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【创新设计】2013-2014版高中数学 1-3-1-2函数的最值课件 新人教A版必修1

时间:2013-12-31


第2课时 函数的最值

【课标要求】

1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.
2.会求一些简单函数的最大值或最小值. 【核心扫描】 1.利用单调性求函数的最值.(重点) 2.函数最值的实际应用.(难点)

新知导学
1.函数的最大值、最小值

温馨提示:定义中M首先是一个函数值,它是值域中的一个

元素.

2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(x)的图象连续不间断,

则函数f(x)的最值必在

区间端点 处取得.

互动探究

探究点1 函数f(x)=x2≥-1总成立,f(x)的最小值是-1吗?
提示 不是.因为对x∈R,找不到使f(x)=-1成立的实数x.

探究点2 函数最大值或最小值的几何意义是什么? 提示 函数的最大值或最小值是函数的整体性质,从图象上

看,函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐

标.

探究点3 函数的值域与最值有什么不同?

提示

(1)函数的值域是一个集合,函数的最值是一个函数值,

它是值域的一个元素,即定义域中一定存在一个x0,使f(x0) =M(最值). (2)函数的值域一定存在,但函数并不一定有最大(小)值,如 y=x在x∈(-1,1)时无最值.

类型一

利用图象求函数的最值

【例1】 已知函数f(x)=求f(x)的最大值、最小值.
[思路探索] 可先画出f(x)的图象,观察图象的最高与最低

点,从而确定最大、最小值.



作出函数f(x)的图象(如图).

由图象可知,当x=±1时,f(x)取
最大值为f(±1)=1.当x=0时,f(x)取 最小值f(0)=0, 故f(x)的最大值为1,最小值为0. [规律方法] 1.分段函数的最大值为各段上最大值的最大者,最

小值为各段上最小值的最小者,故求分段函数的最大或最小值,
应先求各段上的最值,再比较即得函数的最大、最小值. 2.如果函数的图象容易作出,画出分段函数的图象,观察图象 的最高点与最低点,并求其纵坐标即得函数的最大、最小值.

【活学活用 1】 求函数 y=|x+1|-|x-2|的最大值和最小值. 解 y=f(x)=|x+1|-|x-2|

?3,x≥2, ? =?2x-1,-1<x<2, ?-3,x≤-1. ? 作出函数的图象(如图),由图可知,y∈[-3,3]. 所以函数的最大值为 3,最小值为-3.

类型二

利用单调性求函数的最值

x-1 【例 2】 (2013· 包头高一检测)已知函数 f(x)= ,x∈[3,5]. x+2 (1)判断函数 f(x)的单调性并证明; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值. [思路探索] 用定义证明单调性 → 借助单调性求最值



(1)任取 x1,x2∈[3,5]且 x1<x2,则

x1-1 x2-1 f(x1)-f(x2)= - x1+2 x2+2 ?x1-1??x2+2?-?x2-1??x1+2? = ?x1+2??x2+2? x1x2+2x1-x2-2-x1x2-2x2+x1+2 = ?x1+2??x2+2? 3?x1-x2? = . ?x1+2??x2+2?

∵x1,x2∈[3,5]且 x1<x2, ∴x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2), x-1 ∴函数 f(x)= 在[3,5]上为增函数. x+2 2 (2)由(1)知,当 x=3 时,函数 f(x)取得最小值为 f(3)= ;当 x 5 4 =5 时,函数 f(x)取得最大值为 f(5)= . 7

[规律方法]

1.函数的最值与单调性的关系:

(1)若函数在闭区间[a,b]上是减函数,则f(x)在[a,b]上的最
大值为f(a),最小值为f(b); (2)若函数在闭区间[a,b]上是增函数,则f(x)在[a,b]上的最 大值为f(b),最小值为f(a). 2.利用函数的单调性求最值,要熟练掌握一些常见函数的

基本性质.

x2+2x+3 【活学活用 2】 已知函数 f(x)= (x∈[2,+∞)), x (1)求 f(x)的最小值; (2)若 f(x)>a 恒成立,求 a 的取值范围.



(1)任取 x1,x2∈[2,+∞),

3 且 x1<x2,f(x)=x+x+2. 则
? 3 ? f(x1)-f(x2)=(x1-x2)?1-x x ?,∵x1<x2, ? 1 2?

∴x1-x2<0,又∵x1≥2,x2>2, 3 ∴x1x2>4,1- >0, x1x2 ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 故 f(x)在[2,+∞)上是增函数, 11 ∴当 x=2 时,f(x)有最小值,即 f(2)= . 2

11 (2)∵f(x)的最小值为 f(2)= , 2 11 ∴f(x)>a 恒成立,只须 f(x)min>a,即 a< . 2

类型三

函数最值的实际应用

【例 3】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元, 每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数: 1 ? ?400x- x2,0≤x≤400, 2 R(x)=? 其中 x 是仪器的月产量. ?80 000,x>400. ? (1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少 元?(总收益=总成本+利润) [思路探索] 利用 先求出f?x? ― →分段函数求最值 ―



(1)设月产量为 x 台,则总成本为 20 000+100x,从而

? 1 2 ?- x +300x-20 000,0≤x≤400, f(x)=? 2 ?60 000-100x,x>400. ? (2)当 0≤x≤400 时, 1 f(x)=- (x-300)2+25 000, 2 ∴当 x=300 时,[f(x)]max=25 000; 当 x>400 时,f(x)=60 000-100x 是减函数, f(x)<60 000-100×400<25 000. ∴当 x=300 时,[f(x)]max=25 000. 即每月生产 300 台仪器时利润最大,最大利润为 25 000 元.

[规律方法]

1.解实际应用题要弄清题意,从实际出发,引

入数学符号,建立数学模型,列出函数关系式,分析函数的
性质,从而解决问题,要注意自变量的取值范围. 2.实际应用问题中,最大利润、用料最省等问题常转化为 求函数最值来解决,本题转化为二次函数求最值,利用配方 法和分类讨论思想使问题得到解决.

【活学活用3】 季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升
趋势,设某服装开始时定价为10元,并且每周(7天)涨价2元, 5周后开始保持20元的价格平稳销售;10周后当季节即将过 去时,平均每周削价2元,直到16周末,该服装已不再销 售. (1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式. (2)若此服装每件进价Q与周次t 之间的关系为Q=-0.125(t-

8)2+12,t∈[0,16],t∈N*,试问该服装第几周每件销售利润
最大?最大值是多少?(注:每件销售利润=售价-进价)



?10+2t,t∈[0,5], ? (1)P=?20,t∈?5,10], ?40-2t,t∈?10,16]. ?

(2)二次函数最值分 3 种情况计算 当 t∈[0,5]时,L=10+2t+0.125(t-8)2-12, 当 t=5 时,Lmax=9.125 元; 当 t∈(5,10]时,L=20+0.125(t-8)2-12, 当 t=6 或 10 时,Lmax=8.5 元; 当 t=(10,16]时,L=40-2t+0.125(t-8)2-12, 当 t=11 时,Lmax=7.125 元; ∴第五周每件销售利润最大,最大值为 9.125 元.

方法技巧

分类讨论思想在二次函数最值中的 应用

分类讨论思想是将一个复杂的数学问题分解为若干个基
础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思 想策略. 含字母参数的二次函数,参数影响二次函数的对称轴与 给定区间的位置关系,进而影响函数的单调性与最值,求解

相关问题时,经常运用分类讨论思想求解.

【示例】 求函数f(x)=x2-2ax+2在[-1,1]上的最小值.
[思路分析] 解 分类讨论对称轴与所给区间的位置关系求解.

函数f(x)图象的对称轴方程为x=a,且函数图象开口向

上,如图所示:

①当 a>1 时,f(x)在[-1,1]上单调递减, 故 f(x)min=f(1)=3-2a; ②当-1≤a≤1 时,f(x)在[-1,1]上先减后增, 故 f(x)min=f(a)=2-a2; ③当 a<-1 时,f(x)在[-1,1]上单调递增, 故 f(x)min=f(-1)=3+2a. 综上可知 f(x)的最小值为 ?3-2a ? ?2-a2 f(x)min= ?3+2a ? ?a>1?, ?-1≤a≤1?, ?a<-1?.

.

[题后反思]

探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般

要 先 作 出 y = f(x) 的 草 图 , 然 后 根 据 图 象 的 增 减 性 进 行 研
究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关 系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据. 二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系: ①对称轴在定义域区间右侧;②对称轴在定义域区间左侧;

③对称轴在定义域区间内.

课堂达标 1.函数 f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数的最大值、最 小值分别为 ( A.f(2),f(-2)
?1? ? 3? C.f?2?,f?-2? ? ? ? ? ?1? B.f?2?,f(-1) ? ? ?1? D.f?2?,f(0) ? ?

).

解析

3 根据函数最值定义,结合函数图象知,当 x=- 时, 2
? 3? f?-2?;当 ? ? ?1? 1 x= 时,有最大值 f?2?. 2 ? ?

有最小值 答案

C

?1 ? 1 2.函数 f(x)= 2在区间?2,2?上的最大值是 x ? ?

(

).

1 A. 4 解析

B.-1 C.4 D.-4 由 t=x
2

?1 ? 在?2,2?上是增函数,易知 ? ?

? 1 ?1 f(x)= 2在?2,2?上 x ? ?

是减函数.
?1? ∴f(x)max=f?2?=4. ? ?

答案

C

k 3.若函数 y= x (k>0)在[2,4]上的最小值为 5,则 k 的值为 ________. 解析 k 因为 k>0,所以函数 y=x在[2,4]上是减函数,所以当

k k x=4 时,y= 最小,由题意知 =5,k=20. 4 4 答案 20

4.函数y=2x2+1,x∈N*的最小值为________.

解析
答案

∵x∈N*,∴y=2x2+1≥3.
3

5.已知函数 f(x)=4x2-mx+1 在(-∞,-2)上递减,在[-2,+ ∞)上递增,求 f(x)在[1,2]上的值域. 解 ∵f(x)在(-∞,-2)上递减,在[-2,+∞)上递增,∴函
2

m 数 f(x)=4x -mx+1 的对称轴方程 x= =-2,即 m=-16. 8 又[1,2]?[-2,+∞),且 f(x)在[-2,+∞)上递增. ∴f(x)在[1,2]上递增, ∴当 x=1 时,f(x)取得最小值 f(1)=4-m+1=21; 当 x=2 时,f(x)取得最大值 f(2)=16-2m+1=49. ∴f(x)在[1,2]上的值域为[21,49].

课堂小结

1.函数最值定义中两个条件缺一不可,若只有(1),M不是
最大(小)值,如f(x)=-x2(x∈R), 对任意x∈R, 都有 f(x)≤1成立,但1不是最大值,否则大于0的任意实数都是 最 大 值 了 . 最 大 ( 小 ) 值 的 核 心 就 是 不 等 式 f(x)≤M( 或 f(x)≥M),故也不能只有(2).

2.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,

如函数y=
素.

.如果有最值,则最值一定是值域中的一个元

(2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,则f(x)的最值必在区间 端点处取得.即最大值是f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a). 3.二次函数在闭区间上的最值

探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=
f(x)的草图,然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二 次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数 在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定 在顶点处取得.


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