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2010年高考试题:理科


理科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1)已知集合 A ? {| x | ? 2, x ? R } }, B ? {x | (A)(0,2) (2)已知复数 z ? (B)[0,2]

x ? 4, x ? Z} ,则 A ? B ?
(C){0,2] (D){

0,1,2}

3 ?i , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z = (1 ? 3i)2
B.

A.

1 4

1 2

C.1

D.2

(3)曲线 y ?

x 在点(-1,-1)处的切线方程为 x?2
(B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2

(A)y=2x+1

(4)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2 ,- 2 ) , 角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为

(5)已知命题

p1 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为增函数, p2 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为减函数,
则在命题 q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 : ? ? p1 ? ? p2 和 q4 : p1 ? ? ? p2 ? 中,真命题是 (A) q1 , q3 (B) q2 , q3 (C) q1 , q4 (D) q2 , q4

(6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发 芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为 (A)100 (B)200 (C)300 (D)400

(7)如果执行右面的框图,输入 N ? 5 ,则输出的数等于 (A)

5 4

(B)

4 5
1 / 12

(C)

6 5

(D)

5 6

(8)设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? x3 ? 8( x ? 0) ,则 {x | f ( x ? 2) ? 0} ? (A) {x | x ? ?2或x ? 4} (C) {x | x ? 0或x ? 6} (B) {x | x ? 0或x ? 4} (D) {x | x ? ?2或x ? 2}

(9)若 cos ? ? ?

4 , ? 是第三象限的角,则 5
(C) 2 (D) -2

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2 ?

2

1 (A) ? 2

1 (B) 2

(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积 为 (A) ? a
2

(B)

7 2 ?a 3

(C)

11 2 ? a (D) 5? a 2 3

?| lg x |, 0 ? x ? 10, ? (11) 已知函数 f ( x) ? ? 1 若 a, b, c 互不相等, 且 f (a) ? f (b) ? f (c), 则 abc ? x ? 6, x ? 10. ? ? 2
的取值范围是 (A) (1,10) (B) (5, 6) (C) (10,12) (D) (20, 24)

(12)已知双曲线 E 的中心为原点, P(3, 0) 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两 点,且 AB 的中点为 N (?12, ?15) ,则 E 的方程式为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (B) ? ?1 (A) 3 6 4 5

x2 y 2 ? ?1 (C) 6 3

x2 y 2 ? ?1 (D) 5 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)设 y ? f ( x) 为区间 [0,1] 上的连续函数,且恒有 0 ? f ( x) ? 1 ,可以用随机模拟方法近 似计算积分

?

1

0

f ( x)dx ,先产生两组(每组 N 个)区间 [0,1] 上的均匀随机数 x1 , x2 ,…xN 和

y1 , y2 ,…yN ,由此得到 N 个点 ( x1 , y1 )(i ? 1, 2,…,N ) ,再数出其中满足 y1 ? f ( x1 )(i ? 1, 2,…,N ) 的点数 N1 ,那么由随机模拟方案可得积分 ? f ( x)dx 的近似值
0 1





(14)正视图为一个三角形的几何体可以是______(写出三种) (15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y=0 相切于点 B(2,1) ,则圆 C 的方程为

2 / 12

(16)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD=

1 DC, ? ADB=120° ,AD=2,若△ADC 的面积为 2

3 ? 3 ,则 ? BAC=_______
三,解答题:解答应写出文字说明,正明过程和演算步骤 (17) (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3? 22n?1 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn

(18)(本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB ? CD,AC ? BD,垂足为 H, PH 是四棱锥的高 ,E 为 AD 中点 (1) 证明:PE ? BC (2) 若 ? APB= ? ADB=60° ,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值

(19)(本小题 12 分) 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老 年人,结果如下: 是否需要志愿 需要 不需要 性别 男 40 160 女 30 270

(1) 估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2) 能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3) 根据(2)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人,需要志愿帮助的老 年人的比例?说明理由 附:

3 / 12

(20) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 i E 设 F1 , F2 分别是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 过F 1 斜率为 1 的直线 与 a b
相交于 A, B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (1)求 E 的离心率; (2) 设点 p(0, ?1) 满足 PA ? PB ,求 E 的方程

(21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e x ? 1 ? x ? ax 2 。 (1) 若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2) 若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已经圆上的弧 ,过 C 点的

圆切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明: (Ⅰ)∠ACE=∠BCD; (Ⅱ)BC2=BF× CD。

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 ? (Ⅰ)当 ? =

?x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? (t 为参数) ,C2 ? ( ? 为参数) , ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 ,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹的 参数方程,并指出它是什么曲线。

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5,不等式选项 设函数 f ( x) ? 2 x ? 4l ? 1 (Ⅰ)画出函数 y ? f ( x) 的图像

4 / 12

(Ⅱ)若不等式 f ( x ) ≤ ax 的解集非空,求 a 的取值范围。

5 / 12

参考答案
一、 1. 解析: A ? {x ?2 ? x ? 2}, B ? {0,1,2,3,4} , ?A ? B={0,1,2} ,选 D 命题意图:考察集合的基本运算 2. 解析: z ?

3 ?i 3 ?i ?4 3 ? 4i ? 3 ? i ? ? ? 2 16 4 (1 ? 3i) ?2 ? 2 3i
? 3 ? i ? 3? i 1 ? ? ,所以选 A 4 4 4

z ?z ?

命题意图:考察复数的四则运算 3. 解析:? y ?
'

2 ,? k ? y ' |x ??1 ? 2 ,所以点(-1,-1)处的切线方程为 y=2x+1, 2 ( x ? 2)

命题意图:考察导数的几何意义 4. 解析:法一:排除法 取点 t ? 0时, d ? 2 ,排除 A、D,又当点 P 刚从 t=0 开始运动,d 是 关于 t 的减函数,所以排除 B,选 C 法二:构建关系式 x 轴非负半轴到 OP 的角 ? ? t ?

?
4

,由三角函数的定义可知

y p ? 2sin(t ? ) ,所以 d ? 2sin(t ? ) ,选 C 4 4
命题意图:考察三角函数的定义及图像 5. 解析:对于 p1 : y ? 2 ?
x

?

?

1 显然在 R 为增函数,命题为真 2x

对于 p2 : y ? 2 ?
x

1 1 ' x ?x x , y ? 2 ln 2 ? 2 ln 2 ? (2 ? x ) ln 2 x 2 2
' '

当 x ? 0时,y ? 0, y单调递减,x ? 0时,y ? 0, y单调递增 ,命题为假 对于 p2 ,也可通过复合函数单调性法则,分解为简单函数 t ? 2 , y ? t ? 处理
x

1 t

利用复合命题真值表,显然 p1 ? p2 , p1 ? ? ? p2 ? 为真命题,选 C 命题意图:复合命题真假判断为背景考察函数的单调性 6. 解析:设发芽的粒数为 ? , 则? ~ B(1000,0.9),? E? ? 900 又 X ? (1000 ? ? ) ? 2 ? ?2? ? 2000,? EX ? ?2 E? ? 2000 ? 200 ,选 B 命题意图:考察二项分布期望公式及公式 E (a? ? b) ? aE? ? b 7. 解

1 1 1 1 1 析: ? ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3 3 4 4 65 6 / 12 5 6 S?

所以选 D 命题意图:以算法为背景考察裂项相消求和 8. 解析:

? f ( x) ? 0时x ? 2或x ? ?2 当x ? 0时,由f ( x) ? x3 ? 8 ? 0得x ? 2 又f ( x)为偶函数, ? f ( x ? 2) ? 0 ? x ? 2 ? 2或x ? 2 ? ?2,即x ? 4或x ? 0 ,选 B
命题意图:利用函数性质解不等式 9. 解析:?? 是第三象限的角,?

?
2

是第二或四象限角

又 cos ? ?

cos 2 cos 2

? ?
2

? sin 2 ? sin 2

? ?
2 ? 2

2

2 ? ? 4 , 化简得 tan 2 ? ? 9,? tan ? ? ?3 ? 5 2 2 1 ? tan 2 2

1 ? tan 2

?

1 ? tan


? ?

2 ? ? 1 ,选 A 2 1 ? tan 2

命题意图:考察三角函数的化简求值 10. 解析: R ? OB ? OE ? BE ?
2 2 2 2

a2 a2 7 2 ? ? a 4 3 12

7 ? S ? 4? a 2 ? ? a 2 3
命题意图:考察球与多面体的接切问题及球的表面积公式 11. 解析: a, b, c 互不相等,不妨设 a ? b ? c

由f (a) ? f (b), 得 ? lg a ? lg b,即ab=1
? abc ? c ,显然 10 ? c ? 12
所以选 C 命题意图:考察数形结合思想,利用图像处理函数与方程问题 12. 解析:设双曲线方程为

x2 y 2 ? 2 ? 1,即b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 , A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 2 a b
2 2 2 2 2 2
2 2

由 b x1 ? a y1 ? a b , b x2 ? a y2 ? a b 得 b ( x1 ? x2 ) ? a ( y1 ? y2 )
2 2 2 2 2 2

( y1 ? y2 ) ?0 ( x1 ? x2 )

又中点N(-12,-15),kAB =kPN ,?-12b2 +15a2 ? 0即4b2 =5a2 , b2 +a 2 ? 9
所以 a ? 4, b =5 ,选 B
2 2

7 / 12

命题意图:利用点差法处理弦中点与斜率问题 二、 13.

N1 N

14. 解析:三棱锥、三棱柱、圆锥

? 15. 解析: 设圆心 O (a, b) ,借助图形可知 a ? 3 ,又 OB与切线垂直,

b ?1 ? ?1即b ? 0 3? 2

r ? OB ? 2,?圆C的方程为( x ? 2)2 ? y2 ? 2 答案: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 2
16. 解析: S? ADC ?

1 3 AD ? DC ? =3 ? 3, ? CD= 3-1,BD=2 3-2 2 2

在△ADC, AC= AD2 +DC2 -2AD ? DC ? COS60? =3 2- 6 在△ADB, AB= AD2 +BD2 -2AD ? BD ? COS120? = 6 所以,在△ABC 中,由余弦定理的 cos ? BAC= 三、 17. 解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,

AB2 +AC2 -BC2 1 = , ? BAC=60° 2AB ? AC 2

an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ?? (a2 ? a1 )] ? a1 ? 3(22n?1 ? 22n?3 ? ? ? 2) ? 2
? 22( n ?1) ?1 。
而 a1 ? 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22n?1 。 (Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22n?1 知

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ?? n ? 22n?1
从而
3 5 7 22 ? Sn ? 1 ? 2 ? ? 2 2 ? ?3 ? 2?? n ? n? 2



2 1②

①-②得
2 ( 1? 2 ?)Sn ? ? 2 3

? 2

5

? 2??

n2 ?

1 2? n?

n? 2

1 2 。



1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9

8 / 12

18. 解:以 H 为原点, HA, HB, HP 分别为 x, y , z 轴,线段 HA 的长为单位长, 建立空间直 角坐标系如图, 则 A(1,0,0), B(0,1,0) (Ⅰ)设 C (m,0,0), P(0,0, n)(m ? 0, n ? 0)

1 m D( 0 m , , 0E ), ( , , 0). 2 2 1 m ,n ) BC , ? m( ? , 1 , 0 ) . 可得 PE ? ( , ? 2 2 m m 因为 PE ? BC ? ? ? 0 ? 0 2 2
则 所以

P E? B C

(Ⅱ)由已知条件可得 m ? ?

3 3 , n ? 1, 故 C( ? ,0,0) 3 3 ,P0 ) , ( 0 , 0 , 1)

D( 0 ? ,

3 1 3 , 0E ), ? ( , 3 2 6

设 n ? ( x, y, x) 为平面 PEH 的法向量



?n ? H E? ,o ? ? ? ?n ? H P? ,o

? 1 x ? 3 y ?0 ?2 6 即? ? ? z?0

因此可以取 n ? (1, 3,0) , 由 PA ? (1,0, ?1) ,

??? ?

可得

? ? ?? 2 c o sP A n , ? 4 2 4

所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为

19. 解: (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需 要帮助的老年人的比例的估算值为 (2) K ?
2

70 ? 14% 500

500 ? (40 ? 270 ? 30 ?160)2 ? 9.967 。 200 ? 300 ? 70 ? 430

由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (III)由(II)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地 区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老 年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样 方法更好.
9 / 12

20. 解: (I)由椭圆定义知 AF2 ? BF2 ? AB ? 4a ,又 2 AB ? AF2 ? BF2 , 得 AB ?

4 a 3

l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ? a2 ? b2 。
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 A、B 两点坐标满足方程组

?y ? x ? c ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 2 ? a b2
2 2 2 2 2 2 2 化简的 a ? b x ? 2a cx ? a c ? b ? 0

?

?

?

?

a 2 ? c 2 ? b2 ? ?2a 2c 则 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? a ? b2 a 2 ? b2
因为直线 AB 斜率为 1,所以 AB ?
2 2 x2 ? x1 ? 2 ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ?



4 4ab 2 a? 2 , 故 a 2 ? 2b2 2 3 a ?b

所以 E 的离心率 e ?

c a 2 ? b2 2 ? ? a a 2

(II)设 AB 的中点为 N ? x0 , y0 ? ,由(I)知

x0 ?

c x1 ? x2 ?a 2 c 2 ? 2 ? ? c , y0 ? x0 ? c ? 。 2 3 2 a ?b 3

由 PA ? PB ,得 kPN ? ?1 , 即

y0 ? 1 ? ?1 x0

得 c ? 3 ,从而 a ? 3 2, b ? 3

故椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1。 18 9

x x 21. 解: (1) a ? 0 时, f ( x) ? e ? 1 ? x , f '( x) ? e ?1 .

0 ,? ? ) 时, f '( x) ? 0 .故 f ( x) 在 (??, 0) 单调减少, 当 x ? (??, 0) 时, f '( x) ? 0 ; 当 x?(
在 (0, ??) 单调增加 (II) f '( x) ? e ? 1 ? 2ax
x

10 / 12

由(I)知 e ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立.故
x

f '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x ,
从而当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

1 时, f '( x) ? 0 ( x ? 0) ,而 f (0) ? 0 , 2

于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 由 e x ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e? x ? 1 ? x( x ? 0) .从而当 a ?

1 时, 2

f '( x) ? ex ?1 ? 2a(e? x ?1) ? e? x (ex ?1)(ex ? 2a) ,
故当 x ? (0, ln 2a) 时, f '( x) ? 0 ,而 f (0) ? 0 ,于是当 x ? (0, ln 2a) 时, f ( x) ? 0 . 综合得 a 的取值范围为 (??, ] .

1 2

? , 22. 解: (I)因为 ? AC ? BC
所以 ?BCD ? ?ABC . 又因为 EC 与圆相切于点 C ,故 ?ACE ? ?ABC , 所以 ?ACE ? ?BCD . (II)因为 ?ECB ? ?CDB, ?EBC ? ?BCD , 所以 ?BDC ∽ ?ECB ,故 即 BC ? BE ? CD .
2

BC CD ? , BE BC

??
23. 解: (Ⅰ)当 联立方程组 ?

?
3 时, C 的普通方程为 y ? 3( x ?1) , C 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1。 2 1

? y ? 3( x ? 1) ?
2 2 ? ?x ? y ? 1

? ,解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) ? ,

?1 ?2 ?

3? ?。 2 ? ?

(Ⅱ) C1 的普通方程为 x sin ? ? y cos ? ? sin ? ? 0 。 A 点坐标为 sin ? ? cos ? sin ? ,
2

?

?

故当 ? 变化时,P 点轨迹的参数方程为:

1 ? x ? sin 2 ? ? ? 2 ??为参数 ? ? 1 ? y ? ? sin ? cos ? ? ? 2

1? 1 ? 2 ?x? ? ? y ? 4? 16 。 P 点轨迹的普通方程为 ?

2

11 / 12

故 P 点轨迹是圆心为 ? , 0 ? ,半径为 24. 解:

?1 ?4

? ?

1 的圆。 4

??2 x ? 5,x ? 2 f ( x) ? ? ?2 x ? 3,x ? 2 则函数 y ? f ( x) (Ⅰ)由于
的图像如图所示。 (Ⅱ)由函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图像可知,

a?
当且仅当

1 2 或 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x) 与函数

y ? ax 的图像有交点。故不等式 f ( x) ? ax 的解集非
空时, a 的取值范围为

? ? 2? ? ? ? ??,

1 ? , ? ?? ?2 ?。

12 / 12


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