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算术平均数与几何平均数

时间:2014-04-13


6.2 算术平均数与几何平均数
第一课时 教学目标: 1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理; 2.理解定理的几何意义; 3.能够简单应用定理证明不等式. 教学重点:均值定理证明 教学难点:等号成立条件 教学方法:引导式 教学过程: 一、复习回顾 上一节,我们完成了对不等式性质的学习,首先我们来作一下回顾. (学生回答)由上述性质,我们可以推导出下列重要的不等式. 二、讲授新课 1. 重要不等式: 如果 证明: 当 所以, 即 由上面的结论,我们又可得到

2. 定理:如果

是正数,那么

证明:∵

?

即?

显然,当且仅当?

说明:ⅰ)我们称? 的算术平均数,称? 的几何平均数,因而,此 定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

ⅱ) 而后者要求 都是正数.

成立的条件是不同的: 前者只要求

都是实数,

ⅲ)“当且仅当”的含义是充要条件. 3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”. 以长为 的线段为直径作圆,在直径 AB 上取点 C, 即 .过点 C 作垂

直于直径 AB 的弦 DD′,那么

这个圆的半径为 圆心重合;即

,显然,它不小于 CD,即

,其中当且仅当点 C 与

时,等号成立.

在定理证明之后,我们来看一下它的具体应用. 4. 例题讲解: 例 1 已知 (1)如果积 都是正数,求证: 是定值 P,那么当 时,和 有最小值

(2)如果和 都是正数,所以

是定值 S,那么当

时,积

有最大值

证明:因为

(1)积 xy 为定值 P 时,有

上式当 (2)和

时,取“=”号,因此,当 为定值 S 时,有

时,和

有最小值

.

上式当

时取“=”号,因此,当

时,积

有最大值

.

说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件: (1)函数式中各项必须都是正数; (2)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数; (3)等号成立条件必须存在. 接下来,我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用. 例2 已知 都是正数,求证:

(1) (2) 三、课堂练习



课本 P11 练习 2,3 要求:学生板演,老师讲评. 课堂小结: 通过本节学习,要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理, 并会应用它证明一些不等式,但是在应用时,应注意定理的适用条件. 课后作业:习题 6.2 1,2,3,4

6.2 算术平均数与几何平均数
第二课时 教学目标: 1.进一步掌握均值不等式定理; 2.会应用此定理求某些函数的最值; 3.能够解决一些简单的实际问题. 教学重点:均值不等式定理的应用 教学难点:解题中的转化技巧 教学方法:启发式 教学过程: 一、复习回顾 上一节, 我们一起学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理, 首先我们来回顾 一下定理内容及其适用条件. (学生回答) 利用这一定理,可以证明一些不等式,也可求解某些函数的最值,这一节,我们来继续 这方面的训练. 二、讲授新课 例 3 已知 都是正数,求证:

分析:此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系,从而正确运用,同时 加强对均值不等式定理的条件的认识. 证明:由 都是正数,得



例 4 已知

,求证:

例 4 求函数



)的最小值,并求相应的

的值.

练习:求函数



)的最值.

例 5 1.求函数



)的最大值.

2.求函数



)的最大值. ,深为 3m,如果池底每

例 6 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 的造价为 150 元,池壁每 低总造价是多少元?

的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最

分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最 值,其中用到了均值不等式定理. 解:设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为 l 元,根据题意,得

当 因此, 当水池的底面是边长为 40m 的正方形时, 水池的总造价最低, 最低总造价是 297600 元. 评述: 此题既是不等式性质在实际中的应用, 应注意数学语言的应用即函数解析式的建 立,又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件. 为了进一步熟悉均值不等式定理在证明不等式与求函数最值中的应用, 我们来进行课堂 三、课堂练习 课本 P11 练习 1,2,4

课堂小结: 通过本节学习,要求大家进一步掌握利用均值不等式定理证明不等式及求函数的最值, 并认识到它在实际问题中的应用. 课后作业:习题 6.2 5,6,7


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