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高中数学高考导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例


考点 11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 一、选择题

ex e2 ,f (2) ? . x>0 时 ,f(x) 1. ( 2013 · 辽宁高考理科· T 12 ) 设函数 f ( x ) 满足 x f ?( x ) ? 2xf (x )? 则 x 8
2





/>A. 有极大值,无极小值 C. 既有极大值又有极小值

B. 有极小值,无极大值 D. 既无极大值也无极小值

【解题指南】结合题目条件,观察式子的特点,构造函数,利用导数研究极值问题。 【解析】选 D. 由题意知 f ? ( x) =

e x 2 f ( x) e x - 2 x 2 f ( x) , = x3 x x3

令g(x) = e x - 2x 2f (x), 则g '(x) = e x - 2x 2f '(x) - 4xf (x ) = e x - 2( x 2 f ? ( x) + 2 xf ( x)) = ex 2e x 2 = e x (1- ). x x

由 g? ( x) = 0 得 x = 2 , 当 x = 2 时 ,

g ( x) min = e 2 - 2创22

e2 = 0 8
g ( x) x3 0,

( x) = 即 g ( x) ? 0 , 则当 x > 0 时 , f ?

故 f ( x) 在 (0,+ ∞ ) 上单调递增 , 既无极大值也无极小值 . 2. ( 2013 ·新课标Ⅰ高考文科·T 12 )与( 2013 ·新课标Ⅰ高考理科·T 11 )相同

?? x 2 ? 2 x, x ? 0 已知函数 f ( x) ? ? ,若 | f ( x) |? ax ,则 a 的取值范围是( ?ln(x ? 1), x ? 0
A. (??,0] B. (??,1] C. [?2,1]



D. [?2,0]

【解题指南】先结合函数画出函数 y=|f(x)| 的图象,利用 | f ( x) | 在 (0,0) 处的切线为制定参数的标 准. 【解析】选 D. 画出函数 y=|f(x)| 的图象如图所示 , 当 x ? 0 时,

g ( x) ?| f ( x) |? x 2 ? 2 x ,
g ?( x) ? 2 x ? 2 , g ?(0) ? ?2 ,故 a ? ?2 .
1 / 45

当 x ? 0 时, g ( x) ?| f ( x) |? ln (x ? 1) , g ?( x) ?

1 x ?1

由于 g ( x) 上任意点的切线斜率都要大于 a ,所以 a ? 0 ,综上 ? 2 ? a ? 0 . 3. ( 2013 ·新课标全国Ⅱ高考文科·T 11 )与 (2013 ·新课标全国Ⅱ高考理科· T10) 相同 设已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是( A. ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0 B. 函数 y ? f ( x) 的图象是中心对称图形 C. 若 x0 是 f ( x ) 的极小值点,则 f ( x ) 在区间 (??, x0 ) 单调递减 D. 若 x0 是 f ( x ) 的极值点,则 f ?( x0 ) ? 0 【解析】选 C. 结合函数与导数的基础知识进行逐个推导 . A 项 , 因 为 函 数 f(x) 的 值 域 为 R, 所 以 一 定 存 在 x 0 ∈ R, 使 f(x 0 )=0,A 正 确 .B 项 , 假 设 函 数 f(x)=x +ax +bx+c 的 对 称 中 心 为 (m,n), 按 向 量 a ? (?m, ?n) 将 函 数 的 图 象 平 移 , 则 所 得 函 数
3 2



y=f(x+m)-n 是奇函数 , 所以 f(x+m)+f(-x+m)-2n=0, 化简得 (3m+a)x +m +am +bm+c-n=0. 上式对 x ∈ R 恒成立 , 故 3m+a=0, 得 m=-

2

3

2

a ? a? 3 2 3 2 ,n=m +am +bm+c=f ? ? ? , 所以函数 f(x)=x +ax +bx+c 的对称中心为 3 ? 3?

? a ?? 3 , ?

? a ?? f ? ? ? ? , 故 y=f(x) 的图象 是中 心对称图形 ,B 正 确 .C 项 , 由于 f ?( x ) =3x2+2ax+b 是 二次函 ? 3 ??

数 ,f(x) 有极小值点 x 0 , 必定有一个极大值点 x 1 , 若 x 1 <x 0 , 则 f(x) 在区间 (- ∞ ,x 0 ) 上不单调递减 ,C 错 误 .D 项 , 若 x 0 是极值点 , 则一定有 f ?( x0 ) ? 0 . 故选 C. 4. ( 2013 · 安徽高考文科· T 10 ) 已知函数 f (x)=x +ax +bx+c 有两个极值点 x1 ,x 2 , 若 f( x1 ) =x 1 x <2 , 则关于 x 的方程 3(f (x )) +2a 的不同实根个数是 f ( x )+ b =0
2 3 2

(

)

A.3 B.4 C. 5 D.6 【解题指南】先求函数的导函数 , 由极值点的定义及题意 , 得出 f(x)=x 1 或 f(x)=x 2 , 再利用数形结合 确定这两个方程实数根的个数 .
2 【解析】选 A 。因为 f '( x) = 3x + 2ax +b ,函数的两个极值点为 x1 , x2 ,所以 f ?( x1 ) ? 0, f ?( x2 ) ? 0 ,

+ 所 以 x1 , x2 是 方 程 3x + 2a x

2

b =0 的 两 根 , 所 以 解 方 程 3 ( f

得 x (2+ ) ) a2 f +x ( =)b

0

f ( x) ? x1或f ( x) ? x2 ,由上述可知函数 f(x) 在 (-∞ ,x1 ),(x2,+ ∞ )上单调递增 ,在 (x1,x2)上单调递
减 . 又 f(x 1 )=x 1 <x 2 , 如图 ,
2 / 45

数形结合可知 f(x)=x 1 有两个不同实根 ,f(x)=x 2 有一个实根 , 所以不同实根的个数为 3. 5. ( 2013 ·安徽高考理科·T 10 )若函数 f (x)=x3 +ax2 +bx+c 有极值点 x1 , x 2 ,且 f (x1 )=x1 ,则关
2 于 x 的方程 3(f (x )) 的不同实根个数是 +2a f ( x )+ b =0

(

)

A.3

B.4

C. 5

D.6

【解题指南】先求函数的导函数 , 由极值点的定义及题意 , 得出 f(x)=x 1 或 f(x)=x 2 , 再利用数形结合 确定这两个方程实数根的个数 .
2 【解析】选 A 。因为 f '( x) = 3x + 2ax +b ,函数的两个极值点为 x1 , x2 ,所以 f ?( x1 ) ? 0, f ?( x2 ) ? 0 ,

+ 所 以 x1 , x2 是 方 程 3x + 2a x

2

b =0 的 两 根 , 所 以 解 方 程 3 ( f

得 x (2+ ) ) a2 f +x ( =)b

0

不妨设 x1 < x2 . 由题意知函数 f(x) 在 (- ∞ ,x 1 ),(x 2 ,+ ∞ ) 上单调递增 , 在 (x 1 ,x 2 ) f ( x) ? x1或f ( x) ? x2 ,

上单调递减 . 又 f(x 1 )=x 1 <x 2 , 如图 , 数形结合可知 f(x)=x 1 有两个不同实根 ,f(x)=x 2 有一个实根 , 所以不同实根的个数为 3. 6. ( 2013 · 湖北高考理科· T 10 ) 已知 a 为常数, 函数 f ( x ) ? x ? ln x ? ax ? 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 则( )

A.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

B.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

C.

D.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

【 解 析 】 选 D.

1 f '(x) ? ln x ? ax ? x( ? a) ? ln x ? 1 ? 2ax(x ? 0) , 令 f ' ( x) ? 0 , 由 题 意 可 得 x

ln x ? 2ax ? 1 有两个实数解 x 1 ,x 2 ? 函数 g(x)=lnx+1-2ax 有且只有两个零点
3 / 45

? g(x) 在 (0,+ ∞ ) 上的唯一的极值不等于 0, g '(x)= 错误!未找到引用源。 -2a= 找到引用源。 . ①当 a ≤ 0 时 , g?(x) >0, f ?(x) 单调递增 , 因此 g(x)= f ?(x) 至多有一个零点 , 不符合题意 , 应舍去 . ②当 a>0 时 , 令 g?(x) =0, 解得 x= 因为 x ? (0,

1 ? 2ax , 错误!未 x

1 , 2a

1 ? (x) ), g ? , 0, 函数 g(x) 单调递增 ; 2a

x ?(

1 , ??) 时, g? (x)? 0 错误!未找到引用源。函数 g(x) 单调递减 . , 2a

所以 x= 错误!未找到引用源。是函数 g(x) 的极大值点 , 则 g 错误!未找到引用源。 >0, 即 ln 错误!未找到引用源。 +1-1=-ln(2a)>0, 所以 ln(2a)<0, 所以 0<2a<1, 即 0<a<

1 2

因为 0<x 1 < 错误!未找到引用源。 <x 2 , 所以 f '(x 1 )=lnx 1 +1-2ax 1 =0, f '(x 2 )=lnx 2 +1-2ax 2 =0. 则 f(x 1 )=x 1 (lnx 1 -ax 1 )=x 1 (2ax 1 -1-ax 1 ) =x 1 (ax 1 -1)< 错误!未找到引用源。 f(x 2 )=x 2 (lnx 2 -ax 2 )=x 2 (ax 2 -1)>1 × ? a ?

? ?

1 1? 1 ? ? ? 1? ? ? ? ? 1? . 2a ? 2 ? 2a ?

? l nx ? x2 ? 3 . 若 实 数 a , b 满 足 7. ( 2013 · 天 津 高 考 文 科 · T 8 ) 设 函 数 f ( x) ? ex ? x ? 2, g ( x )
f ( a) ? 0 ,g (b ? ) , 0 则



) B. f (b) ? 0 ? g (a)

A. g (a) ? 0 ? f (b) C. 0 ? g (a) ? f (b)

D. f (b) ? g (a) ? 0

【解题指南】先由 f ( a) ? 0, g (b )? 0 确定 a,b 的大小,再结合 f ( x) ? ex ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x2 ? 3 的单调 性进行判断 . 【解析】选 A. 因为 f ?( x) ? e x ? 1 ? 0, 所以 f ( x) ? e x ? x ? 2 在其定义域内是单调递增的,由 f (a ) ? 0 知
0 ? a ? 1, 又 因 为 x ? 0 , g ?( x) ?

1 x ? 3 在 (0, ??) 上 也 是 单 调 递 增 的 , 由 ? 2 x ? 0 , 故 g ( x)? l nx? 2 x
4 / 45

g (b) ? 0 知 1 ? b ? 2 ,所以 g (a ) ? g (b )? 0, 0 ? f (a) ? f (b) ,因此 g ( a) ? 0 ? f (b )。

8.(2013 ·浙 江 高 考 理 科 · T8) 已 知 e 为 自 然 对 数 的 底 数 , 设 函 数 f(x)=(e -1)(x-1) (k=1,2), 则 ( )

x

k

A. 当 k=1 时 ,f(x) 在 x=1 处取到极小值 B. 当 k=1 时 ,f(x) 在 x=1 处取到极大值 C. 当 k=2 时 ,f(x) 在 x=1 处取到极小值 D. 当 k=2 时 ,f(x) 在 x=1 处取到极大值 【解题指南】当 k=1,2 时 , 分别验证 f ' (1)=0 是否成立 , 根据函数的单调性判断是极大值点还是极小 值点 . 【 解 析 】 选 C. 当 k=1 时 ,f ′ (x)=e (x-1)+e -1, 此 时 f '(1) ≠ 0, 故 排 除 A,B; 当 k=2 时 ,f '(x)=e (x-1) +(e -1)(2x-2), 此时 f '(1)=0, 在 x=1 附近左侧 ,f '(x)<0, 在 x=1 附近右侧 ,f '(x)>0, 所以 x=1 是 f(x) 的极小值点 . 9.(2013 ·浙江高考文科· T8) 已知函数 y=f(x) 的图象是下列四个图象之一 , 且其导函数 y=f ' (x) 的 图象如图所示 , 则该函数的图象是 ( )
x 2 x x x

【解题指南】根据导数的性质来判断函数的性质 . 【解析】 选 B. 因为 f ' (x)>0(x ∈ (-1,1)), 所以 f(x) 在 (-1,1) 为增函数 , 又 x ∈ (-1,0) 时 ,f ' (x) 为增函 数 ,x ∈ (0,1) 时 ,f ' (x) 为减函数 , 所以选 B. 10. ( 2013 ·大纲版全国卷高考文科·T 10 ) 已知曲线 y ? x ? ax ?1在点? -1 ,a ? 2? 处切线的斜率为8,a= (
4 2



A. 9

B. 6

C. -9

D. -6

【解题指南】先对函数求导,将 x=-1 代入到导函数中即可求出 a 的值 . 【解析】 选 D. 由题意可知, 点 (?1, a ? 2) 在曲线上, 因为 y? ? 4x ? 2ax , 则 4 ? (?1) ? 2a ? (?1) ? 8 ,
3 3

解得 a ? ?6
5 / 45

二、填空题 11. ( 2013 ·广东高考文科·T 12 )若曲线 y=ax -lnx 在点 (1,a) 处的切线平行于 x 轴 , 则 a= 【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识 , 可先求导 . 【 解 析 】 对 y=ax -lnx 求 导 得 y ? ? 2 ax?
2 2

.

1 , 而 x 轴 的 斜 率为 0, 所 以 在 点 (1,a) 处 切 线 的 斜 率 为 x

y? x?1 ? 2a ? 1? 0,解得 a ?
【答案】

1 . 2

1 . 2

12. ( 2013 ·新课标Ⅰ高考理科·T 16 )若函数 f ( x) ? (1 ? x 2 )(x 2 ? ax ? b) 的图像关于直线 x ? ?2 对称,则 f ( x) 的最大值为 _______. 【解题指南】首先利用数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ?2 对称求出 a , b 的值,然后利用导数判断函数 的单调性,这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解 . 【解析】因为函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ?2 对称,所以 f (0) ? f (?4) ,得 4b ? ?60 ? 15a ,又

f ?( x) ? ?4x 3 ? 3ax2 ? 2(1 ? b) x ? a ,
而 f ?(?2) ? 0 , ? 4 ? (?2) 3 ? 3a(?2) 2 ? 2(1 ? b) ? (?2) ? a ? 0 . 得 11a ? 4b ? 28 即 ?

?4b ? ?60 ? 15a ,解得 a ? 8 , b ? 15 . ?11a ? 4b ? 28

故 f ( x) ? (1 ? x 2 )(x 2 ? 8x ? 15) , 则 f ?( x) ? ?4x 3 ? 24x 2 ? 28x ? 8 ? ?4( x 3 ? 6 x 2 ? 7 x ? 2)

? ?4( x ? 2)(x 2 ? 4x ? 1)
2 令 f ?( x) ? 0 ,即 ( x ? 2)(x ? 4 x ? 1) ? 0 ,则 x ? ?2 或 x ? ?2 ? 5 或 ? 2 ? 5 .

当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

6 / 45

f (?2 ? 5 ) ? [1 ? (?2 ? 5) 2 ][(?2 ? 5) 2 ? 8 ? (?2 ? 5) ? 15] ? (?4 5 ? 8)(8 ? 4 5) ? 16 f (?2 ? 5 ) ? [1 ? (?2 ? 5) 2 ][(?2 ? 5) 2 ? 8 ? (?2 ? 5) ? 15] ? (4 5 ? 8)(8 ? 4 5) ? 16
故 f ( x) 的最大值为 16 . 【答案】 16 三、解答题 13. ( 2013 ·大纲版全国卷高考文科·T 21 )已知函数 f ? x ? =x3 ? 3ax2 ? 3x ? 1. ( I )求 a ? ? 2时,讨论f ? x ?的单调性; ; ( II )若 x ??2, ???时,f ? x? ? 0,求 a 的取值范围 . 【解析】( I )当 a ? ?

2 时, f ( x) ? x 3 ? 3 2x 2 ? 3x ? 1 ,

f ?( x) ? 3x 2 ? 6 2x ? 3 .
令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ?

2 ? 1 , x2 ? 2 ? 1 .

当 x ? (??, 2 ? 1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (??, 2 ? 1) 是增函数; 当 x ? ( 2 ? 1, 2 ? 1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ( 2 ? 1, 2 ? 1) 是减函数; 当 x ? ( 2 ? 1,??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ( 2 ? 1,??) 是增函数 . ( II )由 f (2) ? 0 得 a ? ? 当a??

5 . 4

5 , x ? (2,??) 时, 4 1 5 x ? 1) ? 3( x ? )( x ? 2) ? 0 , 2 2

f ?( x) ? 3( x 2 ? 2ax ? 1) ? 3( x 2 ?

所以 f ( x) 在 (2,??) 是增函数,于是当 x ? (2,??) 时, f ( x) ? f (2) ? 0 .

7 / 45

综上, a 的取值范围是 [?

5 ,?? ) . 4

14. ( 2013 ·江苏高考数学科·T 20 )设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e x ? ax ,其中 a 为实数。 ( 1 )若 f ( x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g ( x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围; ( 2 )若 g ( x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f ( x) 的零点个数,并证明你的结论。 【解题指南】 (1) 先对 f(x)=lnx-ax 求导 , 利用条件 f(x) 在 (1,+ ∞ ) 上是单调减函数求出 a 的范围 , 再利用 g(x) 在 (1,+ ∞ ) 上有最小值求出 a 的范围 , 两者取交集 .(2) 注意函数方程不等式间的相互转 化. 【解析】 (1) 令 f ?( x) ?
-1

1 1 ? ax ?a ? ? 0 , 考虑到 f(x) 的定义域为 (0,+ ∞ ), 故 a>0, 进而解得 x>a -1 , x x
-1 -1 -1 x

即 f(x) 在 (a ,+ ∞ ) 上是单调减函数 . 同理 ,f(x) 在 (0,a ) 上是单调增函数 . 由于 f(x) 在 (1,+ ∞ ) 上是 单调减函数 , 故 (1,+ ∞ ) ? (a ,+ ∞ ), 从而 a ≤ 1, 即 a ≥ 1. 令 g '(x)=e -a=0, 得 x=lna. 当 x<lna 时 ,

g ?( x) <0; 当 x>lna 时 , g ?( x) >0. 又 g(x) 在 (1,+ ∞ ) 上有最小值 , 所以 lna>1, 即 a>e. 综上 , 有 a ∈
(e,+ ∞ ). (2) 当 a ≤ 0 时 ,g(x) 必为单调增函数 ; 当 a>0 时 , 令 g ?( x ) =e -a>0,
x

解得 a<e , 即 x>lna, 因为 g(x) 在 (-1,+ ∞ ) 上是单调增函数 , 类似 (1) 有 lna ≤ -1, 即 0<a ≤ e . 结合上 述两种情况 , 有 a ≤ e . (i) 当 a=0 时 , 由 f(1)=0 以及 f ?( x) ?
a a -1

x

-1

1 >0, 得 f(x) 存在唯一的零点 . x
a a

(ii) 当 a<0 时 , 由于 f(e )=a-ae =a(1-e )<0,f(1)=-a>0, 且函数 f(x) 在 [e ,1] 上的图象不间断 , 所以 f(x) 在 (e ,1) 上存在零点 . 另外 , 当 x>0 时 ,
a

f ?( x) ?

1 ? a ? 0 , 故 f(x) 在 x

(0,+ ∞ ) 上是单调增函数 , 所以 f(x) 只有一个零点 . (iii) 当 0<a ≤ e 时 , 令 f ' (x)= 错误! 未找到引用源。 -a=0, 解得 x=a . 当 0<x<a 时 , f ?( x ) f>0, 当 x>a
-1 -1 -1 -1

时,

f ?( x ) <0, 所以 ,x=a -1 是 f(x) 的最大值点 , 且最大值为 f(a -1 )=-lna-1.
-1

①当 -lna-1=0, 即 a=e 时 ,f(x) 有一个零点 x=e. ②当 -lna-1>0, 即 0<a<e 时 ,f(x) 有两个零点 . 实际上 , 对于 0<a<e , 由于 f(e )=-1-ae <0,f(a )>0, 且函数 f(x) 在 [e ,a ] 上的图象连续 , 所以 f(x) 在 (e ,a ) 上存在零点 . 另外 , 当
8 / 45
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

x ∈ (0,a ) 时 ,f '(x)= 点.

-1

1 ? a >0, 故 f(x) 在 (0,a -1 ) 上是单调增函数 , 所以 f(x) 在 (0,a -1 ) 上只有一个零 x
-2

下面考虑 f(x) 在 (a ,+ ∞ ) 上的情况 , 先证 f( 错误! 未找到引用源。 )=a(a - 错误! 未找到引用源。 )<0. 为此 , 我们要证明 : 当 x>e 时 ,e >x . 设 h(x)=e -x , 则 h?( x ) =e -2x, 再设 l ( x) ? h? ( x) =e -2x, 则 l ?( x) =e -2.
x 2 x 2 x x x

-1

? ( x)在 (1,+ ∞ ) 上 是 单 调 增 函 数 . 故 当 x>2 时 , h?( x) 当 x>1 时 , l ?( x) =e -2>e-2>0, 所 以 l ( x) ? h
x

=e -2x> h?(2)
x x 2

=e -4>0, 从 而
e 2

2

h(x) 在 (2,+ ∞ ) 上 是 单 调 增 函 数 , 进 而 当
x 2

x>e

时 ,h(x)=e -x >h(e)=e -e >0. 即当 x>e 时 ,e >x . 当 0<a<e , 即 a >e 时, f( 错误!未找到引用源。 )=a(a - 错误!未找到引用源。 )<0, 又 f(a )>0, 且函数 f(x) 在 [a , e a ] 上的图象连续 , 所以 f(x) 在 (a , e a ) 上存在零点 . 又当 x>a
-1 -1 -1
?1 ?1

-1

-1

-2

-1

时 ,f'(x)=

1 ? a <0, x
-1 -1 -1

故 f(x) 在 (a ,+ ∞ ) 上是单调减函数 , 所以 f(x) 在 (a ,+ ∞ ) 上只有一个零点 . 综合 (i),(ii),(iii) 可知 , 当 a ≤ 0 或 a=e 时 ,f(x) 的零点个数为 1, 当 0<a<e 时 ,f(x) 的零点个数为 2. 15. ( 2013 ·湖南高考理科·T 22 )已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? (1) 记 f(x) 在区间 [0,4] 上的最大值为 g(a), 求 g(a) 的表达式 . (2) 是否存在 a, 使函数 y=f(x) 在区间 (0,4) 内的图象上存在两点 , 在该两点处的切线相互垂直 ? 若存 在 , 求 a 的取值范围 ; 若不存在 , 请说明理由 . 【解题指南】 (1) 首先是去掉绝对值符号 , 然后利用导数求出函数的单调区间 , 再求出 f(x) 在区间 [0,4] 上的最大值为 g(a). (2) 首先要根据函数的单调性讨论出 a 取什么范围时可能存在两点 , 在该两点处的切线相互垂直 , 然 后利用两互相垂直的直线斜率之积等于 -1 去讨论求解 .
-1

x?a . x ? 2a

x?a a?x 【解析】( 1 )当 0 ? x ? a 时, f ( x ) ? ;当 x ? a 时, f ( x ) ? . x ? 2a x ? 2a ? 3a 因此,当 x ? (0, a) 时, f ?( x) ? ? 0 , f ( x) 在 (0, a ) 上单调递减; ( x ? 2a ) 2
当 x ? (a,??) 时, f ?( x) ?

3a ? 0 , f ( x) 在 (a,??) 上单调递增 . ( x ? 2a ) 2

② a ? 4 ,则 f ( x) 在 (0,4) 上单调递减, g (a ) ? f (0) ?
9 / 45

1 . 2

② 若 0 ? a ? 4 , 则 f ( x) 在 (0, a ) 上 单 调 递 减, 在 ( a,4) 上 单 调 递 增, 所 以 g(a)=max{f(0),f(4)}. 而 f (0) ? f (4) ?

1 4 ? a a ?1 4?a ? = , ,故当 0 ? a ? 1 时 g ( a ) ? f ( 4) ? ; 4 ? 2a 2 4 ? 2a a ? 2
4?a ,0?a ?1 ? 4 ? 2a 1 f (0) ? . 综上所述, g(a) ? ? 1 2 ? 2 ,a ?1.

当 1 ? a ? 4 时, g (a ) ?

( 2 )由( 1 )知,当 a ? 4 时, f ( x) 在 (0,4) 上单调递减,故不满足要求 . 当 0 ? a ? 4 时,

f ( x) 在 (0, a ) 上单调递减,在 (a,4) 上单调递增 . 若存在 x1 , x2 ? (0,4)(x1 ? x2 ) ,使

曲 线 y ? f ( x) 在 ( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) 两 点 处 的 切 线 互 相 垂 直 , 则 x1 ? (0, a), x2 ? (a,4) , 且

f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? ?1 ,


? 3a 3a 3a , 由 , x1 ? (0, a), x2 ? (a,4) 得 x 1 +2a ∈ ? ? ?1 , 亦 即 x1 ? 2a ? 2 2 ( x1 ? 2a) ( x2 ? 2a) x2 ? 2a 3a 3a . ? ( ,1) x 2 ? 2a 4 ? 2a ? ? 3a ? ? x ? 1? 的交集非空 . 4 ? 2a ?

(2a,3a),

故 (*) 成立等价于集合 A={x|2a<x<3a} 与集合 B= ?x| 因为

3a 1 ? 3a ,所以当且仅当 0<2a<1, 即 0<a< 时, A ∩ B ≠?. 2 4 ? 2a 1 2

综上所述 , 存在 a 使函数 f(x) 在区间 (0,4) 内的图象上存在两点 , 在该两点处的切线互相垂直 , 且 a 的取值范围是 (0, ). 16. ( 2013 ·湖南高考文科·T 21 )已知函数 f ( x ) = (Ⅰ)求 f ( x )的单调区间; (Ⅱ)证明:当 f ( x 1 ) =f ( x 2 ) (x 1 ≠ x 2 ) 时, x 1 +x 2 < 0. 【解题指南】第 ( Ⅰ ) 小题解题依据是在定义域下不等式 f ?( x) ? 0 的解集是原函数的增区间,不等 式 f ?( x) ? 0 的解集是原函数的减区间。第(Ⅱ)小题首先要确定在什么范围下 f ( x 1 ) =f ( x 2 ), 然后再构造新函数利用单调性去证明。 【解析】(Ⅰ)函数的定义域是 (- ∞ ,+ ∞ ) ,

1? x x e . 1? x2

10 / 45

1? x x 1? x x f ?( x) ? ( )?e ? e 1 ? x2 1 ? x2 , ? x 2 ? 2 x ? 1 1 ? x ? x ? x[( x ? 1) 2 ? 2] x ?? ? e ? e 2 2 1 ? x2 ? (1 ? x 2 ) 2 ? (1 ? x ) ?
当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x) 的单调递增区间是 (??,0) ,单调递减区间是 (0,??) 。 ( Ⅱ ) 当 x ? 1 时 , 由于

1- x ?0 e ,x ? 故 0 ,f 1 ? x2

x( ? ; )同 理 0 , 当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 , 当

f ( x1 ) ? f ( x2 )(x1 ? x2 ) 时 , 不 妨 设 x1 ? x 2 , 由 ( Ⅰ ) 知 , x1 ? (??,0) , x2 ? (0,1) , 下 面 证 明 :
?x ? (0,1), f ( x) ? f (? x) , 即 证 (
g ( x) ? (1 ? x)e x ? 1 ? x x 1 ? x ?x 1? x )e ? e , 此 不 等 式 等 价 于 (1 ? x)e x ? x ? 0 , 令 2 2 1? x 1? x e

1? x ,则 g ?( x) ? ? xe? x (e 2 x ? 1) ,当 x ? (0,1) 时, g ?( x ) ? 0, g ( x) 单调递减,从 x e 1? x x 而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 (1 ? x)e ? x ? 0 , e

所 以 ?x ? (0,1), f ( x) ? f (? x) , 而 x2 ? (0,1) , 所 以 f ( x2 ) ? f (? x 2 ) , 从 而 f ( x1 ) ? f (? x 2 ) , 由 于

x1 ,? x2 ? (??,0) , f ( x) 在 (??,0) 上单调递增,所以 x1 ? ? x2 ,即 x1 ? x2 ? 0 。
?1 x,0 ? x ? a ? ?a 17. (2013· 江西高考文科· T21) 设函数 f (x) ? ? a 为错误! 未找到引用源。 常数且 a∈ ? 1 (1 ? x),a ? x ?1 ?1 ? a ?
(0,1). (1)当 a ?

1 1 时,求 f (f ( )) ; 2 3

(2)若 x0 满足 f(f(x0))= x0,但 f(x0)≠x0,则称 x0 为 f(x)的二阶周期点.证明函数 f(x)有且仅 有两个二阶周期点,并求二阶周期点 x1,x2; ( 3 )对于( 2 )中 x 1 , x 2 ,设 A ( x 1 ,f ( f ( x 1 ))), B ( x 2 ,f ( f ( x 2 ))) ,C(a ,0) ,记△ ABC 的 面积为 S(a ),求 S(a )在区间 [ , ] 上的最大值和最小值 . 【解题指南】( 1 )把 a 的值代入,利用分段函数的解析式,由内到外进行求解;( 2 )先求出 f( f ( x ))的解析式,再根据二阶周期点的定义依次分段求解;( 3 )在第二问的基础上写出点 A 、 B 的坐标,把△ ABC 的面积表示成 a 的函数,再结合函数求最值得方法进行处理 . 【解析】 (1) 当 a ?
2

1 1 3 2

1 1 2 1 2 2 2 时, f ( ) ? , f (f ( )) ? f ( ) ? 2(1 ? ) ? . 2 3 3 3 3 3 3

11 / 45

?1 2 ? a 2 x,0 ? x ? a , ? ? 1 (x ? a),a 2 ? x ? a, ? ? a(1 ? a) ( 2 ) f (f (x)) ? ? ? 1 (x ? a),a ? x ? a 2 ? a ? 1, ? (1 ? a) 2 ? ? 1 (1 ? x),a 2 ? a ? 1 ? x ? 1. ? ? a(1 ? a)
当 0 ? x ? a 2 时,由 当 a 2 ? x ? a 时,由

1 x ? x 解得 x ? 0 ,因为 f (0) ? 0,故 x=0 不是 f ( x )的二阶周期点; a2
1 a ( x ? a )? x解得 x ? 2 , ? (a2 , a] a (1? a ) ?a ? a ? 1

a 1 a 1 a , )? ? 2 ? 2 ? 2 ?a ? a ? 1 a ? a ? a ? 1 ? a ? a ? 1 ? a ? a ? 1 a 故x? 2 为 f ( x )的二阶周期点; ?a ? a ? 1
因为 f (
2

当 a ? x ? a 2 ? a ? 1 时,由

1 1 2 ( x ? a )? x解得 x ? , ? (a, a ? a? 1) 2 (1 ? a ) 2?a

因为 f (

1 1 1 1 1 ,故 x ? 不是 f ( x )的二阶周期点; )? (1? )? 2 ? a 1? a 2? a 2? a 2?a
1 1 (1? x )? x解得 x ? 2 ?[a2 ? a ? 1,1] a (1? a ) ?a ? a ? 1

当 a 2 ? a ? 1 ? x ? 1 时,由

1 1 1 a 1 , )? (1? 2 )? 2 ? 2 ?a 2 ? a ? 1 1 ? a ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ?1 1 故x? 2 为 f ( x )的二阶周期点 . ?a ? a ? 1 a 1 综上,函数 f ( x )有且仅有两个二阶周期点 x1 ? 2 , x2 ? 2 . ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 a a 1 1 (3) 由( 2 )得 A( 2 , 2 ) , B( 2 , 2 ). ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1
因为 f ( 则 S(a) ?

1 a 2 (1 ? a) 1 a(a 3 ? 2a 2 ? 2a ? 2) ? 2 , S?(a) ? ? , 2 ?a ? a ? 1 2 (?a 2 ? a ? 1) 2

方法一:因为 a ?[ , ] ,有 a 2 ? a ? 1,所以 S?(a) ?

1 1 3 2

1 a(a 3 ? 2a 2 ? 2a ? 2) ? 2 (?a 2 ? a ? 1) 2

?

1 a[(a ? 1)(a ? 1) 2 ? (1 ? a 2 ? a)] 1 1 ? ? 0 ,则 S(a )在区间 [ , ] 上单调递增, 2 2 2 (?a ? a ? 1) 3 2

故 S(a) 在区间 [ , ] 上的最小值为 S( ) ?

1 1 3 2

1 3

1 1 1 ,最大值为 S( ) ? . 33 2 20
12 / 45

2 ? 10 2? 10 )(a ? ) , 3 3 1 1 1 5 ) g?(a) ? 0 , 所 以 g ( a ) 因 为 a? ( 0 , 1 , 在 区 间 [ , ] 上 的 最 小 值 为 g( ) ? ? 0 , 则 对 任 意 的 3 2 2 8
2 ? 4a ? 2 ? 3(a ? 方法二:令 g(a) ? a 3 ? 2a 2 ? 2a ? 2 ,则 g? (a )? 3a

1 a(a 3 ? 2a 2 ? 2a ? 2) 1 1 1 1 ? 0 , 则 S ( a )在 区 间 [ , ] 上 单 调 递 增 , 故 a ?[ , ] , g(a) ? 0 . 所 以 S?(a) ? ? 2 2 2 (?a ? a ? 1) 3 2 3 2

1 1 1 1 1 1 S( a ) 在 区间 [ , ] 上的最小值为 S( ) ? ,最大值为 S( ) ? . 3 2 3 33 2 20
18. ( 2013 ·安徽高考文科·T 20 )与( 2013 ·安徽高考理科·T 17 )相同 设函数 f(x)=ax-(1+a )x ,其中 a > 0 ,区间 l={x|f(x)>0} 。 (Ⅰ)求 l 的长度 ( 注 : 区间 ( α , β ) 的长度定义为 β - α ) ; (Ⅱ)给定常数 k ∈( 0 , 1 ),当 1-k ≤ a ≤ 1+k 时,求 l 长度的最小值。 【解题指南】( 1 )求出方程 f ( x)=0 的两个根;( 2 )利用导数求函数的最小值。
2 2 【解析】( 1 )因为方程 ax- (1+a )x =0 (a>0 )有两个实根 x1 > 0, x2 = 2 2

a , 1 + a2

故 f(x)>0 的解集为 {x|x 1 <x<x 2 } ,因此区间 l = (0,

a a ) ,区间长度为 。 2 1+a 1 + a2

( 2) 设 d (a) =

a 1-a 2 ? , d ( a ) ? 则 ,令 d ?( a) ? 0 ,得 a ? 1,由于 0<k<0, 2 1 + a2 ( 1 ? a 2)

当 1-k ? a ? 1 单调递减。 时, d ' (a) ? 0, d (a) 单调递增;当 1 ? a ? 1 ? k时, d' (a ) ? 0,d (a ) 因 此 当 1 k-? a ?

k时 1 + d a

或 k 最 ) 小 值 必 定 在 a =1 ,的 (

a= 1 +取 得 。 而 处k

1- k d (1 - k ) 1 + (1 - k ) 2 2 - k 2 - k 3 = = <1 1+k d (1 + k ) 2 - k2 +k3 ,故 d (1- k ) < d (1+ k ), 1 + (1 + k ) 2
因此当 a = 1 - k时, d ( a)在区间 [1-k,1+k] 上取得最小值
2

1- k 。 2-2k +k 2

19. ( 2013 ·北京高考文科·T 18 )已知函数 f(x)=x +xsin x+cos x. ( 1 )若曲线 y=f(x) 在点 (a,f(a)) 处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值。 ( 2 )若曲线 y=f(x) 与直线 y=b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围。 【解题指南】( 1 )把已知条件转化为 f '(a ) ? 0, f (a ) ? b ; ( 2 )转化为 y=f(x) 的极值与 b 的关系。 【解析】( 1 ) f '( x) ? 2 x ? x cos x ? x(2 ? cos x) ,
13 / 45

由线 y ? f ( x) 在 (a, f (a)) 处的切线为 y ? b ,因此, f '(a ) ? 0, f (a ) ? b , 于是 2a ? a cos a ? 0且a ? a sin a ? cos a ? b ,
2

解得 a ? 0, b ? 1 。 ( 2 )由( 1 )知 f '( x) ? x(2 ? cos x ) ,于是当 x ? 0 时, f ( x) 单调递增,当 x ? 0 时, f ( x) 单调递 减,当 x ? 0 时, f ( x) 取得极小值 1. 因此 b 的取值范围为 (1, ??) 。 20.(2013 ·福建高考理科· T17) 已知函数 f(x)=x-alnx(a ∈ R) (1) 当 a=2 时 , 求曲线 y=f(x) 在点 A(1,f(1)) 处的切线方程 . (2) 求函数 f(x) 的极值 . 【解题指南】对函数求导 , 根据导数即切线斜率 , 求出切线方程 , 欲求极值 , 先求单调性 , 要注意对参 数 a 进行讨论 . 【解析】函数 f(x) 的定义域为 (0,+ ∞ ),f ′ (x)=1- 错误!未找到引用源。 . (1) 当 a=2 时 ,f(x)=x-2lnx,f ′ (x)=1- 错误!未找到引用源。 (x>0), 所以 f(1)=1,f '(1)=-1, 所以 y=f(x) 在点 A(1,f(1)) 处的切线方程为 y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0. (2) 由 f ′ (x)= 1 ?

a x?a ? ,x>0 可知 : x x

①当 a ≤ 0 时 ,f ' (x)>0, 函数 f(x) 为 (0,+ ∞ ) 上的增函数 , 函数 f(x) 无极值 ; ②当 a>0 时 , 由 f' (x)=0, 解得 x=a; 因为 x ∈ (0,a) 时 ,f ' (x)<0,x ∈ (a,+ ∞ ) 时 , f' (x)>0, 所以 f(x) 在 x=a 处取得极小值 , 且极小值为 f(a)=a-alna, 无极大值 . 综上 : 当 a ≤ 0 时 , 函数 f(x) 无极值 , 当 a>0 时 , 函数 f(x) 在 x=a 处取得极小值 a-aln a, 无极大值 . 21.(2013 ·福建高考理科· T20) 已知函数 f ( x) ? sin( wx ? ? )( w ? 0,0 ? ? ? ? ) 的周期为 π , 图象的一个 对称中心为错误!未找到引用源。 , 将函数 f(x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标 不变 ), 再将得到的图象向右平移

?
2

个单位长度后得到函数 g(x) 的图象 .

(1) 求函数 f(x) 与 g(x) 的解析式 .
14 / 45

?? ? ? (2) 是否存在 x0 ? ? , ? , 使得 f(x 0 ),g(x 0 ), ?6 4?
f(x 0 )g(x 0 ) 按照某种顺序成等差数列 ? 若存在 , 请确定 x 0 的个数 , 若不存在 , 说明理由 . (3) 求实数 a 与正整数 n, 使得 F(x)=f(x)+ag(x) 在错误!未找到引用源。内恰有 2 013 个零点 . 【解析】 (1) 由函数 f(x)=sin( ω x+ ? ) 的周期为 π , ω >0, 得 ω =2, 又曲线 y=f(x) 的一个对称中心为错误!未找到引用源。 , ? ∈ (0, π ), 故 f ( ) ? sin(2 ?

?

?
4

4

? ? ) ? 0 , 得 ? = 错误!未找到引用源。 , 所以 f(x)=cos 2x.

将函数 f(x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) 后可得 y=cos x 的图象 , 再将 y=cosx 的图象向右平移错误!未找到引用源。个单位长度后得到函数 g(x)=sin x. (2) 当 x ∈错误!未找到引用源。时 , 错误!未找到引用源。 <sinx< 所以 sinx>cos2x>sinxcos2x. 问题转化为方程 2cos 2x=sin x+sin xcos 2x 在错误!未找到引用源。内是否有解 , 设 G(x)=sin x+sinxcos 2x-2cos 2x,x ∈错误!未找到引用源。 , 则 G ' (x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x). 因为 x ∈错误!未找到引用源。 , 所以 G ′ (x)>0,G(x) 在错误!未找到引用源。内单调递增 . 又 G( ) ? ?

1 2 ,0<cos2x< , 2 2

?

6

1 ? 2 ? 0 , G( ) ? ? 0. 4 4 2

且函数 G(x) 的图象连续不断 , 故可知函数 G(x) 在错误!未找到引用源。内存在唯一零点 x 0 , 即存在唯一的 x0 ? (

? ?

, ) 满足题意 . 6 4

(3) 依题意 ,F(x)=asin x+cos 2x, 令 F(x)=asin x+cos 2x=0, 当 sin x=0, 即 x=k π (k ∈ Z) 时 ,cos 2x=1, 从而 x=k π (k ∈ Z) 不是方程 F(x)=0 的解 , 所以方程 F(x)=0 等价于关于 x 的方程 a ? ?

cos 2x ,x ≠ k π (k ∈ Z), sin x

现研究 x ∈ (0, π ) ∪ ( π ,2 π ) 时方程解的情况 , 令 h( x ) ? ?

cos 2 x ,x ∈ (0, π ) ∪ ( π ,2 π ), sin x

则 问 题 转 化 为 研 究 直 线 y=a 与 曲 线 y=h(x) 在 x ∈ (0, π ) ∪ ( π ,2 π ) 的 交 点 情 况 ,

h?( x) ?

cos x(2sin 2 x ? 1) ? 3? , 令 h ′ (x)=0, 得 x ? 或 x ? . 2 2 2 sin x

当 x 变化时 ,h(x) 和 h ′ (x) 变化情况如下表
15 / 45

x
h?( x)

(0, ) 2

?

?
Z

? 2 0
1

( ,? ) 2 ?
]

?

(? ,

?
]

3? ) 2

3? 2 0

(

3? , 2? ) 2

?
Z

h( x )

?1

当 x>0 且 x 趋近于 0 时 ,h(x) 趋向于 - ∞ , 当 x< π 且 x 趋近于 π 时 ,h(x) 趋向于 - ∞ , 当 x> π 且 x 趋近于 π 时 ,h(x) 趋向于 + ∞ , 当 x<2 π 且 x 趋近于 2 π 时 ,h(x) 趋向于 + ∞ , 故当 a>1 时 , 直线 y=a 与曲线 y=h(x) 在 (0, π ) 内无交点 , 在 ( π ,2 π ) 内有 2 个交点 ; 当 a<-1 时 , 直线 y=a 与曲线 y=h(x) 在 (0, π ) 内有 2 个交点 , 在 ( π ,2 π ) 内无交点 ; 当 -1<a<1 时 , 直线 y=a 与曲线 y=h(x) 在 (0, π ) 内有 2 个交点 , 在 ( π ,2 π ) 内有 2 个交点 , 由函数 h(x) 的周期性 , 可知当 a ≠± 1 时 , 直线 y=a 与曲线 y=h(x) 在 (0,n π ) 内总有偶数个交点 , 从而 不存在正整数 n, 使得直线 y=a 与曲线 y=h(x) 在 (0,n π ) 内恰有 2013 个交点 ; 当 a= ± 1 时 , 直线 y=a 与曲线 y=h(x) 在 (0, π ) ∪ ( π ,2 π ) 内有 3 个交点 , 由周期性 ,2 013=3 × 671, 所以 n=671 × 2=1 342. 综上 , 当 a= ± 1,n=1 342 时 , 函数 F(x)=f(x)+ag(x) 在 (0,n π ) 内恰有 2 013 个零点 . 22. ( 2013 ·福建高考文科·T 22 )已知函数 f ( x) ? x ? 1 ?

a ( a ? R , e 为自然对数的底数) . ex

( I )若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴 , 求 a 的值 ; ( II )求函数 f ( x) 的极值 ; ( III )当 a ? 1 时 , 若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ( x) 没有公共点 , 求 k 的最大值 . 【解题指南】对函数求导,根据导数即切线斜率,知切线斜率为 0 ,欲求极值,先求单调性,要注 意对参数 a 进行讨论。 【解析】方法一:(Ⅰ)由 f ? x? ? x ?1 ?

a a ,得 f ? ? x ? ? 1 ? x . x e e

又因为曲线 y ? f ? x? 在点 1, f ? 1? 处的切线平行于 x 轴,

?

?

a ? 0 ,解得 a ? e . e a (Ⅱ) f ? ? x ? ? 1 ? x , e
得 f ? ?1? ? 0 ,即 1 ? ①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为 R 上的增函数,所以函数 f ? x ? 无极值.
16 / 45

②当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 e x ? a , x ? ln a .

x ? ? ??,ln a ? , f ? ? x ? ? 0 ; x ? ? ln a, ??? , f ? ? x ? ? 0 .
所以 f ? x ? 在 ? ??,ln a ? 上单调递减,在 ? ln a ,??? 上单调递增, 故 f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值,且极小值为 f ? ln a ? ? ln a ,无极大值. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 无极小值; 当 a ? 0 , f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值 ln a ,无极大值. (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? x? ? x ?1 ?

1 ex 1 , ex

令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? kx ? 1? ? ?1 ? k ? x ?

则直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ? x? 没有公共点, 等价于方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解. 假设 k ? 1 ,此时 g ? 0? ? 1 ? 0, g ?

1 ? 1 ? ? ? ?1 ? 1 ? 0 , ? k ?1 ? e k ?1

又 函 数 g ? x? 的 图 象 连 续 不 断 , 由 零 点 存 在 定 理 , 可 知 g ? x? ? 0 在 R 上 至 少 有 一 解 , 与 “ 方 程

g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解”矛盾,故 k ? 1 .
又 k ? 1 时, g ? x ? ?

1 ? 0 ,知方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解. ex

所以 k 的最大值为 1 . 方法二: (Ⅰ)(Ⅱ)同解法一. (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? x? ? x ?1 ?

1 . ex

直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ? x? 没有公共点, 等价于关于 x 的方程 kx ? 1 ? x ? 1 ?

1 在 R 上没有实数解,即关于 x 的方程: ex 1 ( *) ? k ? 1? x ? x e

在 R 上没有实数解. ①当 k ? 1 时,方程( * )可化为

1 ? 0 ,在 R 上没有实数解. ex
17 / 45

②当 k ? 1 时,方程( * )化为

1 ? xe x . k ?1

x x 令 g ? x ? ? xe ,则有 g? ? x? ? ?1 ? x? e .

令 g? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?1 , 当 x 变化时, g? ? x ? 的变化情况如下表:

x
g? ? x ?
g ? x?
当 x ? ?1 时, g ? x ? mi n ? ?

? ??, ?1?
?

?1
0
? 1 e

? ?1, ???
?

1 ,同时当 x 趋于 ?? 时, g ? x ? 趋于 ?? , e

从而 g ? x ? 的取值范围为 ? ? , ?? ? .

? 1 ? e

? ?

所以当

1 1? ? ? ? ??, ? ? 时,方程( * )无实数解, k ?1 ? e?

解得 k 的取值范围是 ?1 ? e,1 ?. 综上,得 k 的最大值为 1 . 23. ( 2013 ·广东高考理科·T 21 )设函数 f ( x) ? ( x ? 1)e ? kx ( k ? R ) .
x 2

(2)当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)当 k ? ( ,1] 时,求函数 f ( x ) 在 [0, k ] 上的最大值 M . 【解题指南】本题含有参数,考查导数在单调性及最值等方面的应用 . 解题过程中,应用好分类讨 论思想 .
x 2 x x 【解析】 ( 1 )当 k ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 1)e ? x ,求导可得 f ?( x) ? xe ? 2 x ? x(e ? 2) ,令 f ?( x) ?0

1 2

l2 可得 x ? 0, x ? ln 2, 则当 x ? 0 时, f ?( x ) ? 0; 当 0 ? x ?n

l 2 时, f ?( x ) ? 0; 时, f ?( x ) ? 0; 当x?n

(0,ln 2) ; ?? ,单调递减区间是 ) 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (??, 0), (ln 2,
x 2 x x x ( 2 )对 f ( x) ? ( x ? 1)e ? kx 求导可得 f ?( x) ? e ? ( x ?1)e ? 2kx ? x(e ? 2k ) ,因为 k ? ( ,1] ,所

1 2

) 0 ? 可得 x ? 0, x ? ln(2k ) , 以 2k ? (1, 2] , 令 f ?( x 显然 0 ? (ln 2k ) ? ln 2 而 ln 2 ? 1 . 则当 0 ? x ? ln(2k )
18 / 45

时, f ?( x ) ? 0;当 x ? ln(2k ) 时, f ?( x ) ? 0;所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ((ln 2k ), ?? ) ,单调 递减区间是 (0, (ln 2k )) . 令 g ? k ? ? ln ? 2k ? ? k , 则 g ? ? k ? ? 所以 g ? k ? 在 ?

1 1? k ? k) = 0, ?1 ? ? 0 , 又当 k= 1 时, g( k k

?1 ? ,1? 上递增 , ?2 ?

所以 g ? k ? ? ln 2 ? 1 ? ln 2? ln , 从而 ln ? 2k ? ? k , 所以 ln ? 2k ? ?? 0,k ? e? 0 所以当 x ? 0, ln? 2 k ? 时 , f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ln ? 2k ? ,?? 时 , f ? ? x ? ? 0 ;
k 3 ?k 所以 M ? max f ? 0? , f ? k? ? max ? 1, ? k ? ?1 e k 令 h ? k ? ? ? k ?1? e ? k ? 1 , 则 h? ? k ? ? k e ? 3k ,

?

?

?

?

?

?

?

?

k

3

?

?

令 ? ? k ? ? e ? 3k , 则 ?? ? k ? ? e ? 3 ? e ? 3 ? 0
k

k

所以 ? ? k ? 在 ?

3? ?1 ? ?1? ? ,1? 上递减 , 而 ? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 2? ?2 ? ?2? ?
?1 ? ?1 ? ,1? 使得 ? ? k0 ? ? 0 , 且当 k ? ? , k0 ? 时 , ? ? k ? ? 0 , ?2 ? ?2 ?

所以存在 k0 ? ?

当 k ? ? x0 ,1? 时 , ? ? k ? ? 0 , 所以 h ? k ? 在 ? 因为 h ?

?1 ? , k0 ? 上单调递增 , 在 ? k0 ,1? 上单调递减 . ?2 ?

1 7 ?1? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 , ??? 2 8 ?2?
?1 ? ,1? 上恒成立 , 当且仅当 k ? 1 时取得“ ? ” . ?2 ?
k 3

所以 h ? k ? ? 0 在 ?

综上 , 函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M ? ? k ?1? e ? k . 24. ( 2013 ·广东高考文科·T 21 )设函数 f ( x) ? x ? kx ? x
3 2

? k ? R? .

(1) 当 k ? 1 时 , 求函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时 , 求函数 f ( x ) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M . 【解题指南】本题含有参数,考查导数在单调性及最值等方面的应用 . 解题过程中,应用好分类讨 论思想 . 【解析】对函数 f ( x) ? x3 ? kx2 ? x 求导得 f ? ? x? ? 3 x ? 2 kx? 1.
2

19 / 45

(1) 当 k ? 1 时 f ? ? x ? ? 3x ? 2x ?1,由 ? ? 4 ?12 ? ?8 ? 0可知 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递增 .
2

( 2 )方法一:当 k ? 0 时, f ? ? x? ? 3 x ? 2 kx? 1,其图像开口向上,对称轴 x ?
2

( i )当 ? ? 4k ? 12 ? 4 k ? 3
2

?

??k ? 3 ? ? 0 ,即 ?

k 1? ,且过点 ? 0, 3

3 ? k ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? k , ?k ? 上单

调 递 增 , 从 而 当 x ? k 时 , f ? x ? 取 得 最 小 值 m ? f ? k? ? k, 当 x ? ? k 时 , f ? x ? 取 得 最 大 值
3 3 M ? f ? ? k? ? ?k ?k ? k ?2? 3 k ? .k

( ii ) 当 ? ? 4k

2

?1 2 ? 4 k ? 3 k ? 3 ? , 0 即 k ? ? 3 时 , 令 f ? ? x ? ? 3x2 ? 2kx ?1 ? 0 解 得
, 注 意 到

?

??

?

x1 ?

k ? k2 ?3 k ? k2 ?3 , x2 ? 3 3

k ? x2 ? x1 ? 0







m ? min ? f ? k ? , f ? x1 ??, M ? max ? f ? ?k ? , f ? x2 ?? .
3 2 2 因为 f ? x1 ? ? f ? k ? ? x1 ? kx 1 ? x 1 ? k ? ? x 1? k ? x 1 ? 1 ? 0 ,所以 f ? x ? 的最小值 m ? f ? k? ? k;

?

?

x ? ?k [? 因为 f ? x2 ? ? f ? ? k? ? x 2 ? kx 2 ? x 2 ? ? k ? k ? k ? k= ? 2
3 2 3 2

?

?

2

x ? ?k ? 2k 1] ? ? 0,所以 f ? x ? 的
2

最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k ? k ;
3

综上所述,当 k ? 0 时, f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k , 最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k ? k .
3











k?0







?x ??k , ?k ?







f ( x) ? f (k ) ? x3 ? kx2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x2 ? 1)( x ? k ) ? 0 ,故 f ? x? ? f ? k? ;
f ( x) ? f (?k ) ? x 3 ? kx 2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x ? k )( x 2 ? 2kx ? 2k 2 ? 1) ? ( x ? k )[( x ? k ) 2 ? k 2 ? 1] ? 0 , 故 f ? x ? ? f ? ?k ? .
3 3 又 f (k ) ? k ? 0 , f (?k ) ? ?2k ? k ? 0 ,所以 f ( x)max ? f (? k ) ? ?2k ? k, f ( x)min ? f (k ) ? k .

25. ( 2013 ·湖北高考理科· T22 )设 n 是正整数, r 为正有理数。 (Ⅰ)求函数 f ?x ? = (1 ? x)
r ?1

? (r ? 1) x ? 1( x ? ?1) 的最小值;

(Ⅱ)证明:

n c ?1 ? (n ? 1) r ?1 (n ? 1) r ?1 ? n r ?1 r <n < ; r ?1 r ?1
3 ]=-1. 2

(Ⅲ)设 x ?R, 记 [ x ] 为不小于的最小整数,例如 [2]=2 , [ ? ]=4 , [令

S = 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ? 3 125 ,求 [ S ] 的值。
20 / 45

4

4

4

4

(参考数据: 80 3 ≈ 344.7 , 81 3 ≈ 350.5 , 124 3 ≈ 618.3 , 126 3 ≈ 631.7 ) 【解题指南】导数的应用;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论证明。(Ⅲ)利用(Ⅱ)的结论 r 和 n 取特殊 值后累加可得。 【解析】(Ⅰ)因为 f ?( x) ? (r ? 1)(1 ? x)r ? (r ? 1) ? (r ? 1)[(1 ? x)r ? 1] ,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? 0 . 当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 ( ?1, 0) 内是减函数; 当 x ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, ??) 内是增函数 . 故函数 f ( x ) 在 x ? 0 处取得最小值 f (0) ? 0. (Ⅱ)由(Ⅰ),当 x ? ( ?1, ??) 时,有 f ( x ) ? f (0)? 0,即
(1 ? x)r ?1 ? 1 ? (r ? 1) x ,且等号当且仅当 x ? 0 时成立,

故当 x ? ?1且 x ? 0 时,有
(1 ? x)r ?1 ? 1 ? (r ? 1) x .



在①中,令 x ?

1 1 r ?1 (这时 x ? ?1且 x ? 0 ),得 (1 ? )r ?1 ? 1 ? . n n n

上式两边同乘 n r ?1 ,得 (n ? 1)r ?1 ? n r ?1 ? n r (r ? 1) ,即

nr ?

(n ? 1)r ?1 ? nr ?1 . r ?1



1 当 n ? 1 时,在①中令 x ? ? (这时 x ? ?1且 x ? 0 ),类似可得 n

nr ?

nr ?1 ? (n ? 1)r ?1 . r ?1



且当 n ? 1 时,③也成立 . 综合②,③得

nr ?1 ? (n ? 1)r ?1 (n ? 1)r ?1 ? nr ?1 ? nr ? . r ?1 r ?1
(Ⅲ)在④中,令 r ?



1 , n 分别取值 81 , 82 , 83 ,?, 125 ,得 3

4 4 4 3 4 3 ( 813 ? 80 3)< 3 81 ? (82 3 ? 813 ) , 4 4 4 4 4 4 3 3 ( 82 3 ? 813)< 3 82 ? (83 3 ? 82 3 ) , 4 4 4 4 4 4 3 3 ( 83 3 ? 82 3) ? 3 83 ? (84 3 ? 83 3 ) , 4 4

???
4 4 4 4 3 3 ( 125 3 ? 124 3) ? 3 125 ? (126 3 ? 125 3 ) . 4 4

21 / 45

将以上各式相加,并整理得
4 4 4 4 3 3 ( 125 3 ? 80 3) ? S ? (126 3 ? 813 ) . 4 4

3 3 代入数据计算,可得 ( 1253 ? 80 3) ? 210.2 , ( 126 3 ? 813) ? 210.9 . 4 4
由? ?S ? ? 的定义,得 ? ?S ? ? ? 211 . 26. ( 2013 ·湖北高考文科· T21 )设 a ? 0 , b ? 0 ,已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 a ? b 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 x ? 0 时,称 f ( x) 为 a 、 b 关于 x 的加权平均数 . ( i )判断 f (1) , f (
b b b b ) , f ( ) 是否成等比数列,并证明 f ( ) ? f ( ) ; a a a a

4

4

4

4

ax ? b . x ?1

( ii ) a 、 b 的几何平均数记为 G . 称 取值范围 .

2ab 为 a 、 b 的调和平均数,记为 H . 若 H ? f ( x) ? G ,求 x 的 a?b

【解题指南】(Ⅰ)求出函数的定义域,利用导数判断函数的单调性,注意分类讨论。(Ⅱ)( i ) 表示出 f (1) , f (
b b b b ) , f ( ) 用等比中项加以证明, f ( ) ? f ( ) 由基本不等式可以证明;( ii ) a a a a

用(Ⅰ)的结论函数的单调性分类证明。 【解析】( I ) f ( x)的定义域为 (??,?1) ? (?1,??),

f ?( x) ?

a( x ? 1) ? (ax ? b) a ?b ? , 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

当 a ? b 时, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (??, ?1),(?1, ??) 上单调递增; 当 a ? b 时, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (??, ?1),(?1, ??) 上单调递减。 ( II )( i )计算得 f (1) ?

a?b b 2ab b ? 0, f ( ) ? ? 0, f ( ) ? ab ? 0 , 2 a a?b a

故 f (1) f ( ) ?

b a

a ? b 2ab b ? ? ab ? [ f ( )]2 ,即 2 a?b a


b b f (1) f ( ) ? [ f ( )]2 ? ? a a
所以 f (1), f (

b b ), f ( ) 成等比数列。 a a
22 / 45



a?b b b b ? ab,即f (1) ? f ( ) ,由①得 f ( ) ? f ( ) 。 a a 2 a b a b ) ? G ,故由 H ? f ( x) ? G ,得 a


( ii )由( i )知 f ( ) ? H , f (

b b f ( ) ? f ( x) ? f ( ) a a b a

??

当 a ? b 时, f ( ) ? f ( x) ? f (

b )?a 。 a

这时, x 的取值范围是 (0,??) ; 当 a ? b 时, 0 ?

b b b ? 1 ,从而 ? ,由 f ( x)在(0,??)上单调递增与 ②式得 a a a

b b b b ,即 x 的取值范围是 [ , ]; ?x? a a a a
当 a ? b 时,

b b b ? 1 ,从而 ? ,由 f ( x)在(0,??)上单调递减与 ②式得 a a a

b b b b ? x ? ,即 x 的取值范围是 [ , ] 。 a a a a
27. ( 2013 · 山东高考理科· T 21 ) 设函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间,最大值; (Ⅱ)讨论关于 x 的方程 | ln x |? f ( x) 根的个数 . 【解题指南】 (Ⅰ)先利用导数公式求函数的导数,根据单调性与导数的关系求出函数的单调区间, 然后再利用单调性求最值 . (Ⅱ)将求函数根的个数问题转化为求函数零点的个数,利用函数的导 数来判断函数的单调性,然后利用单调性判断函数零点 . 【解析】(Ⅰ) f ??x? ? ?1 ? 2 x?e 由 f ??x ? ? 0 解得 x ? 当x?
?2 x

x ? c( e ? 2.71828 是自然对数的底数,c ? R) . e2 x



1 , 2

1 时, f ??x ? ? 0 , f ?x ? 单调递增; 2 1 当 x ? 时, f ??x ? ? 0 , f ?x ? 单调递减 . 2
23 / 45

所以,函数 f ?x ? 的单调递增区间是 ? ? ?,

? ?

1? ?1 ? ? ,单调递减区间是 ? ,?? ? , 2? ?2 ?

最大值为 f ? ? ?

?1? ?2?

1 ?1 e ?e. 2

(Ⅱ)令 g ?x? ? ln x ? f ?x? ? ln x ? xe?2 x ? c , x ? ?0,??? , ① 当 x ? ?1,??? 时, ln x ? 0 ,则 g ?x? ? ln x ? xe?2 x ? c , 所以 g ??x ? ? e
?2 x

? e2 x ? ? ? x ? 2 x ? 1? ?, ? ?

e2 x ?0, 因为 2 x ? 1 ? 0, x
所以 g ??x ? ? 0 . 所以 g ?x ? 在 ?1,??? 上单调递增 . ② 当 x ? ?0,1? 时, ln x ? 0 ,则 g ?x? ? ? ln x ? xe?2 x ? c 所以 g ??x ? ? e ?2 x ? ??

? e2 x ? ? 2 x ? 1? ?, x ? ?
2x

因为 e 2 x ? 1, e 2 , e 所以 ?

? ?

? 1 ? x ? 0,

e2x ? ?1 . x

又 2x ? 1 ? 1 , 所以 ?

e2 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,即 g ??x ? ? 0 . x

因此 g ?x ? 在 ?0,1? 上单调递减, 综合①②可知,当 x ? ?0,??? , g ?x ? ? g ?1? ? ?e 当 g ?1? ? ?e
?2 ?2

?c,

? c ? 0 ,即 c ? ?e ?2 时, g ?x ? 没有零点,

故关于 x 的方程 ln x ? f ?x? 根的个数为 0 ; 当 g ?1? ? ?e
?2

? c ? 0 ,即 c ? ?e ?2 时, g ?x ? 只有一个零点,
24 / 45

故关于 x 的方程 ln x ? f ?x? 根的个数为 1 ; 当 g ?1? ? ?e?2 ? c ? 0 ,即 c ? ?e 时,
?2

a. 当 x ? ?1,??? 时,由(Ⅰ)知

?1 ? g ?x ? ? ln x ? xe?2 x ? c ? ln x ? ? e ?1 ? c ? ? ln x ? 1 ? c , ?2 ?
要使 g ?x ? ? 0 ,只需要 ln x ? 1 ? c ? 0 ,即 x ? e1?c ,?? . b. 当 x ? ?0,1? 时,由(Ⅰ)知

?

?

?1 ? g ?x ? ? ? ln x ? xe?2 x ? c ? ? ln x ? ? e ?1 ? c ? ? ? ln x ? 1 ? c , ?2 ?
要使 g ?x ? ? 0 ,只需要 ? ln x ? 1 ? c ? 0 ,即 x ? 0, e ?1?c , 所以 c ? e 时, g ?x ? 有两个零点,
?2

?

?

故关于 x 的方程 ln x ? f ?x? 根的个数是 2. 综上所述, 当 c ? e 时,关于 x 的方程 ln x ? f ?x? 根的个数是 0 ;
?2

当 c ? e 时,关于 x 的方程 ln x ? f ?x? 根的个数是 1 ;
?2

当 c ? e 时,关于 x 的方程 ln x ? f ?x? 根的个数是 2.
?2

28. ( 2013 ·山东高考文科·T 21 )已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx? ln x ( a, b ? R). ( Ⅰ ) 设 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; ( Ⅱ ) 设 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) . 试比较 ln a 与 ?2b 的大小 . 【解题指南】 (Ⅰ)先利用导数公式求函数的导数,根据单调性与导数的关系求出函数的单调区间 . (Ⅱ)由条件知, f ?1? 为函数的最小值,然后构造函数,利用函数的单调性比较两数的大小 .. 【解析】(Ⅰ)由 f ?x? ? ax ? bx ? ln x, x ? ?0,??? ,
2

得 f ??x ? ?

2ax2 ? bx ? 1 . x

25 / 45

( 1 )当 a ? 0 时, f ?? x ? ?

bx ? 1 x

①若 b ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?? x ? ? 0 恒成立, 所以函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ?0,??? ②若 b ? 0 ,当 0 ? x ? 当x?

1 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递减, b

1 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递增, b

所以函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? ,?? ? . ( 2 )当 a ? 0 时, f ?? x ? ? 0 , 得 2ax ? bx ? 1 ? 0 ,
2

? ?

1? b?

?1 ?b

? ?

? b ? b 2 ? 8a ? b ? b 2 ? 8a 由 ? ? b ? 8a ? 0 得 x1 ? , x2 ? 4a 4a
2

显然, x1 ? 0, x2 ? 0 当 0 ? x ? x2 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递减, 当 x ? x2 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递增, 所以函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ? 0, 综上所述 当 a ? 0 , b ? 0 时,函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ?0,??? 当 a ? 0 , b ? 0 时,函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? ,?? ?

? ? ?

2 ? ? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,单调递增区间是 ? ? b ? b ? 8a ,?? ? , ? ? ? 4a 4a ? ? ?

? ?

1? b?

?1 ?b

? ?

? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,单调递 增区 间是 当 a ? 0 时 , 函 数 f ?x ? 的 单 调 递 减 区 间 是 ? 0, ? ? 4a ? ? ? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,?? ? . ? ? 4a ? ?
( Ⅱ ) 由 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 ,

f ( x) ? f (1) ,则函数 f ?x ? 在 x ? 1 处取得最小值,

26 / 45

由(Ⅰ)知,

? b ? b 2 ? 8a 是 f ?x ? 的唯一的极小值点, 4a



? b ? b 2 ? 8a ? 1 ,整理得 4a

2a ? b ? 1 即 b ? 1 ? 2a .
令 g ?x ? ? 2 ? 4 x ? ln x , 则 g ?? x ? ?

1 ? 4x x 1 , 4

令 g ??x ? ? 0, 得 x ? 当0? x? 当x?

1 时, g ??x ? ? 0, g ?x ? 单调递增; 4

1 时, g ??x ? ? 0, g ?x ? 单调递减 . 4

因此 g ?x ? ? g ? ? ? 1 ? ln

?1? ?4?

1 ? 1 ? ln 4 ? 0 , 4

故 g ?a ? ? 0 ,即 2 ? 4a ? ln a ? 2b ? ln a ? 0 , 即 ln a ? ?2b 29. ( 2013 ·陕西高考理科·T 21 )已知函数 f ( x) ? ex , x? R . (1) 若直线 y = kx + 1 与 f (x) 的反函数的图像相切 , 求实数 k 的值 ; (2) 设 x >0, 讨论曲线 y = f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数 . (3) 设 a < b , 比较
f ( a) ? f ( b) f (b) ? f (a) 与 的大小 , 并说明理由 . 2 b?a

【解题指南】 利用导数的几何意义, 可求解; 分析清楚函数的单调性及极值, 讨论确定 曲线 y = f (x) 与曲线 y ? mx2 ( m? 0) 公共点的个数;作差后构造新函数,利用函数的单调性进行大小比较 . 【 解 析 】 (1) f (x) 的 反 函 数 g ( x) ? ln x . 设 直 线 y = kx + 1 与 g ( x) ? ln x 相 切 于 点

?kx0 ? 1 ? lnx0 ? ?2 2 ?2 P(x0, y 0 ), 则? 1 ? x 0 ? e , k ? e 。所以 k ? e k ? g' (x ) ? 0 ? x0 ?
2 (2) 当 x > 0 ,m > 0 时, 曲线 y = f (x) 与曲线 y ? mx2 ( m? 0) 的公共点个数即方程 f ( x) ? mx 根

的个数。
27 / 45

由 f (x) ? mx ? m ?
2

ex ex xex (x ? 2) , 令 h(x) ? ? h '(x) ? , x2 x2 x4

则 h(x) 在 (0,2)上单调递减,这时 h(x)? (h(2), ??); h(x) 在(2,??)上单调递增 , 这时h(x)? (h(2), ??). h(2)?

e2 . 4

h(2)是y ? h(x)的极小值且是最小值。
所以对曲线 y = f (x) 与曲线 y ? mx2 (m ? 0) 公共点的个数,讨论如下: 当 m ? (0,

e2 e2 e2 ) 时 , 有 0 个公共点;当 m= ( , ? ?) 时 , 有 1 个公共点;当 m ? 时有 2 个公共点 . 4 4 4

(3)

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a)

?

(b ? a ? 2) ? e a ? (b ? a ? 2) ? e b (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b?a a ? ?e 2 ? (b ? a) 2 ? (b ? a)

令 t(x) ? x ? 2 ? (x ? 2) ? ex , x ? 0, 则t '(x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e x ? 1 ? (x ?1) ? e x 。

t '(x)的导函数t ''(x) ? (1 ? x ?1) ? ex ? x ? ex ? 0, 所以t '(x)在(0, ? ?)上单调递增 ,
且 t '(0) ? 0.因此t '(x) ? 0,t(x)在(0, ??)上单调递增, 而t(0) ? 0,

所以在(0, ??)上t(x) ? 0 。

因为当x ? 0时,t(x) ? x ? 2 ? (x ? 2) ? ex ? 0且a ? b,
所以 (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? eb?a a ?e ? 0 2 ? (b ? a)

所以 当a < b时,

f (a ) ? f (b) f (b) ? f (a) ? . 2 b?a
x

30. ( 2013 ·新课标全国Ⅱ高考理科·T 21 )已知函数 f(x)=e -ln(x+m), (1) 设 x=0 是 f(x) 的极值点,求 m, 并讨论 f(x) 的单调性; (2) 当 m ≤ 2 时,证明 f(x)>0. 【解题指南】 (1) 求导,然后将 x ? 0 代入导函数,求得 m ,讨论分析导函数的符号,得单调性 . (2) 求 f ? x ? 的最小值 f ? x0 ? ,证明最小值 f ? x0 ? ? 0 即可 .
28 / 45

【解析】(1) 因为 f ? ? x? ? e ?
x

1 1 , x ? 0 是 f ? x ? 的极值点,所以 f ? ? 0 ? ? 1 ? ? 0 ,解得 m ? 1, x?m m
x

e x ? x ? 1? ? 1 1 所以函数 f ? x? ? e ? ln ? x ? 1 ? , ? ,其定义域为 ? ?1, ??? ,因为 f ? ? x ? ? e ? x ?1 x ?1
x

设 g ? x ? ? ex ? x ?1? ?1, 则 g ' ? x ? ? ex ? x ?1? ? ex ? 0 , 所 以 g ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上 是 增 函 数 , 又 因 为

g ? 0? ? 0 ,所以当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,即 f ? ? x ? ? 0 ,当 ?1 ? x ? 0 时, g ? x ? ? 0 , f ? ? x ? ? 0 ,所
以 f ? x ? 在 ? ?1,0? 上是减函数,在 ? 0, ??? 上是增函数 . (2) 当 m ? 2 , x ? ? ?m, ??? 时, ln ? x ? m? ? ln? x ? 2 ? ,故只需证明当 m ? 2 时, f ? x? ? 0 . 当 m ? 2 时,函数 f ? ? x? ? e ?
x

1 在 ? ?2, ?? ? 单调递增 . x?2

由 f ? ? ?1? ? 0, f ? ? 0? ? 0 ,故 f ? ? x ? ? 0 在 ? ?2, ?? ? 上有唯一实根 x0 ,且 x0 ? ? ?1, 0? . 当 x ? ? ?2, x0 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x0 , ??? 时, f ? ? x ? ? 0 ,从而当 x ? x0 时, f ? x ? 取得最小值 . 由 f ? ? x0 ? ? 0 得

e x0 ?

1 , ln ? x0 ? 2 ? ? ? x0 , x0 ? 2
2

? x ? 1? ? 0 1 ? x0 ? 0 故 f ? x ? ? f ? x0 ? ? . x0 ? 2 x0 ? 2
综上,当 m ? 2 时, f ? x ? ? 0 . 31. ( 2013 ·新课标全国Ⅱ高考文科·T 21 )已知函数 f ( x) ? x 2e? x 。 ( 1 )求 f ( x ) 的极小值和极大值; ( 2 )当曲线 y ? f ( x) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围。 【解题指南】( 1 )求导函数 f ? ? x ? ,令 f ? ? x ? ? 0 求极值点,列表求极值 . (2) 设切线, 表示出切线 l 的方程, 令 y ? 0 得 l 在 x 轴上的截距, 利用函数知识求得截距的取值范围 . 【解析】 (1) 列表如下

f ? ? x ? ? e? x ? ? x 2 ? 2 x ? ,令 f ? ? x? ? 0 得 x ? 0 或 2 .

x

? ??,0?

0

( 0,2 )

2

? 2, ???

29 / 45

f ? ? x? f ? x?

?
减函数

0 极小值

?
增函数

0 极大值

?
减函数

函数 f ? x ? 的极小值为 f ? 0 ? ? 0 ,极大值为 f ? 2 ? =
2 (2) 设切点为 x0 , x0 e

4 . e2
2 0

?

? x0

? ,则切线 l 的斜率为 k ? e ? ? x
? x0 ? x0

? 2 x0 ?

2 此时切线 l 的方程为 y ? x0 e

? e ? x0 ? ? x0 2 ? 2 x0 ? ? x ? x0 ?

令 y ? 0 ,得 x ?

x0 ? x0 . x0 ? 2

x?

2 ? x0 ? 2 ? 3 , x0 ? 2
2 (2,?? ), 令 h t( )? t ? (t ? 0) ,则当 t ∈ (0,+ ∞ ) 时 ,h(t) 的取值范 t

由已知和( 1 )得 x0 ? (??, 0)

围为 [2 2,?? ); 当 t ∈ (- ∞ ,-2) 时 ,h(t) 的取值范围是 (- ∞ ,-3), 所以当 x 0 ∈ (- ∞ ,0) ∪ (2,+ ∞ ) 时 ,x 的 取 值 范 围 是 (- ∞ ,0) ∪ [2 2 ? 3, ??) , 综 上 , l 在 x 轴 上 的 截 距 的 取 值 范 围 是 (- ∞ ,0) ∪

[2 2 ? 3, ??) .
32. ( 2013 ·辽宁高考文科·T 21 )

(?) 证明:当 x ??0,1 ? 时,

2 x ? sin x ? x; 2

x3 (?? ) 若不等式 ax ? x ? ? 2( x ? 2) cos x ? 4 对 x ? [0,1] 恒成立,求实数 a 的取值范围。 2
2

【解题指南】构造函数,利用函数的单调性证明不等式;利用已知的不等式恰当地放缩,将复杂的 不等式转化为简单的不等式 【解析】 (?) 记 F ( x) ? sin x ?

2 2 x ,则 F ?( x) ? cos x ? . 2 2

当 x ? ? 0,

? ?

??

2 ? 2 ? cos ? ? 0, ? 时, F ?( x) ? cos x ? 2 4 2 4? 2 ? ?? x 在 x ? ?0, ? 上是增函数,所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ; 2 ? 4?

则 F ( x) ? sin x ?

30 / 45

当 x ??

2 2 2 ?? ? ? ? ? 0, ,1? 时, F ?( x) ? cos x ? 2 2 2 ?4 ?

则 F ( x) ? sin x ?

2 ?? ? x 在 x ? ? ,1? 上是减函数, 2 ?4 ? 2 ? 2 ? sin ? ?0 2 4 2 2 x; 2

所以 F ( x) ? F (1) ? sin1 ?

故当 x ??0,1 ? 时, F ( x ) ? 0,即 sin x ?

记 H ( x) ? sin x ? x ,则当 x ??0,1 ? 时, H ?( x) ? cos x ? 1? 0 所以 H ( x) ? sin x ? x在 x ??0,1? 上是减函数,则 H ( x) ? H (0)? 0 即 H ( x) ? sin x ? x ? 0 , sin x ? x 综上,当 x ??0,1 ? 时,

2 x ? sin x ? x; 2

(?? ) 由 (?) 可知, sin

x 2 x 2x , ? ? 2 2 2 4
2

当 x ??0,1? 时, ax ? x ?

1 3 x ? 2( x ? 2) cos x ? 4 2 1 x ? ax ? x 2 ? x3 ? 2( x ? 2)(1 ? 2sin 2 ) ? 4 2 2 1 x ? (a ? 2) x ? x 2 ? x3 ? 4( x ? 2) sin 2 2 2

? (a ? 2) x ? x 2 ?
? (a ? 2) x

1 3 2x 2 x ? 4( x ? 2)( ) 2 4

所以当 a ? ?2 时, a ? 2 ? 0 , (a ? 2) x ? 0 ,不等式 ax ? x ?
2

1 3 x ? 2( x ? 2) cos x ? 4 恒成立. 2

下面证明,当 a ? ?2 时,不等式 ax ? x ?
2

1 3 x ? 2( x ? 2) cos x ? 4 不恒成立. 2

由 (?) 可知, sin

x x ? 2 2
2

则当 x ??0,1 ? 时, ax ? x ?

1 3 x ? 2( x ? 2) cos x ? 4 2

ax ? x 2 ?

1 3 x ? 2( x ? 2) cos x ? 4 2
31 / 45

1 3 x x ? 2( x ? 2)(1 ? 2sin 2 ) ? 4 2 2 1 x ? (a ? 2) x ? x 2 ? x3 ? 4( x ? 2) sin 2 2 2 1 x ? (a ? 2) x ? x 2 ? x 3 ? 4( x ? 2)( ) 2 2 2 1 3 ? (a ? 2) x ? x 2 ? x 3 ? (a ? 2) x ? x 2 2 2 ? ax ? x 2 ?

3 ? 2 ? ? ? x ? x ? (a ? 2) ? 2 ? 3 ?
所以存在 x0 ??0,1 ? (例如 x0 取

a ?1 1 和 中较小者)满足 3 2

1 3 x ? 2( x ? 2) cos x ? 4 ? 0 2 1 3 2 即当 a ? ?2 时,不等式 ax ? x ? x ? 2( x ? 2) cos x ? 4 不恒成立. 2 ax ? x 2 ?
综上,实数 a 的取值范围为 ? ??, ?2?. 33. ( 2013 · 辽宁高考理科· T 21 ) 已知函数 f ( x) ? (1? x )e 时,
?2 x

, g (x )? ax?

x3 ? 1? 2x cosx . 当 x ? ? 0,1? 2

(?) 求证: 1 ? x ? f ( x) ?

1 ; 1? x

(?? ) 若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。
【解题指南】由于欲证不等式不便于直接证明,因而可以采用间接证明的方法 ——分析法; 【解析】 (?) 证明:⑴要证 x ??0,1 ? 时, (1? x )e 只需证 (1? x )e? x ? (1 ?x ) ex 记 h( x) ? (1 ? x)e? x ? (1 ? x)e x 则 h?( x) ? [(1 ? x)e
?x

?2 x

? 1? x

? (1 ? x)e x ] ? x(e x ? e ? x )
x ?x

当 x ? ? 0,1? 时, h?( x ) ? x (e ? e 因此 h( x ) ? (1? x ) e 故 h( x) ? h(0) ? 0 所以 (1? x )e
?2 x ?x

)? 0

? (1 ?x e ) x 在 ?0,1? 上为增函数,

? 1? x , x ??0,1? ;
32 / 45

⑵要证 x ??0,1 ? 时, (1 ? x)e 只需证 e ? 1 ? x
x

?2 x

?

1 1? x

记 k ( x) ? e x ? x ? 1 则 k ?( x) ? ex ?1 当 x ? ? 0,1? 时, k ?( x) ? ex ? 1 ? 0 因此 k ( x) ? ex ? x ? 1在 ?0,1? 上为增函数, 故 k ( x) ? k (0) ? 0 所以 (1? x )e
?2 x

?

1 , x ??0,1? 1? x
?2 x

综上可知, 1 ? x ? (1 ? x)e 即 1 ? x ? f ( x) ?

?

1 , x ??0,1? 1? x

1 1? x

(?? ) 由 (?) 知 1 ? x ? f ( x) ,则有

f ( x) ? g ( x) ? (1 ? x)e?2 x ? (ax ? x3 ? 1 ? 2 x cos x) 2

x3 ? 1 ? 2 x cos x) 2

? 1 ? x ? (ax ?
? ? x(a ? 1 ?
设 G ( x) ?

1 2 x ? 2 cos x) 2

1 2 x ? 2 cos x ,则 G?( x) ? x ? 2 sin x 2

记 H ( x) ? x ? 2sin x ,则 H ?( x) ? 1? 2 cosx

? cos ? 当 x ??0,1? 时, cos x ? cos1 3

?

1 ? H? x ( ? ) ? 1 2 cos x? 2

0

从而 G?( x) ? x ? 2 sin x在 ?0,1? 上为减函数, 于是当 x ??0,1 ? 时, G?( x) ? G? (0)? 0 故 G ( x) ?

1 2 x ? 2 cos x 在 ?0,1? 上为减函数, 2

所以 G( x) ? G(0)? 2 从而 G( x) ? a ? 1 ? G(0) ? a ? 1 ? 2 ? a ? 1 ? 3 ?a
33 / 45

所以 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x)在 ?0,1? 上恒成立 下面证明当 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x)在 ?0,1? 上不恒成立。 由 (? ) 知 f ( x ) ?

1 ,则有 1? x

f ( x) ? g ( x) ?

1 x3 ? (ax ? ? 1 ? 2 x cos x) 1? x 2

1 x2 ? ? x( ? a ? ? 2 cos x) 1? x 2
记 I ( x) ?

1 x2 1 ? a ? ? 2 cos x ? ? a ? G ( x) 1? x 2 1? x
?1 ? G?( x) (1 ? x) 2 ?1 ? G? ( x) ? 0 (1? x )2

则 I ?( x) ?

由前所述,当 x ??0,1 ? 时, I ?( x) ? 故 I ( x) ?

1 ? a ? G ( x) 在 ?0,1? 上为减函数, 1? x

于是 I (1) ? I (x )? I (0) 即 a ? 1 ? 2cos1 ? I ( x) ? a ? 3 因为当 a ? ?3 时, a ? 3 ? 0 所以存在 x0 ? (0,1),使得 I ( x ) ? 0 此时 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 即当 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x)在 ?0,1? 上不恒成立。 综上,实数 a 的取值范围为 ? ??, ?3?. 34. ( 2013 ·新课标Ⅰ高考理科·T 21 )已知函数 f ( x ) = x + ax + b , g ( x ) = e ( cx + d ) ,若曲线 y = f ( x ) 和曲线 y = g ( x ) 都过点 P(0 , 2) ,且在点 P 处有相同的切线 y = 4 x +2 (Ⅰ)求 a , b , c , d 的值 (Ⅱ)若 x ≥- 2 时, f ( x ) ≤ kgf ( x ) ,求 k 的取值范围。
2

x

34 / 45

【解题指南】(Ⅰ)根据曲线 y = f ( x ) 和曲线 y = g ( x ) 都过点 P(0 , 2) 可将 P(0 , 2) 分别代入到 y =

f ( x ) 和曲线 y = g ( x ) 上,再利用在点 P 处有相同的切线 y = 4 x +2 ,对曲线 y = f ( x ) 和曲线 y = g ( x )
进行求导,列出关于 a, b, c, d 的方程组求解 . (Ⅱ)构造函数 F ( x) ? kg( x) ? f ( x) ,然后求导,判断函数 F ( x) ? kg( x) ? f ( x) 的单调性,通过分 类讨论,确定 k 的取值范围 . 【解析】(Ⅰ)由已知得 f (0) ? 2 , g (0) ? 2 , f ?(0) ? 4 , g ?(0) ? 4 . 而 f ?( x) ? 2 x ? a , g ?( x) ? e x (cx ? d ? c) . 故 b ? 2, d ? 2 , a ? 4 , d ? c ? 4 . 从而 a ? 4 , b ? 2 , c ? 2 , d ? 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 , g ( x) ? 2e x ( x ? 1) . 设 F ( x) ? kg( x) ? f ( x) ? 2ke x ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ? 2 , 则 F ?( x) ? 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 2( x ? 2)(ke x ? 1) . 由题设可得 F (0) ? 0 ,得 k ? 1 . 令 F ?( x) ? 0 ,即 2( x ? 2)(ke x ? 1) ? 0 ,得 x1 ? ? ln k , x2 ? ?2 . (ⅰ)若 ? 1 ? k ? e ,则 ? 2 ? x1 ? 0 ,从而当 x ? (?2, x1 ) 时, F ?( x) ? 0
2

当 x ? ( x1 ,??) 时, F ?( x) ? 0 , 即 F ( x) 在 x ? (?2, x1 ) 单调递减,在 x ? ( x1 ,??) 单调递增,故 F ( x) 在 [?2,??) 上有最小值为 F ( x1 ) .

F ( x1 ) ? 2x1 ? 2 ? x1 ? 4x1 ? 2 ? ?x1 ( x1 ? 2) ? 0 .
故当 x ? ?2 时, F ( x) ? 0 恒成立,即 f ( x) ? kg( x) .
2 2 x ?2 (ⅱ)若当 k ? e ,则 F ?( x) ? 2e ( x ? 2)(e ? e ) ,当 x ? ?2 时, F ?( x) ? 0 ,即 F ( x) 在 (?2,??)

2

上单调递增,而 F (?2) ? 0 , 故当且仅当 x ? ?2 时, F ( x) ? 0 恒成立,即 f ( x) ? kg( x) .
?2 ?2 2 (ⅲ)若 k ? e ,则 F (?2) ? ?2ke ? 2 ? ?2e (k ? e ) ? 0 .
2

从而当 x ? ?2 时, f ( x) ? kg( x) 不可能恒成立 . 综上, k 的取值范围为 [1, e ] .
35 / 45
2

35. ( 2013 ·新课标Ⅰ高考文科·T 20 )已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x 2 ? 4 x ,曲线 y ? f ( x) 在点

(0, f (0)) 处切线方程为 y ? 4 x ? 4
(Ⅰ)求 a , b 的值 (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值 【解题指南】 ( Ⅰ) 对函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x 2 ? 4 x 求导, 利用点 (0, f (0)) 处切线方程为 y ? 4 x ? 4 知 f ?(0) ? 4 ,求得 a , b 的值; (Ⅱ)由(Ⅰ)确定函数解析式,并对 f ( x) 求导,根据导函数 f ?( x) 判断函数的单调性,根据函数 的单调性求出极值 . 【解析】(Ⅰ) f ?( x) ? e x (ax ? a ? b) ? 2x ? 4 . 由已知得 f (0) ? 4 , f ?(0) ? 4 . 故 b ? 4 , a ? b ? 8 ,从而 a ? 4 , b ? 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? 4e x ( x ? 1) ? x 2 ? 4x ,

1 f ?( x) ? 4e x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 4( x ? 2)( e x ? ) . 2
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? ln 2 或 x ? ?2 . 从而当 x ? (??,?2) ? (? ln 2,??) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (?2,? ln 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 故 f ( x) 在 (??,?2) , (? ln 2,??) 单调递增,在 x ? (?2,? ln 2) 单调递减 . 当 x ? ?2 时,函数 f ( x) 取得极大值,极大值为 f (?2) ? 4(1 ? e ?2 ) 36. ( 2013 · 四川高考理科· T 21 ) 已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? a , x ? 0, ?ln x, x ? 0,

其中 a 是实数. 设 A( x1 , f ( x1 )) ,

B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .
(Ⅰ)指出函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围. 【解题指南】在求解过程中,首先需要把握函数的解析式及定义域,结合各段函数的特征确定其单 调区间,在后续的求解过程中,需要首先求解函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线的斜率,结合已 知求解 x2 ? x1 的最小值,在第(Ⅲ)问中,应着重分析函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合得
36 / 45

到的信息 . 【解析】 ( Ⅰ ) 函数 f( x ) 的单调递减区间为 ( ? ? , ? 1), 单调递增区间为 ( ? 1,0),(0,+ ? ). ( Ⅱ ) 由导数的几何意义可知 , 点 A 处的切线斜率为 f ? ( x 1 ), 点 B 处的切线斜率为 f ? (x 2 ) , 所以当点 A 处的切线与点 B 处的切线垂直时 , 有 f ? ( x 1 ) f ? ( x 2 )= ? 1. 当 x <0 时 , f ? ( x ) =2 x +2 因为 x 1 < x 2 <0, 所以 (2 x 1 +2)(2 x 2 +2)= ? 1 所以 2 x 1 +2<0, 2 x 2 +2>0. 1 因此 x 2 ? x 1 = [ ? (2 x 1 +2)+ 2 x 2 +2] ? [ ? (2x 1 +2)](2x 2 +2)=1, 2 3 1 当且仅当 ? (2 x 1 +2)= 2 x 2 +2=1 即 x 1 = ? , x 2 = ? 时等号成立 . 2 2 所以 , 函数 f ( x ) 的图象在点 A , B 处的切线互相垂直时 , 求 x 2 ? x 1 的最小值为 1. ( Ⅲ ) 当 x 1 < x 2 <0 或 x 2 > x 1 >0 时 , f ? ( x 1 ) ? f ? ( x 2 ), 所以 x 1 <0< x 2 . 当 x 1 <0 时 , 函数 f ( x ) 的图象在点 (x 1 ,f(x 1 )) 处的切线方程为 y ? ( x 1 +2 x 1 + a )=(2 x 1 +2)( x ? x 1 ), 即 y =(2 x 1 +2) x ? x 1 + a . 1 1 当 x 2 >0 时 , 函数 f ( x ) 的图象在点 (x 2 ,f(x 2 )) 处的切线方程为 y ? ln x 2 = ( x ? x 2 ), 即 y = x +ln x 2 ? 1.
2 2

x2

x2

? ?2x1 +2= 1 ① x2 两切线重合的充要条件是 ? ?? x 12 +a =ln x2? 1 ② ?
由①及 x 1 <0< x 2 知 ? 1< x 1 <0. 由①②得 a = x 1 +ln
2 2

1 2 ? 1= x 1 ? ln(2 x 1 +2) ? 1. 2 x 1 +2

令 h ( x 1 )= x 1 ? ln(2 x 1 +2) ? 1( ? 1< x 1 <0), 则 h ? ( x 1 )=2 x 1 ? 1 <0, 所以 h ( x 1 ) 在 ( ? 1,0) 上是减函数 . x 1 +1

则 h ( x 1 )> h (0)= ? ln2 ? 1, 所以 a > ? ln2 ? 1, 又当 x 1 ? ( ? 1,0) 且趋近于 ? 1 时 , h ( x 1 ) 无限增大 , 所以 a 的取值范围是 ( ? ln2 ? 1,+ ? ). 故当函数 f ( x ) 的图象在点 A , B 处的切线重合 , a 的取值范围是 ( ? ln2 ? 1,+ ? ). 37. ( 2013 ·四川高考文科·T 21 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? a ,x ? 0 ?ln x, x ? 0

,其中 a 是实数。设

A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .
(Ⅰ)指出函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,证明: x2 ? x1 ? 1 ;
37 / 45

(Ⅲ)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围。 【解题指南】在求解过程中,首先需要把握函数的解析式及定义域,结合各段函数的特征确定其单 调区间,在后续的求解过程中,需要首先求解函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线的斜率,结合已 知证明,在第(Ⅲ)问中,应着重分析函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合得到的信息 . 【解析】 ( Ⅰ ) 函数 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? ? , ? 1), 单调递增区间为 ( ? 1,0),(0,+ ? ). ( Ⅱ ) 由导数的几何意义可知 , 点 A 处的切线斜率为 f ? ( x 1 ), 点 B 处的切线斜率为 f ? ( x 2 ), 故当点 A 处的切线与点 B 处的切线垂直时 , 有 f ? ( x 1 ) f ? ( x 2 )= ? 1. 当 x <0 时 , 对函数 f ( x ) 求导,得 f ? ( x )=2 x +2 因为 x 1 < x 2 <0, 所以 ( 2 x 1 +2)(2 x 2 +2)= ? 1 , 所以 2 x 1 +2<0, 2 x 2 +2>0. 1 因此 x 2 ? x 1 = [ ? (2 x 1 +2)+ 2 x 2 +2] ? [ ? (2x 1 +2)](2x 2 +2)=1, 2 3 1 当且仅当 ? (2 x 1 +2)= 2 x 2 +2=1 ,即 x 1 = ? 且 x 2 = ? 时等号成立 . 2 2 所以 , 函数 f ( x ) 的图象在点 A , B 处的切线互相垂直时 , 有 x2 ? x1 ? 1 . ( Ⅲ ) 当 x 1 < x 2 <0 或 x 2 > x 1 >0 时 , f ? ( x 1 ) ? f ? ( x 2 ), 故 x 1 <0< x 2 . 当 x 1 <0 时 , 函数 f ( x ) 的图象在点 (x 1 ,f(x 1 )) 处的切线方程为 y ? ( x 1 +2 x 1 + a )=(2 x 1 +2)( x ? x 1 ), 即 y =(2 x 1 +2) x ? x 1 + a . 1 1 当 x 2 >0 时 , 函数 f ( x ) 的图象在点 (x 2 ,f(x 2 )) 处的切线方程为 y ? ln x 2 = ( x ? x 2 ), 即 y = x +ln x 2 ? 1.
2 2

x2

x2

? ?2x1 +2= 1 ① x2 两切线重合的充要条件是 ? ?? x 12 +a =ln x2? 1 ② ?
1 由①及 x 1 <0<x 2 知 ,0< <2.

x2

? 1 ? ? 1? -1 由①②得 ,a=lnx 2 + ? ? 2 x2 ? ? 1 1? 1 ? 2 ? -1. =-ln + ? x2 4 ? x2 ?
令 t= 错误!未找到引用源。 , 则 0<t<2, 且 a= 设 h (t)=
2

2

1 2 t -t-lnt. 4

1 2 t -t-lnt(0<t<2), 4

1 1 (t ? 1) 2 ? 3 则 h '(t)= t-1- = <0, 2 t 2t
所以 h(t)(0<t<2) 为减函数 .
38 / 45

则 h(t)>h(2)=-ln2-1, 所以 a >-ln2-1. 而当 t ∈ (0,2) 且 t 趋近于 0 时 ,h(t) 无限增大 . 所以 a 的取值范围是 (-ln2-1,+ ∞ ). 故当函数 f(x) 的图象在点 A,B 处的切线重合时 ,a 的取值范围是 (-ln2-1,+ ∞ ). 38. ( 2013 ·天津高考文科·T 20 )
? x 3 ? (a ? 5) x, x ? 0, ? f ( x ) ? 设 a ? [?2, 0] , 已知函数 ? 3 a?3 2 x ? ax , x ? 0 . ?x ? ? 2

( Ⅰ ) 证明 f ( x) 在区间 ( - 1,1) 内单调递减 , 在区间(1, + ∞)内单调递增 ;
)i ( ( Ⅱ ) 设 曲 线 y ? f ( x) 在 点 P i ( x i , f ( xi ) ? 1处 , 2的 , 3切 ) 线 相 互 平 行 , 且 x1 x2 x3 ? 0,

证明

1 x1 ? x 2? x ? 3 ? . 3
【解题指南】 ( Ⅰ ) 利用导数分段证明 f ( x) 在区间 ( - 1,0) 内单调递减 , 在区间 (0,1) 内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增,且 f ( x) 在 x=0 处不间断,进而得出结论 . ( Ⅱ ) 由函数 f ( x) 的单调性及切线平行得出 x1 , x2 , x3 的关系,通过构造函数及换元法转化为求最小值 问题求解 . 【证明】 ( Ⅰ ) 设函数 f1 ( x) ? x3 ? (a ? 5)x (x ? 0) , f2 ( x) ? x3 ?

a?3 2 x ? ax( x ? 0), 2

① f1? ( x) ? 3x2 ? (a ? 5), 由 a ? ? ?2,0? , 从 而 当 ?1 ? x ? 0 时 , f1? ( x) ? 3x2 ? (a ? 5)? 3? a ? 5 ? 0, 所 以 f1 ( x) 在 区间 ? ?1, 0? 内单调递减 . ② f2? ( x) ? 3x2 ? (a ? 3) x ? a ? (3x ? a)( x ? 1), 由 a ? ? ?2,0? , 所 以 当 0<x<1 时 ,f 2 ′ (x)<0; 当 x>1 时 ,f 2 ′ (x)>0. 即函数 f 2 (x) 在区间 [0,1) 内单调递减 , 在区间 (1,+ ∞ ) 内单调递增 . 综合①,②及 f1 (0) ? f 2 (0) ,可知函数 f ( x) 在区间 (-1,1) 内单调递减,在区间(1, + ∞)内单调递增 .
? a ? 3? ?a?3 ? , ?? ? 内 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 f ? ( x) 在区间 ? ??,0 ? 内单调递减,在区间 ? 0, ? 内单调递减,在区间 ? 6 ? ? ? 6 ?

i ? 1, 2, 3) 单调递增 . 因为曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线相互平行 , 从而 x1 , x 2 , x 3 互不相等,且 i ( xi , f ( xi ))(

f ′ (x 1 )= f'(x 2 )=f ′ (x 3 ). 不 妨 设
x1 ? 0 x ? 2x , ?
3



3x12 ? (a ? 5) ? 3x22 ? (a ? 3) x2 ? a ? 3x32 ? (a ? 3) x3 ? a,





39 / 45

3x22 ? 3x32 ? (a ? 3)( x2 ? x3 ) ? 0, 解得 x2 ? x3 ?

a?3 a?3 , 从而 0 ? x2 ? ? x3 . 3 6

3x12 ? (a ? 5) ? g ( x2 ) ? a,



g ( x) ? 3x2 ? (a ? 3) x ? a,



g(

a?3 ) ? g ( x2 ) ? g (0) ? a. 6





3t 2 ? 5 2a ? 5 2a ? 5 2a ? 5 a ? 3 ? , 设t ? , 因为 a ?? ?2, 0? ,, ? ? x1 ? 0, 所以 x1 ? x 2 ? x 3 ? ? ,则 a ? 3 3 2 3 3
所以 t ? ?

? 3 15 ? 3t 2 ? 1 1 1 1 1 , ? (t ? 1)2 ? ? ? , 即 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? , 故 x1 ? x2 ? x3 ? ?t ? 3 6 2 3 3 3 ? ? 3

39. ( 2013 ·天津高考理科·T 20 )已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (1) 求函数 f ( x ) 的单调区间 ; (2) 证明 : 对任意的 t >0, 存在唯一的 s , 使 t ? f ( s ) . (3) 设 (2) 中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明 : 当 t >e 2 时 , 有
2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

【解题指南】 (1) 求出函数 f ( x) ? x2 ln x 的导数,利用导数确定函数 f ( x ) 的单调区间 . (2) 利用 (1) 的结论,首先确定 t>0 时,对应函数 f ( x) 的定义域为 (1,?? ),然后根据函数 f ( x ) 的单 调性证明 . (3) 承接 (2) 通过换元法及函数的单调性进行证明 . 【解析】 (1) 函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) .

f ?( x) ? 2 x ln x ? x ? x(2ln x ? 1), 令

f ?( x) ? 0, 得 x ?

1 e

.

当 x 变化时, f ?( x ), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(0,

1 e
?

)

1 e

(

1 e

, ?? )
?

0 极小值
1 e ) , 单调递增区间是 ( 1 e , ?? ) .

所以函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, (2) 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x) ? 0.

设 t ? 0 , 令 h( x) ? f ( x) ? t , x ??1, ??? . 由 (1) 知 ,

h( x) 在 区 间 ?1, ?? ? 内 单 调 递 增 .

h(1) ? ?t ? 0, h(et ) ? e2t ln et ? t ? t (e2t ? 1) ? 0. 故存在唯一的 s ? (1, ?? ), 使 t ? f ( s ) 成立 .
40 / 45

(3) 因为 s ? g (t ) , 由 (2) 知 t ? f ( s ) , 且 s ? 1 , 从而
ln g (t ) ln s ln s ln s u ? ? ? ? , 其中 u ? ln s . 2 ln t ln f ( s) ln( s ln s) 2ln s ? ln ? ln s ? 2u ? ln u

要使

2 ln g ( t) 1 u ? ? 成立 , 只需 0 ? lnu ? . 5 lnt 2 2
2 2

当 t>e 时 , 若 s=g(t) ≤ e, 则由 f(s) 的单调性知 ,t=f(s) ≤ f(e)=e , 矛盾 . 所以 s>e, 即 u>1, 从而 ln u>0 成立 .

u 1 1 F ?(u ) ? 0;当 u ? 2 时, 另一方面, 令 F (u) ? ln u ? , u ? 1. F ?(u) ? ? , 令 F ?(u ) ? 0, 得 u ? 2, 当 1 ? u ? 2 时, 2 u 2
F ?(u ) ? 0.故对 u ? 1 , F (u) ? F (2) ? 0. 因此 ln u ?

u 成立 . 2

综上,当 t >e 2 时 , 有

2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2
3 2

40.(2013 ·浙江高考理科· T22) 已知 a ∈ R, 函数 f(x)=x -3x +3ax-3a+3. (1) 求曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程 . (2) 当 x ∈ [0,2] 时 , 求 |f(x)| 的最大值 . 【解题指南】 (1) 先确定 f '(x), 再求切线斜率 f '(1), 从而写出切线方程 . (2) 当 x ∈ [0,2] 时 , 要分类讨论 a 取不同的值时 ,f(x) 的单调性即 f '(x)>0 或 f '(x)<0. 【解析】 (1) 由题意 f '(x)=3x -6x+3a, 故 f '(1)=3a-3, 又 f(1)=1, 所以所求切线方程为 y=(3a-3)x-3a+4. (2) 由于 f '(x)=3(x-1) +3(a-1),0 ≤ x ≤ 2, 故 ①当 a ≤ 0 时 , 有 f '(x) ≤ 0, 此时 f(x) 在 [0,2] 上单调递减 , 故 |f(x)| max =max{|f(0)|,|f(2)|}=3-3a; ②当 a ≥ 1 时 , 有 f ' (x) ≥ 0, 此时 f(x) 在 [0,2] 上单调递增 , 故 |f(x)| max =max{|f(0)|,|f(2)|}=3a-1; ③当 0<a<1 时 , 设 x1 ? 1 ? 1 ? a , x2 ? 1 ? 1 ? a , 则 0<x 1 <x 2 <2,f ' (x)=3(x-x 1 )(x-x 2 ). 列表如下 :
2 2

x
f ?( x )
f ( x)

0

? 0, x1 ?
?

x1
0
极大值 f ( x1 )

? x1, x2 ?
?
单调递减

x2
0
极小值 f ( x2 )

? x2 , 2?
?

2

3 ? 3a
单调递增

3a ? 1
单调递增

41 / 45

由于 f ( x1 ) ? 1? 2(1? a ) 1 ? a, f ( x2 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a 故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 >0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4(1 ? a) 1 ? a> 0 从而 f ( x1 )> f ( x2 ) ,所以 |f(x)| max =max{|f(0)|,|f(2)|,f(x 1 )} (i) 当 0< a< 时, f (0) > f (2) 又 f ( x1 ) ? f (0) ? 2(1 ? a) 1 ? a ? (2 ? 3a) ? 故 | f (x) |max ? f (x1 ) ?? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a (ii) 当

2 3

a 2 (3 ? 4a) >0 2(1 ? a) 1 ? a ? (2 ? 3a)

2 ≤a<1 时, f (2) ? f (2),且 f (2) ≥f (0) 3

又 f ( x1 ) ? f (2) ? 2(1 ? a) 1 ? a ? (3a ? 2) ? 所以当 当

a 2 (3 ? 4a) 2(1 ? a) 1 ? a ? 3a ? 2

2 3 ≤a< 时, f ( x1 )> f (2) ,故 f (x)max ? f (x ? 1 ? 2(1 ?a ) 1 ?a 1 ) 3 4

3 ≤a<1 时, f(x) max =|f(2)|=3a-1. 4

? ? 3 ? 3a ,a≤ 0, ? 3 ? 综上所述, | f (x) max | ??1 ? 2(1 ?a ) 1 ?a ,< 0 a< , 4 ? 3 ? 3a ? 1,a≥ , ? ? 4
41.(2013 ·浙江高考文科· T21) 已知 a ∈ R, 函数 f(x)=2x -3(a+1)x +6ax. (1) 若 a=1, 求曲线 y=f(x) 在点 (2,f(2)) 处的切线方程 . (2) 若 |a|>1, 求 f(x) 在闭区间 [0,|2a|] 上的最小值 . 【解题指南】 (1) 先求 f ' (x), 再求 f '(2), 从而易求切线方程 .(2) 对 a 进行讨论 , 分析 f(x) 在闭区间 [0,|2a|] 上的单调性 , 从而求其最小值 . 【解析】 (1) 当 a=1 时 ,f ' (x)=6x -12x+6, 所以 f '(2)=6, 又因为 f(2)=4, 所以切线方程为 y=6x-8. (2) 记 g(a) 为 f(x) 在闭区间 [0,2|a|] 上的最小值 . f '(x)=6x -6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a), 令 f '(x)=0, 得到 x 1 =1,x 2 =a,
42 / 45
2 2 3 2

当 a>1 时 ,

x
f ?( x )
f ( x)

0

? 0,1?
?

1

?1,a ?
?
单调递减

a
0
极小值 a2 (3 ? a)

? a, 2a ?
?
单调递增

2a

0
极大值 3a ? 1

0

单调递增

4a

3

比较 f(0)=0 和 f(a)=a (3-a) 的大小可得 g(a)= ? 当 a< ? 1 时,

2

<a≤3, ? 0,1 2 ?a (3 ? a ), a>3,

x
f ?( x )

0

? 0,1?
?

1

?1, ?2a?
?
单调递增

?2a

0
极小值 3a ? 1

f ( x)

0

单调递减

?28a3 ? 24a2

得, g ( a) ? 3a ? 1

? 3a ? 1,a< ? 1, ? <a≤ 3, 综上所述, f ( x ) 在闭区间 ? ? 0, 2 a ? ? 上的最小值 g (a ) ? ? 0,1 ?a 2 (3 ? a ),a> 3. ?
42. ( 2013 ·重庆高考理科·T 17 )设 f ( x) ? a( x ? 5) ? 6ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点( 1 ,
2

f (1) )处的切线与 y 轴相交于点( 0,6 ).
(Ⅰ)确定 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间与极值. 【解题指南】直接根据曲线在( 1 , f (1) )处的切线过点( 0,6 )求出 a 的值 , 直接求导得出函数的 单调区间与极值 .
2 【解析】(Ⅰ)因为 f ( x) ? a( x ? 5) ? 6ln x , 所以 f ?( x) ? 2a( x ? 5) ?

6 . x

令 x ? 1, 得 f (1) ? 16a, f ?(1) ? 6 ? 8a , 所 以 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 1 , f (1) ) 处 的 切 线 方 程 为

1 y ? 16a ? (6 ? 8a)(x ? 1) , 因为点 ?0,6? 在切线上 , 所以 6 ? 16 a ? 8a ? 6 , 得 a ? . 2 1 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 , f ( x) ? ( x ? 5) ? 6 ln x( x ? 0), 2 6 ( x ? 2)( x ? 3) f ?( x) ? x ? 5 ? ? x x
43 / 45

令 f ?( x) ? 0 , 解得 x1 ? 2, x2 ? 3 当 0 ? x ? 2 或 x ? 3 时,

f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 在 (0,2), (3,??) 上为增函 数 ; 当 2 ? x ? 3 时 , f ?( x) ? 0 ,

故 f ( x) 在 (2,3) 上为减函数 . 由此可知 f ( x) 在 x ? 2 处取得极大值 f (2) ?

9 ? 6 ln 2 , 在 x ? 3 处取得极小值 f (3) ? 2 ? 6 ln 3 . 2

43. ( 2013 ·重庆高考文科·T 20 )某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄 水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建 造成本为 100 元 / 平方米,底面的建造成本为 160 元 / 平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 ? 元 ( ? 为圆周率). (Ⅰ)将 V 表示成 r 的函数 V (r ) ,并求该函数的定义域; (Ⅱ)讨论函数 V (r ) 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 【解题指南】直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域 , 通过求导研究函数的单调性 进而求出函数的最值 .
2 【解析】(Ⅰ)因为蓄水池侧面的总成本为 100 ? 2?rh ? 200?rh 元 , 底面的总成本为 160?r 元 ,

?rh ? 1 6 0 ?r ? 1 2 0 0 ? 0, 所以蓄水池的总成本为 (200 ?rh ? 160 ?r 2 ) 元 .又据题意 2 0 0
2

所以 h ?

1 ? (300 ? 4r 2 ) , 从而 V (r ) ? ?r 2 h ? (300 r ? 4r 3 ). 5r 5

因 r ? 0, 又由 h ? 0 可得 r ? 5 3 , 故函数 V (r ) 的定义域为 0,5 3 . (Ⅱ)因 V ( r ) ?

?

?

?
5

(300 r ? 4r 3 ). 故 V ?(r ) ?

?
5

(300 ? 12 r 2 ). 令 V ?(r ) ? 0 , 解得 r1 ? 5

r2 ? ?5 (因 r2 ? ?5 不在定义域内 , 舍去 ).
当 r ? ?0,5? 时 , V ?(r ) ? 0 , 故 V (r ) 在 ?0,5? 上 为 增 函 数 , 当 r ? 5,5 3 时 , V ?(r ) ? 0 , 故 V (r ) 在

?

?

?5,5 3 ?上为减函数,由此可知 ,
池的体积最大 .

V (r ) 在 r ? 5 处取得最大值 , 此时 h ? 8. 即当 r ? 5, h ? 8 时 , 该蓄水

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