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【优化方案】2014届高考数学二轮复习 专题7第1讲概率课件 新人教版


专题七

概率与统计、算法初步、
框图、复数

第1讲 概



要点知识整合
1.古典概型与几何概型

2.互斥事件与对立事件
互斥事件强调两个事件不可能同时发生,而对立 事件强调两个事件不能同时发生且必有一个发 生.两事件是对立事件,则它们

一定互斥,反过 来,两事件互斥,但不一定对立.故两事件互斥

是两事件对立的必要不充分条件,对立事件是特
殊的互斥事件.

热点突破探究
典例精析 题型一 几何概型

例1 地面上有两个同心圆(如图),其半径分 π 别为 3、2,若图中两直线所夹锐角为 ,则向 4 最大圆内投点且投到图中阴影区域内的概率 为__________.

3π π ×22+ ×?32-22? S阴影 4 4 17 【解析】 概率 P= = = . S 9π 36

17 【答案】 36 【题后点评】

(1)当试验的结果构成的区域为长

度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用 几何概型求解.

(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结
果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需 要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.

变式训练
1. (2009 年高考山东卷)在区间[-1,1]上随机 πx 1 取一个数 x,cos 的值介于 0 到 之间的概率 2 2 为( ) 1 2 A. B. 3 π 1 2 C. D. 2 3

解析:选 A.在区间[-1,1]上随机取一个数,试验的全 部结果构成的区域长度为 2; π π π 又-1≤x≤1,∴- ≤ x≤ . 2 2 2 π 1 π π π π π π 由 0≤cos x≤ 得 ≤ x≤ 或- ≤ x≤- , 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 ∴ ≤x≤1 或-1≤x≤- . 3 3 π 1 设事件 A 为 cos x 的值介于 0 到 之间. 2 2 2 3 1 2 则事件 A 发生的区域长度为 .∴P(A)= = . 3 2 3

题型二 例2

古典概型 (2010年高考天津卷)有编号为A1,

A2,…,A10的10个零件,测量其直径(单位:

cm),得到下列数据:
A1 编 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 号 0 直 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 径 51 49 49 51 49 51 47 46 53 47

其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品. (1)从上述10个零件中,随机抽取1个,求这个零件为

一等品的概率;
(2)从一等品零件中,随机抽取2个: ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果;

②求这2个零件直径相等的概率.
【解】 (1)由所给数据可知, 一等品零件共有 6 个. 设 “从 10 个零件中,随机抽取 1 个为一等品”为事件 6 3 A,则 P(A)= = . 10 5

(2)①一等品零件的编号为 A1, 2, 3,A4,A5, A A A6, 从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个, 所有可能 的结果有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5}, {A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6}, {A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6}, {A5,A6},共有 15 种. ②“从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相 等”(记为事件 B)的所有可能结果有: 1, 4}, 1, {A A {A A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共 6 2 有 6 种,所以 P(B)= = . 15 5

【题后点评】

(1)解决古典概型问题要紧扣古典概

型的定义.古典概型具有两个特点:①试验中所有
可能出现的基本事件总数只有有限个;②每个基本 事件出现的可能性相等.古典概型的计算公式是 P(A)=,其中n是基本事件的总个数,m是事件A中 包含的基本事件的个数.

(2)在用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到
不重复、不遗漏,可借助“树状图”列举.

变式训练
2.(2010年高考福建卷)设平面向量am=(m,1), bn=(2,n),其中m,n∈{1,2,3,4}. (1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果;

(2)若“使得am⊥(am-bn)成立的(m,n)”为事件A,
求事件A发生的概率.

解:(1)有序数组(m,n)的所有可能结果为 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3), (2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),共 16 个. (2)由 am⊥(am-bn)得 m2-2m+1-n=0,即 n=(m-1)2. 由于 m,n∈{1,2,3,4},故事件 A 包含的基本 事件为(2,1)和(3,4),共 2 个. 又基本事件的总数为 16,故所求的概率为 2 1 P(A)= = . 16 8

题型三 互斥事件、对立事件的概率
例3
(本题满分12分)将一颗骰子先后抛

掷2次,观察向上的点数,求:
(1)两数之和为5的概率; (2)两数中至少有一个奇数的概率; (3)以第一次向上点数为横坐标x,第二次向 上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆

x2+y2=15的内部的概率.

【规范解答】 (1)将一颗骰子先后抛掷 2 次, 此问题中含有 36 个等可能基本事件. 记“两数之和为 5”为事件 A, 则事件 A 中含 4 1 有 4 个基本事件,所以 P(A)= = , 36 9 1 即两数之和为 5 的概率为 .4 分 9 (2)记“两数中至少有一个奇数”为事件 B, 则事件 B 与“两数均为偶数”为对立事件, 所 9 3 以 P(B)=1- = , 36 4 3 即两数中至少有一个奇数的概率为 .8 分 4

(3)基本事件总数为 36,点(x,y)在圆 x2+y2 =15 的内部记为事件 C,则 C 包含 8 个事件,所 8 2 以 P(C)= = , 36 9 2 2 2 即点(x, y)在圆 x +y =15 的内部的概率为 .12 分 9
【思维升华】 求解互斥事件、对立事件的概率问

题时,一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件,
还是对立事件;二要将所求事件的概率转化为互斥 事件、对立事件的概率;三要准确利用互斥事件、 对立事件的概率公式去计算所求事件的概率.

互动探究 3.本例中条件不变,求(1)两数中至少有一个大 于3的概率.

(2)以第一次向上点数为横坐标x,第二次向上的
点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=17的外部 的概率.

解:(1)设事件 A 为“两数中至少有一个大于 3”,则 A 表示“两数都小于或等于 3”,基本 事件总数为 36, A 包含的基本事件数为 9. 9 1 3 ∴P( A )= = ,∴P(A)=1-P( A )= . 36 4 4 (2)基本事件总数为 36, 设事件 B 表示“点 (x,y)在圆 x2+y2=17 的外部”,则 B 表示: 点(x,y)在圆 x2+y2=17 的内部或圆上,包含 10 个基本事件. 10 5 ∴P( B )= = , 36 18 5 13 ∴P(B)=1-P( B )=1- = . 18 18

方法突破
分 类 讨 论 例 已知关于 x 的二次函数 f(x)=ax2-4bx+1(a≠0). (1)设集合 P={-1,1,2,3,4,5}和 Q={-2, -1,1,2,3,4}, 分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b, 求函 数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数的概率;

?x+y-8≤0 ? (2)设点(a,b)是区域?x>0 ? ?y>0

内的随机点,求

函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数的概率.

【解】 (1)基本事件总数为 36 个.由于 函数 f(x)=ax2-4bx+1 的图象的对称轴为 x= 2b ,要使 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,当且 a 2b 仅当 a>0 且 ≤1, a>0 且 2b≤a 时成立. 即 a 若 a=1,则 b=-2,-1;若 a=2,则 b =-2,-1,1;若 a=3,则 b=-2,-1,1; 若 a=4,则 b=-2,-1,1,2;若 a=5,则 b =-2,-1,1,2. 故事件包含的基本事件的个数为 2+3+3+4 16 4 +4=16;因此所求概率为 = . 36 9

(2)由(1)可知当 a>0 且 2b≤a 时,y=f(x) 在[1,+∞)上是增函数. 由条件可知试验的全部结果所构成的区域为 ?a+b-8≤0 ? {(a,b)|?a>0 ? ?b>0 },画出构成事件的区域为一三

?a+b-8=0 ? 1 角形区域, 其面积为 ×8×8=32; 又由? a 2 ?b=2 ? 16 8 得交点坐标为( , ),故满足要求的基本事件的区域 3 3 32 3 1 1 8 32 的面积为 ×8× = ;故所求的概率为 P= = . 2 3 3 32 3

【题后点评】

注意区分第(1)问与第(2)问的

不同点:第(1)问为一个古典概型,解题的关 键是不重不漏地将满足要求的基本事件都一一 列举出来;第(2)问是一个几何概型,关键是

求出相应的面积,用面积比来求概率.

高考动态聚焦
考情分析 从近几年高考来看,本讲高考命题具有以下特点:

1.概率为每年高考的必考内容,主要考查互斥
事件与对立事件的关系、古典概型和几何概型. 2.考查形式既有选择题也有解答题,属于容易 题和中档题.估计今后几年高考中古典概型、几 何概型将是热点之一,复习时要给予高度重视.

真题聚焦

1. (2010 年高考安徽卷)甲从正方形四个顶 点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正 方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线, 则所得的两条直线相互垂直的概率是( 3 A. 18 5 C. 18 4 B. 18 6 D. 18 )

解析:选 C.甲共得 6 条,乙共得 6 条,共有 6×6=36 对,其中垂直的有 10 对, 10 5 ∴P= = . 36 18

2.(2010年高考湖南卷)在区间[-1,2]上随机 取一个数x,则x∈[0,1]的概率为 __________.

解析: 如图, 这是一个长度型的几何概型题, |CD| 1 所求概率 P= = . |AB| 3 1 答案: 3

3.(2010年高考辽宁卷)三张卡片上分别写上字
母E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰 好排成英文单词BEE的概率为__________.

解析: 三张卡片排成一排共有 BEE, EBE, EEB 1 三种情况,故恰好排成 BEE 的概率为 . 3 1 答案: 3


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