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【数学】3.1.2《导数的几何意义》课


3.1.2《导数的几何意义》

由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求函数的增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 );

f ( x 0 ??x) ? f ( x0 ) ?y (2)求平均变化率 ? ; ?x ?x ?y (3)取极限,得导数f ?( x0 ) ? li

m . ?x ?0 ?x

下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δ x,y0+Δ y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角.则 : MP ? ?x , MQ ? ?y , ?y ? tan ? . ?x
?y 请问: 是割线PQ的什么? ?x
y y=f(x) Q

Δy P O
β

Δx

M x

斜 率!

请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况. y
y=f(x) Q

割 线 T 切线

P

?
x

o

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜 率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在 x=x0处的导数.
'

求切线方程的步骤: (1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想,丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。

例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 解 : k ? lim y ?x ? 0 Q ?x (1 ? ?x ) 2 ? 1 ? (1 ? 1) ? lim 2 ?x ? 0 ?x y = x +1 2?x ? ( ?x ) 2 ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), ?x 即y=2x.
1
j

?y

M

x

-1 O

1

1 3 8 y ? x 上一点P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.

(1)即点P处的切线的斜率等于4.
4 3

y

y?

1 3 x 3

P

(2)在点P处的切线方程是12x-3y-16=0.
-2 -1

2 1 O -1 -2 1 2 x

例.在函数 h(t )

? ?4.9t ? 6.5t ? 10 的
2
/

图像上,(1)用图形来体现导数 h (1) ? ?3.3 ,

h (0.5) ? 1.6 的几何意义.
/
h

O

0.5

1.0

t

(2)请描述,比较曲线分别在t 0 , t1 , t 2 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。 在

t 3 , t 4 附近呢?
h

O

t3

t4

t0

t1

t2

t

瞬时变化率(导数) =切线的斜率
导数为正,曲线递增 导数为负,曲线递减

增(减)快慢: 即导数的绝多值的大小 切线的倾斜程度 =切线斜率的绝对值大小 (陡峭程度)

f ?x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) f ?x0 ? ? lim ?x ?0 ?x
/

f ?x ? ?x ? ? f ( x) f ?x ? ? lim (函数的导函数) ?x ?0 ?x
/

在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
函数y ? f ( x)在点x0处的导数f ?( x0 ) 等于函数f ( x)的导(函)数f ?( x)在点x0处的 函数值.

弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数” 之间的区别与联系。 (1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个 常数,不是变数。 (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f ?(x ) 。 (3)函数f(x)在点x0处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?(x ) 在x=x0处的函数值,即 f ?( x0 ) ? f ?( x ) | x ? x 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
0

如何求函数y=f(x)的导数?
(1)求函数的增量?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ; ?x ?x

?y (3)求极限,得导函数y? ? f ?( x) ? lim . ?x ?0 ?x

看一个例子:
例4.已知y ? x,求y?.
?x x ? ?x ? x

解:?y ? x ? ?x ? x ?
?y ? ?x 1 x ? ?x ? x

?y 1 1 ? y? ? lim ? lim ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x


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