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圆锥曲线题型总结 学生用


直线和圆锥曲线常考题型
运用的知识: 1、中点坐标公式: x ?

x1 ? x2 y ? y2 ,y ? 1 ,其中 x, y 是点 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) 的中点坐标。 2 2

2、弦长公式:若点 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) 在直线 y ? kx ? b(k ? 0) 上,

则 y1 ? kx1 ? b,y2 ? kx2 ? b ,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,

AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? (kx1 ? kx2 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
或者 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( x1 ?
2 2

1 k

1 2 1 x2 ) ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 2 )( y1 ? y2 ) 2 k k

? (1 ?

1 )[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] 。 k2

3、两条直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 垂直:则 k1k2 ? ?1 两条直线垂直,则直线所在的向量 v1 ? v2 ? 0 4、韦达定理:若一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两个不同的根 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? ?

b c , x1 x2 ? 。 a a

常见的一些题型: 题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二:弦的垂直平分线问题 题型三:动弦过定点的问题 题型四:过已知曲线上定点的弦的问题 题型五:共线向量问题 题型六:面积问题 题型七:弦或弦长为定值问题 题型八:角度问题 问题九:四点共线问题 问题十:范围问题(本质是函数问题) 问题十一、存在性问题: (存在点,存在直线 y=kx+m,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角) ,四边形(矩 形、菱形、正方形) ,圆) 题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

x2 y 2 ? ? 1 始终有交点,求 m 的取值范围 例题 1、已知直线 l : y ? kx ? 1 与椭圆 C : 4 m
解: 题型二:弦的垂直平分线问题 例题 2、过点 T(-1,0)作直线 l 与曲线 N : y ? x 交于 A、B 两点,在 x 轴上是否存在一点 E( x0 ,0),使得 ?ABE 是等
2

边三角形,若存在,求出 x0 ;若不存在,请说明理由。
1

解: 题型三:动弦过定点的问题 例题 3、已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且在 x 轴 2 a b 2

上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。 (I)求椭圆的方程; (II)若直线 l : x ? t (t ? 2) 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 l 上异于点 T 的任 一点,直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于 M、N 点,试问直线 MN 是否通过椭 圆的焦点?并证明你的结论 解: 题型四:过已知曲线上定点的弦的问题
2 2 例题 4、已知点 A、B、C 是椭圆 E: x 2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) 上的三点,其中点 A (2 3,0) 是椭圆的右顶点,直线 BC a b

过椭圆的中心 O,且 AC ? BC ? 0 , BC ? 2 AC ,如图。(I)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程;(II)若椭圆 E 上存在两点 P、Q,使得直线 PC 与直线 QC 关于直线 x ? 3 对称,求直线 PQ 的斜率。 解:

??? ? ??? ?

??? ?

????

题型五:共线向量问题 例题 5、设过点 D(0,3)的直线交曲线 M: 解: 题型六:面积问题
uuu r uuu r x2 y 2 ? ? 1 于 P、Q 两点,且 DP = l DQ ,求实数 l 的取值范围。 9 4

例题 6、已知椭圆 C:

x2 y2 6 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 , 短轴一个端点到右焦点的距离为 3 。 2 a b 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求△AOB 面积的最大值。 2

2

题型七:弦或弦长为定值问题 例题 7、在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C(0,p)作直线与抛物线 x2=2py(p>0)相交于 A、B 两点。 (Ⅰ)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求△ANB 面积的最小值; (Ⅱ)是否存在垂直于 y 轴的直线 l,使得 l 被 以 AC 为 直 径 的 圆 截 得 弦 长 恒 为 定 值 ? 若 存 在 , 求 出 l 的 方 程 ; 若 不 存 在 , 说 明 理 由 。

题型八:角度问题 例题 8、 (如图(21)图,M(-2,0)和 N(2,0)是平面上的两点,动点 P 满足: PM ? PN ? 6. (Ⅰ)求点 P 的

PN = 轨迹方程; (Ⅱ)若 PM ·

2 ,求点 P 的坐标. 1 ? cos ?MPN

解:

问题九:四点共线问题 例题 9、设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 M ( 2,1) ,且着焦点为 F 1 (? 2,0) a 2 b2
??? ? ??? ? ???? ??? ?

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 A, B 时,在线段 AB 上取点 Q ,满足 AP ?QB ? AQ ?PB , 证明:点 Q 总在某定直线上

问题十:范围问题(本质是函数问题)

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点。 设 F1 、 F2 分别是椭圆 4
(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF 1 · PF 2 的最大值和最小值; (Ⅱ)设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且∠ AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的 斜率 k 的取值范围。
3

问题十一、存在性问题: (存在点,存在直线 y=kx+m,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角) ,四边形 (矩形、菱形、正方形) ,圆) 设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ?若存在,写出该 圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。 解:

??? ?

??? ?

4


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