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3.2


高中数学必修5

一元二次不等式及其解法
安顺一中 龙灵

新课导入
两个网络服务公司(Internet Serice Provider)的资费标准: 电信:每小时收费1.5元 网通:用户上网的第一小时内收费1.7元,第二 小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元.(若用 户一次上网时间超过17小时,按17 <

不妨设该同学一次上网不超过17小时>

一次上网在多长时间以内能够保证选择电信 比选择网通所需费用少?

新课导入
分析:假设一次上网x小时, 则电信公司的收取费用为1.5x 根据题意知,网通收费1.7 ,1.6,1.5 ,1.4,……
∵1.7,1.6,1.5,1.4,…… 是以1.7为首项,以-0.1为公差的等差数列 ∴网通公司的收取费用为 1.7 x ?

x (35 ? x ) 如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少,则1.5 x ? 20
整理得

x( x ? 1) x(35 ? x) (?0.1) ? 2 20

x 2 ? 5x ? 0

这是什么?

新知讲解

一元二次不等式
象 x ? 5x ? 0 这样只含一个 未知数,并且未知数最高次数 为2的不等式。
2

探究新知

思考:
那么一元二次不等式 x ? 5 x ? 0 怎样 去求解呢?
2

探究新知
y
我们来考察它与其所对的二次 2 y ? x ? 5x 的关系: 函数
(1)当 x (2)当 x

?0 ?0



x ? 5 时,y ? 0 x ? 5 时,y ? 0
时,y

O

5

x



(3)当 0 ?

x?5

?0

下结论:
结合图像知不等式 x 2 ? 5 x ? 0 的解集

是 {x | 0 ? x ? 5}

推广:
2 ax ? bx ? c ? 0 那么对于一般的不等式

或 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)又怎样去寻求解集呢?

一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c (a>0)的图象 △>0

△=0
y x2 x x O x1 有两相等实根 b x1=x2= ? 2a {x|x≠
? b } 2a

△<0
y

y x1 O

ax2+bx+c=0 (a>0)的根

有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)

O 没有实根

x

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

R Φ

{x|x1< x <x2 }

Φ

例题讲解

例 1解下列关于 x 一元二次不等式:
2

(1)x ? x ? 6 ? 0 ( 2) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

(3) ? x ? 2 x ? 3 ? 0
2

解一元二次不等式的步骤:
? 化标准:将不等式化成标准形式(右边为0、 最高次的系数为正); ? 考虑判别式:计算判别式的值,若值为正, 则求出相应方程的两根; ? 下结论:注意结果要写成集合或者区间的 形式

课堂练习

解下列关于x的不等式 (1)x ? 4 x ? 9 ? 0
2

(2)3x ? 7 x ? 10
2

(3) ? x ? 2 x ? 3 ? 0
2

课堂小结

这节课我们学习了一元二次不等式的解法,同学们下去 可以多注意以下两点

? 1、三个二次的关系,注意结合图像; ? 2、将一元二次不等式化为标准形式;

作业:
课本80页习题3.2 A组第1、2题

例题讲解
例2、求函数 f ( x) ? 2 x 2 ? x ? 3 ? log 3 (3 ? 2 x ? x 2 ) 的定义域
?2 x 2 ? x ? 3 ? 0 ? 2 3 ? 2 x ? x ?0 ?

解:要使得函数有意义,则
3 ? ? x ? 1或x ? ? ? 2 即: ? ? ?1 ? x ? 3



, 也即 1 ? x ? 3

故函数 f ( x) 的定义域是 [1,3) 。

探究新知
y
我们来考察它与其所对的二次 2 y ? x ? 5x 的关系: 函数
(1)当 x (2)当 x
y>0,x轴 上方

?0 ?0



x ? 5 时,y ? 0 x ? 5 时,y ? 0
时,y

O



● 5

x
y=0,x 轴上



(3)当 0 ?

x?5

?0

y<0,x轴 下方


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