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高中数学北师大版必修一配套课件:2 《 实际问题的函数建模》

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§2 实际问题的函数建模 学习目标 1.了解数学建模,掌握根据已知条件建立函数关系式的 方法; 2.通过例题的学习,增强应用数学的意识以及分析问题、解决问 题的能力。 解决应用题的一般程序是: ①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; ②建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型; ③解模:求解数学模型,得出数学结论; ④还原:将用数

学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意 义. 数学建模过程: 实际问题 抽象概括 数学模型 推 理 演 算 实际问题的解 还原说明 数学模型的解 应用举例 例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关 系如表所示: 销售单价/元 日均销售量/桶 6 480 7 440 8 400 9 360 10 320 11 280 12 240 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获 得最大利润? 分析:由表中信息可知①销售单价每增加1元, 日均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好? 解:设在进价基础上增加x元后,日均经营利润为y元, 则有日均销售量为 p ? 480 ? 40(x ? 1) ? 520 ? 40x 而 x > 0, 且520 - 40x > 0, 即0 < x < 13 = - 40(x - 6.5)2 + 1490 p = (520 - 40x)x - 200 = - 40x 2 + 520x - 200 \ 当 x = 6.5 时,y 有最大值 \ 只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润. 例2 已知某商品的价格每上涨x%,销售的数量就减少kx%, 其中k为正常数. 1 (1)当 k = 时,该商品的价格上涨多少,就能使销售的 2 总金额最大? (2)如果适当的涨价,能使销售总金额增加,求k的取值范 围. 解:(1)设商品现在定价为a元,卖出的数量为b个。由题设: 当价格上涨x%时,销售总额为 y = a(1 + x%) ?b(1 kx%) 即 ab y= [- kx 2 + 100(1- k)x + 10000] 10000 取 k= 1 ,得: ab y= [- (x - 50) 2 + 22500] 2 20000 9 = ab 即该商品的价格上涨50%时, 8 当 x = 50时, y max 销售总金额最大. ab [- kx 2 + 100(1- k)x + 10000] (2)∵二次函数 y = 10000 50(1- k) ] 上递增, k 50(1- k) , + ? ) 上递减 在 [ k 在 (- ? , ∴适当地涨价,即 x>0 , 即 50(1- k) >0 k 就是 0 < k <1 ,能使销售总金额增加. 例3、按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率 为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化 的函数式。如果存入本金1000元,每期利率2.25%,试计 算5期后的本利和是多少? 思路分析 (1)复利是计算利率的一个方法,即把前一期的利息和 本金加在一起做本金,再计算下一期的利息,设本金为P, 每期利率为r,本利和为y ,存期为x, 则复利函数式为 y=p(1+r)x. (2)1期后本利和为:y1 ? a ? a ? r ? a(1 ? r) 2 y ? a(1 ? r) 2期后本利和为: 2 ?? x y ? a(1 ?

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