nbhkdz.com冰点文库

数列讲题精选


星火教育

数列讲题
1、在等差数列 中, , 。

2、已知数列

中,

是其前

项和,并且



⑴设数列

,求证:数列

是等比数列;

(1) 求数列

/>
的通项公式; ⑵设数列 ,求证:数列 是等差数列;

(2) 令

,求数列

的前 项和 ⑶求数列 的通项公式及前 项和。

1

星火教育

3、(2012 年高考(陕西理))设

的公比不为 1 的等比数列,其前

项和为

,且

成等差数列.

4、(2012 年高考(广东理))设数列 等差数列.

的前 项和为

,满足

,

,且







(1)求数列

的公比; (Ⅰ)求 的值;

(2)证明:对任意

,

成等差数列. (Ⅱ)求数列 的通项公式;

(Ⅲ)证明:对一切正整数 ,有

.

2

星火教育

6、设数列 5、在数列 中, (I)设 (I)设 ,求数列 的通项公式

的前 项和为

已知

,证明数列

是等比数列

(II)证明数列 (II)求数列 的前 项和

是等差数列,求数列

的通项公式。

3

星火教育

8、设函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,若对任意 x,y∈(0,+∞)都有:f(xy)=f(x) 7、 已知数列 是各项均不为 的等差数列, 公差为 , 为其前 项和, 且满足 , . 数列 +f(y)成立,数列{an}满足:a1=f(1)+1,

满足



为数列

的前 n 项和.

(1)求数列{an}的通项公式,并求 Sn 关于 n 的表达式; (1)求 、 和 ;

(2)若对任意的

,不等式

恒成立,求实数

的取值范围;

(2)设函数 g(x)对任意 x、y 都有:g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy,若 g(1)=1,正项数列{bn}满足: 数列{bn}的前 n 项和,试比较 4Sn 与 Tn 的大小。

,Tn 为

(3)是否存在正整数 明理由.

,使得

成等比数列?若存在,求出所有

的值;若不存在,请说

4

星火教育

数列讲题——教师版
⑵设数列 ■1、在等差数列 中, , 。 ⑶求数列 (1) 求数列 的通项公式; 2、解:(1)由 S (2) 令 ,求数列 的前 项和 =4a ,S =4a +2,两式相减,得 S -S =4(a -a ),即 a =4a -4a .(根据 b 的 的通项公式及前 项和。 ,求证:数列 是等差数列;

构造,如何把该式表示成 b

与 b 的关系是证明的关键,注意加强恒等变形能力的训练)

1、解:(1)设数列

的公差为

a

-2a

=2(a

-2a ),又 b =a

-2a ,所以 b

=2b





∴3

已知 S =4a +2,a =1,a +a =4a +2,解得 a =5,b =a -2a =3





∴d=



由①和②得,数列{b }是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故 b =3?2



(2)∴



……①



………②

①-②得:

=



■2、已知数列

中,

是其前 项和,并且

, 当 n≥2 时,S =4a +2=2 (3n-4)+2;当 n=1 时,S =a =1 也适合上式.

⑴设数列

,求证:数列

是等比数列; 综上可知,所求的求和公式为 S =2
5

(3n-4)+2.

星火教育

■3、(2012 年高考(陕西理))设

的公比不为 1 的等比数列,其前

项和为

,且

成等差数列.

(1)求数列

的公比;

(2)证明:对任意

,

成等差数列.

3、解析:(1)设数列

的公比为 (

)



成等差数列,得

,即





,解得

(舍去) 因此,对任意 , 成等差数列.



(2)证法一:对任意

所以,对任意

,

成等差数列

证法二

对任意

,

6

星火教育

■4、 (2012 年高考(广东理))设数列 等差数列.

的前 项和为

,满足

,

,且





成 考虑构造一个公比为 的等比数列 ,其前 项和为 ,希望能得到 ,

(Ⅰ)求

的值;

考虑到

,所以令

即可.由

的通项公式的形式可大胆尝试令

,则

,于是

,

(Ⅱ)求数列

的通项公式;

此时只需证明

就可以了.

(Ⅲ)证明:对一切正整数 ,有

.

当然, 的选取并不唯一,也可令

,此时

,

,与选取

不同的地方在于,当

时,

,当

时, 4、解析:(Ⅰ)由 ,解得 . 当 (Ⅱ)由 可得 ,所以数列 得, 式是 ,所以 . ,即 ( ( ( ),两式相减,可得 ,即 ,即 可 当 ),当 时, ,也满足该式子,所以数列 的通项公 时, 时,

,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法.

;当

时,

;当

时,

.

)是一个以

为首项,3 为公比的等比数列.由

,所以

. (Ⅲ)因为 ,所以 ,所以 ,于是 综上所述,命题获证.

. 下面再给出 的两个证法.

法 1:(数学归纳法) 点评:上述证法实质上是证明了一个加强命题 ,该加强命题的思考过程如下.

7

星火教育

①当

时,左边

,右边

,命题成立.

.

综上所述,命题获证. ②假设当 ( , )时成立,即 成立.为了证明当 时命题也成立,我们首先证明不等

式:

(

,

).

要证 证

,只需证 ,该式子明显成立,所以 .

,只需证

,只需证

,只需

于是当

时,

,所以命题在

时也成立.

综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数 ,有

.

备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识. 法 2:(裂项相消法)(南海中学钱耀周提供)



时,

显然成立.当

时,

显然成立.



时,

, 又因为

, 所以

(

),

所以

(

),所以

8

星火教育

■6、设数列 ■5、在数列 中, (I)设 (I)设 ,求数列 的通项公式 (II)证明数列 (II)求数列 的前 项和 6、解:(I)由 5、分析:(I)由已知有 由

的前 项和为

已知

,证明数列

是等比数列

是等差数列,求数列

的通项公式。



,有

,...①

则当

时,有

.....②

利用累差迭加即可求出数列

的通项公式:

(

)

②-①得

又 (II)由(I)知 ,



是首项

,公比为2的等比数列.

(II)由(I)可得 =



数列 而 ,又 是一个典型的错位相减法模型,

是首项为

,公差为

的等差数列.

, 易得 =

评析:09 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前 n 项和,一改往年的将 数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、 基本方法基本技能, 重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

9

星火教育

■7、 已知数列

是各项均不为

的等差数列,公差为



为其前

项和,且满足



.数列 . …………………………2 分

满足



为数列

的前 n 项和. 由 ,得 ,

(1)求





; 又 , ,则 . ………………………3 分

(2)若对任意的

,不等式

恒成立,求实数

的取值范围; ( 求法同法一)

(3)是否存在正整数 明理由.

,使得

成等比数列?若存在,求出所有

的值;若不存在,请说 (2)①当 为偶数时,要使不等式 立. …………………………………6 分 恒成立,即需不等式 恒成

7、解:(1)(法一)在

中,令





,等号在 得 即 ……………………………………2 分 此时 解得 , , ………………………………………3 分 需满足 .

时取得.

…………………………………………7 分



②当 为奇数时,要使不等式 立.

恒成立,即需不等式

恒成

…………………………………8 分

, 是随 的增大而增大, 时 取得最小值 .



……………………5 分

此时

需满足



…………………………………………9 分

综合①、②可得 (法二) 是等差数列,
10

的取值范围是



……………………… …………………10 分

星火教育

■8、设函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,若对任意 x,y∈(0,+∞)都有:f(xy)=f(x) +f(y)成立,数列{an}满足:a1=f(1)+1, (3) ,



成等比数列,则

,即

.…11 分

(1)求数列{an}的通项公式,并求 Sn 关于 n 的表达式;

(法一)由



可得



(2)设函数 g(x)对任意 x、y 都有:g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy,若 g(1)=1,正项数列{bn}满足: 数列{bn}的前 n 项和,试比较 4Sn 与 Tn 的大小。

,Tn 为





…………………………………12 分



……………………………………13 分



,且

,所以

,此时



因此,当且仅当



时, 数列

中的

成等比数列.…………14 分

(法二)因为

,故

,即



,(以下同上).

…………………………………………13 分

【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质,以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识;考查了学生 的函数思想方法,及其推理论证和探究的能力.

11


数列典型试题精选

数列典型试题精选_数学_高中教育_教育专区。数列典型试题精选数列的求和专题训练一、数列常用基本公式及结论: 1、数列的通项与数列的前 n 项和的关系: an ? (n...

数列题目精选(2015年各省高考数学数列大题精选)

数列题目精选(2015年各省高考数学数列题精选)_数学_高中教育_教育专区。数列题目精选(2015年各省高考数学数列题精选)数列题目精选(2015 年各省高考数学数列...

数列的应用之知识讲解、经典例题及答案

总结升华:该题是着眼于数列间的相互关系的问题,解题...这就是 说,如果固定年利率为 第二年所交纳的储备...笑话大全爆笑版 幽默笑话大全 全球冷笑话精选文档...

历年数列高考题及答案

历年数列高考题及答案_数学_高中教育_教育专区。1. (福建卷)已知等差数列 {a.... 8. (湖北卷)设等比数列 的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成...

数列经典例题导讲精

数​列​经​典​例​题​导​讲​精 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档第四章 数列§4.1 等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列:按...

数列性质练习题及答案

数列性质练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。难度中等,重点是考察函数定义、性质。适合新授课和复习课使用。数列性质练习题题(中等难度) 一、选择题 1、如果...

数列习题精讲

数列习题精讲_数学_高中教育_教育专区。数列重要知识点专项复习一、等差数列的有...数列通项公式习题精选精... 4页 1下载券 数列与算法有关习题精选... 2页...

第六讲:数列题精选

第六讲:数列题精选 高一数学讲座高一数学讲座隐藏>> 高一数学练习题(六)近年高考数列题摘编 1、 (05 年全国 I 卷)设等比数列 {a n } 的公比为 q ,前 n...

2015《数列》高考真题总结及答案

2015《数列》高考真题总结及答案_数学_高中教育_教育专区。2015《数列》高考真题...2 9 d= , 2 2 试题解析: (1)设 {an } 的公差为 d ,则由已知条件得...

高考文科数学数列专题讲解及高考真题精选(含答案)

(Ⅰ)设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,得 a-d+a+a...2013 ?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若不存在,说 明理由. 19. (...