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高中数学必修1课件

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1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示(1课时) 1.1.2 集合间的基本关系(1课时) 1.1.3 集合的基本运算(1课时) 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念(1课时) 1.2.2 函数的表示方法(2课时)

(1)课本从大家熟悉的集合出发, 给出元素、集合的含义及表示方法; 通过类比实数间的大小关系、运算 引入集合间的关系、运算,同时介 绍子集和全集等概念. (2)函数是中学数学最重要的基 本概念之一.函数分上阶段学习: (初中)函数概念、正(反)比例函数、 一次函数、二次函数及其图像和性 质.(高一必修)函数概念、基本性质、 基本初等函数(I、II).(高二选修)导数 及其应用. (3)实习作业:收集17世纪前 后对数学发展起重大作用的历史事 件和人物(开普勒、伽利略、笛卡尔、 牛顿、莱布尼兹、欧拉等)的有关资 料.

1.3 函数的基本性质
1.3.1 函数的单调性与最大(小)值(2课时) 1.3.2 奇偶性(1课时) 第一章复习与测试

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1. 进一步理解函数的概念及其性质 2. 熟练掌握函数的表示方法及单调性、奇偶性的判断.

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1. 如何判断两个变量之间是否具有函数关系? 2. 通过实例说明,什么叫映射? 3. 函数有几种表示方法?图象表示法的优点是什么? 4. 如何判断一个函数的单调性? 5. 如何判断一个函数的奇偶性? 6. 如何求函数的最值?主要的方法是什么?

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例 1 判 断 下 列 对 应 是 否 为 从 集 合 A到 集 合 B的 函 数 (1) A=R,B=(0,+? ),x ? A,对 应 法 则 f:x ? |x|

( 2 ) A ? R , B ? { y | y ? R 且 y ? 1}, x ? A , 对 应 法 则 f : x ? y = x ? 2 x ? 2

2

解 :(1)不 是 函 数 .因 为 集 合 A中 的 元 素 0,在 集 合 B中 没 有 元 素 与 之 对 应 .
( 2 ) 是 函 数 .满 足 函 数 的 概 念 .

例 2 函 数 f ( x ) = - x ? 6 x ? 9 在 区 间 [ a , b ]( a ? b ? 3 ) 有 最 大 值 9 , 最 小 值 ? 7 , 求 a , b的 值 .

2

注 意 : 开 口 方 向 ,对 称 轴 的 位 置

解 :对 称 轴 x=3
? 函 数 f ( x ) 在 [ a , b ]上 是 增 函 数

? ? a 2 ? 6a ? 9 ? ?7 ? 2 ? ? ? b ? 6b ? 9 ? 9 ?a ? b ?

? a ? ?2, b ? 0

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例3 已 知 函 数 f (x) ?

px ? 2
2

3x ? q

是 奇 函 数 ,且 f (2) ?

5 3

( 1 ) 求 实 数 p , q的 值 . ( 2 )判 断 函 数 f ( x )在 ( ? ? , ? 1 ) 上 的 单 调 性 , 并 加 以 证 明 .
解 : ( 1 )? 函 数 f ( x ) 为 奇 函 数
? px ? 2
2

? f (? x ) ? f ( x ) ? q ? 0
? f (2) ? 4p? 2 6 ? 5 3 ? p ? 2

?3 x ? q
2

?

px ? 2
2

?3 x ? q

(2) f ( x ) ?

2x ? 2 3x

设 x1 ? x2 ? ?1

则 x1 ? x 2 ? 0, x1 x 2 ? 1
2 3 ( x
2 1

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?
? f ( x1 ) ? f ( x 2 )

?1

?

x2 ? 1
2

) ?

2 3

x1

x2

( x1 ? x 2 ) ?

x1 x 2 ? 1 x1 x 2

? 0

即 函 数 f ( x )在 ( ? ? , ? 1 )上 是 增 函 数 .

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例 4 若 函 数 f ( x )是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 ( - ? , 0 ) 上 是 增 函 数 , 并 且

f ( 2 a ? a ? 1 ) ? f ( 3 a ? 2 a ? 1 ), 求 实 数 a 的 取 值 范 围 .
2 2

解 : 由 条 件 知 f ( x ) 在 (0 , + ? )上 是 减 函 数

而 2a ? a ? 1 ? 2(a ?
2
2

1 4

) ?
2
2

8 7

? 0, 3a ? 2a ? 1 ? 3(a ?
2
2

1 3

) ?
2
2

1 3

? 0

? 由 f ( 2a ? a ? 1) ? f ( 3a ? 2a ? 1) ? 2a ? a ? 1 ? 3a ? 2a ? 1

? a ? 3a ? 0 ? 0 ? a ? 3
2

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1 .下 面 四 组 中 的 函 数 f ( x ) 与 g ( x ), 表 示 同 一 个 函 数 的 是 ( C )

A. f ( x ) ? x, g( x ) ? (

x)

2

B. f ( x) ? x, g( x) ?
2

x

2

C . f ( x) ? x, g( x) ?

3

x

3

D . f ( x ) ? | x ? 1 |, g ( x ) ? | x ? 1 |

2 .求 函 数 y ? a x ? 1 在 [ 0 , 2 ] 上 的 最 值 .

当 a ? 0 时 , y的 最 大 值 为 2 a ? 1, 最 小 值 为 1; 当 a ? 0 时 , y的 最 大 值 为 1, 最 小 值 为 2 a ? 1 : 当 a ? 0时 , y ? 1
3 .求 函 数 y ? 3 | x ? 1 | 的 单 调 增 区 间 .

[1, ? ? )
2

4 .若 奇 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 [ ? 1, 1]上 的 减 函 数 , 且 f (1 ? a ) ? f (1 ? a ) ? 0 , 求 a的 取 值 范 围 .

1? a ?

2

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5 .若 函 数 f ( x ) ? ? 求 区 间 [a,b].

1 2

x ?
2

13 2

在 区 间 [ a , b ]上 的 最 小 值 为 2 a , 最 大 值 为 2 b ,

解 : (1 ) 若 0 ? a ? b 则 f ( x ) 在 [ a , b ]上 单 调 递 减 ? f ( a ) ? 2 b , f ( b ) ? 2 a

? 1 2 13 ? ? 2 a ? 2 ? 2b ? ? a ? 1, b ? 3 ? [ a , b ] ? [1, 3 ] ? ? ? ? 1 b 2 ? 13 ? 2a ? 2 2 ? ( 2 ) 若 a ? 0 ? b 则 f ( x ) 在 [ a , 0 ]上 单 调 递 增 , 在 [ 0 , b ] 是 单 调 递 减 13 39 ? f m ax ? f ( 0 ) ? b ? 而 f (b ) ? ? 0 , f ( x ) m in ? 2 a ? 0 4 32 1 2 13 ? f ( x ) m in ? f ( a ) ? ? a ? ? 2a ? a ? ? 2 ? 17 ? [a , b ] ? [? 2 ? 2 2 ( 3 ) 若 a ? b ? 0 则 f ( x ) 在 [ a , b ]上 单 调 递 增 ? f ( a ) ? 2 a , f ( b ) ? 2 b ? ?? ? ? ? ?? ? ? 1 2 1 2 b ?
2

17 ,

13 4

]

a ?
2

13 2 13 2

? 2a ? 2b

?方程

1 2

x ? 2x ?
2

13 2

? 0的 两 根 异 号

? 满 足 a ? b ? 0的 区 间 不 存 在 .
综 上 , 所 求 区 间 为 [1, 3 ]或 [ ? 2 ? 17 , 13 4 ].

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6 .已 知 f ( x )的 定 义 域 为 R , 对 任 意 x . y ? R , 都 有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ), 且 x ? 0 时 , f ( x ) ? 0 , f (1 ) ? ? 2 , 求 f ( x ) 在 [ ? 3 , 3 ]上 的 最 值 .
解 : 设 x ? y ? 0,则 f(0)=0 再 设 y ? ? x得 f (0) ? f ( x ) ? f (? x )

? f ( ? x ) ? ? f ( x ) ? f ( x )是 奇 函 数 . 设 ? 3 ? x1 ? x 2 ? 3

则 x 2 ? x1 ? 0 ? f ( x 2 ? x1 ) ? 0

? f ( x 2 ? x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( ? x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f ( x ) 在 [ ? 3 , 3 ]上 是 减 函 数 . ? f ( x ) m a x ? f ( ? 3 ) ? ? f ( 3 ) ? 3 f (1 ) ? 6 f ( x ) m in ? f ( 3 ) ? ? f ( 3 ) ? ? 6 . ? f ( x 2 ) ? f ( x1 )

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7 .(1 ) 设 全 集 U = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , 集 合 A = { 0 , 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 } ,

0,_ 则 ( C U A ) ? ( C U B ) ? _{_ _ 1, 4 }
2 0, 2 . ( 2 ) 设 集 合 M ? { x | 0 ? x ? 2 }, E ? { x | x ? 2 x ? 3 ? 0 }, 则 M ? E ? [_ _ _ )

8 .已 知 f ( x ? 1 ) 是 偶 函 数 , 且 x ? 1 时 , f ( x ) ? x ? x , 求 x ? 1 时 , f ( x )的 解 析 式 .
2

f (x) ? x ? 5x ? 6
2

9 .已 知 f ( x ) 是 定 义 在 (0 , ? ? ) 上 的 增 函 数 , 且 f ( ) ? f ( x ) ? f ( y ), f ( 2 ) ? 1 y 1 (3, 4] 解 不 等 式 f (x) ? f ( ) ? 2. x ? 3
1 0 .已 知 函 数 f ( x ) ? x ? 2x ? a
2

x

, x ? [1, ? ? ), 求 a ?

1 2

时 , 函 数 f ( x )的 最 小 值 .

7 2

x
2

1 1 .已 知 集 合 A ? { x | x ? 3 x ? 1 0 ? 0 }, B ? { x | m ? 1 ? x ? 2 m ? 1}, 若 A ? B ? A ,

求 实 数 m的 取 值 范 围 .

[?3, 3]
x y ) ? f ( x) ? f ( y)

1 2 .已 知 f ( x ) 是 定 义 在 ( 0 , ? ? ) 上 的 增 函 数 , 且 f (
(1 ) 求 f (1 )的 值 .

( 2 ) 若 f ( 6 ) ? 1, 解 不 等 式 f ( x ? 3 ) ? f (

1 x

)? 2

x ?

3 35


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