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2.1曲线与方程 课件


2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程

复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点p(0,b)和斜率为k的直线l的方程

y ? kx ? 为____________b 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的
x-y=0 直线方程是______________ 3.圆心为C(a,b) ,半径为r

的圆C的方程

( x ? a) ? ( y ? b) ? r 为_______________________.
2 2 2

思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线

l ?

点的横坐标与纵坐标相等 条件

曲线
y

x=y(或x- y=0) 方程
x-y=0
x

l
0

含有关系:
(1)

l 上点的坐标都是方程x-y=0的解

(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l 上

?说直线l的方程是x ? y ? 0, 又说方程x ? y ? 0的直线是l

思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
( x ? a )2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2
y

.C
x
( x ? a )2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的解; (1)圆C上的点的坐标都是方程
2 ( x ? a )2 ? ( y ? b)2 ? r的解为坐标的点都在圆C (2)方程 上.

定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线
C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨 迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数 解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. y 那么,这个方程叫做曲线的方程; f(x,y)=0 这条曲线叫做方程的曲线.

说明:

0

x

曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.

2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解”
阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也 就是说曲线上所有的点都符合这个条件而 毫无例外.

3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”
阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏. 由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x,y)=0,那么点P0(x0 ,y0)在 曲线C 上的 充要条件 是 f(x0, y0)=0

例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D 为BC中点,则中线AD的方程x=0
解:(1)不正确,应为x=3, (2)不正确,应为y=±1. (3)正确. (4)不正确,应为x=0(-3≤y≤0).

例2.证明与两条坐标轴的距离的积是 常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.
证明: 如图,设M ( x0 , y0 ) (1) 是轨迹上的任意一点, 因为点M 与x轴的距离为 y0 , 与y轴的距离为 x0 , 所以 x0 ? y0 ? k , 即( x0 , y0 ) 是方程xy ? ? k的解.

(2)设点M1的坐标( x1 , y1 )是方程xy ? ?k的解, 即x1 y1 ? ?k ,即 x1 ? y1 ? k
而 x1 , y1 正是点M1到纵轴、横轴的距离, 因此点M1到两条直线的距离的积是常数k , 点M1是曲线上的点。

由(1), (2)可知,xy ? ? k 是与两条坐标轴的距离. 的积为常数k (k ? 0)的点的轨迹方程.

归纳:

证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步,设 M (x0,y0)是曲线C上任一点, 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解; 第二步,设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解,证 明点 M (x0,y0)在曲线C上.

练习1:下列各题中,下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗?为什么?

(1)曲线C为过点A(1,1),B(-1,1)的折 线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线(如图(2))的 不是 方程为x+ y = 0; (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴,y轴的距 离乘积为1的点集(如图(3))其方程为y= 1 .
1 |x|

|x|
y
1 1 -1 0 x 1

y

y



1

-2 -1 0 1 2

x

-2 -1 0 1 2

x







练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个?

Y

x-

y =0

② |x|-|y|=0
Y

③ x-|y|=0
Y 1 Y

1
O 1 X

1
O 1 X -1 O

1
1 X O -1 1 X

-1

A

B

C

D

①表示 B ②表示 C

③表示 D

练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方 程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的 是( D ) A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或 是曲线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或 是全部

练习4:设圆M的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 2 ,直线 l的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C) A.点P在直线上,但不在圆上; B.点P在圆上,但不在直线上; C.点P既在圆上,也在直线上 ; D.点P既不在圆上,也不在直线上.
2 2

练习5:已知方程 mx ? ny ? 4 ? 0 的曲线经过 4 n =______. 4 点 A(1,?2), B(?2,1) ,则 m =_____,
2 2

5

5

课堂练习:
1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的 解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的 B ( )条件

A 充分非必要
C 充要

B 必要非充分
D 既非充分也非必要

2.△ABC的顶点坐标分别是A(-4,-3),B(2, -1),C(5,7),则AB边上的中线的方程为 3x ? 2 y ________. ? 1 ? 0(?1 ? x ? 5)

3.(1) 设A(2,0)、B(0,2), 能否说线段AB的方程为x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的图形是_______ (3)方程9x 2-y 2+12x-4y=0表示的图形是 ———————

2.1 曲线与方程
2.1.2求曲线的方程

我们已经建立了曲线的方程、方程的曲 线的概念.利用这两个重要概念,就可以借助 于坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足 某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的 坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线,通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质. 这就是我们反复提到的坐标法.数学中,用坐 标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解 析几何.从前面的学习中可以看到,解析几何 研究的主要问题是: (1)根据已知条件,求出表示曲线的方程; (2)通过曲线的方程,研究曲线的性质.

点M

按某中规律运动
几何意义

曲线 C

坐标(x, y)

x, y的制约条件

代数意义

方程f ( x, y) ? 0

“数形结合” 数学思想的基础

例1.设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程.
解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点 M属于集合:
.

P ? ?M |MA |?| MB |?

由两点间的距离公式,点M所适合条件可表示为:

( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( x ? 3) ? ( y ? 7)
2 2 2

2

将上式两边平方,整理得:

x+2y-7=0

总结求曲线方程的一般步骤:
1.设(建系设点) 3.列(列方程) 4.化(化简方程) 5.证(以方程的解为坐标的点都是曲线上的
--- M(x,y)

2.写(写等量关系) --- P ={M|M满足的条件}

点) 注意:一般地,化简前后方程的解集是
相同的,步骤5可以省略不写,如有特殊 情况,要适当说明.

例2.已知一条直线l和它上方的一个点A, 点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方, 它上面的每一点到A的距离减去到l的距离 的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲 线的方程.
解:取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy, 设点M(x,y)是曲线上任意一点, MB⊥x轴,垂足是B,

? MA ? MB ? 2 1 2 ?y ? x 8

? (x ? 0)2 ? ( y ? 2)2 ? y ? 2

因为曲线在x轴的上方,所以y>0, 所以曲线的方程是

1 2 y ? x ( x ? 0) 8

练习:

课本P37练习3

课堂小结

点M

按某中规律运动
几何意义

曲线 C

坐标(x, y)

x, y的制约条件

代数意义

方程f ( x, y) ? 0

“数形结合” 数学思想的基础

课堂小结

求曲线的方程的一般步骤: 1.建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示 曲线上任意一点M的坐标;(建系设点) 2.写出适合条件p的点M的集合;(写等量关系) 3.用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (列方程) 4.化简方程f(x,y)=0;

5.证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上
的点. (一般情况下可省略)


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