nbhkdz.com冰点文库

abfnux南通市2010届高三数学第一次调研测试

时间:2011-08-21


-+ 懒惰是很奇怪的东西,它使你以为那是安逸,是休息,是福气;但实际上它所给 你的是无聊,是倦怠,是消沉 ; 它剥夺你对前途的希望,割断你和别人之间的友情, 使你心胸日渐狭窄,对人生也越来越怀疑。 — 罗兰
南通市 2010 届高三第一次调研测试 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 已知集合 U={1, 2, 3, 4},M={1, 2},N={2, 3},则 ?U (M∪N) = ▲ .

2.复数

1? i (i 是虚数单位)的虚部为 ▲ . (1 ? i) 2

3.设向量 a,b 满足: | a |? 1, a ? b ?

3 , a ? b ? 2 2 ,则 | b |? 2





4 .在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? ( m ? 1) y ? 2 ? m 与直线 mx ? 2 y ? ?8 互相垂直的充要条件是 m= . ▲ .
2 k

5.函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x)( x ? R) 的最小正周期是 6.在数列{an}中,若对于 n∈N*,总有

?a
k ?1

n

k

=2n-1,则

?a
k ?1

n

=

▲ .

7.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底面落于桌面,记所得的数字 分别为 x,y,则 x 为整数的概率是

y

▲ .

8.为了解高中生用电脑输入汉字的水平,随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试,下图是根据 抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图,其中每分钟输入汉字个数的范围是[50,150],样本数据分 组为[50,70) ,[70,90) , [90,110) ,[110,130) ,[130,150],已知样本中每分钟输入汉字个数小于 90 的人数是 36,则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于 70 个并且小于 130 个的人数是 ▲ 9.运行如图所示程序框图后,输出的结果是 频率 组距 0.015 0.012 0 0.010 5 0.007 0 0.005 5 0 50 70 90 110 130 150字 数 / 分 (第 8 题 钟 图) n 和平面 ? , ? ,有以下四个命题: ▲ . 开 k始 ?1 S? 0 k≥-3 Y ? S ?S – N 输 出 S结 束 .

/ 2k

k ? k

-1 (第 9 题 图)

10.关于直线 m,

①若 m // ? , n // ? ,

? // ? ,则 m // n ;②若 m // n, m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? ;
第 1 页 ·共 9 页

高三市一模数学参考答案和评分建议

③若 ? ? ? ? m, m // n ,则 n // ? 且 n // ? ;④若 m ? n, 其中假命题的序号是 ▲ .

? ? ? ? m ,则 n ? ? 或 n ? ? .

11.已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x,x ? 0, ? 2 若 f (2 ? a ) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 2 2 x ? x , x ? 0 , ? ?

12.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的 四边形是一个面积为 4 的正方形, 设 P 为该椭圆上的动点, C、 D 的坐标分别是 ? 2, 0 , 则 PC·PD 的最大值为 ▲ .

?

? ?

2, 0 ,

?

13.设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4) ,P 是该四边形内任意一点,P 点 到第 i 条边的距离记为 hi,若
4 a1 a2 a3 a4 ? ? ? ? k , 则 ? (ihi ) ? 2S .类比上述结论,体积为 V 的 k 1 2 3 4 i ?1

三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4) ,Q 是该三棱锥内的任意一点,Q 点到第 i 个面的距 离记为 Hi,则相应的正确命题是:若

S1 S2 S3 S4 ? ? ? ? k ,则 ▲ . 1 2 3 4
m

14 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 直 线 y ? 3x ? 2

和圆 x ? y ? n相切,其中 m,
2 2 2

n ? N*, 0 ?| m ? n |? 1 ,若函数 f ( x) ? mx ?1 ? n 的零点 x0 ? (k , k ? 1), k ? Z ,则 k= ▲ .
【填空题答案】 1. {4} ; 6. 2. ? 7.

1; 2

3.2; 8.90;
4

4. ?

2; 3

5. π ; 10.①③④ ; 14.0.

1 4n ? 1 ; ? ? 3

1; 2

9.10;

1) ; 11. (?2,

12.4;

13.

V ; ? (iH ) ? 3k
i ?1 i

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ ABC 中, a, b, c 分别是角 A、 B、 C 所对的边, 且 b2=ac, 向量 m ? ? cos( A ? C ), 1?

,cos B) 满足 m ? n ? 和 n ? (1
【解】 (1)由 m ? n ?

3 .(1)求 sin A sin C 的值; (2)求证:三角形 ABC 为等边三角形. 2
……………………2 分 ……………………4 分

3 3 得, cos( A ? C ) ? cos B ? , 2 2 3 , 2

又 B=π ? (A+C),得 cos(A ? C) ? cos(A+C)= 即 cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)=
2

3 3 ,所以 sinAsinC= . ……………6 分 2 4 3 . ……………8 分 4

2 【证明】 (2)由 b2=ac 及正弦定理得 sin B ? sin A sin C ,故 sin B ?

于是 cos B ? 1 ?
2

3 3 1 1 1 1 ? cos(A ? C)>0, 所以 cos B ? , 所以 cos B ? 或 ? . 因为 cosB = ? , 4 4 2 2 2 2
高三市一模数学参考答案和评分建议 第 2 页 ·共 9 页

故B?

π . 3

………………… 11 分
2 2 2 2 2 2

a ? c ? a c 由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B , 即b ?
a=c. 因为 B ?

, 又 b2=ac, 所以 ac ? a ? c ? ac, 得
2 2

π ,所以三角形 ABC 为等边三角形. 3

………………… 14 分

16. (本小题满分 14 分)如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC=AD, DE=2AB,F 为 CD 的中点. (1) 求证:AF∥平面 BCE; (2) 求证:平面 BCE⊥平面 CDE. 【证明】 (1)因为 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,所以 AB∥DE.

B A C F

E

(1 第 16 取 CE 的中点 G,连结 BG、GF,因为 F 为 CD 的中点,所以 GF∥ED∥BA, GF= ED=BA, 题图 2 ) 从而 ABGF 是平行四边形,于是 AF∥BG. 因为 AF ? 平面 BCE,BG ? 平面 BCE,所以 AF∥平面 BCE. (2)因为 AB⊥平面 ACD,AF ? 平面 ACD, 所以 AB⊥AF,即 ABGF 是矩形,所以 AF⊥GF. 又 AC=AD,所以 AF⊥CD. ……………………9 分 ………………… 11 分

D

……………………4 分 ……………………7 分

而 CD∩GF=F,所以 AF⊥平面 GCD,即 AF⊥平面 CDE. 因为 AF∥BG,所以 BG⊥平面 CDE. 因为 BG ? 平面 BCE,所以平面 BCE⊥平面 CDE. ………………… 14 分

17. (本小题满分 15 分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n, 且 a5 ? a13 ? 34,S3 ? 9 . (1)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式; (2)设数列 {bn } 的通项公式为 bn ?

an ,问: 是否存在正整数 t,使得 b1,b2,bm an ? t

(m ? 3,m ? N) 成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明理由.
【解】 (1)设等差数列 {an } 的公差为 d. 由已知得 ?

? a5 ? a13 ? 34, ……………………2 分 ?3a2 ? 9,
………6 分

即?

?a1 ? 8d ? 17, ? a1 ? 1, ,Sn ? n2 . 解得 ? ……………………4 分.故 an ? 2n ? 1 ? d ? 2. ? a1 ? d ? 3,
( 2 ) 由 ( 1 ) 知 bn ?

2n ? 1 . 要 使 b1 ,b2,bm 成 等 差 数 列 , 必 须 2b2 ? b1 ? bm , 即 2n ? 1 ? t
…………… 11 分

2?

3 1 2m ? 1 4 ,……8 分.整理得 m ? 3 ? , ? ? 3 ? t 1 ? t 2m ? 1 ? t t ?1

因为 m, t 为正整数, 所以 t 只能取 2, 3, 5.当 t ? 2 时,m ? 7 ; 当 t ? 3 时,m ? 5 ; 当 t ? 5 时,m ? 4 .

高三市一模数学参考答案和评分建议

第 3 页 ·共 9 页

故存在正整数 t,使得 b1 ,b2,bm 成等差数列.

………………… 15 分

18. (本小题满分 15 分)某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处, 已知 AB=AC=6km,现计划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个

A

变电站. 记 P 到三个村庄的距离之和为 y. (1)设 ?PBO ? ? ,把 y 表示成 ? 的函数关系式;

P

(2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小?

π 【解】 (1)在 Rt?AOB 中, AB ? 6,所以 OB =OA= 3 2 .所以 ?ABC B?
由题意知 0 ? ? ?

4

O
(第 18 题图) ……………………2 分

C

π. 4

所以点 P 到 A、B、C 的距离之和为

y ? 2 PB ? PA ? 2 ?

3 2 2 ? sin ? ? (3 2 ? 3 2 tan ? ) ? 3 2 ? 3 2 ? . cos ? cos ?

……………………6 分

故所求函数关系式为 y ? 3 2 ? 3 2 ? 2 ? sin ? 0 ? ? ? π .

cos ?

?

4

?

……………………7 分

( 2 ) 由 ( 1 ) 得 y? ? 3 2 ?

2 s i? n? 2 cos ?

, 令 y ? ? 0 即 sin ? ?

1

1 π ,从而 , 又 0 ?? ? 4 2

??

π . 6

……………………9 分.当 0 ? ? ?

π π π 时, y ? ? 0 ;当 ? ? ? 时, y ? ? 0 . 6 6 4
………………… 13 分

所以当 ? ?

π 2 ? sin ? 时, y ? 4 ? 3 2 ? 取得最小值, 6 cos ?

此时 OP ? 3 2 tan

π ,即点 P 在 OA 上距 O 点 6 km 处. ? 6 (km) 6

【答】变电站建于距 O 点 6 km 处时,它到三个小区的距离之和最小. ………… 15 分 19. (本小题满分 16 分)已知椭圆 C: 2 +

y 2 x2 =1? a>b>0? 的离心率为 6 ,过右顶点 A 的直线 l 与椭圆 3 a b2

,? 3) . C 相交于 A、B 两点,且 B(?1
(1)求椭圆 C 和直线 l 的方程; (2)记曲线 C 在直线 l 下方的部分与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D.若 曲线 x ? 2mx ? y ? 4 y ? m ? 4 ? 0 与 D 有公共点,试求实数 m 的最小值.
2 2 2

【解】 (1)由离心率 e ?

6 a 2 ? b2 6 2 2 ? ,得 ,即 a ? 3b . 3 a 3

① ………………2 分

,? 3) 在椭圆 C : 又点 B(?1
解 ①②得 a ? 12,b ? 4 ,
2 2

y 2 x2 (?3)2 (?1)2 上,即 + ? 1 + 2 ?1 . a 2 b2 a2 b

② ………………4 分

故所求椭圆方程为

y 2 x2 ? ?1. 12 4

…………………6 分

高三市一模数学参考答案和评分建议

第 4 页 ·共 9 页

0),B(?1, ? 3) 得直线 l 的方程为 y ? x ? 2 . ………8 分 由 A(2,
(2)曲线 x ? 2mx ? y ? 4 y ? m ? 4 ? 0 ,
2 2 2

? 2) ,半径 r ? 2 2 ,表示圆心在直线 即圆 ( x ? m) ? ( y ? 2) ? 8 ,其圆心坐标为 G(m,
2 2

y ? ?2 上,半径为 2 2 的动圆.
由于要求实数 m 的最小值,由图可知,只须考虑 m ? 0 的情形. 设 ? G 与直线 l 相切于点 T,则由

………………… 10 分

| a ? 2?2| 2

? 2 2 ,得 m ? ?4 ,………………… 12 分

? 2) 与直线 l 垂直的直线 l ? 的方程为 x ? y ? 6 ? 0 , 当 m ? ?4 时,过点 G (?4,
解方程组 ?

? x ? y ? 6 ? 0, ? 4) . 得 T (?2, ?x ? y ? 2 ? 0

………………… 14 分

因为区域 D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为 ?1,2 ,
2 2 所以切点 T ? D ,由图可知当 ? G 过点 B 时,m 取得最小值,即 (?1 ? m) ? (?3 ? 2) ? 8 ,

解得 mmin ? ? 7 ? 1 .

………………… 16 分

(说明:若不说理由,直接由圆过点 B 时,求得 m 的最小值,扣 4 分) 20. (本小题满分 16 分) 已知二次函数 g(x)对任意实数 x 都满足 g ? x ? 1? ? g ?1 ? x ? ? x ? 2x ? 1 ,且 g ?1? ? ?1 .令
2

f ( x) ? g x ? 1 ? m ln x ? 9 (m ? R, x ? 0) . 2 8
(1)求 g(x)的表达式; (2)若 ?x ? 0 使 f ( x) ? 0 成立,求实数 m 的取值范围; (3)设 1 ? m ? e , H ( x) ? f ( x) ? (m ? 1) x , 证明:对 ?x1,x2 ?[1 ,m] ,恒有 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1. 【解】 (1)设 g ? x ? ? ax ? bx ? c ,于是
2

? ?

?a ? 1, 2 2 ? 2 g ? x ? 1? ? g ?1 ? x ? ? 2a ? x ? 1? ? 2c ? 2 ? x ? 1? ? 2, 所以 ? ? ?c ? ?1.
又 g ?1? ? ?1 ,则 b ? ?

1 .所以 g x ? 1 x 2 ? 1 x ? 1 . ? ? 2 2 2
8 2

……………………4 分

(2) f ( x) ? g x ? 1 ? m ln x ? 9 ? 1 x2 ? m ln x(m ? R,x ? 0). 当 m>0 时,由对数函数性质,f(x)的值域为 R; 高三市一模数学参考答案和评分建议 第 5 页 ·共 9 页

? 2?

当 m=0 时, f ( x) ? 当 m<0 时,由 f ?( x) ? x ?

x2 ? 0 对 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立; 2

……………………6 分

m ? 0 ? x ? ?m ,列表: x
(0, ?m )
- 减

x

?m
0 极小

( ?m, ? ?)
+ 增

f ?( x) f ( x)

这时, ? m ln ?m. ? f ( x)?min ? f ( ?m ) ? ? m 2

? f ( x)?min

? m ?? ? m ln ?m ? 0, ?0?? 2 ? ?e<m ? 0. ? m ? 0 ?

……………………8 分

0] . 所以若 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 (?e,

? ?? 故 ?x ? 0 使 f ( x) ? 0 成立,实数 m 的取值范围 (??, ?e] ? ? 0,
,m] , H ?( x) ? (3)因为对 ?x ? [1



……………… 10 分

( x ? 1)( x ? m) ? 0,所以 H ( x) 在 [1, m] 内单调递减. x 1 2 1 m ? m ln m ? . 2 2

于是 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? H (1) ? H (m) ?

1 1 1 3 | H ( x1 ) ? H ( x2 ) |? 1 ? m2 ? m ln m ? ? 1 ? m ? ln m ? ? 0. ………………… 12 分 2 2 2 2m
记 h(m) ?

1 3 m ? ln m ? (1 ? m ? e) , 2 2m
2

则 h' (m) ? 1 ? 1 ? 3 ? 3 1 ? 1 2

2

m

2m

? 1 ? 0, 2 ? m 3? 3
………………… 14 分

1 3 在 ?1,e] 是单调增函数, m ? ln m ? 2 2m e 3 ? e ? 3?? e ? 1? 所以 h(m) ? h(e) ? ? 1 ? ? ? 0 ,故命题成立. 2 2e 2e
所以函数 h(m) ? 附加题部分

………………… 16 分

21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. A.选修 4—1 几何证明选讲

如图,AB 是⊙O 的直径,C、F 为⊙O 上的点,且 CA 平分∠BAF,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于点 D. 求证:DC 是⊙O 的切线. 【证明】连结 OC,所以∠OAC=∠OCA. 高三市一模数学参考答案和评分建议 第 6 页 ·共 9 页

又因为 CA 平分∠BAF,所以∠OAC=∠FAC, 于是∠FAC=∠OCA,所以 OC//AD. 又因为 CD⊥AF,所以 CD⊥OC, 故 DC 是⊙O 的切线. ………………… 10 分

F A

D D

C

O

B

B.选修 4—2

矩阵与变换

变换 T 是绕坐标原点逆时针旋转 下所得的曲线方程.

π 的旋转变换,求曲线 2 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 1 在变换 T 作用 2

【解】变换 T 所对应变换矩阵为 M ? ?

?0 ?1? ?x? ,设 ? ? 是变换后图像上任一点,与之对应的变换前 ? ?1 0 ? ? y?

的点是 ?

? x0 ? ? x ? ? y0 ? ? x, ? x0 ? 2 2 ,则 M ? ? ? ? ? ,即 ? ,代入 2 x0 ? 2 x0 y0 ? y0 ? 1 , ? y x ? y , y y ? 0? ? ? ? 0 ? 0?
2 2

即 x ? 2 xy ? 2 y ? 1 , 所以变换后的曲线方程为 x ? 2 xy ? 2 y ? 1 .
2 2

………………… 10 分

C.选修 4—4

参数方程与极坐标(本题满分 10 分)

2 已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ? ? 2 , ? ? 2 2? cos(? ?

π ) ? 2. 4

(1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 【解】 (1) ? ? 2 ? ? ? 4 ,所以 x ? y ? 4 ;因为 ? ? 2 2? cos
2 2 2

2

?2 ?? ? π 4?



所以 ? ? 2 2? cos? cos π ? sin ? sin π ? 2 ,所以 x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 . ………5 分
2
2 2

?

4

4

?

(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为 x ? y ? 1 . 化为极坐标方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ,即 ? sin

? 2 ?? ? π 4? 2



………………… 10 分

D.选修 4—5

不等式证明选讲(本题满分 10 分)

已知 m ? 0,a,b ? R ,求证: a ? mb

? 1 ? m ? ? a 1??mb m
2 2

2

.

高三市一模数学参考答案和评分建议

第 7 页 ·共 9 页

【解】因为 m ? 0 ,所以 1 ? m
2 2

2 2 ? 0 ,所以要证 a ? mb ? a ? mb ,

? 1? m ?
2

2

1? m

即证 (a ? mb) ? (1 ? m)(a ? mb ) , 即证 m(a ? 2ab ? b ) ? 0 ,
2 2 2 2 即证 (a ? b) ? 0 ,而 (a ? b) ? 0 显然成立,故 a ? mb

? 1 ? m ? ? a 1??mb m
2 2

2

.…………… 10 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.动点 P 在 x 轴与直线 l:y=3 之间的区域(含边界)上运动,且到点 F(0,1)和直线 l 的距离之和为 4. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 Q(0, ?1) 作曲线 C 的切线,求所作的切线与曲线 C 所围成区域的面积. 【解】 (1)设 P(x,y) ,根据题意,得

x2 ? ( y ? 1)2 +3-y=4,化简,得 y=

1 2 x (y≤3) . 4
…………………4 分

(2)设过 Q 的直线方程为 y=kx-1,代入抛物线方程,整理得 x2-4kx+4=0. 由△ =16k2-16=0.解得 k=± 1. 于是所求切线方程为 y=± x-1(亦可用导数求得切线方程). 切点的坐标为(2,1) , (-2,1) . 由对称性知所求的区域的面积为 S= 2

?

2

0

? 1 x2 ? ( x ? 1) ?dx ? 3 . ?4 ? 4 ? ?

………………… 10 分

B1
23.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形, AB=BC= 2 ,BB1=3,D 为 A1C1 的中点,F 在线段 AA1 上. (1)AF 为何值时,CF⊥平面 B1DF? (2)设 AF=1,求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. 【解】 (1)因为直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, BB1⊥面 ABC,∠ABC=

C1 D

A1 F B A

C

π. 2

(第 23 题图)

以 B 点为原点,BA、BC、BB1 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为 AC=2,∠ABC=90? ,所以 AB=BC= 2, 从而 B(0,0,0),A

?

2,0,0 ,C 0, 2,0 ,B1(0,0,3),A1

?

?

?

?

2,0,3 ,C1 0, 2,3 ,

?

?

?

高三市一模数学参考答案和评分建议

第 8 页 ·共 9 页

D?

? 2 ? ? ? , 2 ,3 ? ,E ? 0, 2 ,3 ? . 2 2 2? ? 2 ? ? ???? 所以 CA 2, ? 2, 3 , 1 ?

?

?

z B1 D C1

设 AF=x,则 F( 2,0,x),

A1 ??? ? ???? ? ???? ? ? 2 ? 2 CF ? ? 2,? 2,x ?,B1 F ? ? 2,0,x ? 3?,B1 D ? ? , ,0 ? . 2 ? 2 ? F ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? 2 2 CF ? B1 D ? 2 ? ? (? 2) ? ? x ? 0 ? 0 ,所以 CF ? B1D. 2 2
要使 CF⊥平面 B1DF,只需 CF⊥B1F. 由 CF ? B1 F =2+x(x-3)=0,得 x=1 或 x=2, 故当 AF=1 或 2 时,CF⊥平面 B1DF.……………… 5 分 (2)由(1)知平面 ABC 的法向量为 n1=(0,0,1).

B A

C y

??? ? ???? ?

x

??? ? ? ?n ? CF ? 0, ? ? 2 x ? 2 y ? z ? 0, 设平面 B1CF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则由 ? ???? 得? ? ? ?n ? B1 F ? 0, ? ? 2 x ? 2 z ? 0,
令 z=1 得 n ?

?

2,3 2, 1 , 2
1 1? 2 ? 9 ? 1 2 ? 30 . 15

?

所以平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 cos? n,n1 ? ?

………………… 10 分

高三市一模数学参考答案和评分建议

第 9 页 ·共 9 页


赞助商链接