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定积分的简单应用[高考数学总复习][高中数学课时训]


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定积分的简单应用

基础自测
1.将由 y=cosx,x=0,x= ? ,y=0 所围图形的面积写成定积分形式为 答案
2 ? 0 cosxdx+| ? ? cosxdx| ?

.

?

2

r />
2.一物体沿直线以 v=3t+2 (t 单位:s,v 单位:m/s)的速度运动,则该物体在 3 s~6 s 间的运动路程为 m. 答案 答案 46.5 J. 10
3? )与坐标轴所围成的面积是 2
3

3.用力把弹簧从平衡位置拉长 10 cm,此时用的力是 200 N,变力 F 做的功 W 为

4.曲线 y=cosx( 0≤x≤ 答案 3

.

5.有一质量非均匀分布的细棒,已知其线密度为 ? (x)=x (取细棒的一端为原点,所在直线为 x 轴) ,棒 长为 1,则棒的质量 M 为 答案 .

1 4

例1 解

求抛物线 y =2x 与直线 y=4-x 围成的平面图形的面积.
? y 2 ? 2x ? 由方程组 ? 解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4). ?y ? 4 ? x ?

2

方法一

选 x 作为积分变量,由图可看出 S=A1+A2

在 A1 部分:由于抛物线的上半支方程为 y= 2 x , 下半支方程为 y=- 2 x,所以
2 2 S A1 = ? 0 [ 2 x -(- 2 x )]dx=2 2 ? 0 x
1 2

dx

=2 2 ·

2 x 3

3 2

2 |0 =

16 , 3

S A2 = ? 8 [4-x-(- 2 x )]dx 2

1 2 2 2 =(4x- x + x 2 3

3 2

)| 8 = 2

38 , 3

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于是:S= 方法二

16 38 + =18. 3 3
选 y 作积分变量,

将曲线方程写为 x= S= ? 2 4 [(4-y)? =30-12=18. 例2

y2 及 x=4-y. 2

y 2 y3 y2 ]dy=(4y)| 2 4 ? 6 2 2
2

(14 分)如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分,求 k 的值.



抛物线 y=x-x 与 x 轴两交点的横坐标 x1=0,x2=1,所以抛物线与 x 轴所围图形的面积
2

2

S= ? 1 (x-x )dx=( 0 =

x 2 x3 1 )| 0 ? 2 3
6分

1 1 1 - = . 2 3 6
2

抛物线 y=x-x 与 y=kx 两交点的横坐标为 x1′=0,x2′=1-k, 所以
S 1?k 2 = ? 0 (x-x -kx)dx 2
? 1?k ?|0 ? ?

9分

? 1 ? k 2 x3 x ? =? ? 2 3 ?

=

1 (1-k) 3 , 6 1 1 ,所以(1-k) 3 = , 6 2
3 4 1 =1. 2 2

12 分

又知 S=

于是 k=1- 3 例3

14 分

一辆汽车的速度—时间曲线如图所示,求此汽车在这 1 min 内所行驶的路程.



由速度—时间曲线易知,

?3t ? v(t)= ?30 ?? 1.5t ? 90 ?

t ? [0,10) t ? [10,40) t ? [40,60]

由变速直线运动的路程公式可得
40 s= ?10 3tdt+ ?10 30dt+ ? 60 (-1.5t+90)dt 0 40

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=

3 2 10 3 2 40 t | 0 +30t| 10 +(- t +90t)| 60 40 2 4

=1 350 (m). 答 此汽车在这 1 min 内所行驶的路程是 1 350 m.

1.求抛物线 y =x 与直线 x-2y-3=0 所围成的平面图形的面积 S. 解 方法一
?y2 ? x ? 由? 得抛物线与直线的交点为 P(1,-1) ,Q(9,3) (如图). ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?

2

9 ∴S= ? 1 [ x -(- x )]dx+ ? 1 ( x 0

x?3 )dx 2

=2 ? 1 0 =

9 x dx+ ? 1 ( x 3 2

x 3 + )dx 2 2

4 3

x 3 | 1 +( 0

2 x 3

-

x2 3 9 4 28 32 + x |1 = + = . 3 3 3 4 2
2

方法二

若选取积分变量为 y,则两个函数分别为 x=y ,x=2y+3.由方法一知上限为 3,下限为-1.
2 2

∴S= ? 31 (2y+3-y )dy=(y +3y? =(9+9-9)-(1-3+

1 3 3 y )| ?1 3

1 32 )= . 3 3
.

2.如图所示,阴影部分的面积是

答案

32 3
3

3.一物体按规律 x=bt 做直线运动,式中 x 为时间 t 内通过的距离,媒质的阻力与速度的平方成正比,试求 物体由 x=0 运动到 x=a 时,阻力做的功. 解 物体的速度 v=x′(t)=(bt )′=3bt ,
2 2 2 2 4 3 2

媒质阻力 f 阻=kv =k· (3bt ) =9kb t .(其中 k 为比例常数,k>0)

? a ?3 当 x=0 时,t=0,当 x=a 时,t=t1= ? ? , ?b?
∴阻力做的功是:
a 1 W 阻= ? 0 f 阻 dx= ? 0 kv ·vdt
2

1

t

1 1 =k ? 0 v dt=k ? 0 (3bt ) dt
3 2 3

t

t

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=

27 3 7 27 3 7 2 27 2 3 2 kb t1 = k a b = ka ab . 7 7 7

一、填空题 1.如图所示,阴影部分面积为 .

答案

? c [g(x)-f(x)]dx+ ? b [f(x)-g(x)]dx a c
x ? [0,1], 2 则 ? 0 f(x)dx= x ? (1,2],

?x 2 , ? 2.设 f(x)= ? ?2 ? x , ?

.

答案

5 6

x 3.设 f(x)= ? 0 sintdt,则 f(f(

? ) )= 2

.

答案

1-cos1

?10 4.一物体在力 F(x)= ? ?3x ? 4
答案 46
2

(0 ? x ? 2) (单位:N)的作用下沿与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 ( x ? 2)
J.

x=4(单位:m)处,则力 F(x)做的功为

5.一物体在变力 F(x)=5-x (力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与 F(x)成 30°方向作直线运动,则由 x=1 运动 到 x=2 时 F(x)做的功为 答案 J.

4 3 3
,最小值为 .

x 6.函数 F(x)= ? 0 t(t-4)dt 在[-1,5]上的最大值为

答案

0 -

32 3

7.汽车以 v=3t+2 (单位:m/s)作变速直线运动时,在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内经过的路程是 答案 6.5

m.

8.若 f(x)是一次函数,且 ? 1 f(x)dx=5, ? 1 xf(x)dx= 0 0 答案 f(x)=4x+3

17 ,那么函数 f(x)的解析式是 6

.

二、解答题 9.证明:把质量为 m(单位:kg)的物体从地球的表面升高 h(单位:m)处所做的功 W=G· 是地球引力常数,M 是地球的质量,k 是地球的半径.

Mmh ,其中 G k(k ? h)

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高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载 证明 =G· 根据万有引力定律:知道对于两个距离为 r,质量分别为 m1、m2 的质点,它们之间的引力为 f(r)

m1m 2 r2

,其中 G 为引力常数.

则当质量为 m 的物体距地面高度为 x(0≤x≤h)时,地心对它的引力 f(x)=G· 故该物体从地面升到 h 高处所做的功为
h h W= ? 0 f(x)dx= ? 0 G·

Mm (k ? x) 2

.

Mm (k ? x) 2

·dx

h =GMm ? 0

1 (k ? x) 2

d(k+x)

1 ? h ? =GMm ? ? ? |0 ? k? x?
1 1? ? =GMm ? ? ? ? ? k?h k?
=G·

Mmh . k(k ? h)
3 2

10.设函数 f(x)=x +ax +bx 在点 x=1 处有极值-2. (1)求常数 a,b 的值; (2)求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的图形的面积. 解 (1)由题意知 f′(x)=3x +2ax+b,
2

f(1)=-2 且 f′(1)=0,

?1 ? a ? b ? ?2 即? ,解得 a=0,b=-3, ?3 ? 2a ? b ? 0
即 f(x)=x -3x. (2)作出曲线 y=x -3x 的草图,所求面积为阴影部分的面积,由 x -3x=0 得曲线 y=x -3x 与 x 轴的交点坐标
3 是(- 3 ,0),(0,0)和( 3 ,0),而 y=x -3x 是 R 上的奇函数,函数图象关于原点 3 3 3 3

中心对称. 所以(- 3 ,0)的阴影面积与(0, 所以所求图形的面积为 S=2 ? 0 3 [0-(x -3x)]dx
3

3 )的阴影面积相等.

=-2(

1 4 3 2 9 x - x )| 0 3 = . 4 2 2
2

11.如图所示,抛物线 y=4-x 与直线 y=3x 的两交点为 A、B,点 P 在抛物线上从 A 向 B 运动. (1)求使△PAB 的面积最大的 P 点的坐标(a,b); (2)证明由抛物线与线段 AB 围成的图形,被直线 x=a 分为面积相等的两部分. (1)解
?y ? 4 ? x2 ? 解方程组 ? ,得 x1=1,x2=-4. ? y ? 3x ?
2

∴抛物线 y=4-x 与直线 y=3x 的交点为 A(1,3) ,B(-4,-12) , ∴P 点的横坐标 a∈(-4,1).

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点 P(a,b)到直线 y=3x 的距离为 d=

3a ? b 12 ? 32

,

∵P 点在抛物线上,∴b=4-a ,

2

? da =
∴a=-

1 10

·(4-3a-a )′=

2

1 10

(-2a-3)=0,

3 3 ,即当 a=- 时,d 最大, 2 2 9 7 = , 4 4 3 7 , )时,△PAB 的面积最大. 2 4

这时 b=4-

∴P 点的坐标为((2)证明 位于 x=-

设上述抛物线与直线所围成图形的面积为 S,

3 右侧的面积为 S1. 2
2

S= ?1 4 (4-x -3x)dx= ?
2

125 , 6 125 , 12

S1= ?1 3 (4-x -3x)dx=
? 2

∴S=2S1,即直线 x=-

3 平分抛物线与线段 AB 围成的图形的面积. 2
2

12.在区间[0,1]上给定曲线 y=x ,试在此区间内确定点 t 的值,使图中阴影部分的面积 S1 与 S2 之和最 小. 解 S1 面积等于边长为 t 与 t 的矩形面积去掉曲线 y=x 与 x 轴、直线 x=t 所围成的面积,即
2 2 2 2

S1=t·t - ? t0 x dx=

2 3 t. 3
2 2

S2 的面积等于曲线 y=x 与 x 轴、x=t,x=1 围成的面积减去矩形面积, 矩形边长分别为 t , (1-t) ,即 S2= ? 1 x dx-t (1-t)= t
2 2

2 3 2 1 t -t + . 3 3

所以阴影部分的面积 S 为 S=S1+S2=

4 3 2 1 t -t + (0≤t≤1). 3 3
2

∵S′(t)=4t -2t=4t(t当 t=

1 1 )=0 时,得 t=0,t= . 2 2

1 1 1 时,S 最小,∴最小值为 S( )= . 2 2 4

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