cm,4cm, 梯形的高为 1cm 或 7cm, 梯形的面积为 7 或 49 cm . 3. 半径为 3cm,OE=2cm.,OF= 3, CD ? 2 6cm .4.外公切线长为 12,内公切线长为 4 3 .
2

练习 2
1.(1)以 A 为圆心,3cm 为半径的圆; (2)与 l 平行,且与 l 距离为 2cm 的两条平行线; (3) 与 AB 平行,且与 AB,CD 距离相等的一条直线. 2.两条平行直线,图略.

习题 3.3

1.B

2.A

3.B

4.AB=8cm.

26


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