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2013年高考数学预测新课标数学考点预测(25):函数与方程的思想方法


2013 年高考数学预测新课标数学考点预测(25) 函数与方程的思想方法
《2009 年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准(实验) 》 中所规定的必修课程、选修课程系列 2 和系列 4 中的数学概念、性质、法则、公式、公理、 定理以及由其内容反映的数学思想方法” 。其中数学思想方法包括: 函数与方程的思想方 法、 数形结合的思想方法 、 分类整

合的思想方法、 特殊与一般的思想方法、 转化与化 归的思想方法、 必然与或然的思想方法。 数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认 识,是对数学的规律性的理性认识。高考通过对数学思想方法的考查,能够最有效地检测 学生对数学知识的理解和掌握程度,能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、 综合和渗透的能力。 《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了 数学知识之间深刻的内在联系,包括各部分知识的纵向联系和横向联系,要善于从本质上 抓住这些联系,进而通过分类、梳理、综合,构建数学试卷的框架结构” 。而数学思想方 法起着重要桥梁连接和支称作用, “对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽 象和概括的考查,考查时必须要与数学知识相结合,通过数学知识的考查,反映考生对数 学思想方法的掌握程度” 。“ 数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对数学思 想方法的考查,注重对数学能力的考查,展现数学的科学价值和人文价值,同时兼顾试题 的基础性、综合性和现实性,重视试题间的层次性,合理调控综合程度,坚持多角度、多 层次的考查,努力实现全面考查综合数学素养的要求。” 数学的思想方法渗透到数学的各 个角落,无处不在,有些题目还要考查多个数学思想。在高考复习时,要充分认识数学思 想在提高解题能力的重要性,在复习中要有意识地渗透这些数学思想,提升数学思想。

一、函数与方程的思想
所谓函数的思想,就是用运动和变化的观点、集合对应的思想,去分析和研究数学问 题中的数量关系,建立函数关系或构造函数。运用函数的图像和性质去分析问题、转化问 题,从而使问题获得解决,函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是要善于 利用函数知识或函数观点去观察分析处理问题。 所谓方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构 造方程,通过解方程(组) ,或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决,方程思 想是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是利用方程或方程观点观察处理问题。函数 思想与方程思想是密不可分的,可以相互转化的。 函数和方程的思想是最重要和最常用的数学思想,它贯穿于整个高中教学中,中学数 学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数,尤其是导数的引入为 函数的研究增添了新的工具.因此,在数学教学中注重函数与方程的思想是相当重要的. 在高考中,函数与方程的思想也是作为思想方法的重点来考查的,使用选择题和填空题考 查函数与方程思想的基本运算,而在解答题中,则从更深的层次,在知识的网络的交汇处, 从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。

1、利用函数与方程的性质解题
例 1. (2008 安徽卷,理 ,11 )若函数 f ( x ), g ( x ) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 B. g (0) < f (3) < f (2) D. g (0) < f (2) < f (3) 分析:要比较函数值的大小,就要由已知条件求得函数解析式,本题中的 f ( x ), g ( x ) 都未 知,只有一个等式,就需要我们再挖掘一个等式,由函数的奇偶性容易想到用 ? x 替换, 从 而得到两个方程组成方程组解出。 解: 因为 f ( x ) ? g ( x ) = e x , 用 ? x 替换得: f ( ? x) ? g ( ? x) = e? x , 因为函数 f ( x ), g ( x ) 分 别是 R 上的奇函数、偶函数,所以 f ( x ) + g ( x ) = ?e ? x ,又 f ( x ) ? g ( x ) = e x

f ( x ) ? g ( x ) = e x ,则有( ) A. f (2) < f (3) < g (0) C. f (2) < g (0) < f (3)

e x ? e? x e? x + e x , 而 f ( x) 单 调 递 增 且 f ( 0) = 0 , ∴ , g ( x) = ? 2 2 f ( 3) > f ( 2 ) > 0 大于等于 0,而 g (0) = ?1 ,故选 D 。 答案: D 评注:本题中利用函数的性质再得一方程,通过解方程组求得函数的解析式,再回归到函 数的单调性比较函数值的大小关系,是函数与方程的较好得结合。
解 得 : f ( x) =

2、构造函数解题
例 2. (2008 天津卷,理,16)设 a > 1 ,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x ∈ [a,2a ] ,都
2 ? 有 y∈? ? a, a ? 满 足 方 程 log a x + log a y = c , 这 时 , a 的 取 值 的 集 合

为 。 分析: 题目给出的方程中含有 x, y, a, c 等多个字母,而条件中是对任意的 x ∈ [a,2a ] 都有
2 ? y∈? ? a, a ? ,这使我们联想到函数的定义域、值域,所以必须把方程改写为关于 y 的函数,

再进一步研究函数的性质。

ac (其中 x ∈ [ a, 2a ] ) ,函数为反比例函数,在 x a c ?1 c ?1 a , 2 a ( a > 1 )上为单调递减,所以当 时, y ∈ [ , a ] 又因为对于任意的 x ∈ [ a , 2 a ] [ ] 2 ? a c ?1 ≥a ?c ≥ 2 + log a 2 ? 2 ? x ∈ [a,2a] ,都有 y ∈ ? ?? ,因为有且只有一个常 ? a, a ? ,所以 ? 2 ?c ≤ 3 ?a c ?1 ≤ a 2 ? 数 c 符合题意,所以 2 + log a 2 = 3 ,解得 a = 2 ,所以 a 的取值的集合为 {2} 。 答案: {2}
解:由已知 log a x + log a y = c ,得 y = 评注:本题看似方程问题,实质是函数问题,通过分析、转化为函数,并运用函数的性质将 问题转化为不等式组解出。本题中自觉地、巧妙地运用函数的思想来指导解答问题。

3、函数与方程、不等式的转化
例 3. (2008 广东卷,理 14)已知 a ∈ R ,若关于 x 的方程 x 2 + x + a ?

1 + a = 0 有实根, 4

则 a 的取值范围是 . 分析:求参数的范围,可以先将分离出来,表示为的函数,求出函数的值域,进而得到参数 的范围 解:方程即 a ?

1 1? 1 1 ? + a = ? x 2 ? x = ? ? x + ? + ∈ [0, ] , 利 用 绝 对 值 的 几 何 意 义 , 得 4 2? 4 4 ?

2

1 1 1 ? 1? a ? + a ≤ a ? + a ≤ ,可得实数 a 的取值范围为 ? 0, ? 4 4 4 ? 4?
评注:本题将方程转化为函数,利用函数的值域得到的不等式,求得参数的范围。 例 4. (福建德化一中 2008,理) 若关于 x 的方程 x 2 + 2kx - 1 = 0 的两根 x1、x2 满足

- 1 ? x1< 0< x2
A. (-

2 ,则 k 的取值范围是(
B. (-

) C. (0, )

3 , 0) 4

3 , 0] 4

3 4

D. [0, )

3 4

分析:本题是研究二次方程的实根分布问题,可以转化为二次函数,由二次函数的图象转为 函数值表示的不等式组解出。 解 : 设 函 数 f ( x ) = x 2 + 2kx ? 1 , ∵ 关 于 x 的 方 程 x 2 + 2 kx - 1 = 0 的 两 根 x1、x2 满 足

- 1 ? x1< 0< x2

? f ( ?1) ≥ 0 ? ?2k ≥ 0 3 ? ? 2 ,∴ ? f ( 0 ) < 0 即 ? ?1 < 0 ∴ ? < k ≤ 0 ,故选择 B 。 4 ? f ( 2) > 0 ?4k + 3 > 0 ? ?

答案: B 评注:对于二次方程的实根分布问题,要转化为二次函数,由二次函数的图象和各端点对 应的函数值以及二次项系数和对称轴解答。

4、函数与方程在立体几何中的应用
例 5. (2008 北京卷,理,8)如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的对角线 BD1 上. 过 点 P 作 垂直 于平 面 BB1 D1 D 的 直线 ,与 正方 体表 面相 交于 M ,N . 设 BP = x ,

MN = y ,则函数 y = f ( x ) 的图象大致是(
D1 A1 D B1 P N C1 y



y

y

y

C

O
A.

x

O
B.

x

O
C.

x

O
D.

x

分析:本题是立体几何与函数的交汇题,可以先观察题目并进行空间想象加以判断,再由 MN 的特殊性与平面 BB D D 垂直,可以把 MN 向平面 ABCD 内作正投影,保持其长度不 1 1 变,从而把空间问题转为平面问题,在平面内研究函数关系即可顺利完成。 解:设正方体的棱长为,由图形的对称性知 P 点始终是 MN 的中点, D 而且随着 P 点从 B 点向 BD 的中点滑动, y 值逐渐增大到最大,再由中 点向 D1 点滑动,而逐渐变小,排除 A,, C ,把 MN 向平面 ABCD 内正投 影得 M ' N ' ,则 M ' N ' = MN = y ,由于 ∴ BP ' =
P'

C

N'
B

BP ' BD 2a 6 , = = = BP BD1 3 3a

A

M'

2 6 6 3 x ,所以当 x ≤ a 时, MN = y = 2 BP ' = x 为一次函数,故选 B 3 2 3

答案: B 评注:本题为函数的变化趋势问题,通过观察进行理性地分析,再从数值上加以运算。

5、函数与方程在解析几何中的应用
例 6. (2008 山东淄博)若 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 + y 2 = 1 的左、右焦点. 4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值; (Ⅱ)设过定点 M (1 , 2) 的直线 l 与椭圆交于两不同的点 A 、 B ,且 ∠AOB 为锐角 (其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 分析: (Ⅰ)中可以设出 P 点的坐标,用坐标表示出 PF1 ? PF2 ,得到函数求最值。 (Ⅱ) 中

研究直线与椭圆的交点,需要解方程组,由韦达定理解答即可。 解: (Ⅰ)解法一:由椭圆方程知 a = 2, b = 1, c =

3

) ???? ???? ? 则 PF ? PF = ( ? 3 ? x , ? y ) , (
所以

F1 ? 3, 0 , F2
2

(

) (

3, 0 ,设 P ( x, y ) 3 ? x, ? y = x 2 + y 2 ? 3

1

)



x2 1 ? 3 = ( 3x 2 ? 8) 4 4 ???? ???? ? x ∈ [ ?2, 2] ,故当 x = 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF2 有最小值 ?2


x2 + y2 = 1 4

PF1 ? PF2 = x 2 + 1 ?

当 x = ±2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF2 有最大值 1. 解法二:易知 a = 2, b = 1, c =

???? ???? ?

3 ,所以 F1 ? 3, 0 , F2

(

) (

3, 0 ,设 P ( x, y )

)

???? 2 ???? ? 2 ???? ?2 ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? PF1 + PF2 ? F1 F2 则 PF1 ? PF2 = PF1 ? PF2 ? cos ∠ F1 PF2 = PF1 ? PF2 ? ???? ???? ? 2 PF1 ? PF2

=

2 2 1? x + 3 + y 2 + x ? 3 + y 2 ? 12? = x 2 + y 2 ? 3 ? ? ? 2?

(

)

(

)

(以下同解法一)

(Ⅱ)显然当直线的斜率不存在即 x = 0 时,不满足题设条件 可设 l 的方程为 y = kx + 2 ,设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )
2 ? ? x + y2 = 1 联立 ? 4 ? y = kx + 2 ?



x 2 + 4 ( kx + 2 ) = 4

2

即 ∴

(1 + 4k )
x1 x2 =

2 2

x 2 + 16kx + 12 = 0

12 16k , x1 + x2 = ? 2 1 + 4k 1 + 4k 2

由 ? = (16k ) 2 ? 4 ? (1 + 4k 2 ) ? 12 > 0 即 4k 2 ? 3 > 0 解得

k2 >

3 4



又 ∠AOB 为锐角 ? cos ∠AOB > 0 ? OA? OB > 0 ∴

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 > 0

∴ ∴

y1 y2 = (kx1 + 2)( kx2 + 2) = k 2 x1 x2 + 2 k ( x1 + x2 ) + 4 x1 x2 + y1 y2 = (1 + k 2 ) x1 x2 + 2k ( x1 + x2 ) + 4
= (1 + k 2 ) ? 12 16 k + 2k ? (? )+4 2 1 + 4k 1 + 4k 2

=

12(1 + k 2 ) 2k ?16k ? +4 1 + 4k 2 1 + 4k 2

4(4 ? k 2 ) = >0 1 + 4k 2
1 < k2 < 4 4 3 综①、②可知 < k 2 < 4 4 3 3 k 的取值范围是 (?2, ? ) ∪ ( , 2) . 2 2


?





评注:解析几何中点的坐标,线的方程都与函数、方程是相通的,可以利用函数与方程的 思想解答问题。在解方程组时要注意保证方程组有两不同的解,求得参数的取值范围。

x2 y2 抛物线方程为 x 2 = 8( y ? b) . + 2 = 1, 2 2b b 如图 4 所示,过点 F (0,b + 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G ,已知 抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1 .
例 7. (2008 广东卷, 理 18) 设b > 0, 椭圆方程为 (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使得 △ ABP 为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出 这些点的坐标) . 分析:本题中的抛物线可以看作为二次函数,抛物线在点 G 的切线的斜率就是该点处的函 数的导数,由此可以写出此切线方程,从而得到椭圆的右焦点 F1 的坐标,进而求出椭圆和 抛物线的方程, (2)为探索结论问题, △ ABP 为直角三角形自然要考虑谁是直角,所以 需要分类讨论,并转为方程确定其解的个数。 y 解: (1)由 x = 8( y ? b) 得 y =
2

1 2 F x + b ,当 y = b + 2 得 x = ±4 , 8 G 1 F1 ∴ G 点的坐标为 (4, b + 2) , y ' = x , y ' |x = 4 = 1 , 4 A O B 过点 G 的切线方程为 y ? (b + 2) = x ? 4 即 y = x + b ? 2 , 图4 令 y = 0 得 x = 2 ? b ,∴ F1 点的坐标为 (2 ? b, 0) ,由椭圆方程得 F1 点的坐标为 (b, 0) ,

x

x2 + y 2 = 1 和 x 2 = 8( y ? 1) ; 2 (2)∵ 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,∴ 以 ∠PAB 为直角的 Rt ?ABP 只有 一个,同理∴ 以 ∠PBA 为直角的 Rt ?ABP 只有一个。若以 ∠APB 为直角,设 P 点坐标 1 为 ( x, x 2 + 1) , A 、 B 两 点 的 坐 标 分 别 为 ( ? 2, 0) 和 ( 2, 0) , 8
∴ 2 ? b = b 即 b = 1,即椭圆和抛物线的方程分别为

??? ? ??? ? 1 1 5 PAi PB = x 2 ? 2 + ( x 2 + 1) 2 = x 4 + x 2 ?1 = 0 。 关于 x 2 的二次方程有一大于零的解, 8 64 4 ∴ x 有两解, 即以 ∠APB 为直角的 Rt ?ABP 有两个, 因此抛物线上存在四个点使得 ?ABP
为直角三角形。 评注:本题较好地把圆锥曲线问题和函数的导函数结合起来解答问题,一般地,对于已经 曲线的某一点处的切线,就要转为函数求导,从而求出其切线。另外,还要注意方程的解 的个数的探讨。 例 8. (2008 湖南,理 20)若 A、B 是抛物线 y2=4x 上的不同两点,弦 AB(不平行于 y 轴) 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P,则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦” 。已知当 x>2 时,点 P (x,0)存在无穷多条“相关弦” 。给定 x0>2. (I)证明:点 P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同; (II) 试问:点 P(x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值? 若存在,求其最大值(用 x0 表示) :若不存在,请说明理由. 分析:本题(1)研究中点弦问题,可以用点差法,求得中点的坐标从而证明; (2)可用中 点的坐标表示出弦长,得到关于中点的纵坐标的函数,再求出函数的值域。 解: (I)设 AB 为点 P(x0,0)的任意一条“相关弦” ,且点 A、B 的坐标分别是 (x1,y1) 、 (x2,y2) (x1 ≠ x2),则 y21=4x1, y22=4x2, 两式相减得(y1+y2) (y1-y2)=4(x1-x2).因为 x1 ≠ x2,所以 y1+y2 ≠ 0. 设直线 AB 的斜率是 k,弦 AB 的中点是 M(xm, ym),则 k=

y y1 ? y2 4 2 .从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y ? ym = ? m ( x ? xm ). = = x1 ? x2 y1 + y2 ym 2

又点 P(x0,0)在直线 l 上,所以 ? ym = ?

ym ( x0 ? xm ). 2

而 ym ≠ 0, 于是 xm = x0 ? 2. 故点 P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是 x0-2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,弦 AB 所在直线的方程是 y ? ym = k ( x ? xm ) ,代入 y = 4 x 中, 整理得 k x + 2[ k ( ym ? kxm ) ? 2]x + ( ym ? kxm ) = 0. 则 x1、x2 是方程(· )的两个实根,且 x1 ? x2 = 设点 P 的“相关弦”AB 的弦长为 l,则
2 2 2

2

(· )

( ym ? kxm )2 . k2

l 2 = ( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 )2 = (1 + k 2 )( x1 ? x2 )2
= (1 + k 2 )[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] = 4(1 + k 2 )( xm 2 ? x1 x2 ) = 4(1 + 4 2 )[ xm ? 2 ym ( ym ? 2 xm ) 2 ym ] 4 2 ym

2 2 4 2 = (4 + ym )(4 xm ? ym ) = ? ym + 4 ym ( xm ? 1) + 16 xm 2 2 = 4( xm + 1)2 ? [ ym ? 2( xm ? 1)]2 = 4( x0 ?1)2 ? [ ym ? 2( x0 ? 3)]2 .

2 2 因为 0< ym <4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设 t= ym ,则 t (0,4x0-8).

记 l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.
2 若 x0>3,则 2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当 t=2(x0-3),即 ym =2(x0-3)时,

l 有最大值 2(x0-1). 若 2<x0<3,则 2(x0-3) ≤ 0,g(t)在区间(0,4 x0-8)上是减函数, 所以 0<l2<16(x0-2),l 不存在最大值. 综上所述,当 x0>3 时,点 P(x0,0)的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值 为 2(x0-1) ;当 2< x0 ≤ 3 时,点 P(x0,0)的“相关弦”的弦长中不存在最大值. 评注:本题中需要解方程组求弦长,弦长用弦的中点坐标表示出来,可用配方法求得函数的 值域。 直线与圆锥曲线的位置关系中渗透着函数与方程的思想, 在解决解析几何问题时常常 运用函数与方程的思想来解答。

6、函数与方程在导数中的应用
例 9. (2008 湖南卷,理 21)已知函数 f ( x ) = ln (1 + x ) ? (I) 求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若不等式 (1 +
2

x2 . 1+ x

1 n+ a ) ≤ e 对任意的 n ∈ N* 都成立(其中 e 是自然对数的底数). n 1 n+ a ) ≤ e 对任意的 n

求 α 的最大值. 分析: 由导数研究函数的单调性,求得函数的单调区间,不等式 (1 +

n ∈ N* 都成立可等价转化为不等式 ( n + a ) ln(1 + ) ≤ 1. 进而分离出来,不等式恒成立转为 n
函数研究最值问题,可构造函数利用导数研究函数的单调性,从而求出最值。 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域是 ( ?1, +∞) ,

1

f ′( x ) =

2ln(1 + x) x 2 + 2 x 2(1 + x) ln(1 + x) ? x 2 ? 2 x ? = . 1+ x (1 + x)2 (1 + x)2

设 g ( x ) = 2(1 + x) ln(1 + x) ? x 2 ? 2 x, 则 g ′( x ) = 2 ln(1 + x ) ? 2 x. 令 h( x) = 2ln(1 + x) ? 2 x, 则 h′( x) =

2 ?2 x ?2= . 1+ x 1+ x

当 ?1 < x < 0 时, h′( x) > 0, h ( x) 在(-1,0)上为增函数, 当 x>0 时, h′( x) < 0, h( x) 在 (0, +∞ ) 上为减函数. 所以 h(x)在 x=0 处取得极大值,而 h(0)=0,所以 g ′( x ) < 0( x ≠ 0) , 函数 g(x)在 ( ?1, +∞ ) 上为减函数.

于是当 ?1 < x < 0 时, g ( x ) > g (0) = 0, 当 x>0 时, g ( x ) < g (0) = 0. 所以,当 ?1 < x < 0 时, f ′( x ) > 0, f ( x ) 在(-1,0)上为增函数. 当 x>0 时, f ′( x ) < 0, f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上为减函数. 故函数 f ( x ) 的单调递增区间为(-1,0) ,单调递减区间为 (0, +∞ ) . (Ⅱ)不等式 (1 +

1 n +a 1 1 ) ≤ e 等价于不等式 ( n + a ) ln(1 + ) ≤ 1. 由 1 + > 1 知, n n n 1 1 1 ? , x ∈ ( 0,1] , 则 a≤ ? n. 设 G ( x) = 1 ln(1 + x ) x ln(1 + ) n

G ′( x) = ?

1 1 (1 + x ) ln 2 (1 + x ) ? x 2 + = 2 . (1 + x ) ln 2 (1 + x ) x 2 x (1+ x ) ln2 (1+ x )
2

x2 由(Ⅰ)知, ln (1 + x ) ? ≤ 0, 即 (1 + x ) ln 2 (1 + x ) ? x 2 ≤ 0. 1+ x
所以 G ′( x ) < 0, x ∈ ( 0,1] , 于是 G(x)在 ( 0,1] 上为减函数. 故函数 G(x)在 ( 0,1] 上的最小值为 G (1) = 所以 a 的最大值为

1 ? 1. ln 2

1 ? 1. ln 2

评注:第(1)问是为第二问铺垫的,在解答问题(2)时,不等式恒成立问题转化为函数研 究最值,利用导数研究单调性,进而研究最值是解决函数最值问题的常用方法。理科的题目 常常是超越方程或不等式, 要利用导数解答问题。 而文科的题基本上是含有参数的三次函数, 如下一例题 例 10. (2008 北京卷, 文 17) 已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + 3bx + c (b ≠ 0) , 且 g ( x) = f ( x ) ? 2 是奇函数. (Ⅰ)求 a , c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间. 分析:本题从函数的性质入手,利用奇函数的定义,确定函数的解析式, ,再由导数研究函 数的单调性。 解: (Ⅰ)因为函数 g ( x) = f ( x) ? 2 为奇函数, 所以,对任意的 x ∈ R , g ( ? x) = ? g ( x) ,即 f ( ? x) ? 2 = ? f ( x ) + 2 . 又 f ( x ) = x3 + ax 2 + 3bx + c 所以 ? x3 + ax 2 ? 3bx + c ? 2 = ? x 3 ? ax 2 ? 3bx ? c + 2 .

所以 ?

?a = ? a, ?c ? 2 = ?c + 2.

解得 a = 0,c = 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) = x3 + 3bx + 2 . 所以 f ′( x) = 3 x 2 + 3b(b ≠ 0) . 当 b < 0 时,由 f ′( x ) = 0 得 x = ± ?b .

x 变化时, f ′( x ) 的变化情况如下表: x
f ′( x )
f ( x)

(?∞, ? ?b )

? ?b
0 极大 值

(? ?b, ?b )

?b
0

( ?b, + ∞)

+
单调递增

+
单调递增

单调递减

极小 值

所以,当 b < 0 时,函数 f ( x ) 在 ( ?∞, ? ?b ) 上单调递增,在 ( ? ?b, ?b ) 上单调递减, 在 ( ?b, + ∞ ) 上单调递增. 当 b > 0 时, f ′( x ) > 0 ,所以函数 f ( x ) 在 ( ?∞, + ∞) 上单调递增. 评注: g ( x ) 为奇函数是对任意的 x ∈ R , g ( ? x ) = ? g ( x ) 都成立来说的,也就是恒等式, 对应项的系数相等, 从而确定系数。 在研究含有参数的函数的单调性时往往要对参数在分界 值处进行分类讨论。

7.函数与方程在数列中的应用
例 11. (2008 陕西卷,理 22)已知数列 {an } 的首项 a1 = (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 x > 0 , an ≥

3 3an , an +1 = , n =1 , 2, ?. 5 2an + 1

1 1 ? 2 ? 2, ?; ? ? x ? , n = 1, 2 ? n 1 + x (1 + x) ? 3 ?

(Ⅲ)证明: a1 + a2 + ? + an >

n2 . n +1

分析: (1)由递推关系求通项,可以进行变形,构造一个特殊数列求出; (2)不等式的左边

只含有,右边含有和,可以看作是关于的函数,可证此函数的最大值 ≤ an 。 解法一: (Ⅰ)∵ an +1 =

? 1 1? 1 3an 1 2 1 ,∴ ,∴ = + ? 1 = ? ? 1? , 2an + 1 an+1 3 3a n an +1 3 ? an ?



?1 ? 1 2 2 1 ? 1 = ,∴ ? ? 1? 是以 为首项, 为公比的等比数列. an 3 3 3 ? an ?
3n 1 2 1 2 . ? 1 = i n ?1 = n ,∴ an = n 3 +2 an 3 3 3 3n > 0, 3n + 2



(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an =

1 1 ? 2 ? ? ? x? 2 ? n 1 + x (1 + x) ? 3 ? = 1 1 ? 2 ? ? + 1 ?1 ? x ? 2 ? n 1 + x (1 + x) ? 3 ?

=

? 1 1 ?1 ? ? (1 + x)? 2 ? 1 + x (1 + x ) ? an ?
1 1 2 i + 2 an (1 + x ) 1 + x
2

=?

1? 1 ? =? ? ? an ? + an ≤ an ,∴ 原不等式成立. an ? 1 + x ?
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的 x > 0 ,有

a1 + a2 +?+ an ≥

1 1 ?2 ? 1 1 ?2 1 1 ?2 ? ? ? ? x? + ? ? x ? +?+ ? ? ? x? 2? 2? 2 1+ x (1+ x) ? 3 ? 1+ x (1+ x) ? 3 1+ x (1+ x)2 ? 3n ? ?

=

n 1 ?2 2 2 ? ? + 2 + ? + n ? nx ? . 2 ? 1 + x (1 + x) ? 3 3 3 ?

2? 1? 1? n ? ? 1?2 2 2? 3 1? 3 ? 1? ∴ 取 x = ? + 2 +? + n ? = ? = ?1 ? n ? , n?3 3 3 ? ? 1? n ? 3 ? n ?1 ? ? ? 3?
则 a1 + a2 + ? + an ≥

n n2 n2 . = > 1 n +1 1? 1? 1 + ?1 ? n ? n + 1 ? n 3 n? 3 ?

∴ 原不等式成立.
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 f ( x ) =

1 1 ? 2 ? ? ? x? , 2 ? n 1 + x (1 + x) ? 3 ?

?2 ? ?2 ? ?(1 + x) 2 ? ? n ? x ?i 2(1 + x) 2 ? n ? x ? 1 3 ?3 ? ? 则 f ′( x ) = ? ? = ? 2 2 2 (1 + x) (1 + x) (1 + x)

∵x > 0, 2 2 ∴ 当 x < n 时, f ′( x ) > 0 ;当 x > n 时, f ′( x ) < 0 , 3 3
∴当 x =

2 时, f ( x ) 取得最大值 3n

1 ?2? f ? n?= = an . ? 3 ? 1+ 2 3n

∴ 原不等式成立.
(Ⅲ)同解法一. 评注:本题为利用函数与方程的思想解答数列问题,在求右边函数的最值时,可以用配方 法,也可以用导函数求得函数的单调性求其最值。

8.预测题
? ? ? ? (1) . (原创)向量 a = ( sin x + cos x,1) , b = ( f ( x ) ,sin x ) ,其中 x ∈ ( 0, π ) , a // b ,则函数

f ( x ) 的值域为(



? ? 2 + 1? 2 + 1? A. ( 0,1) B. ? 0, C . 0,1 D . 0, [ ] ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?
分析:先由已知求出 f ( x ) 的解析式,再由定义域结合函数的图象求出值域

? ? 1 ? cos 2 x 1 解:∵ a // b , f ( x ) = sin x ( sin x + cos x ) = sin 2 x + sin x cos x = + sin 2 x 2 2

=

2 π? 1 ? sin ? 2 x ? ? + ,∵ x ∈ ( 0, π ) 2 4? 2 ?

∴选 B

评注:求函数的值域一定要在函数的定义域内结合函数的图象和性质解决。 (2) . (原创)已知 y = f ( x ) 是顶点在原点的二次函数,且方程 f ( x ) = 3? x 有一个根 x = 2 , 则不等式 f ( x ) > ( ) 的解集是( A. ( ?2, 2)

1 3

x

) C. (0, 2) D. ?

B. ( ?2, 0) U (0, 2)

分析:可以根据函数 y = f ( x) 的图象和对称性,以及函数 y = ( ) 的图象和对称性解答问

1 3

x

题。

?1? 解:已知 y = f ( x ) 是顶点在原点的二次函数知其图象关于原点对称,又 g ( x ) = ? ? 为偶 ? 3?

x

?1? 函数,其图象也关于原点对称,又方程 f ( x ) = 3 即 f ( x ) = ? ? 有一个根 x = 2 ,所以不 ? 3?
?x

x

等式 f ( x ) > ( ) 的解集是 ( ?2, 0) U (0, 2) ,故选 B 评注:在解决函数问题时,要结合函数的图象和性质解答问题。 (3) . (原创)当 x ∈ ( ?1, 2) 时,不等式 x 2 + 2mx + 6 < 0 恒成立,则 m 的取值范围是 分析:不等式、方程、函数可以相互转化,可以通过构造函数,借助函数的图象来解答。 解 : 构 造 函 数 : f ( x ) = x 2 + 2mx + 6, x ∈ ( ?1, 2) . 由 于 当 x ∈ (?1, 2) 时 , 不 等 式

1 3

x

x 2 + 2mx + 6 < 0 恒成立,等价于在区间 ( ?1, 2 ) 上函数 f ( x ) 的图象位于 x 轴下方,由于函
数 f ( x) 的 图 象 是 开 口 向 上 的 抛 物 线 , 故 只 需 ?

? ? f ( ?1) ≤ 0 即 ? ? f ( 2) ≤ 0

? 7 ? 2m ≤ 0 ,解得 ? ?10 + 4m ≤ 0

?

5 7 ≤m≤ . 2 2

评注: 结合函数图象, 根据题目的要求列出参数所满足的条件是解决这类问题的另一个有效 方法.特别是对参数以外的另一个变量是一次的情况,这个方法更有效. (4) . (原创) 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 棱长为1, E 为棱 CC1 上的动点. ⑴求证: A1 E ⊥

BD ; ⑵当点 E 为棱 CC1 上的中点时,求证:平面 A1 BD ⊥ 平面 EBD ; ⑶在棱 CC1 上是否存在一点 E ,使二面角 A1 ? BD ? E 的大小为 45° ?若存在,确定
其位置,若不存在,说明理由. 分析:利用有关垂直的判定定理判定,在此基础上解决(3) ,可以设为 EC = x ,求的 的方程解出。 证明:⑴连结 AC ,则 BD ⊥ AC , D1 ∵ EC ⊥ 平面 ABCD , AA1 ⊥ 平面 ABCD , ∴ AC 是 A1 E 在平面 ABCD 的上的射影,由三垂线定理知, A1 E ⊥ BD . ⑵设 AC , BD 交于点O,连结 A1O, EO , ∵ A1 D =

C1 B1
E C

A1

D A B

A1 B ,∴ A1O ⊥ BD ,同理可证 EO ⊥ BD , ∴ ∠A1OE 是二面角 A1 ? BD ? E 的平面角.
∵正方体棱长为1,∴ A1O =

6 3 3 , EO = , A1 E = ,∴ A1 E 2 = A1O 2 + EO 2 , 2 2 2 ∴ ∠A1OE = 90° ,∴平面 A1 BD ⊥ 平面 EBD . ⑶(理科做)假设在棱 CC1 上存在一点 E ,使二面角 A1 ? BD ? E 的大小为 45° , 由⑵知 ∠A1OE = 45° .设 EC = x ,则

? 2? 1 6 2 2 2 2 ? EO = ? ? 2 ? + x = 2 + x , A1O = 2 , A1 E = 2 + (1 ? x ) = x ? 2 x + 3 , ? ? ∴在 ?A1OE 中,由余弦定理得: A1 E 2 = A1O 2 + EO 2 ? 2 A1O ? EO ? cos A1OE ,

2

3 1 6 1 2 + + x2 ? 2 × × + x2 × ,可化为 2 x 2 ? 8 x ? 1 = 0 , 2 2 2 2 2 3 3 3 解得 x = 2 ± 2 ,由于 2 ? 2 < 0, 2 + 2 > 1, 2 2 2 ∴在棱 CC1 上不存在满足条件的点 E . (说明:理科学生也可用空间向量解决此题. )
∴ x2 ? 2x + 3 = 评注:在确定点的位置时,可以先设出,再解方程求出。 (5) . (原创)在直线 l1 : x + y ? 2 = 0 上任取一点 M,使过 M 且以双曲线 x 2 ? y 2 = 1 的焦 点为焦点的椭圆 C 的长轴最短 (1)求椭圆 C 的方程 (2) 若一直线 l2 : y = kx + m 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点 (A、 B 不是椭圆的顶点) , 以 AB 为直径的圆过椭圆的上顶点,求证:直线 l2 过定点,并求出该定点的坐标. 分析: 由已知条件判断出所求的椭圆的方程形式 , 再根据图形和椭圆的定义解决定量 a, b, c 的值,从而求得椭圆方程 ,并通过解方程组研究直线与椭圆的位置关系 , 以 AB 为直径 的圆过椭圆的上顶点,说明有互相垂直的关系,从而由韦达定理解答问题即可. 解: ( 1 )∵ 双 曲线 x 2 ? y 2 = 1 的 焦点 为 F1 ? 2,0 , F2

F1 ? 2,0 , F2

(

) (

2,0 ,设椭圆的方程为

)

x2 y 2 + a 2 b2

) ( 2,0) , ∴椭 圆 C 的 焦点 为 = 1 , F ( 2,0 ) 关于直线 l : x + y ? 2 = 0 的
2
1 2 2

(

对 称 点 为 P 2,2 ? 2

(

)

, 连 接 F1 P 交 直 线 l1 : x + y ? 2 = 0 于 点 M, 则

2a = MF1 + MF2 = MF1 + MP = F1 P =
圆的方程为

(2 + 2 ) + (2 ? 2 )

= 2 3 , ∴ a = 3, b = 1 ∴椭

x2 + y 2 = 1 ,椭圆的上顶点为 Q ( 0,1) 3 ? y = kx + m x2 ? 2 ?1 ? (2)由方程组 ? x 2 得 + ( kx + m ) = 1 ,即 ? + k 2 ? x 2 + 2kmx + m 2 ? 1 = 0 , 2 3 ?3 ? ? + y =1 ?3 1 1? ?1 ? ? △= 4k 2 m 2 ? 4 ? + k 2 ? m 2 ? 1 = 4 ? k 2 ? m 2 + ? > 0 ,即 3k 2 ? m 2 + 1 > 0 , 3 3? ?3 ? ?

(

)

设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则 x1 + x2 = ? ∴ y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) + 2m =

3 m2 ? 1 6km , , x x = 1 2 1 + 3k 2 1 + 3k 2

(

)

2m , 1 + 3k 2
2 2

1 + 3k 2 1 + 3k 2 ∵以 AB 为直径的圆过椭圆的上顶点 Q ( 0,1) ,∴ AQ ⊥ BQ ∴ x1 x2 + ( y1 ? 1)( y2 ? 1) = 0 ,
即 x1 x2 + y1 y2 ? ( y1 + y 2 ) + 1 = 0 , ∴

y1 y2 = ( kx1 + m )( kx2 + m ) = k x1 x2 + km ( x1 + x2 ) + m =

3k 2 m2 ? 1

(

) ? 6k m
2

2

+ m2 =

m 2 ? 3k 2 1 + 3k 2

3 m2 ? 1 1 + 3k 2

(

)+m

? 3k 2 2m ? +1 = 0 , 化 简 得 2 1 + 3k 1 + 3k 2

2

1 2m 2 ? m ? 1 = 0 ,∴ m = 1 或 m = ? .当 m = 1 时,直线 l2 : y = kx + 1 过定点 Q ( 0,1) 与已知矛盾. 2 1 1 1? ? 当 m = ? 时, 满足 3k 2 ? m 2 + 1 > 0 ,此时直线 l2 为: y = kx ? 过定点 ? 0, ? ? ,∴直线 l2 过定 2 2 2? ? 1? ? 点 ? 0, ? ? . 2? ?

评注:解决圆锥曲线问题,要注重圆锥曲线的基础知识的考查 , 从定义、标准方程、性质,到 直线与圆锥曲线位置关系的讨论,做到熟悉常规解法,要注重数形结合的思想和解方程的思想 的渗透.要求思维要严密,运算精湛. (6) (2008 年 潍 坊 市 , 改 编 ) 定 义 在 (0, +∞ ) 的 两 个 函 数 f ( x ) 和 g ( x ) , 已 知

f ( x ) = x 2 ? a ln x , g ( x ) = x ? a x + 20 ,且 f ( x ) 在 x = 2 处取极值.
(I)求的值及 f ( x ) 和 g ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x ) 和 g ( x ) 的图象的交点个数,并说明道理.(其中 ln 2 ≈ 0.7 ) 分析: 由 f ( x ) 在 x = 2 处取极值,可求得的值,,求导确定其单调区间,(3)可构造函数由函数 的单调性研究方程的解,即曲线的交点. 解(Ⅰ)由题意: f ( x ) = x ? a ln x ,∴ f ' ( x ) = 2 x ? ∴ f '( x ) = 2x ?
2

a ,∵ f ( x ) 在 x = 2 处取极值. x

a a = 4 ? = 0 ∴ a = 8 …………………………………………… 2 分 x 2 8 2 ( x + 2 )( x ? 2 ) 2 ∴ f ( x ) = x ? 8ln x ∴ f ' ( x ) = 2 x ? = x x ∵定义域为 (0, +∞ ) ,∴当 0 < x < 2 时, f ' ( x ) < 0 , f ( x ) 为减函数;
当 x > 2 时, f ( x ) 为增函数. ∴ f ( x ) 的减区间为 ( 0, 2] , 增区间为 [ 2, +∞ ) .………4 分

而 g ( x) = x ? 8 x + 20, g '( x) = 1 ? 当 x > 16 时, g '( x) = 1 ?

4

x

,

令g' ( x) = 1 ?

4

x

= 0得x = 16 .

4

x

>0 1

∴ g ( x ) 在 (16, 上为增函数; + ∞)

当 0 < x < 16 时, g '( x) = 1 ? ∴ g ( x ) 的减区间为 ( 0,16 ] ,
2

x

上为减函数. < 0 , ∴ g ( x ) 在 (0, 16) 增区间为 [16, + ∞)

(Ⅱ) f ( x ) = x ? 8ln x 与 g ( x) = x ? 8 x + 20 的图象的交点个数, 2 y 即求方程: x -8x=x-8 x+4. 的根的个数 即: 8 x ? 8ln x = ?x + x + 20 ,设 h1 (x) = 8 x ? 8ln x,
2 h( 2 x)=- x + x + 20.

2

4 8 4 x ?2 ? = . x x x ′ (x) < 0, h1 (x) 为减函数. ∴当 x ∈ (0, 4) 时, h1 ′ (x) > 0, h1 (x) 为增函数. 当 x ∈ (4, + ∞) 时, h1 ′ (x) = 则 h1
当 x = 4 时 h1 (x) = 8 x ? 8 ln x 最小,
2 2

(

)

h1 ( x ) = 8 x ? 8ln x

O

x

1? 1 ? 最小为 16 (1 ? ln 2 ) ≈ 4.8 而 h 2 (x) = ? x + x + 20= ? ? x ? ? + 20 + 的 2? 4 ?
图象开口向下的抛物线.当 x = 4 时, h2 ( x ) = 8 ∴ h1 ( x ) 与 h2 ( x ) 的大致图象如图:

h2 ( x ) = ? x 2 + x + 20

∴ h1 ( x ) 与 h2 ( x ) 的交点个数为 2 个,即 f ( x ) 和 g ( x ) 的图象的交点个数为 2 个. 评注:本题中的(3)研究两条曲线的交点,解方程(组)比较麻烦,需要转为函数,利用函数的

单调性进一步判断出交点的个数.


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