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2016优化探究高考一轮复习资料 (69)

时间:2015-08-24


A 组 考点基础演练 一、选择题 1.函数 y=|x-4|+|x-6|的最小值为( A.2 C.4 解析:y=|x-4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2. 答案:A 2.对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为( A.5 C.8 B.4 D.7 ) ) B. 2 D.6

解析: 由题易得, |x - 2y + 1|

= |(x - 1) - 2(y - 1)|≤|x - 1|+ |2(y - 2) + 2|≤1 + 2|y - 2|+ 2≤5,即|x-2y+1|的最大值为 5. 答案:A 3.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,-1]∪[4,+∞) B.(-∞,-1)∪(4,+ ∞) C.(-∞,-4]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪[4,+∞) 解析:∵|x+3|-|x-1|≤4, ∴a2-3a≥4, 即 a2-3a-4≥0. 解得 a≤-1 或 a≥4. 答案:A 4.已知命题 p:任意 x∈R,|x+2|+|x-1|≥m;命题 q:存在 x∈R,x2-2mx+m2+m -3=0.“命题 p 为真命题”是“命题 q 为真命题”的( A.充要条件 C.充分不必要条件 ) )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由绝对值不等式的几何性质可知,任意 x∈R,|x+2|+|x-1|≥|(x+2)-(x-1)| =3,故若命题 p 为真命题,则 m≤3;当命题 q 为真命题时,方程 x2-2mx+m2+m-3=0 有根,则 Δ=(-2m)2-4(m2+m-3)=12-4m≥0,解得 m≤3;所以“命题 p 为真命题”是 “命题 q 为真命题”的充要条件. 答案:A

5.当|a|≤1,|x|≤1 时,关于 x 的不等式|x2-ax-a2|≤m 恒成立,则实数 m 的取值范围 是( ) 3 ? A.? ?4,+∞? 3 ? C.? ?2,+∞? 5 ? B.? ?4,+∞? 5 ? D.? ?2,+∞?

解析:|x2-ax-a2|=|-x2+ax+a2|≤|-x2+ax|+|a2|=|-x2+ax|+a2,当且仅当-x2+ax 与 a2 同号时取等号.故当-x2+ax≥0 时,有|x2-ax-a2|=|-x2+ax|+a2=-x2+ax+a2= a?2 5 2 a 5 2 1 -? ?x-2? +4a ,当 x=2时,有最大值4a .而|a|≤1,|x|≤1,所以当 a=1,x=2或 a=-1,x 5 1 5 ? =- 时,|x2-ax-a2|有最大值,且|x2-ax-a2|max= ,故 m 的取值范围是? ?4,+∞?. 2 4 答案:B 二、填空题 6.若不等式|3x-b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3,则 b 的取值范围为________. 解析:由|3x-b|<4 得-4<3x-b<4, 即 -4+b 4+b <x< , 3 3

∵不等式|3x-b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3,则

?0≤-43+b<1, ? 4+b ?3< 3 ≤4
答案:(5,7)

?4≤b<7, ? ?? ∴5<b<7. ?5<b≤8, ?

7.若关于 x 的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵f(x)=|x+1|+|x-2|= -2x+1?x≤-1?, ? ? ?3?-1<x<2?, ? ?2x-1?x≥2?, ∴f(x)≥3.要使|a|≥|x+1|+|x-2|有解, ∴|a|≥3,即 a≤-3 或 a≥3. 答案:(-∞,-3]∪[3,+∞) 8.若关于 x 的不等式 x+|x-1|≤a 有解,则实数 a 的取值范围为________. 1+a 解析:解法一 当 x≥1 时,不等式化为 x+x-1≤a,即 x≤ . 2 1+a 此时不等式有解当且仅当 1≤ ,即 a≥1. 2

当 x<1 时,不等式化为 x+1-x≤a,即 1≤a. 此时不等式有解当且仅当 a≥1. 综上所述,若关于 x 的不等式 x+|x-1|≤a 有解, 则实数 a 的取值范围是[1,+∞). 解法二 设 f(x)=x+|x-1|,
?2x-1?x≥1?, ? 则 f(x)=? ? ?1?x<1?.

f(x)的最小值为 1. 因为 x+|x-1|≤a 有解,即 f(x)≤a 有解,所以 a≥1. 答案:[1,+∞) 三、解答题 9.(2014 年高考福建卷)(选修 4-5:不等式选讲) 已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为 a. (1)求 a 的值; (2)若 p,q,r 是正实数,且满足 p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3. 解析:(1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当-1≤x≤2 时,等号成立, 所以 f(x)的最小值等于 3,即 a=3. (2)证明:由(1)知 p+q+r=3,又因为 p,q,r 是正实数, 所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9, 即 p2+q2+r2≥3. 10. (2014 年高考辽宁卷)(选修 4-5: 不等式选讲)设函数 f(x)=2|x-1|+x-1, g(x)=16x2 -8x+1,记 f(x)≤1 的解集为 M,g(x)≤4 的解集为 N. (1)求 M; 1 (2)当 x∈M∩N 时,证明:x2f(x) +x[f(x)]2≤ . 4
?3x-3,x∈[1,+∞?, ? 解析:(1)f(x)=? ? ?1-x,x∈?-∞,1?.

4 4 当 x≥1 时,由 f(x)=3x-3≤1 得 x≤ ,故 1≤x≤ ; 3 3 当 x<1 时,由 f(x)=1-x≤1 得 x≥0,故 0≤x<1.
? 4 ? ? 所以 f(x)≤1 的解集为 M=?x? ?0≤x≤3 . ? ?

1?2 (2)证明:由 g(x)=16x2-8x+1≤4 得 16? ?x-4? ≤4,

1 3 解得- ≤x≤ . 4 4
? 1 3 ? - ≤x≤ ?, 因此 N=?x? 4 4 ? ? ? ? 3 ? ? 故 M∩N=?x? ?0≤x≤4 . ? ?

当 x∈M∩N 时,f(x)=1-x,于是 x2f(x)+x· [f(x)]2 1 1 1 x- ?2≤ . =xf(x)[x+f(x)]=x· f(x)=x(1-x)= -? 4 ? 2? 4 B 组 高考题型专练 1.(2015 年潍坊模拟)不等式|x-2|-|x-1|>0 的解集为( 3 -∞, ? A.? 2? ? 3 ? C.? ?2,+∞? )

3 -∞,- ? B.? 2? ? 3 - ,+∞? D.? ? 2 ?

3 解析:原不等式等价于|x-2|>|x-1|,则(x-2)2>(x-1)2,解得 x< . 2 答案:A 2.已知全集 U=R,集合 M={x||x-1|≤2},则?UM=( A.{x|-1<x<3} C.{x|x<-1 或 x>3} )

B.{x|-1≤x≤3} D.{x|x≤-1 或 x≥3}

解析:M={x|-1≤x≤3},又知全集是 R,所以其补集为?UM={x|x<-1 或 x>3},故选 C. 答案:C 3.在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6 的解集为________. 解析:解法一 分类讨论去绝对值号解不等式. 1 3 1 1 当 x> 时,原不等式转化为 4x≤6?x≤ ;当- ≤x≤ 时,原不等式转化为 2≤6,恒 2 2 2 2 1 3 成立;当 x< - 时,原不等式转化为- 4x≤6 ? x≥ - . 由上综合知,原不等式的解集为 2 2
? ? 3 3 ? ?x - ≤x≤ ?. 2 2 ? ? ?

解法二 利用几何意义求解. 1? ? 1? 1 1 原不等式可化为? ?x-2?+?x+2?≤3,其几何意义为数轴上到2,-2两点的距离之和不 3 3 1 1 超过 3 的点的集合,数形结合知,当 x= 或 x=- 时,到 ,- 两点的距离之和恰好为 3, 2 2 2 2
? 3 3 ? 3 3 - ≤x≤ ?. 故当- ≤x≤ 时,满足题意,则原不等式的解集为?x? 2 2 ? ? 2 2 ?

? 3 3 ? - ≤x≤ ? 答案:?x? 2 2 ? ? ?

4.已知关于 x 的不等式|x-1|+|x|≤k 无解,则实数 k 的取值范围是________. 解析:∵|x-1|+|x|≥|x-1-x|=1,∴当 k<1 时,不等式|x-1|+|x|≤k 无解,故 k<1. 答案:(-∞,1) 5.设函数 f(x)=|2x-4|+1. (1)画出函数 y=f(x)的图象;

(2)若不等式 f(x)≤ax 的解集非空,求 a 的取值范围.
?-2x+5,x<2, ? 解析:(1)由于 f(x)=? 则函数 ?2x-3,x≥2, ?

y=f(x)的图象如图所示.

1 (2)由函数 y=f(x)与函数 y=ax 的图象可知,当且仅当 a≥ 或 a<-2 时,函数 y=f(x)与 2 函数 y=ax 的图象有交点.故不等式 f(x)≤ax 的解集非空时,a 的取值范围为(-∞,-2)∪

?1,+∞?. ?2 ?
6.设函数 f(x)=|x-1|+|x-2|. (1)画出函数 y=f(x)的图象; (2)若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求实数 x 的取值范围. 解析:(1)当 x≤1 时, f(x)=-(x-1)-(x-2)=-2x+3, 当 1<x≤2 时,f(x)=(x-1)-(x-2)=1, 当 x>2 时,f(x)=(x-1)+(x-2)=2x-3,

-2x+3?x≤1?, ? ? 所以 f(x)=?1?1<x≤2?, ? ?2x-3?x>2?. 图象如图所示:

(2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x), 得 |a+b|+|a-b| ≥f(x). |a|

|a+b|+|a-b| |a+b+a-b| 又因为 ≥ =2, |a| |a| 则有 2≥f(x),解不等式 2≥|x-1|+|x-2|, 1 5 得 ≤x≤ . 2 2


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