nbhkdz.com冰点文库

2008年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题详细答案

时间:2010-12-09


安徽高中数学

http://www.ahgzsx.com

2008 年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题详细答案
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 选择题( 1.已知二次函数 f ( x ) = x ? 3 x + 2 ,则方程 f
2

( f ( x ) ) = 0 不同实数根的数目为



) ( A )1 。

(B) 2
答 选D。 因 为

(C ) 3
2

( D) 4

f ( f ( x ) ) = ( x 2 ? 3 x + 2 ) ? 3 ( x 2 ? 3 x + 2 ) + 2 = x 4 ? 6 x3 + 10 x 2 ? 3 x , 所 以 有
3± 5 ,因此原方程有 4 个不同实根。 2

x ( x ? 3) ( x 2 ? 3 x + 1) = 0, x1 = 0, x2 = 3, x3,4 =


3 3 时, 函数 f ( x ) 单调下降, x > 时, 当 2 2 3 函 数 f ( x ) 单 调 上 升 , 且 f ( x ) = 0 的 两 个 根 为 1, 2 , 所 以 当 x ≤ 时 , 函数 2
也可以讨论 f ( x ) = 0 根的分布情况。 因为当 x ≤

3 ? 1 ? f ( x ) ∈ ? ? , +∞ ? ? [1, 2] , 因 此 f ( f ( x ) ) = 0 有 两 个 不 同 实 根 ; 当 x > 时 , 函 数 2 ? 4 ?

? 1 ? f ( x ) ∈ ? ? , +∞ ? ? [1, 2] ,因此 f ( f ( x ) ) = 0 也有两个不同实根。综上所述,原方程有 4 个不同 ? 4 ?
实根。

2.抛物线 y = ax 2 + bx + 1 的参数 a, b 满足 8a + 4ab = b ,则当 a, b 变动时,抛物线的顶点一定
2 3

在(

)上。

( A) 抛物线
答 选B。

( B ) 双曲线
?

( C ) 圆或椭圆

( D ) 直线

抛物线 y = ax 2 + bx + 1 的顶点的坐标为 ? ?

b 4a ? b 2 ? b 4a ? b 2 , ,设 x = ? ,y= ,则有 ? 4a ? 2a 4a ? 2a
2

b b2 bx b ?b? = ?2 x , y = 1 ? = 1 + 。因为 a ≠ 0 ,所以 a, b 满足的条件等价于 8 + 4 = b ? ? ,于是有 a 4a 2 a ?a?

8 + 4 ( ?2 x ) = b ( ?2 x ) = 4 x ( 2 y ? 2 ) ,即 xy = 1 。
2

第 1 页 共 9 页

安徽高中数学

http://www.ahgzsx.com

3.已知 ?ABC 的三边 BC , CA, AB 的中点分别为 L, M , N , D, E 分别是 BC , AB 上的点,并满足

AD, CE 均平分 ?ABC 的周长, P, Q 分别是 D, E 关于 L, N 的对称点, PQ 与 LM 交于点 F ,若
AB > AC ,则 AF 一定过 ?ABC (
) 。

( A) 内心
答 选 A。

( B ) 外心

( C ) 重心

( D ) 垂心

设 ?ABC 的三边长及半周长分别为 a, b, c, p ,则

BQ = AE = p ? b, BP = CD = p ? b ,所以 BQ = BP 。
因为 LM 平行于 AB ,所以

LF = LP = BP ? BL = p ? b ?
于是有 FM = LM ? LF =

a c ?b = , 2 2

b = AM , 2 ∠MAF = ∠AFM = ∠FAB ,所以 AF 是 ∠A 的角平分线。

4 . 若 方 程 a + 2 x ? 4 = 0 ( a > 0, a ≠ 1) 的 所 有 根 为 u1 , u2 ,L , uk , 其 中 k 为 正 整 数 , 方 程
x

log a ( 2 x ) + x ? 2 = 0 ( a > 0, a ≠ 1) 的 所 有 根 为 v1 , v2 ,L , vl , 其 中 l 为 正 整 数 , 则
u1 + u2 + L + uk + v1 + v2 + L + vl 的值为( k +l 1 1 ( A) ( B) 4 2 答 选C 。
方程 a + 2 x ? 4 = 0 等价于
x

) 。

( C )1

( D) 2

ax ax = 2 ? x ,其根即为 y = 与 y = 2 ? x 的交点的横坐标。 2 2

log a ( 2 x ) + x ? 2 = 0 等价于 log a ( 2 x ) = 2 ? x ,其根即为 y = log a ( 2 x ) 与 y = 2 ? x 的交点的横坐
标。因为 y =

ax 与 y = log a ( 2 x ) 互为反函数,所以此它们的图像关于 y = x 对称,因此所有根的 2

算术平均就是 y = x 与 y = 2 ? x 交点的横坐标 1 。

第 2 页 共 9 页

安徽高中数学

http://www.ahgzsx.com

5.考虑集合 S = {1, 2,L ,10} 的所有非空子集,若一个非空子集中的偶数的数目不少于奇数的 数目,称这个子集是“好子集” ,则“好子集”的数目有( )个。

( A) 631
答 选D。

( B ) 633

( C ) 635

( D ) 637

设一个 “好子集” 中有 i ( i = 1, 2,3, 4,5 ) 个偶数, 则奇数的数目可以有 j = 0,1,L , i 个, “好 因此 子集”的数目为

? i i j? ∑ ? C5 ∑ C5 ? = C51 ( C50 + C51 ) + C52 ( C50 + C51 + C52 ) + C53 ( C50 + C51 + C52 + C53 ) i =1 ? j =0 ?
5
1 1 +C54 ( C50 + C5 + C52 + C53 + C54 ) + C55 ( C50 + C5 + C52 + C53 + C54 + C55 ) = 637 。

6.设不定方程 x 2 + y 2 + z 2 ? xyz + 10 = 0 的正整数解 ( x, y, z ) 中满足 x, y, z 均大于 2008 的不 同解的数目为 k ,则 k 满足( ) 。

( A) k = 0 ( B )1 ≤ k ≤ 2008 ( C ) k > 2008 ,但 k 是有限的数 ( D ) k 是无穷大
答 选D。

( x0 , y0 , z0 ) = ( 3, 4,5) 是 原 不 定 方 程 的 一 个 特 解 。 对 于 原 不 定 方 程 的 任 意 一 个 正 整 数 解 ( x1 , y, z ) ,假设 x1 ≤ y ≤ z ,且 x1 < z 。设关于 x 的二次方程 x 2 ? yz
2 2 2

x + y 2 + z 2 + 10 = 0 的两个

根为 x1 , x2 ,由韦达定理, x1 + x2 = yz , x1 x2 = y + z + 10 > z ,因此 x2 是正整数,且大于 z ,于 是 ( x2 , y, z ) 也是原不定方程的一个解,并由小到大重新排列为 ( y, z , x2 ) 。如此反复利用上面的结 论,可以由一个特解得到无穷多个解,因此满足 x, y , z 均大于 2008 的解有无穷多个。

第 3 页 共 9 页

安徽高中数学

http://www.ahgzsx.com

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 填空题( 7 . 函 数 f ( x) =

sin ( x + 45° ) sin ( x + 60° )

, x ∈ [ 0°,90°] , 则 f ( x ) 的 最 大 值 与 最 小 值 的 乘 积
2 3 。 3



。答

因为 f ′ ( x ) =

sin15° > 0 ,所以 f ( x ) 严格递增,于是最大值为 f ( 90° ) = 2 ,最小 sin ( x + 60° )
2

值为 f ( 0° ) = 注

2 2 3 ,其积为 。 3 3

单调性也可以直接由定义证明。

8.若方程 z

2009

+ z 2008 + 1 = 0 有模为 1 的根,则所有模为 1 的根的和为
2008

。答

?1 。

设 z 是满足条件的根,则原方程等价于 z

( z + 1) = ?1 。两边同时取模,可得 z + 1 = 1 。因

为 z = 1 ,所以所有模为 1 的根只可能为复平面上以 ( ?1, 0 ) 为圆心, 1 为半径的圆与以 ( 0, 0 ) 为圆 心, 1 为半径的圆的交点所对应的复数,因此有 z = ? 根,于是可得所有模为 1 的根的和为 ?1 。 9 . 考 虑 4 × 4 的 正 方 形 方 格 表 中 的 25 个 格 点 , 则 通 过 至 少 3 个 格 点 的 不 同 直 线 的 数 目 为 。答 32 。 水平和竖直的直线共有 10 条,与两条对角线平行的直线共有 10 条,其它满足条件的直线还有 12 条,因此共有 32 条。 10.设 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,则 答
2008 k =1

1 3 ± i ,经检验,这两个根都是原方程的 2 2

∑ ? 2009 ? 的值是 ? ?

? 2008k ?



2015028 。

对于 k = 1, 2,L , 2008 ,因为

2008k 不是整数,所以 2009

2008k ? ? 2008k ? ? 2008 ( 2009 ? k ) ? ? 2008k ? ? ?=? ? 2009 ? + ? ? + ? 2008 ? 2009 ? = 2007 ,于是有 2009 ? ? ? ? ? ? 2009 ? ?
2008

? 2008k ? 1 2008 ? ? 2008k ? ? 2008 ( 2009 ? k ) ? ? 1 ∑ ? 2009 ? = 2 ∑ ? ? 2009 ? + ? ? ? = × 2008 × 2007 = 2015028 。 ? ? 2009 ? ? ? k =1 ? k =1 ? ? ?? 2

11 . 已 知 长 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 满 足 AA1 = 2, AD = 3, AB = 251 , 平 面 A1 BD 分 别 与
第 4 页 共 9 页

安徽高中数学

http://www.ahgzsx.com

CC1 , C1 B1 , C1 D1 交于点 L, M , N ,则四面体 C1 LMN 的体积为

。答

2008 。

因为 BD // MN , A1 D // LM , A1 B // LN ,所以 A1 , B, D 分别是 MN , LM , LN 的中点,于是有

C1 L = 2CC1 = 4, C1M = 2C1 B1 = 6, C1 N = 2C1 D1 = 502 , 从 而 可 得 四 面 体 C1 LMN 的 体 积 为

1 C1 L C1M C1 N = 2008 。 6
12.已知半径为 R 的圆 O 外一条直线 l , O 在 l 上的投影为 H , OH = d , OH 与圆 O 交于点

C , D, CH > DH 。设 P, Q 为 l 上的点, P, Q 在 H 的同侧,且 PH = a, QH = b, a > b ,圆 O 中有

2008 条 平 行 于 l 的 弦 Ai Bi ( i = 1, 2,L , 2008) , 且 这 2008 条 弦 与 CD 的 交 点 均 分 CD , 则

1 2008 ∑ ( PAi 2 + PBi 2 + QAi 2 + QBi 2 ) 的值为(用 a, b, d , R 表述) 2008 i =1




2a 2 + 2b 2 + 4d 2 + 4 R 2 。

设 Ai Bi 的中点为 M i , PQ 的中点为 N ,由中线公式可得

PAi 2 + PBi 2 + QAi 2 + QBi 2 = PQ 2 + Ai Bi 2 + 4 M i N 2 = ( a ? b ) + Ai Bi 2 + 4 M i N 2 。
2

因为 M i 在 CH 上,设 OM i = xi , 其中假设当 M i 在 OD 上时 xi 取正数,当 M i 在 OC 上时 xi 取负数,

? ? a + b ?2 2? 则 Ai Bi + 4 M i N = Ai Bi + 4 ( HN + M i H ) = 4 ( R ? xi ) + 4 ? ? + ( d ? xi ) ? ? ?? 2 ? ? ? ?
2 2 2 2 2 2 2

= ( a + b ) + 4 R 2 + 4d 2 ? 8dxi 。
2 2008

因为

∑ xi = 0 ,所以
i =1
2 2

1 2008 ∑ ( PAi 2 + PBi 2 + QAi 2 + QBi 2 ) = 2a 2 + 2b2 + 4d 2 + 4R 2 。 2008 i =1
2 2 2 2 2

注 PAi + PBi + QAi + QBi = PQ + Ai Bi + 4 M i N 为欧拉定理。

第 5 页 共 9 页

安徽高中数学

http://www.ahgzsx.com

三、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 解答题( 13.已知锐角 ?ABC 的三边 BC , CA, AB 的中点分别为 D, E , F ,在 EF , FD, DE 的延长线上分别 取点 P, Q, R ,若 AP = BQ = CR ,证明 ?PQR 的外心为 ?ABC 的垂心。 证明 设 ?ABC 的三条高线分别为 AL, BM , CN ,垂心为 H , EF 与 AL 交于点 K ,则

AP 2 = PK 2 + AK 2 ……………………………………………………………………5 分 = PH 2 ? KH 2 + AK 2 …………………………………………………………………10 分

= PH 2 + ( AK + KH )( AK ? KH )
= PH 2 + AH HL 。……………………………………………………………………15 分

同理可得, BQ 2 = QH 2 + BH HM , CR 2 = RH 2 + CH HN 。因为 AP = BQ = CR , 且 有 AH HL = BH HM = CH HN , 所 以 PH = QH = RH , 因 此 H 为 ?PQR 的 外 心。……………………………………………………………………………………………20 分 注 无论 H 在 KL 上还是在 AK 上,均有 ( AK + KH )( AK ? KH ) = AH HL 。

第 6 页 共 9 页

安徽高中数学

http://www.ahgzsx.com

2 n 2 an + 5 14.已知数列 a1 , a2 ,L , an ,L 满足: a1 = 1, a2 = 1, an +1 = 2 ( n ≥ 2 ) ,求 an 的通项公式。 ( n ? 1) an?1

解 由 n ? 1 an ?1an +1 = n an + 5,
2 2 2

(

)

(( n ? 1) ? 1) a
2

n?2 n

2 a = ( n ? 1) an ?1 + 5 ,两式相减得 2

(n

2

2 2 ? 1) an ?1an +1 ? n ( n ? 2 ) an ? 2 an = n2 an ? ( n ? 1) an ?1 ,…………………………5 分 2

即 ( n ? 1) an ?1

( ( n + 1) a

n +1

+ ( n ? 1) an ?1 ) = nan ( nan + ( n ? 2 ) an ? 2 ) 。

设 bn = nan ( n ≥ 1) ,则有 bn ?1 ( bn +1 + bn ?1 ) = bn ( bn + bn ? 2 ) , 即

bn +1 + bn ?1 bn + bn ? 2 = 。………………………………………………………………10 分 bn bn ?1 bn + bn ? 2 ( n ≥ 3) ,由 a1 = 1, a2 = 1, a3 = 3 ,可得 b1 = 1, b2 = 2, b3 = 9 , bn ?1 b3 + b1 = 5 。………………………………………………15 分 b2
2

设 cn =

于是有 cn = cn ?1 = L = c3 =

因为 bn ? 5bn ?1 + bn ? 2 = 0 ,特征方程为 x ? 5 x + 1 = 0 ,特征根为 x1,2 =
n n

5 ± 21 ,从而可设 2

? 5 + 21 ? ? 5 ? 21 ? bn = λ1 ? ? + λ2 ? ? 2 ? ? 2 ? 。由 b1 = 1, b2 = 2 及 bn ? 5bn ?1 + bn ? 2 = 0 ,定义 b0 = 3 , ? ? ? ? ?
于是有 3 = b0 = λ1 + λ2 ,1 = b1 = λ1 ?

? 5 + 21 ? ? 5 ? 21 ? ? + λ2 ? ? 2 ? ? 2 ?, ? ? ? ? ?

从而可得 λ1 =

63 ? 13 21 63 + 13 21 , λ2 = ,因此有 42 42
n n

63 ? 13 21 ? 5 + 21 ? 63 + 13 21 ? 5 ? 21 ? bn = ? ? ? 2 ? + ? ? 2 ? , ? 42 42 ? ? ? ?

1 ? 63 ? 13 21 ? 5 + 21 ? 63 + 13 21 ? 5 ? 21 ? an = ? ? ? ? 2 ? + ? ? 2 ? ? n? 42 42 ? ? ? ? ?
n

n

? ? 。………………………20 分 ? ?

第 7 页 共 9 页

安徽高中数学

http://www.ahgzsx.com

15.有 10 个选手 A1 , A2 ,L , A10 ,他们的积分分别为 9,8, 7, 6, 5, 4, 3, 2,1, 0 ,名次分别为第

1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8,9,10 。现进行单循环比赛,即任意两个选手之间都恰进行一场比赛,且每场比赛
都要分出胜负。若名次靠前的选手胜了名次靠后的选手,则胜者得 1 分,负者得 0 分;若名次靠后 的选手胜了名次靠前的选手,则胜者得 2 分,负者得 0 分,全部比赛结束后计算每个选手的累计积 分(即这次单循环所得的分数与之前的积分相加所得的和) ,并根据累计积分进行重新排名,求新 的冠军累计积分的最小值(名次并列是允许的) 。 解 12 。…………………………………………………………………………………5 分 若新的冠军的得分不超过 11 分,则 A1 最多胜 2 场; A2 最多胜 3 场; A3 最多胜 4 场; A4 最多 胜 5 场; A5 最多增加 6 分,但是开始时积分比他少的选手只有 5 人,因此若增加 6 分,他与名次比 他靠前的选手的比赛至少胜 1 场,这样他与名次靠后的选手的比赛最多胜 4 ,从而他最多胜 5 场;

A6 最多增加 7 分,但是开始时积分比他少的选手只有 4 人,因此若增加 7 分,他与名次比他靠前
的选手的比赛至少胜 2 场,这样他与名次靠后的选手的比赛最多胜 3 场,从而他最多胜 5 场; A7 最 多增加 8 分,但是开始时积分比他少的选手只有 3 人,因此若增加 8 分,他与名次比他靠前的选手 的比赛至少胜 3 场,这样他与名次靠后的选手的比赛最多胜 2 场,从而他最多胜 5 场; A8 最多增加

9 分,但是开始时积分比他少的选手只有 2 人,因此若增加 9 分,他与名次比他靠前的选手的比赛
至少胜 4 场,这样他与名次靠后的选手的比赛最多胜 1 场,从而他最多胜 5 场; A9 最多增加 10 分, 但是开始时积分比他少的选手只有 1 人,因此若增加 10 分,他与名次比他靠前的选手的比赛至少胜

5 场,从而他最多胜 5 场; A10 最多增加 11 分,他与名次比他靠前的选手的比赛最多胜 5 场,从而
他最多胜 5 场。综上所述,所有选手胜的场数最多为 2 + 3 + 4 + 5 × 7 = 44 ,但是每两名选手进行 的一场比赛都会胜一场,共胜 C10 = 45 场,矛盾。………………………………………15 分
2

下面的例子说明新的冠军累计积分可以是 12 分。

A1 胜 A2 , A3 , A4 ,负 A5 , A6 , A7 , A8 , A9 , A10 ,累计得分为 9 + 3 = 12 ; A2 胜 A3 , A4 , A5 , A6 ,负 A7 , A8 , A9 , A10 ,累计得分为 8 + 4 = 12 ; A3 胜 A4 , A5 , A6 , A7 ,负 A8 , A9 , A10 ,累计得分为 7 + 4 = 11 ; A4 胜 A5 , A6 , A7 , A8 ,负 A9 , A10 ,累计得分为 6 + 4 = 10 ; A5 胜 A6 , A7 , A8 , A9 ,负 A10 ,累计得分为 5 + 2 + 4 = 11 ; A6 胜 A7 , A8 , A9 , A10 ,累计得分为 4 + 2 + 4 = 10 ; A7 胜 A8 , A9 , A10 ,累计得分为 3 + 2 × 2 + 3 = 10 ;
第 8 页 共 9 页

安徽高中数学

http://www.ahgzsx.com

A8 胜 A9 , A10 ,累计得分为 2 + 2 × 3 + 2 = 10 ; A9 胜 A10 ,累计得分为 1 + 2 × 4 + 1 = 10 ; A10 累计得分为 0 + 2 × 5 = 10 。…………………………………………………20 分

第 9 页 共 9 页


2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题(含详细答案)

2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题(含详细答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1...

2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题及答案(WORD版)

2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题及答案(WORD版)_高考_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛天津赛区预赛 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1...

2008年全国高中数学联赛湖南省预赛试题(word版,含详细...

2008年全国高中数学联赛湖南省预赛试题(word版,含详细答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。二 00 八年湖南省高中数学竞赛试题一、选择题(本大题共 10 个小题,每...

2012年全国高中数学联赛天津预赛试卷含详细答案

2012年全国高中数学联赛天津预赛试卷详细答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012 年高中数学联赛天津预赛试卷一、选择题 1.(12 天津预赛)数列 {an } 的前 n ...

2008年全国高中数学联赛预赛试题及答案(江西赛区)

2008年全国高中数学联赛预赛试题及答案(江西赛区)_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。2008 年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、选择题(每小题 6 分,共 36 ...

2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题(含详细答案)

2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题(含详细答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题(含详细答案)安徽...

2008年全国高中数学联赛湖北省预赛试题和详细答案_免费...

高中数学竞赛高中数学竞赛隐藏>> 高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com 2008 年全国高中数学联赛湖北省预赛试题详细答案 京翰教育中心 http://www.zgjhjy....

2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析

2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。2005-2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析整理 高一数学竞赛训练试题(7)一、填空题...

全国高中数学联赛初赛试题及答案201331

全国高中数学联赛初赛试题及答案201331_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛试卷 全国高中数学联赛初赛试题 答案及评分标准 (7 月 5 日上午 8:30—11:00) ...

2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题(答案)

2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题(答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题(答案)_学科...