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江苏省安宜高级中学2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题


江苏省安宜高级中学 2013-2014 学年高一上学期期中考试 数学试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分)
1、设集合 A ? {?2,0,1,3} , B ? {0,2,3,4} ,则 A ? B ? 2、用列举法表示集合 A ? ? x | ?2 ? x ? ▲ . ▲ ▲ . . 2013 . 11.

>? ?

3 ? , x ? z ? ,其结果应为 A= 2 ?

3、设 U ? R , A ? ? x | ?2 ? x ? 2? , B ? ? x | x ? 1? ,则 A ? ? U B = 4、下列各组函数中,是同一个函数的有 ①y ? x与y ? ③y? 5、函数 y ? ▲
2

.(填写序号)
2

x2 x

② y ? x 与 y ? ( x ? 1) ④y ? x与y ?
3

x 2 与 y ?| x |

x3
.

x ? log 2 (8 ? x) 的定义域是 x ?1
▲ .



6、式子 3 a a 用分数指数幂表示为

7、计算: (

1 ?3 1 ) 2 ? log 2 25 ? log3 8 ? log5 = 4 9
2



.

8、函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 1 在区间 [0, m] 上的最大值是 9、已知 a ? log 2 2, b ? ( )
3

29 ,则 m ? 4

▲ ▲

. .

2 3

?0.5

2 , c ? ( )0.3 ,则这三个数的大小关系是 3

(按从小到大的顺序) 10、已知函数 f ( x ) ? ?

? 2 x, x ? 2
2 ? x ? 2, x ? 2

,若 f ( x0 ) ? 8 ,则 x0 ? ▲



.

11、下列对应关系中,是从 A 到 B 的映射的有 ①

.(填写序号)

A ? ?1, 2,3? , B ? ?7,8,9? , f (1) ? f (2) ? 7, f (3) ? 8

② A ? N , B ? ?0,1, 2? , f : A 中的元素对应它除以 3 所得的余数;
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③ A ? B ? ?1, 2,3? ,

f : x ? 2x ?1
▲ .

12、函数 y ?| log3 ( x ? 2) | 的单调减区间是

13、已知函数 f (x) 满足 f (? x) ? f ( x), 且当 a, b ? (??,0) 时总有 中 a ? b . 若 f (m ? m ? 1) ? f (m ? 2) ,则实数 m 的取值范围是
2 2

f (a) ? f (b) ? 0 ,其 a ?b
▲ .

14、已知函数 f ( x) 是定义域为 (??,0) ? (0, ??) 的奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递增, 且 f (?2) ? 0 . 若

f ( x) ? 0 ,则 x 的取值范围是 x ?1



.

二、解答题 (共 6 道题,计 90 分) 15. (本题满分 14 分) 设全集为 R , 集合 A ? ? x | x ? 3 或 x ? 6 ? , B ? ? x |? 2 ? x ? 9? . (1)求 A ? B , ( ? U A ) ? B ; (2)已知 C ? ? x |a ? x ? a ? 1? ,若 C ? B ,求实数 a 的取值范围.

16、 (本题满分 14 分) (1)解方程: 5
2x

? 2 ? 5 x?1? 11 ? 0
3

(2)解不等式: log3 (9 x) ? log 1 ( x ? 1) ? log3 x

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17、 (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ?

◆[初始化] ◆[网格线] ◆[刻度线] (1)画出函数 的图象; ◆[刻度值] ◆[等单位长] ◆[坐标系/轴] (2)用单调性的定义证明:函数 ◆[修改标签] ◆[控制台]

? f ( x), x ? ?1 8 1 7 ? 4 , g ( x) ?| x ? 1| ? x ? , h( x) ? ? x ?1 3 3 ? g ( x), x ? ?1

y ? h( x )

y ? f ( x) 在 (??, 1) 上为减函数.
y

1 - 2 1
O

1

x

18、 (本题满分 15 分) 已知二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 x ? 4 x ;
2

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若方程 f ( x) ? k 在区间 [?1, 2] 上只有一个实数根,求实数 k 的取值范围;

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19、 (本题满分 16 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的 车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度 达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车 流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次 函数,即 v( x) ? k x ? b ( k , b 为常数) . (1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ( x ) 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/小时) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

20、 (本题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? x ( (1)求实数 a 的值; (2)当 x ? ?1,3? 时, 2 f ( x) ? ( ) ? x ? 0 恒成立,求 m 的取值范围.
m

1 ? a) 为偶函数. 2 ?1
x

1 2

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高一数学期中考试答案 20131105
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分)
1、 {0,3}
1

2、 {?1,0,1} 7、 ?4 8、

3、 {x | x ? 2}

4、③④

5、 {x | ?1 ? x ? 8} 10、 6 11、①②

6、 a 2

12、 (?2, ?1]

11 9、 a ? c ? b 2 13、 m ? ?1 14、 (?2,0) ? (1, 2)

二、解答题:
15、 (本题满分 14 分) 解: (1) A ? B =R………………………3 分(画数轴略,不画数轴不扣分)

?U A= ? x |3 ? x ? 6? , RA

∴ (? U A) ? B = ? x |3 ? x ? 6? …………9 分

(2)∵ C ? ? x |a ? x ? a ? 1? ,且 C ? B , ∴ ? ∴所求实数 a 的取值范围是 ?3 ? a ? 8 注:未考虑等号的,各扣 1 分,计扣 2 分。 16、 (本题满分 14 分) 解: (1)原方程可化为: (5 ? 11)(5 ? 1) ? 0
x x

?a ? ?2 …………12 分 ?a ? 1 ? 9
…………14 分

………2 分 ………5 分 ………7 分

由于 5 ? 1 ? 0 , 所以只有 5 ? 11,
x
x

所以原方程的根为 x ? log 5 11

(2)原不等式可化为: log3 9 ? log3 x ? log 1 ( x ? 1) ? log3 x ,
3

即: log 1 ( x ? 1) ? ?2
3

………9 分,

?x ?1 ? 9 ? ?x ?1 ? 0

所以原不等式的解集为 ? x |1 ? x ? 10? ………14 分 17、 (本题满分 15 分) 解: (1)函数 y ? h( x) 的图象
201311 高一数学试题

◆[初始化] ◆[网格线] ◆[刻度线] ◆[刻度值] ◆[等单位长] , ………12 ◆[坐标系/轴] ◆[修改标签] ◆[控制台]


y

1 第 5 页 共 -9 页 1
O

x

2 1

当 x ? ?1 时, g ( x) ?

2 4 x? 3 3

取点 (?1, ?2) 和 (2,0) ,得射线;……3 分

8 ? 4 ,取点 (?3, ?2) 和 (?1,0) x ?1 函数 y ? h( x) 的图象如图所示。………7 分
对 f ( x) ? 注: x ? ?1 时的图象,未经过整点 (?3, ?2) 和 (?1,0) 的,扣 1 分;画到 x 轴下方的,扣 1 分,图象上凸画成上凹的,此段不得分,即扣 4 分。 射线部分, 画成不经过整点 (?1, ?2) 和 (2,0) 的, 1 分, (?1, ?2) 画成实点的, 扣 点 扣 1 分; 【建议】 :教学中要强化对画图象的规范要求。教师示范,适当练习。 (2)任取 x1 , x2 ? (??, 1) ,设 x1 ? x2 ,…………9 分 因为 f ( x) ?

8 ?4 x ?1
8 8 8( x2 ? x1 ) ? 4) ? ( ? 4) ? …………11 分 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
又 x2 ? x1 ? 0 即: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 …………13 分 …………14 分 …………15 分

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (

而 x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, 所以

8( x2 ? x1 ) ? 0, ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

所以函数 y ? f ( x) 在 (??, 1) 上为减函数. 18、 (本题满分 15 分) 解: (1)设 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,所以,
2

f ( x ? 1) ? a( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) ? c (a ? 0) , f ( x ? 1) ? a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c (a ? 0)
∴ f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2ax ? 2bx ? 2a ? 2c ? 2 x ? 4 x
2

10

…………2 分
8

2

…………4 分
6

由条件得, a ? 1, b ? ?2, c ? ?1 ∴函数 f ( x) 的解析式 f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

…………7 分
4 …………10 分

(2)函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 , x ?[?1, 2] 的图象如图所示
2

当直线 y ? k 与图角的交点情况是: 当 k ? ?2 时,只有一个交点;
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15 10 2

第 6 页 共 9 页
5 5

2

当 ?2 ? k ? ?1 时,有两个交点; 当 ?1 ? k ? 2 时,只有一个交点;…………14 分 所以,方程 f ( x) ? k 在区间 [?1, 2] 上只有一个实数根, 此时 k ? ?2 或 ?1 ? k ? 2 另解: 方程 f ( x) ? k 可化为: ( x ? 1) ? 2 ? k
2

…………15 分

当 k ? ?2 时,有两个实根: x1 ? 1 ? 2 ? k , x2 ? 1 ? 2 ? k

………10 分

k ? ?2 时, x1 ? x2 ? 1? [?1, 2]

?2 ? k ? ?1 时, x1 , x2 ? [?1, 2] , 此时方程在区间 [?1, 2] 上有两个根。
?1 ? k ? 2 时, x1 ? [?1, 2], x2 ? 2 ,此时方程在区间 [?1, 2] 上只有一个根………14 分
所以,若方程 f ( x) ? k 在区间 [?1, 2] 上只有一个实数根,

k 的取值范围是 ?1 ? k ? 2 。………15 分
说明:用代数法讨论时,如果将两个相等的根,不认为是一个根,则不扣分。事实上,用 代数法讨论时,注意到对称轴是 x ? 1 ,则大根在区间内,小根必在;小根不在区间,大 根则必不在,这样讨论会很清晰。 19、 (本题满分 16 分)

解:(1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;…………………2 分 当 20≤x≤200 时,设 v(x)=kx+b,
1 ? ?k ? ? 3 ? 200k ? b ? 0 ? 再由已知,得 ? 解得 ? ? 20k ? b ? 60 ?b ? 200 ? 3 ?

…………………5 分

?60, 0 ? x ? 20 ? 故函数 v(x)的表达式为 v( x) ? ? 1 …………………7 分 200 ?? 3 x ? 3 , 20 ? x ? 200 ? ?60 x, 0 ? x ? 20 ? (2)依题意并由(1)可得 f ( x) ? ? 1 2 200 …………………9 分 ? x ? x, 20 ? x ? 200 ? 3 3 ?
当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数, 故当 x=20 时,其最大值为 60× 20=1200;
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………………… 11 分

1 1 2 10000 当 20<x≤200 时,f(x)=3x(200-x) = ? (x ? 100)+ 3 3 10 000 所以当且仅当 x=100 时,f(x) 最大值为 3 所以,当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 10 000 . ……14 分 3

10 000 3 ≈3333,. ……15 分

答:当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆 /小时.……………16 分 .

201311 高一数学试题

第 8 页 共 9 页

20、 (本题满分 16 分)

1 ? a) 为偶函数. 2 ?1 1 1 由 f (? x) ? f ( x) ,得 x( x +a)=-x( -x +a),…………3 分 2 -1 2 -1 1 1 2a=-( x + )=1,…………5 分 2 -1 2-x-1 1 1 解得,a=2 经检验 a= 符合题意. …………7 分 2 1 注:若由特殊值求出 a= ,一定要检验 f (? x) ? f ( x) 是否恒成立。否则扣 3 分. 2 1 m (2) 2 f ( x) ? ( ) ? x ? 0 恒成立对 x ? ?1,3? 恒成立, 2 1 1 1 ∴ 2 x( x ? ) ? ( ) m? x ? 0 2 ?1 2 2
解: (1)因为,函数 f ? x ? ? x (
x

∴(

1 m 1 1 ) ? 2( x ? ) 2 2 ?1 2

…………8 分

1 1 ∵ x + 在[1,3]上为减函数, 2 -1 2 ∴ 2(

…………10 分

1 1 ? ) ? 3 对 x ? ?1,3? 恒成立 2 ?1 2
x

…………13 分

m ∴( ) ? 3

1 2

…………15 分 …………16 分

所以 m 的取值范围是 m ? log 1 3
2

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