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第21届中国数学奥林匹克(CMO)答案——2006年

时间:2010-11-08


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2006 中国数学奥林匹克
(第二十一届全国中学生数学冬令营) 第一天
福州 1 月 12 日 上午 8∶00~12∶30 每题 21 分

一、 实数 a1 , a2 , ?, an 满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 ,求证:
2 max (ak ) ? 1? k ? n

n 3

? ?a ? a ?
i ?1 i i ?1

n ?1

2



证明

只需对任意 1 ? k ? n ,证明不等式成立即可.

记 dk ? ak ? ak ?1 , k ? 1, 2,?, n ?1 ,则

ak ? ak , ak ?1 ? ak ? dk , ak ?2 ? ak ? dk ? dk ?1 ,? , an ? ak ? dk ? dk ?1 ??? dn?1 , ak ?1 ? ak ? dk ?1, ak ?2 ? ak ? dk ?1 ? dk ?2 , ?, a1 ? ak ? dk ?1 ? dk ?2 ? ?? d1 ,
把上面这 n 个等式相加,并利用 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 可得

nak ? (n ? k )dk ? (n ? k ?1)dk ?1 ??? dn?1 ? (k ?1)dk ?1 ? (k ? 2)dk ?2 ? ?? d1 ? 0 .
由 Cauchy 不等式可得
(nak ) 2 ? ? (n ? k )d k ? (n ? k ? 1)d k ?1 ? ? ? d n ?1 ? (k ? 1)d k ?1 ? (k ? 2)d k ? 2 ? ? ? d1 ?
n?k ? k ?1 ?? n?1 ? ? ? ? i 2 ? ? i 2 ?? ? di2 ? i ?1 ? i ?1 ?? i ?1 ?
2

? n?1 ?? n?1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ? n?1 2 ? ? ? ? i 2 ?? ? di2 ? ? ? ? di ? 6 ? i ?1 ?? i ?1 ? ? i ?1 ? n3 ? n?1 2 ? ? ? ? di ? , 3 ? i ?1 ?
所以
2 ak ?

n 3

? ? a?
i ?1 i

n ?1

ai1 ? . ?
2

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二、正整数 a1 , a2 , ?, a2006 (可以有相同的)使得

a a1 a2 , , ?, 2005 两 a2 a3 a2006

两不相等.问: a1 , a2 , ?, a2006 中最少有多少个不同的数?
解 答案: a1 , a2 , ?, a2006 中最少有 46 个互不相同的数.

由于 45 个互不相同的正整数两两比值至多有 45×44+1=1981 个,故

a1 , a2 , ? , a2006中互不相同的数大于 45.
下面构造一个例子,说明 46 是可以取到的. 设 p1 , p2 , ?, p46 为 46 个互不相同的素数,构造 a1 , a2 , ?, a2006 如下:

p1 , p1 , p2 , p1, p3 , p2 , p3 , p1, p4 , p3 , p4 , p2 , p4 , p1,? , p1, pk , pk ?1, pk , pk ?2 , pk ,?, pk , p2 , pk , p1,? , p1 , p45 , p44 , p45 , p43 , p45 ,?, p45 , p2 , p45 , p1 , p46 , p45 , p46 , p44 , p46 ,?, p46 , p22 , p46 ,
这 2006 个正整数满足要求. 所以 a1 , a2 , ?, a2006 中最少有 46 个互不相同的数.

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2 三、正整数 m,n,k 满足: mn ? k ? k ? 3 ,证明不定方程

x2 ? 11y 2 ? 4m


x2 ? 11y 2 ? 4n
中至少有一个有奇数解 ( x , y) .
证明 首先我们证明如下一个 引理:不定方程

x2 ? 11y 2 ? 4m
或有奇数解 ( x0 , y0 ) ,或有满足



x0 ? (2k ? 1) y0 (mod m)
的偶数解 ( x0 , y0 ) ,其中 k 是整数. 引理的证明 考虑如下表示
m , 2



x ? (2k ? 1) y x, y为整数,且0 ? x ? 2 m , 0 ? y ?

?? m ? ? ? 1 ? m 个 表 示 , 因 此 存 在 整 数 x1 , x2 ? ?0, 2 m ? , 则 共 有 ?2 m ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ??

?

?

? m? y1 , y2 ? ?0, ? ,满足 ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ,且 2 ? ?

x1 ? (2k ? 1) y1 ? x2 ? (2k ? 1) y2 (mod m) ,
这表明

x ? (2k ? 1) y (mod m) ,
这里 x ? x1 ? x2 , y ? y2 ? y1 。由此可得



x2 ? (2k ? 1)2 y 2 ? ?11y 2 (mod m) ,
2 2 故 x ? 11y ? km ,因为 x ? 2 m , y ?

m ,所以 2

x 2 ? 11y 2 ? 4m ?

11 m ? 7m , 4

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于是 1 ? k ? 6 .因为 m 为奇数,x2 ? 11y 2 ? 2m ,x2 ? 11y 2 ? 6m 显然没有整数解. (1) 若 x2 ? 11y 2 ? m ,则 x0 ? 2 x, y0 ? 2 y 是方程①满足②的解. (2) 若 x2 ? 11y 2 ? 4m ,则 x0 ? x, y0 ? y 是方程①满足②的解. (3) 若 x2 ? 11y 2 ? 3m ,则 ? x ? 11 y ? ? 11? x ? y ? ? 32 ? 4m .
2 2

首先假设 3

m,若 x

0(mod 3), y
x0 ?

0(mod3) ,且 x

y (mod 3) ,则

x ? 11y x? y , y0 ? 3 3



是方程①满足②的解.若 x ? y

0(mod3) ,则
x ? 11y y?x , y0 ? 3 3

x0 ?



是方程①满足②的解. 现在假设 3 m ,则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解.若方程①有偶数解

x0 ? 2 x1 , y0 ? 2 y1 ,则

x12 ? 11y12 ? m ? 36m ? ? 5 x1 ? 11y1 ? ? 11? 5 y1 ? x1 ? .
2 2

因为 x1 , y1 的奇偶性不同,所以 5x1 ? 11y1 , 5y1 ? x1 都为奇数. 若 x ? y (mod 3) ,则 x0 ? 若 x1
5 x1 ? 11y1 5y ? x , y0 ? 1 1 是方程①的一奇数解. 3 3 5 x ? 11y1 5y ? x , y0 ? 1 1 是方程①的一奇数解. y1 (mod3) ,则 x0 ? 1 3 3
2 2

(4) x2 ? 11y 2 ? 5m ,则 52 ? 4m ? ? 3 x ? 11y ? ? 11? 3 y ? x ? . 当5 则
x0 ? 3 x ? 11 y 3y ? x , y0 ? 5 5

2 () ,5 o d m 时, x ? ?1(mod 5), y ? ?2(mod 5) , x ? ?m 若 或

m 1 () o d 5

y??





是方程①满足②的解. 若 x ? ?1(mod 5), y ? ?2(mod 5) ,或 x ? ?2(mod 5), y ? ?1(mod 5) ,则
x0 ? 3 x ? 11 y 3y ? x , y0 ? 5 5



是方程①满足②的解.

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当 5 m ,则公式 ⑥ 和⑦仍 然给出方程① 的整数 解.若方程① 有偶数 解

x0 ? 2 x1 , y0 ? 2 y1 ,则

x12 ? 11y12 ? m,
可得 若

x1
2

, y1 ( m o d 2 )
2

100m ? ? x1 ? 33 y1 ? ? 11? y1 ? 3x1 ? .
x1 ? y1 ? 0(mod5) ,或者 x1 ? ?1(mod5), y1 ? ?2(mod5) ,或者
x1 ? 33 y1 y ? 3x 1 , y0 ? 1 是方程①的一奇数 5 5

x1 ? ?2(mod5), y1 ? ?1(mod5) ,则 x0 ?
解.

若 x1 ? ?1(mod5), y1 ? ?2(mod5) ,或 x1 ? ?2(mod5), y1 ? ?1(mod5) ,则
x0 ? x1 ? 33 y1 y ? 33x1 , y0 ? 1 5 5

是方程①的一奇数解. 引理证毕. 由引理,若方程①没有奇数解,则它有一个满足②的偶数解 ( x0 , y0 ) .令
l ? 2k ? 1,考虑二次方程
2 mx2 ? ly0 x ? ny0 ?1 ? 0 ,
2 2 ?ly0 ? l 2 y 0 ? 4mny 0? 4m ?ly0 ? x0 , ? 2m 2m





x?

这表明方程⑧至少有一个整数根 x1 ,即
2 mx12 ? ly0 x1 ? ny0 ?1 ? 0 ,



上式表明 x1 必为奇数.将⑨乘以 4n 后配方得

? 2ny0 ? lx1 ?

2

? 11x12 ? 4n ,

2 2 这表明方程 x ? 11y ? 4n 有奇数解 x ? 2ny0 ? lx1 , y ? x1 .

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2006 中国数学奥林匹克
(第二十一届全国中学生数学冬令营) 第二天
福州 1 月 13 日 上午 8∶00~12∶30 每题 21 分 四、在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? ,△ABC 的内切圆 O 分

别与边 BC,CA, AB 相切于点 D,E,F,连接 AD,与内切圆 O 相 交于点 P,连接 BP,CP,若 ?BPC ? 90? ,求证: AE ? AP ? PD .
证明 设 AE = AF = x,BD=BF=y,CD=CE=z,AP=m,PD=n. 因为 ?ACP ? ?PCB ? 90? ? ?PBC ? ?PCB ,所以 ?ACP ? ?PBC .
A P E C B F

D

Q

延长 AD 至 Q,使得 ?AQC ? ?ACP ? ?PBC ,连接 BQ,CQ,则 P,B,Q, C 四点共圆,令 DQ=l,则由相交弦定理和切割线定理可得
yz ? nl ,

① ②

x2 ? m(m ? n) .
因为 ?ACP ∽ ?AQC ,所以
AC AP ? ,故 AQ AC

( x ? z)2 ? m(m ? n ? l ) .
在 Rt △ACD 和 Rt △ACB 中,由勾股定理得



( x ? z)2 ? z 2 ? (m ? n)2 , ( y ? z)2 ? ( z ? x)2 ? ( x ? y)2 .

④ ⑤

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③-②,得 ①÷⑥,得 所以 ②×⑦,结合④,得

z 2 ? 2 zx ? ml ,
yz n ? , z ? 2 zx m yz m?n 1? 2 ? , z ? 2 zx m
2





x2 ?

x 2 yz ? ( m ? n) 2 ? ( x ? z ) 2 ? z 2 , z 2 ? 2 zx

整理得

x2 y ? 2z( x ? z) . z ? 2x



又⑤式可写为

x?z ?

2xy , y?z



由⑧,⑨得 又⑤式还可写为 把上式代入⑩,消去 y ? z ,得

x 4z ? . z ? 2x y ? z
y?z ? 2xz , x?z

⑩ 11 ○

3x 2 ? 2 xz ? 2 z 2 ? 0 ,

解得 代入○得, 11 将上面的 x,y 代入④,得

x?

7 ?1 z, 3

y ? (2 7 ? 5) z ,

m?n ?

2( 7 ? 1) z, 3

结合②,得

m?

x2 7 ?1 ? z, m?n 6 7 ?1 z, 2

从而

n?

所以, x ? m ? n ,即 AE ? AP ? PD .

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五、实数列 ?an ? 满足: a1 ?
ak ?1 ? ?ak ?

1 , 2

1 , k ? 1, 2, ? . 2 ? ak

证明不等式
n n ? ? ? ? ?1 n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? 1 ?? 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? 1?? ? 1??? ? 1? . n ? ? ? a1 ?? a2 ? ? an ? ? 2(a1 ? a2 ? ? ? an ) ?
证明 首先,用数学归纳法证明: 0 ? a n ?
1 , n ? 1, 2, ? . 2

n ? 1 时,命题显然成立.

假设命题对 n(n ? 1) 成立,即有 0 ? a n ? 设 f ( x) ? ? x ?

1 . 2

1 ? 1? , x ? ?0, ? ,则 f ( x) 是减函数,于是 2? x ? 2?
a n ?1 ? f (a n ) ? f (0) ? 1 , 2

1 1 an ?1 ? f (an ) ? f ( ) ? ? 0 , 2 6

即命题对 n+1 也成立. 原命题等价于
? ? n ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ?
n

? ? ?1 ? ?? 1 ? ? 1 n ? 1? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? . ? ? 2 ? a ? a ? ? ? a ? ? ? a1 ? ? a2 ? ? an ? 1 2 n ? ?

n

1 ?1 ? ? 1? 设 f ( x) ? ln ? ? 1? , x ? ? 0, ? ,则 f ( x) 是凸函数,即对 0 ? x1 , x2 ? ,有 2 ?x ? ? 2?

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? . f ? 1 2 ?? 2 ? 2 ? ? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 事实上, f ? 1 2 ? ? 等价于 2 ? 2 ?
? 2 ? ?1 ?? 1 ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? 1? , ? ? x1 ? x2 ? ? x1 ? ? x2 ?
?
2

? x1 ? x2 ?

2

? 0.

所以,由 Jenson 不等式可得

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? x ? x ? ? ? xn ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? f ? xn ? , f? 1 2 ?? n n ? ?

n ? ? ?1 ?? 1 n ? 1? ? ? ? 1 ? ?? ? a1 ? a 2? ? ? an ? a 1 ?? a 2 ? ? 另一方面,由题设及 Cauchy 不等式,可得 ? ? 1 1?? ? ? ? ? an ? ?1. ?

? ?1 ? ai ? ? ?
i ?1 i ?1

n

n

1 ?n ai ? ai ?1
n2 ?n ? ) n2 an ?1 ? a1 ? 2 ? ai
i ?1 n

?

? (a ? a
i ?1 i

n

?n

i ?1

? ? ? n ? n ? n ? n ? n? n ? 1? , ?2 a ? 2 ? ai ? ? i ? i ?1 ? i ?1 ?
2

所以

? ( 1? a
i ?1

n

i

?a
i ?1

n

) ?

i

? ? ? n ? n ? ? 1? , n n a i? 2 ?a i ? ?1 ? ?i 1 ? ? i ? ?
n n



? ? n ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ?

n

? ? ? (1 ? a1 ) ? (1 ? a2 ) ? ? ? (1 ? an ) ? n ? ? ? 2 ? a ? a ? ? ? a ? ? 1? ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an 1 2 n ? ? ? ?

? ? 1 ?? 1 ? ?1 ? ? ? 1?? ? 1??? ? 1? , ? a1 ?? a2 ? ? an ?
从而原命题得证.

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六、设 X 是一个 56 元集合.求最小的正整数 n,使得对 X 的任意 15 个子集,只要它们中任何 7 个的并的元素个数都不少于 n,则这 15 个子集中一定存在 3 个,它们的交非空.
解 n 的最小值为 41. 首先证明 n ? 41 合乎条件.用反证法.假定存在 X 的 15 个子集,它们中任 何 7 个的并不少于 41 个元素,而任何 3 个的交都为空集.因每个元素至多属于 2 个子集, 不妨设每个元素恰好属于 2 个子集 (否则在一些子集中添加一些元素,
? 2 ? 56 ? 上述条件仍然成立) ,由抽屉原理,必有一个子集,设为 A,至少含有 ? ?1 ? 15 ? ?

=8 个元素,又设其它 14 个子集为 A1 , A2 , ?, A14 .考察不含 A 的任何 7 个子集,
7 都对应 X 中的 41 个元素, 所有不含 A 的 7-子集组一共至少对应 41C14 个元素. 另

一方面,对于元素 a,若 a ? A ,则 A1 , A2 , ?, A14 中有 2 个含有 a,于是 a 被计算
7 7 了 C14 ? C12 次; a ? A , A1 , 2 , ?1 若 则 A ,A 4 7 7 中有一个含有 a, 于是 a 被计算了 C14 ? C13

次,于是
7 7 7 7 7 41C14 ? (56 ? A )(C14 ? C12 ) ? A (C14 ? C13 ) 7 7 7 7 ? 56(C14 ? C12 ) ? A (C13 ? C12 )
7 7 7 7 ? 56(C14 ? C12 ) ? 8(C13 ? C12 ) ,

由此可得 196 ? 195 ,矛盾. 其次证明 n ? 41 . 用反证法.假定 n ? 40 ,设 X ? ?1, 2, ?, 56? ,令

A i ? ?i, i ? 7, i ?14, i ? 21, i ? 28, i ? 35, i ? 42, i ? 49?, i ? 1, 2,?,7 , Bj ? ? j, j ? 8, j ?16, j ? 24, j ? 32, j ? 40, j ? 48?, j ? 1, 2,?,8 .
? ? 显然, Ai ? 8(i ? 1, 2, , 7), Ai ? Aj ? 0(1 i ? j ? 7) B j ? 7( j ? 1, 2,? ,8) , , Bi ? B j ? 0(1 ? i ? j ? 8) , Ai ? B j ? 1(1 ? i ? 7,1 ? j ? 8) ,于是,对其中任何 3 个

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子集,必有 2 个同时为 Ai ,或者同时为 B j ,其交为空集. 对其中任何 7 个子集 Ai1 , Ai2 ,?, Ais , Bj1 , Bj2 ,?, Bjt (s ? t ? 7) ,有
Ai1 ? Ai2 ??? Ais ? B j1 ? B j2 ??? B jt ? Ai1 ? Ai2 ? ? ? Ais ? B j1 ? B j2 ? ? ? B jt ? st

? 8s ? 7t ? st ? 8s ? 7(7 ? s) ? s(7 ? s)

? (s ? 3)2 ? 40 ? 40 ,
任何 3 个子集的交为空集,所以 n ? 41 . 综上所述,n 的最小值为 41.


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