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一元二次不等式的解法(2)


1

看谁更快,写出下列一元二次不等式的解集: ⑴ 3x 2 ? 7 x ? 10 ≤ 0
? 10 ? ? x ?1 ≤ x ≤ ? 3? ?

⑵ ? x2 ? 4x ? 4 ? 0

? x x ? 2?
⑷ x ? 2x ? 3 ? 0
2

⑶ ?2 x ?

x ? ?3
2

? 3? ? x x ? ?1 或 x ? ? 2? ?

R
2

复习: 1.用二次函数图象速解一元二次不等式的步骤是:
先化为一般形式 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 或 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
然后计算△的符号及求根 x1、x2 ,想象函数 y ? ax2 ? bx ? c 的 图象与 x 轴的位置关系(草图即可);

最后由图快速写出解集.

2.解一元二次不等式的有没有其他方法?

3

解不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0
(可用配方法) 解:∵ x2 ? 2x ? 3 ? 0 ? ( x ?1)2 ? 2 ? 0 ∴原不等式的解集为 R.
又如:解不等式 x 2 ? 2 x ? 99 ? 0

解:∵ x2 ? 2x ? 99 ? 0 ? ( x ?1)2 ?100 ? 0

? ( x ?1) ? 100 配方法 ? ?10 ? x ? 1 ? 10 ? ?9 ? x ? 11 ∴原不等式的解集为 ? x ?9 ? x ? 11? .
2

练习:解不等式 ?4 x2 ? 4 x ? 3 ? 0

解集为 ?
4

解不等式: 3x 2 ? 7 x ? 10 ≤ 0 (可用同解变形法) 解:∵ 3x 2 ? 7 x ? 10 ≤ 0 ? (3x ? 10)( x ? 1) ≤ 0
?3x ? 10 ≤ 0 ?3x ?10 ≥ 0 ?? ( Ⅰ ) 或 ? (Ⅱ ) ?x ?1 ≥ 0 ?x ?1 ≤ 0 由(Ⅰ)解得 ?1 ≤ x ≤ 10 ;由(Ⅱ)解得 3

x 不存在.

10 ? . ∴原不等式的解集为 ? ? x ?1 ≤ x ≤ ?

其实质是符号规律,见下表: x ? ?1 代数式

?

3?

x ?1 3 x ? 10 (3x ?10)( x ? 1)

?

? ?

10 ?1 ? x ? 3

10 x? 3

?

? ?

? ? ?

零点分段 判断符号 情况

5

x?3 ?0 例 1 解分式不等式: x?7 解:分析符号规律:零点 3,-7 把数轴分成三段

∴由上面分析可知原不等式的解集为 ? x x ? ?7 或 x ? 3?

代数式 x?7 x?3 x?3 x?7

x ? ?7

?

? ?

?7 ? x ? 3

x?3

?

? ?

? ? ?

注:如果熟练了可简化成标根穿线法,直接快速写出解集
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一元二次不等式的解法
2、配方法、同解变形法
3、标根法:步骤: a、移项,使不等式右边为0;分解因式,保 证x的系数为正;b、令各因式等于0,求出x; c、在数轴上按从小到大顺序标出每一个根, 重复的根要重复标;d、画曲线(从右上角开 始);e、写解集。 (数轴上方大于0,下方 7 小于0,数轴上的点使不等式等于0)

1、分解因式符号法则法(参考教材,比较麻烦)

分式和高次不等式的解法——标根法
a、分解因式,保证x的系数为正;

b、令分子,分母等于0,求出x;
c、在数轴上按从小到大标出每一个根,重 复的根要重复标; d、画曲线(从右上角开始); e、写解集,数轴上方大于0,下方小于0, 数轴上的点使不等式等于0。
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解不等式

x ?x ≥2 2 x ? 8 x ? 15
2

例题

? x 2 ? 17x ? 30 解:不等式等价于 ≥0 2 x ? 8 x ? 15 即 x 2 ? 17x ? 30 ≤0 2 x ? 8 x ? 15


( x ? 15)(x ? 2) ( x ? 3)(x ? 5)

≤0

2

3

5

15

由标根法知原不等式的解是

{x | 2 ? x ? 3或5 ? x ? 15}

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例:解不等式

x( x ?1)( x ? 3)( x ?1) ? 0

解:由数轴标根法(如图),得 +
-1

-

+
0 1

-

+
3

-1<x<0 或 1<x<3

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看谁更快,写出下列不等式的解集 :
x?2 ?0 ⑴ 2x ? 5
? 5? ? x ?2 ? x ? ? 2? ?

3x ? 2 ≥0 ⑵ x ?1

? 2? ? x x ? ?1 或 x ≥ ? 3? ?
x ≥0 ⑷ 2x ?1

2? x ?0 ⑶ x?3

?x x ? ? 3 或 x ? 2?

? 1 ? ? x x ? ? 或 x ≥ 0? 2 ? ?
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课外挑战练习 : 试解下列不等式 : ? 2? 1. ? x ?1 ? x ? ? ? x 3? ?1 ⑴ ? 3x ? 2 2. ? x ?3 ? x ? ?1 或 ? 1 ? x ? 2? ⑵ ( x ? 3)( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ? 2 ? 3. ? x ?2 ? x ≤ - 或 x ≥ 3? (3 x ? 2)(3 ? x) 3 ≤0 ? ? ⑶ x?2

P B ? 1T、 2T、 3T 作业:课本 P A ? 4T 、 80 81
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含绝对值的不等式的解法:
1、两边平方法:例如|x-1|<3 2、公式法: 若 ? a ? x ? a,则 |x|<a ( 其中 a>0) x ? a或x ? ?a |x|>a(a>0)那么____________ 特别注意a≤0的情况要特殊处理
|x|<a在a≤0时解集是φ, |x|≥a在a≤0时解集是R
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高次不等式:

( x ? a1 )(x ? a2 )?( x ? an ) ? 0
a1 ? a2 ? ? ? an
?表解法 ?? ?数轴标根法

分式不等式:

? f ( x) ? 0 ? f ( x ) ? g( x ) ? 0 ? ? g( x ) ? f ( x) ?f ( x) ? g( x) ? 0 ? ?0?? ? ? g( x ) ? 0 ? g( x )
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