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第1讲空间几何体和三视图


知识梳理
1.多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都互相平行 ,上下底面是 全等 的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点 的三角形.

平行于底面 的平面截棱锥得到,上下底面是相似多边形. (3)棱台可由

2.旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕 一边所在直线 旋转一周得到. (2)圆锥可由直角三角

形绕 一条直角边所在直线 旋转一周得到. (3)圆台可以由直角梯形绕 直角腰所在直线 旋转一周或等腰梯 形绕
上下底面中心所在直线

旋转半周得到,也可由

平行于底面的平面截圆锥得到. (4)球可由半圆面绕 直径 旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到.

3.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用平行投影得到,这种投影下,与投影 面平行的平面图形留下的影子,与平面图形的形状和大小是全 等和相等的,三视图包括 正视图、 侧视图 、俯视图 .

4.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,基本步骤是: (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点O,画直 观图时,把它们画成对应的x′轴、y′轴,两轴相交于点 O′,且使∠x′O′y′= 45°或135°,已知图形中平行于x 轴、y轴的线段,在直观图中平行于x′轴、y′轴.已知图形 中平行于x轴的线段,在直观图中长度 不变 ,平行于y轴的线 段,长度变为 原来的一半 .

(2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面,在直观图中对应的 z′轴,也垂直于x′O′y′平面,已知图形中平行于z轴的线 段,在直观图中仍平行于z′轴且长度 不变 .

注意:
1.三视图的长度特征:“长对正,宽相等,高平齐”,即正视 图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图 一样宽.若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界 线,在三视图中,要注意实、虚线的画法.

2. (1)正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多 边形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多边形, 侧棱垂直于底面,侧面是矩形. (2)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边 形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥 叫正四面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点在底 面的射影是底面正多边形的中心.

探究一 空间几何体的结构特征
例 1 如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱 锥”, 四条侧棱称为它的腰, 以下命题中, 假命题是( A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 ).

解析 如图,等腰四棱锥的侧棱均相等, 其侧棱在底面的射影也相等,则其腰与底 面所成角相等,即A正确;底面四边形必 有一个外接圆,即C正确;在高线上可以 找到一个点O,使得该点到四棱锥各个顶 点的距离相等,这个点即为外接球的球心,即D正确;但四棱 锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成 立).故仅命题B为假命题.选B. 答案 B

【变式 1】 以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 ).

解析 命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不 到圆锥.命题②错,因这条腰必须是垂直于两底的腰.命题③ 对.命题④错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行. 答案 B

探究二

空间几何体的三视图
).

例 2 (2011· 新课标全国)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视 图如图所示,则相应的侧视图可以为(

解析 由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体应为一个半 圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于 底面的三棱锥的组合体,故其侧视图应为D. 答案 D

(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上 的正投影,并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图 形. (2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线和棱用 实线表示,挡住的线要画成虚线.

【变式 2】 (2011· 浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个 几何体的直观图可以是( ).

解析 A中正视图,俯视图不对,故A错.B中正视图,侧视图 不对,故B错.C中侧视图,俯视图不对,故C错,故选D. 答案 D

探究三

空间几何体的直观图
). 6 2 C. 8 a 6 2 D. 16 a

例 3 已知正三角形 ABC 的边长为 a, 那么△ABC 的平面直观图△ A′B′C′的面积为( 3 2 A. 4 a 3 2 B. 8 a

解析

如图①②所示的实际图形和直观图.

1 3 由斜二测画法可知,A′B′=AB=a,O′C′=2OC= 4 a, 在图②中作C′D′⊥A′B′于D′, 2 6 则C′D′= 2 O′C′= 8 a. 1 1 6 6 2 ∴S△A′B′C′=2A′B′· C′D′=2×a× 8 a= 16 a . 答案 D

直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即 可得到平面图形的面积是其直观图面积的2 2 倍,这是一个较 常用的重要结论.

【变式 3】 如图,矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面 图形的直观图,其中 O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图 形是( ). B.矩形 D.一般的平行四边形

A.正方形 C.菱形

解析

将直观图还原得?OABC,则

∵O′D′= 2O′C′=2 2 (cm), OD=2O′D′=4 2 (cm), C′D′=O′C′=2 (cm),∴CD=2 (cm), OC= CD2+OD2= 22+?4 2?2=6 (cm), OA=O′A′=6 (cm)=OC, 故原图形为菱形. 答案 C

基础梳理 1.柱、锥、台和球的侧面积和体积

面 积 圆柱 圆锥 S侧=2πrh S侧=πrl





V=Sh=πr2h 1 1 2 1 2 2 2 V=3Sh=3πr h=3πr l -r 1 V=3(S上+S下+ S上S下)h 1 2 2 = π(r1+r2+r1r2)h 3

圆台

S侧=π(r1+r2)l

直棱 柱 正棱 锥 正棱 台 球

S侧=Ch 1 S侧=2Ch′

V=Sh 1 V=3Sh

1 1 S侧=2(C+C′)h′ V=3(S上+S下+ S上S下)h S球面=4πR2 4 3 V=3πR

2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 各面面积之和 . (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环 形;它们的表面积等于

侧面积与底面面积之和



两种方法 (1)解与球有关的组合体问题的方法,一种是内切,一种是 外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定 有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正 方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直 径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体 对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴 截面进行解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和 球心或“切点”、“接点”作出截面图.

(2)等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提 是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得 到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特 别是在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过 作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数 值.

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S,侧面展开 图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( 2 3 A.4πS B.2πS C.πS D. 3 πS 解析 设圆柱底面圆的半径为r,高为h,则r= 又h=2πr=2 πS,∴S圆柱侧=(2 πS)2=4πS. 答案 A S π, ).

2.(2012· 东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、 a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( A.3πa2 解析 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 ).

由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,则长方体的

体对角线长为 ?2a?2+a2+a2 = 6 a.又长方体外接球的直径2R 等于长方体的体对角线,∴2R= 6a.∴S球=4πR2=6πa2. 答案 B

3.(2011· 北京)某四面体的三视图如 图所示,该四面体四个面的面积 中最大的是( A.8 C.10 ). B.6 2 D.8 2

解析 由三视图可知,该几何体的四个面都是直角三角形,面 积分别为6,6 2,8,10,所以面积最大的是10,故选择C. 答案 C

4.(2011· 湖南)设右图是某几何体的三视图,则该几何体的体 积为( 9 A. π+12 2 9 B. π+18 2 C.9π+42 D.36π+18 ).

解析

该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体,球的

直径为3,长方体的底面是边长为3的正方形,高为2,故所求 4 ?3?3 9 体积为2×3 + π?2? = π+18. 3 ? ? 2
2

答案

B

5.若一个球的体积为4 3π,则它的表面积为________. 解析 答案 4π 3 V= 3 R =4 3π,∴R= 3,S=4πR2=4π·3=12π. 12π

考向一

几何体的表面积

【例1】?(2011· 安徽)一个空间几何体的三视图如图所示,则该 几何体的表面积为( A.48 C.48+8 17 ). B.32+8 17 D.80

[审题视点]

由三视图还原几何体,把图中的数据转化为几何

体的尺寸计算表面积. 解析 换个视角看问题,该几何体可以看成是底面为等腰梯

形,高为4的直棱柱,且等腰梯形的两底分别为2,4,高为4, 故腰长为 17,所以该几何体的表面积为48+8 17. 答案 C

以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的 三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的 位置关系及数量关系.

【训练1】 若一个底面是正三角形的三 棱柱的正视图如图所示,则其侧面 积等于( A. 3 C.2 3 ). B.2 D.6

解析 由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角 形、侧棱为1的直三棱柱,则此三棱柱的侧面积为2×1×3=6. 答案 D

考向二 几何体的体积 【例 2】?(2011· 广东)如图,某几何体的正视图(主视图),侧视 图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形, 则该几何体体积为( ).

A.18 3 B.12 3 C.9 3 D.6 3

[审题视点]

根据三视图还原几何体的形状,根据图中的数据

和几何体的体积公式求解. 解析 该几何体为一个斜棱柱,其直观图如

图所示,由题知该几何体的底面是边长为3 的正方形,高为 3,故V=3×3× 3=9 3. 答案 C

以三视图为载体考查几何体的体积,解题的关键是根据三视 图想象原几何体的形状构成,并从三视图中发现几何体中各元 素间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解.

【训练2】 (2012· 东莞模拟)某几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积等于( ).

28 16 4 A. 3 π B. 3 π C.3π+8 D.12 π

解析

由三视图可知,该几何体是底面半径为2,高为2的圆柱
2

4 和半径为1的球的组合体,则该几何体的体积为π×2 ×2+ 3 π 28 = 3 π. 答案 A

考向三 几何体的展开与折叠 【例 3】 ?(2012· 广州模拟)如图 1, 在直角梯形 ABCD 中, ∠ADC =90° ,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将△ADC 沿 AC 折起, 使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 DABC,如图 2 所示.

(1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 D-ABC 的体积.

[审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理,证明BC垂直于平面 ACD内的两条相交线即可;(2)利用体积公式及等体积法证 明. (1)证明 在图中,可得AC=BC=2 2, 从而AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC, 取AC的中点O,连接DO, 则DO⊥AC,又平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC= AC,DO?平面ADC,从而DO⊥平面ABC,∴DO⊥BC, 又AC⊥BC,AC∩DO=O,∴BC⊥平面ACD.

(2)解

由(1)可知,BC 为三棱锥 B-ACD 的高,BC=2 2,S△ACD

1 1 4 2 =2,∴VBACD=3S△ACD· BC=3×2×2 2= 3 , 4 2 由等体积性可知,几何体 DABC 的体积为 3 .

(1)有关折叠问题,一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图 形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系,哪些 变,哪些不变. (2)研究几何体表面上两点的最短距离问题,常选择恰当的母 线或棱展开,转化为平面上两点间的最短距离问题.

【训练 3】 已知在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角 形,∠ACB=90° ,AC=6,BC=CC1= 2,P 是 BC1 上一动点, 如图所示,则 CP+PA1 的最小值为________.

解析 PA1在平面A1BC1内,PC在平面BCC1内,将其铺平后转 化为平面上的问题解决.计算A1B=AB1= 40 ,BC1=2,又

A1C1=6,故△A1BC1是∠A1C1B=90° 的直角三角形.铺平平面 A1BC1、平面BCC1,如图所示. CP+PA1≥A1C. 在△AC1C中,由余弦定理得 A1C= 62+? 2?2-2· 2· 135°= 6· cos 50 =5 2 ,故(CP+

PA1)min=5 2. 答案 5 2

难点突破17——空间几何体的表面积和体积的求解 空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点,解决 这类问题,首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计 算公式,其次要掌握一定的技巧,如把不规则几何体分割成几 个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何 体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方 程组求解的技巧等,这是化解空间几何体面积和体积计算难点 的关键.

【示例1】? 的表面积为(

(2010· 安徽)一个几何体的三视图如图,该几何体 ).

A.280 B.292 C.360 D.372

【示例 2】? (2011· 新课标全国)已知两个圆锥有公共底面,且 两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面 3 积是这个球面面积的16,则这两个圆锥中,体积较小者的高与 体积较大者的高的比值为________.

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阅卷报告 9——忽视几何体的放置对三视图的影响致错 【问题诊断】 空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三 个平面上的正投影.同一几何体摆放的角度不同,其三视图可能 不同,有的考生往往忽视这一点. 【防范措施】 应从多角度细心观察.

【示例】?(2010· 新课标全国)一个几何体的正视图为一个三角 形,则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有 可能的几何体前的编号). ①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆 柱. 错因 忽视几何体的不同放置对三视图的影响,漏选③. 实录 ①②⑤

正解 ①三棱锥的正视图是三角形;②当四棱锥的底面是四边 形放置时,其正视图是三角形;③把三棱柱某一侧面当作底面 放置,其底面正对着我们的视线时,它的正视图是三角形;④ 对于四棱柱,不论怎样放置, 其正视图都不可能是三角形; ⑤当圆锥的底面水平放置时,其正视图是三角形;⑥圆柱不论 怎样放置,其正视图也不可能是三角形. 答案 ①②③⑤

【试一试】(2011· 山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形.给 定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右 图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③存在圆 柱,其正(主)视图,俯视图如右图.其中真命题的个数是 ( A.3 B.2 C.1 D.0 ).

[尝试解答] 如图①②③的正(主)视图和俯视图都与原题相 同,故选A.

答案 A

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)下列说法正确的是( ).

A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D.棱台各侧棱的延长线交于一点 答案 D

2.(2012· 杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体,各个截面 都是圆面,则这个几何体一定是( A.圆柱 C.球体 解析 B.圆锥 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 ).

当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩形和

三角形,只有球满足任意截面都是圆面. 答案 C

3.(2011· 陕西)某几何体的三视图如图所示, 则它的体积是( ).

2π π A.8- B.8- 3 3 2π C.8-2π D. 3 解析 圆锥的底面半径为1,高为2,该几何体体积为正方体体
2

1 2 2 积减去圆锥体积,即V=2 ×2- 3 ×π×1 ×2=8- 3 π,正确选 项为A. 答案 A

4.(2011· 浙江)若某几何体的三视图 如图所示,则这个几何体的直观 图可以是( ).

解析

所给选项中,A、C选项的正视图、俯视图不符合,D

选项的侧视图不符合,只有选项B符合. 答案 B

5.(2011· 天津)一个几何体的三视图如 图所示(单位:m)则该几何体的体积 为________m3. 解析 由三视图可知该几何体是组合体,下面是长方体,长、 宽、高分别为3、2、1,上面是一个圆锥,底面圆半径为1,高 1 为3,所以该几何体的体积为3×2×1+ π×3=6+π(m3). 3 答案 6+π


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