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山东省胶州一中2015届高三上学期12月第二次质量检测数学(理)试题


山东省胶州一中 2015 届高三上学期 12 月第二次质量 检测数学(理)试题
一、选择题 1.若集合 A ? { y | y ? x ,?1 ? x ? 1} , B ? {x y ? 1 ? x} ,则 A B ? A. ?? ?,1? B. [ ?1,1] C. ? D.{ 1 }
1 3

2. 已知直线 l ⊥平面 ? ,直线 m

? 平面 ? ,下面有三个命题: ① ? ∥ ? ? l ⊥ m ;② ? ⊥ ? ? l ∥ m ;③ l ∥ m ? ? ⊥ ? ; 则真命题的个数 为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

3. 已知等差数列 ?an ? 的公差为 d ? d ? 0? ,且 a3 ? a6 ? a10 ? a13 ? 32 ,若 am ? 8 , 则 m 为( ) A. 12 B. 8 C. 6 D. 4

4.如右图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图 都是边长为 2 的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是( A. 4 3 3 B. 4 2 3 C. 3 6
2 2



主视图

左视图

D. 8 3
俯视图

5.若直线 (a ? 1) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为( A.1 或﹣1 B.2 或﹣2 C.1 D.﹣1



b 夹角为 60 ,且 | a |? 3 , | b |? 2 ,若 (3a ? mb) ? a ,则实数 m 的 6.已知向量 a 、
值是( A.9 ) B.﹣9 C.10 D.﹣10

7.将奇函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )(? ? 0,?

?

2 到的图象关于原点对称,则 ? 的值可以为( A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

?? ?

?

2 )

) 的图象向左平移

? 个单位得 6

1 8.若函数 f ( x) ? loga ( x3 ? ax)(0 ? a ? 1) 在区间 (? , 0) 内单调递增,则 a 的取值范 2 围是( )
1

1 A. [ ,1) 4

3 B. [ ,1) 4

9 C. [ , ??) 4

9 D. (1, ) 4

9. 直线 4kx ? 4 y ? k ? 0 与抛物线 y 2 ? x 交于 A, B 两点,若 AB ? 4 ,则弦 AB 的 中点到直线 x ? A.
9 4
1 ? 0 的距离为( 2 7 B. C.2 4

) D.4

10. 设 f ? x ? ? ln x ,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? ax 在区间 ? 0,3? 上有三个零点,则实数 a 的取值范围是(
? 1? A. ? 0, ? ? e?


? ln 3 ? C. ? 0, ? 3 ? ? ? ln 3 ? D. ? ,e? ? 3 ?

? ln 3 1 ? B. ? , ? ? 3 e?

二、填空题 11. 已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线为 y ? ?2 x ,则次双曲线的离心率为 _______
?x ? y ? 3 y ?1 ? 12. 设变量 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? 的最小值为 x ?2 x ? y ? 3 ?

13.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? tan A ,当 A ?

时, ?ABC 的面积为_____ 6 14 . 已 知 正 项 等 比 数 列 {an } 满 足 a8 ? a7 ? 2a6 , 若 存 在 两 项 am , an 使 得 1 9 am an ? 2a1 ,则 ? 的最小值为___________ m n 15.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f (1 ? x) ? ? f (1 ? x) ,当 x ? (2,3) 时,

?

f ( x) ? log 2 ( x ?1) ,则以下结论中正确的是______
① f ( x) 图像关于点 (k , 0)(k ? Z ) 对称;② y ? f ( x) 是以 2 为周期的周期函数 ③当 x ? (?1, 0) 时 f ( x) ? ? log2 (1 ? x) ④ y ? f ( x ) 在 (k , k ? 1)(k ? Z ) 内单调递增 三、解答题
AD ? 1, CD ? 2 , 16. 如图 5, 在平面四边形 ABCD 中, AC ? 7 . (1) 求 cos ?CAD 的值;

(2) 若 cos?BAD ? ?

7 21 , sin ?CBA ? ,求 BC 的长. 14 6

2

17. 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD ? A1B1C1D1 中 , 侧 面 ADD1 A1 ⊥ 底 面 ABCD ,

D1 A ? D1D ? 2 , 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 , 其 中 BC ∥ AD , AB ? AD ,
AD ? 2 AB ? 2 BC ? 2 , O 为 AD 中点.

(1)求证: AO 1 ∥平面 AB 1C ; (2)求锐二面角 A ? C1D1 ? C 的余弦值.
B1 A1 C1 A O D B C D1

18.小王大学毕业后,决定利用所学专业知识进行自主创业,经过市场调查, 生产某小型电子产品需投入年固定成本为 3 万元,每生产 x 万件,需另投入流动 1 成本 W ( x ) 万元。在年产量不足 8 万件时, W ( x ) ? x 2 ? x (万元) ;在年产量不 3 100 ? 38 (万元) 小于 8 万件时, W ( x) ? 6 x ? ,每件产品售价为 5 元,通过市场 x 分析,小王生产的商品当年能全部售完。 (1)写出年利润 L( x) (万元)关于年产量 x 万件的函数解析式(注:年利 润=年销售收入-固定成本-流动成本) (2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大 利润是多少?

19.已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) (I)证明数列 (Ⅱ)设 bn ?

? S ? 是等差数列,并求数列 ?a ? 的通项公式;
n

n

2 an ?1 ? 3 ,数列 ?bn ? 的前项 n 和为 Tn ,求证: Tn ? n ? 1 2 an ?1 ? 1

3

2 x 20.已知函数 f ? x ? ? ax ? x e 其中 e 是自然数的底数, a ? R .

?

?

(I)当 a ? 0 时,解不等式 f ? x ? ? 0 ; (II)若 f ? x ? 在? ?11 , ? 上是单调增函数,求 a 的取值范围; (III)当 a ? 0 ,求使方程 f ? x ? ? x ? 2在?k , k ?1? 上有解的所有整数 k 的值.

x2 y 2 21.设椭圆 C: 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的一个顶点与抛物线: x2 ? 4 2 y 的焦点重合, a b

F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,离心率 e ? 圆 C 交于 M、N 两点. (I)求椭圆 C 的方程;

3 ,过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭 3

(Ⅱ)是否存在直线 l ,使得 OM ? ON ? ?1 ,若存在,求出直线 l 的方程;若不 存在,说明理由; (Ⅲ)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,MN∥AB,求

3 | AB |2 的值 | MN |

4

胶州一中高三阶段性检测数学答案(理)
1-5:BCBAD 6-10:BDBAB 1 11. 5 12.1 13. 14.4 6

15.①②③
AC 2 ? AD 2 ? CD 2 . 2 AC ? AD

16. 解: (1)在 ?ADC 中,则余弦定理,得 cos?CAD ?

2 7 .…………4 分 7 2 7 (2)设 ?BAC ? ? ,则 ? ? ?BAD ? ?CAD 2 7 7 因为 cos?CAD ? , cos?BAD ? ? ,所以 7 14
由题设知, cos?CAD ?

7 ?1? 4

?

sin ?CAD ? 1 ? cos2 ?CAD ? 1 ? (
sin ?BAD ? 1 ? cos2 ?BAD ? 1 ? (?

2 7 2 21 ) ? 7 7

7 2 3 21 . ) ? 14 14 于是 sin ? ? sin(?BAD ? ?CAD) ? sin ?BADcos?CAD ? cos?BADsin ?CAD

3 21 2 7 7 21 3 .…………10 分 ? ? (? )? ? 14 7 14 7 2 BC AC ? 在 ?ABC 中,由正弦定理, , sin ? sin ?CBA 3 7? AC ? sin ? 2 ? 3 …………12 分 ? 故 BC ? sin ?CBA 21 6 ?

OC ? AB ? A1 B1 ,且 17.(1)证明:如图,连接 CO , AC ,则四边形 ABCO 为正方形,所以 OC // AB // A1 B1 ,………2 分
故四边形 又
z A1 B1 C1 A O C x D y D1

A1 B1CO 为平行四边形,所以 A1O // B1C .

A1O ? 平面 AB1C , B1C ? 平面 AB1C , A1O // 平面 AB1C .
……………5 分
B

所以

(2)因为

D1 A ? D1 D , O 为 AD 的中点,所以 D1O ? AD ,又侧面 ADD1 A1 ⊥ 底面 ABCD , D1O ⊥ 底面 ABCD 。
5

交线为 AD ,故

…………6 分

以 O 为原点,所 则

OC , OD , OD1 在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的坐标系,
, ,

C ?1, 0, 0 ? , D ? 0,1, 0 ? , D1 ? 0, 0,1? , A ? 0, ?1, 0 ?

? DC ?1, ?1, 0 ? , DD1 ? 0, ?1,1? , D1 A ? 0, ?1, ?1? , D1C1 ? DC ? ?1, ?1, 0 ?

? x? y ?0 ? m ? ? x, y , z ? CDD1C1 的一个法向量,由 m ? DC , m ? DD1 ,得 ?? y ? z ? 0 , 设 为平面

y ? 1, x ? 1 , ? m ? ?1,1,1? 令 z ? 1 ,则 .
又设

n ? ? x1 , y1 , z1 ?

为平面

AC1 D1 的 一 个 法 向 量 , 由 n ? D1 A , n ? D1C1 , 得

?? y1 ? z1 ? 0 ? ? x1 ? y1 ? 0 ,令 z1 ? 1 ,则 y1 ? ?1, x1 ? ?1 , ? n ? ? ?1, ?1,1? ,
cos ? m, n ??


…………10 分

?1 ? 1 ? 1 1 ?? 3, 3? 3

1 故所求锐二面角 A ? C1 D1 ? C 的余弦值为 3 .

…………12 分

18.解: (1)因为每件商品售价为 5 元,则 x 万件商品销售收入为 5 x 万元,依题意得

1 1 2 x ? 4 x ? 3 …………2 分 3 3 100 100 ? 38) ? 3 ? 35 ? ( x ? ) …………4 分 当 x ? 8 时, L( x) ? 5 x ? (6 x ? x x
2 当 0 ? x ? 8 时, L( x) ? 5 x ? ( x ? x) ? 3 ? ?

? 1 2 ? x ? 4 x ? 3, 0 ? x ? 8 ? ? 3 所以 L( x) ? ? …………6 分 100 ? 35 ? ( x ? ), x ? 8 ? x ?
2 (2)当 0 ? x ? 8 时, L( x) ? ? ( x ? 6) ? 9 此时,

1 3

当 x ? 6 时 L( x)max ? 9 …………8 分 当 x ? 8 时, L( x) ? 35 ? ( x ? 当且仅当 x ?

100 100 ) ? 35 ? 2 x ? ? 15 x x

100 即 x ? 10 时等号成立,即当 x ? 10 时 L( x)max ? 15 ……10 分 x

综上,当年产量为 10 万件时小王在这一商品的生产中所获利润最大为 15 万元…12 分 19.解: (1)由 an ?

Sn ? Sn?1 (n ? 2) 得 Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1
6

又 Sn ? Sn?1 ? 0 ,于是 Sn ? Sn?1 ? 1(n ? 2) 所以数列

? S ? 是首项为
n

S1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列

? Sn ? n ,即 Sn ? n2 …………3 分
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ?1)2 ? 2n ?1 当 n ? 1 时 an ? 1 也符合上式,因此 an ? 2n ? 1…………6 分 (2) bn ?

(2n ? 1)2 ? 3 4n2 ? 4n ? 4 1 1 1 ? ? 1? ? 1? ( ? ) …………8 分 2 2 (2n ? 1) ? 1 4n ? 4n n(n ? 1) n n ?1
1 2 1 1 2 3 1 1 1 ?1? ( ? ) ? n ?1? …………10 分 n n ?1 n ?1

所以 Tn ? 1 ? (1 ? ) ? 1 ? ( ? ) ? 因为

1 ? 0 ,所以 Tn ? n ? 1…………12 分 n ?1
x
2

20 解: (1)因为 e ? 0 ,所以 f ? x ? ? 0 即 ax ? x ? 0 又因为 a ? 0 ,所以不等式可化为 x ( x ?

1 )?0 a

所以不等式的解集为 (0, ? ) …………3 分 (2) f ?( x) ? [ax ? (2a ? 1) x ? 1]e
2 x

1 a

x ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? ( x ? 1)e ? 0 在 [?1,1] 上恒成立,当且仅当 x ? ?1 时取等号,

故 a ? 0 符合题意…………5 分
2 2 2 ②当 a ? 0 时,令 g ( x) ? ax ? (2a ? 1) x ? 1, ? ? (2a ? 1) ? 4a ? 4a ? 1 ? 0

所以 g ( x) ? 0 有两个不等的实根 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2 因此 f ( x ) 既有极大值也有极小值 若 a ? 0 因为 g (?1) g (0) ? ?a ? 0 ,所以 f ( x ) 在 [?1,1] 内有极值点 故 f ( x ) 在 [?1,1] 上不单调………………7 分 若 a ? 0 , g ( x) 开口向下且 g (0) ? 1 ? 0 可知 x1 ? 0 ? x2 若 f ( x ) 在 [?1,1] 上单调递增,则

? g (?1) ? 0 ?3a ? 2 ? 0 2 即? ,所以 ? ? a ? 0 , ? 3 ? g (1) ? 0 ? ?a ? 0
7

综上可知,实数 a 的取值范围为 [? , 0] ………………9 分
x x (3)当 a ? 0 时,方程即为 xe ? x ? 2 ,由于 e ? 0 ,所以 x ? 0 不是方程的解

2 3

所以原方程等价于 e ?
x

2 2 ? 1 ? 0 ,令 h( x) ? e x ? ? 1 x x

2 ? 0 对任意 x ? (??,0) (0, ??) 恒成立 x2 2 x 所以 h( x ) ? e ? ? 1 在 (??,0),(0, ??) 内是单调递增函数…………11 分 x 1 2 ?3 ?2 又 h(1) ? e ? 3 ? 0, h(2) ? e ? 2 ? 0, h(?3) ? e ? ? 0, h(?2) ? e ? 0 3
因为 h?( x) ? e ?
x

所以方程 f ? x ? ? x ? 2 有且只有两个实根,且分别在区间 [1, 2],[?3, ?2] 上 所以整数 k 的所有取值为 {?3,1} …………13 分 21.解: (1)椭圆的顶点为 (0, 2) 即 b ?

2

e?

x2 y2 c b2 3 ? ? 1 ……2 分 解得 a ? 3 ,故椭圆方程为 ? 1? 2 ? 3 2 a a 3

(2)由题知直线 l 比与椭圆相交 当直线 l 斜率不存在时,经检验不合题意……3 分 设直线 l 为 y ? k( x ? 1), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

? x2 y2 ?1 ? ? 由? 3 ? (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 2 ? y ? k ( x ? 1) ?
6k 2 3k 2 ? 6 ? x1 ? x2 ? ,x ?x ? ……5 分 2 ? 3k 2 1 2 2 ? 3 k 2 y1 y2 ? k 2 ( x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1) ? ?4k 2 2 ? 3k 2

? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ?

?k 2 ? 6 ? ?1 2 ? 3k 2

解得 k ? ? 2 ,故直线 l 的方程为 y ? ? 2( x ? 1) ……9 分 (3)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ),( A x3 , y3 ), B( x4 , y4 )

8

3 AB 4 ?6 当 l 不存在斜率时,可求得 MN ? , AB ? 2 2 ,? MN 3
由(2)可得: 当 l 存在斜率时 MN = (x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? k
2 2 2

2

x1 ? x2

=( 1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 6k 2 2 3k 2 ? 6 4 3( k 2 ? 1) ? (1 ? k )[( ) ? 4( ) ? 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
2

……11 分

? x2 y2 6 ?1 ? ? 2 由? 3 得x ? 2 2 ? 3k 2 ? y ? kx ?

AB = 1 ? k 2 x3 ? x4 ? 2

6(1 ? k 2 ) ……13 分 2 ? 3k 2

24 3 ( 1? k2) 3 AB 2 ? 3k 2 ? ? ?6 MN 4 3( k 2 ? 1) 2 ? 3k 2
2

3 AB ? 6 ……14 分 综上? MN

2

胶州一中高三阶段性检测数学答案(理)
1-5:BCBAD 6-10:BDBAB 1 11. 5 12.1 13. 14.4 6

15.①②③
AC 2 ? AD 2 ? CD 2 . 2 AC ? AD

16. 解: (1)在 ?ADC 中,则余弦定理,得 cos?CAD ?

2 7 .…………4 分 7 2 7 (2)设 ?BAC ? ? ,则 ? ? ?BAD ? ?CAD 2 7 7 因为 cos?CAD ? , cos?BAD ? ? ,所以 7 14
由题设知, cos?CAD ?

7 ?1? 4

?

9

sin ?CAD ? 1 ? cos2 ?CAD ? 1 ? (
sin ?BAD ? 1 ? cos2 ?BAD ? 1 ? (?

2 7 2 21 ) ? 7 7

7 2 3 21 . ) ? 14 14 于是 sin ? ? sin(?BAD ? ?CAD) ? sin ?BADcos?CAD ? cos?BADsin ?CAD

3 21 2 7 7 21 3 .…………10 分 ? ? (? )? ? 14 7 14 7 2 BC AC ? 在 ?ABC 中,由正弦定理, , sin ? sin ?CBA 3 7? AC ? sin ? 2 ? 3 …………12 分 ? 故 BC ? sin ?CBA 21 6 ?

OC ? AB ? A1 B1 ,且 17.(1)证明:如图,连接 CO , AC ,则四边形 ABCO 为正方形,所以 OC // AB // A1 B1 ,………2 分
故四边形 又
z A1 B1 C1 A O C x D y D1

A1 B1CO 为平行四边形,所以 A1O // B1C .

A1O ? 平面 AB1C , B1C ? 平面 AB1C , A1O // 平面 AB1C .
……………5 分
B

所以

(2)因为

D1 A ? D1 D , O 为 AD 的中点,所以 D1O ? AD ,又侧面 ADD1 A1 ⊥底面 ABCD , D1O ⊥底面 ABCD 。
…………6 分

交线为 AD ,故 以 O 为原点,所 则

OC , OD , OD1 在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的坐标系,
, ,

C ?1, 0, 0 ? , D ? 0,1, 0 ? , D1 ? 0, 0,1? , A ? 0, ?1, 0 ?

? DC ?1, ?1, 0 ? , DD1 ? 0, ?1,1? , D1 A ? 0, ?1, ?1? , D1C1 ? DC ? ?1, ?1, 0 ?

? x? y ?0 ? m ? ? x, y , z ? CDD1C1 的一个法向量,由 m ? DC , m ? DD1 ,得 ?? y ? z ? 0 , 设 为平面

y ? 1, x ? 1 , ? m ? ?1,1,1? 令 z ? 1 ,则 .
又设

n ? ? x1 , y1 , z1 ?

为平面

AC1 D1 的 一 个 法 向 量 , 由 n ? D1 A , n ? D1C1 , 得

?? y1 ? z1 ? 0 ? ? x1 ? y1 ? 0 ,令 z1 ? 1 ,则 y1 ? ?1, x1 ? ?1 , ? n ? ? ?1, ?1,1? ,
10

…………10 分

cos ? m, n ??


?1 ? 1 ? 1 1 ?? 3, 3? 3

1 A ? C D ? C 1 1 故所求锐二面角 的余弦值为 3 .

…………12 分

18.解: (1)因为每件商品售价为 5 元,则 x 万件商品销售收入为 5 x 万元,依题意得

1 1 2 x ? 4 x ? 3 …………2 分 3 3 100 100 ? 38) ? 3 ? 35 ? ( x ? ) …………4 分 当 x ? 8 时, L( x) ? 5 x ? (6 x ? x x
2 当 0 ? x ? 8 时, L( x) ? 5 x ? ( x ? x) ? 3 ? ?

? 1 2 ? x ? 4 x ? 3, 0 ? x ? 8 ? ? 3 所以 L( x) ? ? …………6 分 ? 35 ? ( x ? 100 ), x ? 8 ? x ?
2 (2)当 0 ? x ? 8 时, L( x) ? ? ( x ? 6) ? 9 此时,

1 3

当 x ? 6 时 L( x)max ? 9 …………8 分 当 x ? 8 时, L( x) ? 35 ? ( x ? 当且仅当 x ?

100 100 ) ? 35 ? 2 x ? ? 15 x x

100 即 x ? 10 时等号成立,即当 x ? 10 时 L( x)max ? 15 ……10 分 x

综上,当年产量为 10 万件时小王在这一商品的生产中所获利润最大为 15 万元…12 分 19.解: (1)由 an ?

Sn ? Sn?1 (n ? 2) 得 Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

又 Sn ? Sn?1 ? 0 ,于是 Sn ? Sn?1 ? 1(n ? 2) 所以数列

? S ? 是首项为
n

S1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列

? Sn ? n ,即 Sn ? n2 …………3 分
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ?1)2 ? 2n ?1 当 n ? 1 时 an ? 1 也符合上式,因此 an ? 2n ? 1…………6 分 (2) bn ?

(2n ? 1)2 ? 3 4n2 ? 4n ? 4 1 1 1 ? ? 1? ? 1? ( ? ) …………8 分 2 2 (2n ? 1) ? 1 4n ? 4n n(n ? 1) n n ?1
1 2 1 1 2 3 1 1 1 ?1? ( ? ) ? n ?1? …………10 分 n n ?1 n ?1

所以 Tn ? 1 ? (1 ? ) ? 1 ? ( ? ) ?

11

因为

1 ? 0 ,所以 Tn ? n ? 1…………12 分 n ?1
x
2

20 解: (1)因为 e ? 0 ,所以 f ? x ? ? 0 即 ax ? x ? 0 又因为 a ? 0 ,所以不等式可化为 x ( x ?

1 )?0 a

所以不等式的解集为 (0, ? ) …………3 分 (2) f ?( x) ? [ax2 ? (2a ? 1) x ? 1]ex ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? ( x ? 1)ex ? 0 在 [?1,1] 上恒成立,当且仅当 x ? ?1 时取等号, 故 a ? 0 符合题意…………5 分 ②当 a ? 0 时,令 g ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? 1, ? ? (2a ? 1)2 ? 4a ? 4a2 ? 1 ? 0 所以 g ( x) ? 0 有两个不等的实根 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2 因此 f ( x ) 既有极大值也有极小值 若 a ? 0 因为 g (?1) g (0) ? ?a ? 0 ,所以 f ( x ) 在 [?1,1] 内有极值点 故 f ( x ) 在 [?1,1] 上不单调………………7 分 若 a ? 0 , g ( x) 开口向下且 g (0) ? 1 ? 0 可知 x1 ? 0 ? x2 若 f ( x ) 在 [?1,1] 上单调递增,则

1 a

? g (?1) ? 0 ?3a ? 2 ? 0 2 即? ,所以 ? ? a ? 0 , ? 3 ? g (1) ? 0 ? ?a ? 0
综上可知,实数 a 的取值范围为 [? , 0] ………………9 分
x x (3)当 a ? 0 时,方程即为 xe ? x ? 2 ,由于 e ? 0 ,所以 x ? 0 不是方程的解

2 3

所以原方程等价于 e ?
x

2 2 ? 1 ? 0 ,令 h( x) ? e x ? ? 1 x x

2 ? 0 对任意 x ? (??,0) (0, ??) 恒成立 x2 2 x 所以 h( x ) ? e ? ? 1 在 (??,0),(0, ??) 内是单调递增函数…………11 分 x 1 2 ?3 ?2 又 h(1) ? e ? 3 ? 0, h(2) ? e ? 2 ? 0, h(?3) ? e ? ? 0, h(?2) ? e ? 0 3
因为 h?( x) ? e ?
x

所以方程 f ? x ? ? x ? 2 有且只有两个实根,且分别在区间 [1, 2],[?3, ?2] 上
12

所以整数 k 的所有取值为 {?3,1} …………13 分 21.解: (1)椭圆的顶点为 (0, 2) 即 b ?

2

e?

x2 y2 c b2 3 ? ? 1 ……2 分 解得 a ? 3 ,故椭圆方程为 ? 1? 2 ? 3 2 a a 3

(2)由题知直线 l 比与椭圆相交 当直线 l 斜率不存在时,经检验不合题意……3 分 设直线 l 为 y ? k( x ? 1), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

? x2 y2 ?1 ? ? 由? 3 ? (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 2 ? y ? k ( x ? 1) ?
? x1 ? x2 ? 6k 2 3k 2 ? 6 , x ? x ? ……5 分 2 ? 3k 2 1 2 2 ? 3 k 2

?4k 2 y1 y2 ? k ( x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1) ? 2 ? 3k 2
2

? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ?

?k 2 ? 6 ? ?1 2 ? 3k 2

解得 k ? ? 2 ,故直线 l 的方程为 y ? ? 2( x ? 1) ……9 分 (3)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ),( A x3 , y3 ), B( x4 , y4 ) 当 l 不存在斜率时,可求得 MN ? 由(2)可得: 当 l 存在斜率时 MN = (x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? k
2 2 2

3 AB 4 ?6 , AB ? 2 2 ,? MN 3

2

x1 ? x2

=( 1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? (1 ? k 2 )[( 6k 2 2 3k 2 ? 6 4 3( k 2 ? 1) ) ? 4( ) ? 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
……11 分

? x2 y2 6 ?1 ? ? 2 由? 3 得x ? 2 2 ? 3k 2 ? y ? kx ?

6(1 ? k 2 ) ……13 分 AB = 1 ? k x3 ? x4 ? 2 2 ? 3k 2
2

13

24 3 ( 1? k2) 3 AB 2 ? 3k 2 ? ? ?6 MN 4 3( k 2 ? 1) 2 ? 3k 2
2

3 AB ? 6 ……14 分 综上? MN

2

14


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