nbhkdz.com冰点文库

2013年清华大学保送生考试数学试题及答案解析

时间:2016-02-25


2013 年清华大学保送生考试数学试题解析
2 ? n ? 3i ? ? n ? 2n ? 4 ? ?? 1、求证: ? ? ?. 2 ? 12 ? ? i ?0 ? ? ?n? ?3? ? ?

证明:用数学归纳法证明. 当 n ? 1, 2,3, 4,5,6 时,命题显然成立.
?n? ?3? ? ?

假设当 n

? k 时命题成立,即

2 ? n ? 3i ? ? n ? 2n ? 4 ? ? ? ? ? ,则 ? 2 ? 12 ? ? i ?0 ? ?

当 n ? k ? 6 时,

? k ?6 ? ? 3 ? ? ?

?
i ?0

2 ? k ? 6 ? 3i ? ? (k ? 6) ? 2(k ? 6) ? 4 ? ? 3 ? ? ? ?? ? ? ? 2 12 ? ? ? ? i ?0

?k ? ? ??2

? ? k ? 3i ? ? ? k 2 ? 2k ? 4 ? 12k ? 48 ? ? ? ? 2 ? ? 3? ? ? 12 ? ? ? ?? ?

?

?k ? ? 3 ??2 ? ?

?
i ?0

2 ? k ? 3i ? ? ? k ? ? ? k ? 2k ? 4 ? ? 3 ? 3 ? ? ? (k ? 4) ? 3? ? ? ? 12 ? 2 ? ? ?? ? ? ? ? ?

? ??k ? ?? ? ??k ? ?? ? k ? 3 ? ? ? 3 ? ? 1? ? ? k ? 3 ? ? ? 3 ? ? 2 ? ? ? ? k ? ? ? k 2 ? 2k ? 4 ? ? k ? 3i ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 3 ? ? ? 3? ? ? ? ? (k ? 4) ? ? ? ? 2 ? 2 2 12 ? ? i ?0 ? ??3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?k ? ?3? ? ?

? ??k ? ?? ? ??k ? ?? ? k ? 3 ? ? ? 3 ? ? 1? ? ? k ? 3 ? ? ? 3 ? ? 2 ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 3 ? ? k ? ? 3 ? ? (k ? 4) (由归纳假设) ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ??3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??k ? ?? ? ??k ? ?? ? k ? 3 ? ? ? 3 ? ? 1? ? ? k ? 3 ? ? ? 3 ? ? 2 ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? 3?k ? ? k ? 5 ?? ? ? ? ? ? 2 2 ?3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??k ? ?? ? ??k ? ?? ? k ? 3 ? ? ? 3 ? ? 1? ? ? k ? 3 ? ? ? 3 ? ? 2 ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? 3?k ? ? k ? 5 ? 0 下面证明 ?k ? N , ? ? ? ? ? ? 2 2 ?3? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
当 k ? 6 m 时,左边 ? ?

? 6m ? 3(2m ? 1) ? ? 6m ? 3(2m ? 2) ? ? ? 3 ? 2m ? 6m ? 5 ? 0 ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? 6m ? 1 ? 3(2m ? 1) ? ? 6m ? 1 ? 3(2m ? 2) ? ? ? 3 ? 2m ? (6m ? 1) ? 5 ? 0 ? ? 2 2 ? ? ? ? ?

当 k ? 6m ? 1 时,左边 ? ? 以下略.

? ?1 ? x ? ? ? ?1 ? x ?
k k

2m

2n

2、求证:

k ?1

k ?1

? ?1 ? x ? ? ? ?1 ? x ? ? ? ?1 ? x ?
k k k k ?1 k ?1 k ?1

m

n

m?n

为关于 x 的整系数多项式.

?? x
证明:只需要证明
k ?1

2m

k

? 1? ? ? ? x k ? 1?
k ?1 n k m?n k ?1 k k ?1

2n

?? x
k ?1

m

k

? 1? ? ? ? x ? 1? ? ? ? x ? 1?

为关于 x 的整系数多项式.

记 ?k ? x ? ?

t 2? i ? ? k x ? e ? ,则 ?? 1?t ? k ? ? ( t , k ) ?1

?k ? x ? 是在实数范围内不可分的 ? ? k ? 次整系数多项式因式(因分分圆多项式必然为整系数多项式,其中 ? 为
欧拉函数) ,如 ?1 ? x ? ? x ?1,?2 ? x ? ? x ? 1,?3 ? x ? ? x ? x ? 1,?4 ? x ? ? x ? 1,?.
2 2

于是 f n ? x ? ? xn ? 1 ?

?? ? x ? ,如 x
k k |n

6

?1 ? ?1 ? x ? ??2 ? x ? ??3 ? x ? ??6 ? x ? .
?m? ? ? ? p?

于是

?? x
k ?1

m

k

? 1? ? ??? p ? x ? ? ? ?? p ? x ? ?
k ?1 p|k p ?1

m

m

,其中 ?

?m? m 表示对 取整. ? p ? p?

因此问题即对于任意正整数 p ,分子所含因式 ? p ? x ? 的个数不少于分母所含的因式 ? p ? x ? 的个数,即证明

? 2m ? ? 2n ? ? m ? ? n ? ? m ? n ? ?p ? N* , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ? p ? ? p ? ? p ? ? p? ? p ?
下面证明 ?x, y ? 0, x, y ? R, ?2x? ? ?2 y? ? ? x? ? ? y ? ? ? x ? y ? . 设 x ? ? x? ? ?x? ,则

? 2 x? ? ? 2 y ? ? ? x? ? ? y ? ? ? x ? y ?
? 2 ? x? ? ? ? 2 ? x?? ? ? 2? y? ? ? ? 2 ? y?? ? ? ? x? ? ? y ? ? ? x? ? ? y ? ? ? ?? x ? y?? ? ?? ? 2 ? x?? ??? ? 2 ? y?? ??? ?? x ? y?? ?
而 2?x? ? ?x ? y? 或 2? y? ? ?x ? y? 显然成立, 于是命题得证.

3、已知 abc ? ?1,

a2 b ? ? 1, a 2b ? b2 c ? c2 a ? t ,求 ab5 ? bc5 ? ca5 的值. c c2

1 ?abc ? ?1 ? 1 c4 ?1 ? a3c9 ? a9c 6 ? 2 ?b ? ? 5 5 5 5 ab ? bc ? ca ? ? ? ? ca ? 解法 1:由 ? a ,得 于是 ac ? b a 4 c5 a a 4 c5 2 2 ? ? 2 ?1 ? ?b ? c ? a c ? 1 ?c c
? ?1 ? (a3c 2 ? 1)3 ? a9c 6 ?3a3c 2 ? 3a 6c 4 3a 3c 2 ? 3 ? ? ? 3. a 4c5 a 4c5 ac3 x y z , b ? ? , c ? ? ,则 y z x

解法 2:令 a ? ?

a2 b x2 ? x ? ? y ? ? x2 ? ? 2 ? 1 即 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 1,整理得 x3 z 2 ? y3 x2 ? z3 y 2 ? 0 . c c y ? z? ? z? ?z ?
6 9 6 9 9 6 2 3 3 2 3 2 3 3 3 于是 x y ? y z ? z x ? 3 x y ? y z ? z x (? a ? b ? c ? 0 ? a ? b ? c ? 3abc )

?

??

??

?

2 3 3 2 3 2 x y 5 y z 5 z x5 xy 4 yz 4 zx 4 x 6 y 9 ? y 6 z 9 ? z 9 x 6 3 ? x y ? ? ? y z ? ? ? z x ? ab ? bc ? ca ? ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? ? ?3 y z z x x y z x y x5 y 5 z 5 x5 y 5 z 5 5 5 5

解法 3:由

a2 b ? ? 1 得 a 2c ? c 2 ? b .根据轮换对称可得 b2a ? a2 ? c, c2b ? b2 ? a . c c2

于是 ab5 ? bc5 ? ca5 ? b3 (a2 ? c) ? c3 (b2 ? a) ? a3 (c2 ? b)

? a2b3 ? b2c3 ? c2a3 ? (b3c ? c3a ? a3b) ? ab(a2 ? c) ? bc(b2 ? a) ? ca(c2 ? b) ? (b3c ? c3a ? a3b) ? 3
1 7 ? 1 ?a ? c 2 sin ? 解法 4: 1? 当 c ? 0 时,令 ? ,则由 abc ? ?1 ,得 c 2 ? ? . 2 2 sin ? cos 2 ? ? b ? c cos ? ?

于是 ab ? bc ? ca ? c 2 sin ? cos ? ? c cos ? ? c 2 sin ?
5 5 5 10 7 2 5

21

7

sin ? cos10 ? cos 2 ? sin 5 ? ?? 3 ? ? sin ? cos6 ? sin 2 ? cos 4 ? sin ? cos 2 ? ?? cos 4 ? 1 sin 4 ? ? ? sin 2 ? sin 2 ? cos 2 ? cos 2 ?

?

? cos6 ? ? 1 ? sin 6 ? ?3 sin 2 ? cos 2 ?

1 ? ?a ? ? ?c ? 2 tan ? 2? 当 c ? 0 时,令 ? ,以下略. 2 2 ? ?b ? c sec ?

4、求证:平面内间跟为 d 的一组平行直线,任意放一长为 l (l ? d ) 的针与直线相交的概率为 P ? 证明:如图,设针的中点离最近的直线的距离为 x ,与直线所成的角为 ? , 则 x ? ?0,

2l . ?d

? d? ? ?? ,? ? ?0, ? . ? ? 2? ? 2?
?

l sin ? 针与直线相交即 x ? ,因此 P ? 2

?

2 0

l sin ? d? 2l 2 . ? d ? ? d ? 2 2

1 a ?1 a ?1 2? i mnb 5、求证: gcd ? a, b ? ? ?? e a . a m?0 n ?0
证明:设 gcd ? a, b ? ? d , a ? dx, b ? dy, ? ? e
2? i y x
x ,其中 a, b, d , x, y ? N* ,则 ? ? 1 .

1 a ?1 a ?1 2? i mnb 1 a ?1 a ?1 mn 1 a ?1 0 a e ? ?? ? ? m ? ? 2m ? ? ? ? (a?1)m ? … ① ?? ??? ? a m ? a m?0 n ?0 a m?0 n ?0 ?0
m 由于 1 ? ?

?

???

0

? ? m ? ? 2 m ? ? ? ? ( a ?1) m ? ? 1 ? ? am ? 0

m 0 m 2m ( a ?1) m ?a 因此当且仅当 m ? 0, x,2x,?, ? d ?1? x 时 ? ? 1 ,此时 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 m 2m ( a ?1) m ? 0. 而当 m 取其他值时 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

于是①式的值为

1 ? da ? d ,原式得证. a


高考清华大学自主招生数学试题

高考清华大学自主招生数学试题_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。2006 届清华大学自主招生数学试题 2005 年 11 月 28 日 1.求最小正整数 n ,使得 I ? ...

清华大学自主招生数学试题1

清华大学自主招生数学试题1_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。2006 届清华大学自主招生数学试题考试时间:2005.11.28 1.求最小正整数 n ,使得 I ? ( ? ...

2010清华大学自主招生数学试题

2010清华大学自主招生数学试题_文学_高等教育_教育专区。2016-09 2010 年清华大学自主招生数学试题一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,在每小题给出的...

清华大学2012年保送生考试试题及考试建议_图文

清华大学2012年保送生考试试题及考试建议_高考_高中教育_教育专区。绝对有用 ...。 9. 数学课我们还是保持着上了,做做题保持题感,第一轮的知识很重要!今年...

2013年清华大学自主招生面试题整理

清华大学 2013 年自主招生考试部分面试题 【综合面试】 分上午与下午两场进行。每场考生都有三道相同的必答题目,面试时间为 10 分钟左右,三位考官对一位考生。另...

2010清华大学自主招生试题数学试题(带答案)

2010清华大学自主招生试题数学试题(带答案)。第 1 页(共 12 页) 第 2 页(共 12 页) 第 3 页(共 12 页) ADBCC ABDBD 11.解:(Ⅰ)由 得 所以 即 ...

清华北大等名校自主招生考试试题解析

清华北大等名校自主招生考试语文试题解析 浅易:名校自主...积累:名校自主招生语文考试“考点” 2008 年复旦大学...年自主招生考试数学试题解析 自从 2006 年复旦大学、...

2015年清华大学自主招生试题(回忆版)

2015年清华大学自主招生试题(回忆版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考试题 2015 年清华大学自主招生试题(回忆版) 文档贡献者 lzl0801 贡献于2016-03-31 ...

清华大学自主招生数学试卷

自主招生试题及答案 12页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 清华大学自主招生数学试卷 隐藏>> 2009 年...

2011清华大学自主招生试题数学

2011清华大学自主招生试题数学_高考_高中教育_教育专区。2011 年自主招生华约数学...1 ? cos( A ? B) ,可见答案是 B 2 [分析]题目中的条件是通过三个圆来...