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江苏省苏州市2012届高三数学二轮复习专题训练 3 不等式


专题3 不等式
江苏省震泽中学 王利平

一、填空题
2 例 1 已知集合 A={0,1},B={a ,2a},其中 a∈R.定义 A×B={x|x=x1+x2,

x1∈A,x2∈B},若集合 A×B 中的最大元素为 2a+1,则 a 的取值范围是________. 解析 A×B={a2,2a,a2+1,2a+1}.由

题意,得 2a+1>a2+1,解得 0<a<2. 答案 (0,2)

例 2 .设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5?2 则 a, b, c 三者的大小关系 解析 a= log3 2=
1 2

1

1 1 , b=In2= ,而 log2 3 ? log2 e ? 1 ,所以 a<b, log 2 3 log 2 e

c= 5

?

=

1 ,而 5 ? 2 ? log2 4 ? log2 3 ,所以 c<a,综上 c<a<b. 5

答案 c ? a ? b 例 3 .对于问题:“已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(-1,2), 解关于 x 的不等式 ax2-bx+c>0”.给出如下一种解法: 解 由 ax2+bx+c>0 的解集为(-1,2),得 a(-x)2+b(-x)+c>0 的解集为(-2,1), 即关于 x 的不等式 ax2-bx+c>0 的解集为(-2,1). x+b 1 1 k -1,- ?∪? ,1?, 参考上述解法, 若关于 x 的不等式 + <0 的解集为? 3? ?2 ? 则 ? x+a x+c bx+1 kx 关于 x 的不等式 + <0 的解集为________. ax+1 cx+1 1 +b x bx+1 1 1 kx k 1 -1,- ?∪? ,1?, 不等式 + <0 可化为 + <0,所以有 ∈? 3? ?2 ? 1 1 x ? ax+1 cx+1 +a +c x x bx+1 kx 即 x∈(-3,-1)∪(1,2),从而不等式 + <0 的解集为(-3,-1)∪(1,2). ax+1 cx+1 答案 (-3,-1)∪(1,2)

解析

?x ? 1 ? 例 4 .设不等式组 ? x-2y+3 ? 0 所表示的平面区域是 ? 1 , 平面区域是 ?2 与 ? 1 关于直线 ?y ? x ?
3x ? 4 y ? 9 ? 0 对称,对于 ?1 中的任意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B, | AB | 的最小值等于

解析 由题意知,所求的 | AB | 的最小值,即为区域 ? 1 中的点到直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 的距 离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的平面区域,如图所示,

可看出点(1,1)到直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 的距离最小,故 | AB | 的最小值为

2?

| 3 ?1 ? 4 ?1 ? 9 | ? 4。 5
4

答案

例 5 . 若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 , 则 下 列 不 等 式 对 一 切 满 足 条 件 的 a , b 恒 成 立 的 是 (写出所有正确命题的编号). ① ab ? 1 ;
3 3 ④ a ? b ? 3;

② a? b? ⑤

2;

2 2 ③ a ?b ? 2;

1 1 ? ?2 a b

解析

令 a ? b ? 1 ,排除②④;由 2 ? a ? b ? 2 ab ? ab ? 1,命题①正确;

1 1 a?b 2 ? ? 2 ,命题⑤ a2 ? b2 ? (a ? b)2 ? 2ab ? 4 ? 2ab ? 2 ,命题③正确; ? ? a b ab ab
正确。 答案 ①,③,⑤

x 例 6 .对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x +3x+1 解析 x x x ∵ 2 ≤a 恒成立,∴a≥?x2+3x+1?max,而 2 = ? ? x +3x+1 x +3x+1 1 ≤ 1 x+ +3 2 x 1 1 x·+3 x

1 1 1 = (x>0),当且仅当 x= 时,等号成立,∴a≥ . 5 x 5 答案 1 a≥ 5

例 7 .若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________. 解析 ?x+y?2 3 由 x2+y2+xy=1,得(x+y)2-xy=1,即 xy=(x+y)2-1≤ ,所以 (x+y)2≤1, 4 4

2 3 2 3 2 3 故- ≤x+y≤ ,当 x=y 时“=”成立,所以 x+y 的最大值为 . 3 3 3 答案 2 3 3

例 8 .已知 ?1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的取值范围是_______(答案 用区间表示) 解析 画出不等式组 ?

??1 ? x ? y ? 4 表示的可行域,在可行域内平移直线 z=2x-3y,当直 ?2 ? x ? y ? 3

线经过 x-y=2 与 x+y=4 的交点 A(3,1)时,目标函数有最小值 z=2×3-3×1=3;当直线 经过 x+y=-1 与 x-y=3 的焦点 A(1,-2)时,目标函数有最大值 z=2×1+3×2=8. 答案 (3,8)

例9 .当 a>0且 a≠1时,函数 f(x)=loga(x-1)+1的图象恒过点 A,若点 A 在直线 mx-y +n=0上,则4m+2n 的最小值为________. 解析 易知 f(x)恒过点(2,1).由于(2,1)在 mx-y+n=0 上,则 2m+n=1.又 4m+2n=22m

1 1 + +2n≥2 22m n=2 2,当且仅当 m= ,n= 时等号成立. 4 2

答案

2 2

例 10 .已知点 P 在直线 x+2y-1=0 上,点 Q 在直线 x+2y+3=0 上,PQ 中 y0 点 M(x0,y0)满足 y0>x0+2,则 的取值范围是________. x0 解析
? ?x0+2y0+1=0, y0 设 =k,则 y0=kx0.由题意,得? x0 ?y0>x0+2, ?

1 ? ?x0=-1+2k, 1-k 5k+1 1 1 y0 所以? 从而有 >2,即 <0,解得- <k<- .所以 ∈ 2 5 x0 1+2k 2k+1 ? ??k-1?x0>2,

?-1,-1?. 5? ? 2
1 1? 答案 ? ?-2,-5? 例 11 . 若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面积相等的两 ? 3
?3 x ? y ? 4 ? ?x ? 0

4

部分,则 k 的值是 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由?

?x ? 3y ? 4 4 得 A(1,1) ,又 B(0,4) ,C(0, ) 3 ?3x ? y ? 4

y B 4 y=kx+ 3 D A

C 1 4 4 ∴ S △ABC= (4 ? ) ? 1 ? ,设 y ? kx 与 3x ? y ? 4 的 2 3 3 O 1 5 1 2 交点为 D,则由 S ?BCD ? S ?ABC ? 知 xD ? ,∴ y D ? 2 2 2 3 5 1 4 7 ∴ ? k ? ? ,k ? 。 2 2 3 3 7 答案 3 3 n - 例 12 .若不等式(-1)n 1(2a-1)< ( ) 对一切正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是 2 ________. 解析 当 n 为奇数时,原不等式即为(2a-1)< ( ) ,又对一切正整数 n 恒成立,所以 2a

x

3 2

n

3 n 3 n 3 5 -1< ?a< ,当 n 为偶数时,原不等式即为-(2a-1)< ( ) ,即 2a-1>- ( ) 2 4 2 2 3 n 5 又对一切正整数 n 恒成立,所以 2a-1>- ( ) ,从而 a>- ,所以 a 的取值范围是 8 2

?-5,5?. ? 8 4?
5 5? 答案 ? ?-8,4? x 1+cos x+8sin2 2 例 13 .已知 x∈(0,π),则函数 f(x)= 的最小值为________. sin x x x x x 1+cos x+8sin2 2cos2 +8sin2 cos 4sin 2 2 2 2 f(x)= = = + sin x x x x 2sin cos sin cos 2 2 2 x 2 ≥2 x 2 cos x 4sin 2 · x sin cos 2 x 2 x 2

解析

x cos 4sin 2 =4,当且仅当 = x sin cos 2 x 1 tan = ,这时 f(x)min=4. 2 2 答案 4

x 2 x 1 x π ,即 tan = 时取“=”,因为 0< < ,所以存在 x 使 x 2 2 2 2 2

x2+?s+t?x+st+1 例 14 . 已知实数 x, t, 满足 8x+9t=s, 且 x>-s, 则 的最小值为________. x+t 解析 x2+?s+t?x+st+1 设 x+t=m,则 x+t

x2+?8x+10t?x+?8x+9t?t+1 9?x+t?2+1 = = x+t x+t = 9m2+1 1 1 =9m+ .因 x>-s,即 x>-(8x+9t),所以 x+t>0,即 m>0,所以 9m+ m m m

1 1 ≥6,当且仅当 m= ,即 x+t= 时等号成立.故所求最小值为 6. 3 3 答案 6

例 15.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0 时,f(x)<0,则关于 x 的不等式 f(mx2)-2f(x)>f(m2x)-2f(m)(0<m< 2)的解集为________.

解析

由题意,得 f(x)是奇函数且在 R 上为增函数,所以由 f(mx2)+f(2m)>f(m2x)+f(2x), 得 f(mx2+2m)>f(m2x+2x),即 mx2+2m>m2x+2x,也即 ( x ? 2 又 0<m< 2,所以 x<m,或 x> . m

2 ) (x-m)>0. m

答案

? 2? ? x x ? m或x ? ? m? ?
+b,

例 16.若实数 a,b,c 满足 2a+2b=2a 解析


2a+2b+2c=2a

+b+c

,则 c 的最大值为________.

∵2a b=2a+2b≥2 2a· 2b=2 2a b(当且仅当 a=b 时取等号),


∴(2a b)2-4×2a b≥0,∴2a b≥4 或 2a b≤0(舍).
+ + + +

又∵2a+2b+2c=2a


+b+c

,∴2a b+2c=2a b· 2c,
+ +

2a b + ∴2c= a+b (2a b≥4). 2 -1 x 1 又∵函数 f(x)= =1+ (x≥4)单调递减, x-1 x-1 4 4 4 ∴2c≤ = ,∴c≤log2 =2-log23. 3 3 4-1 答案 2-log23

二、解答题
例 17. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层. 某 幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热屋建造成本为 6 万元.该建筑物 k 每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系式:C(x)= 3x+5 (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. 解 k (1)设隔热层厚度为 x cm,由题设,每年能源消耗费用为 C(x)= , 3x+5 40 再由 C(0)=8 得 k=40,因此 C(x)= .而建造费用 C1(x)=6x. 3x+5 40 800 故 f(x)=20C(x)+C1(x)=20× +6x= +6x(0≤x≤10). 3x+5 3x+5

(2)由 f(x)=2 (

400 400 ? 3 x ? 5 ? 5) ≥2(2 400-5)=70,当且仅当 =3x+5, 3 x+5 3x ? 5

即 x=5 时等号成立,得 f(x)min=70. 当隔热层修建为 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元. 例 18.设函数 f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中 x∈R,a、b 为常数,已知 曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l. (1)求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; (2)若方程 f(x)+g(x)=mx 有三个互不相同的实根 0、x1、x2,其中 x1<x2,且对任意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求实数 m 的取值范围. 解 (1)f′(x)=3x2+4ax+b,g′(x)=2x-3. 由于曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线, 故有 f(2)=g(2)=0,f′(2)=g′(2)=1, ? ? ?8+8a+2b+a=0, ?a=-2, 由此得? 解得? ?12+8a+b=1, ?b=5. ? ? 所以切线 l 的方程为 x-y-2=0. (2)由(1)得 f(x)=x3-4x2+5x-2, 所以 f(x)+g(x)=x3-3x2+2x. 依题意,方程 x(x2-3x+2-m)=0 有三个互不相同的实根 0、x1、x2,故 x1、x2 是方程 1 x2-3x+2-m=0 的两相异的实根,所以 Δ=9-4(2-m)>0,即 m>- . 4 又对任意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立, 特别地,取 x=x1 时,f(x1)+g(x1)-mx1<-m 恒成立,得 m<0, 由根与系数的关系得 x1+x2=3>0,x1x2=2-m>0.故 0<x1<x2. 对任意的 x∈[x1,x2],有 x-x2≤0,x-x1≥0,x>0, 所以 f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0. 又 f(x1)+g(x1)-mx1=0, 所以函数 f(x)+g(x)-mx 在 x∈[x1,x2]上的最大值为 0. 于是当 m<0 时,对任意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立. 1 - ,0?. 综上所述,m 的取值范围是? ? 4 ? 例 19.已知函数 f(x)=sin x+cos x 和 g(x)=2sin x· cos x. π (1)若 a 为实数,试求函数 F(x)=f(x)+ag(x),x∈[0, ]的最小值 h(a); 2

π 1 (2)若对任意 x∈[0, ],使|af(x)-g(x)-3|≥ 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2 2 解 (1)F(x)=f(x)+ag(x)=sin x+cos x+2asin xcos x. 设 t=sin x+cos x,则 2sin xcos x=t2-1,所以 φ(t)=t+a(t2-1)=at2+t-a, π 由 x∈[0, ],得 t∈[1, 2]. 2 1 ?2 1 1 若 a=0,则 h(a)=φ(1)=1;若 a>0,则 φ(t)=a? ?t+2a? -a-4a,因为 t=-2a<0, 所以 φ(t)在[1, 2]上单调递增,所以 h(a)=φ(1)=1; 1 1+ 2 1 1+ 2 若 a<0,则当- ≤ ,即 a≤1- 2时,h(a)=φ( 2)=a+ 2;当- > , 2a 2 2a 2 即 1- 2<a<0 时,h(a)=φ(1)=1.

?1, a>1- 2, 综上所述,h(a)=? ?a+ 2,a≤1- 2,
1 1 (2)由|af(x)-g(x)-3|≥ ,得|a(sin x+cos x)-2sin xcos x-3|≥ . 2 2 π? 设 t=sin x+cos x,则 2sin xcos x=t2-1,且由 x∈? ?0,2?,得 t∈[1, 2]. 1 1 1 所以|at-t2-2|≥ 恒成立,即 t2-at+2≤- 或 t2-at+2≥ 恒成立. 2 2 2 1 5 5 由 t2-at+2≤- ,得 a≥t+ ,因为 t∈[1, 2],且 t+ 在[1, 2]上递减, 2 2t 2t 5 7 7 1 3 所以 t+ ≤ ,所以 a≥ .由 t2-at+2≥ ,得 a≤t+ .因为 t∈[1, 2t 2 2 2 2t 2], 3 所以 t+ ≥2 2t 所以 a≤ 6. 7 综上所述 a≤ 6或 a≥ . 2 例 20.某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m).如图所示,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β. (1)该小组已测得一组 α, β 的值, 算出了 tan α=1.24, tan β=1.20, 请据此算出 H 的值. 3 3 6 t· = 6,当且仅当 t= ,即 t= 时等号成立, 2t 2t 2

(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的 距离 d(单位:m),使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度.若 电视塔的实际高度为 125 m,试问 d 为多少时,α—β 最大? 解 H h H H h H (1)由 AB= ,BD= ,AD= 及 AB+BD=AD,得 + = , tan α tan β tan β tan α tanβ tan β

4×1.24 htan α 解得 H= = =124. tan α-tan β 1.24-1.20 因此,算出的电视塔的高度 H 是 124 m. H (2)由题设知 d=AB,得 tan α= . d H-h H h 由 AB=AD-BD= - ,得 tan β= ,所以 tan(α-β) tan β tan β d = = tan α-tan β 1+tan αtan β h h ≤ . H?H-h? 2 H?H-h? d+ d

H?H-h? 当且仅当 d= ,即 d= H?H-h? d = 125×?125-4?=55 5时,上式取等号,所以当 d=55 5时 tan(α-β)最大. π π 因为 0<β<α< ,则 0<α-β< ,所以当 d=55 5时,α-β 最大. 2 2 故所求的 d 是 55 5 m.


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