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2.1~2.2平面向量的概念及线性运算(含答案)

时间:2011-09-09


(必修 4)2.1~2.2 平面向量的概念及线性运算 )
林建廷 一.选择题 1.下列命题正确的是( ) A.若 a ∥ b ,则 a 与 b 同向 B.若 a ∥ b ,则 a 与 b 同向或反向 C.若 a = 0 ,则 a 与 0 共线 D.若 a 不为 0 ,则 a 与 0 不共线 uuu uuu uuur r r 2.如图 1 所示,向量 OA OB, 的终点

A,B,C 在一条直线上, , OC
uuur uuu r uuu r uuu r uuur 且 AC = ?3CB ,设 OA = p , OB = q , OC = r ,则以下等式中成

立的是( A. r = ? C. r =


1 3 p+ q 2 2

B. r = ? p + 2q D. r = ?q + 2 p )

3 1 p? q 2 2

3.如图 2 所示,在菱形 ABCD 中, ∠DAB = 120o ,则以下说法错误的是( uuu r uuu r A.与 AB 相等的向量只有一个(不含 AB 本身) uuu r uuu r B.与 AB 的模相等的向量只有 4 个(不含 AB 本身) uuu r uuu r C. BD 的长度恰为 DA 的长度的 3 倍
uuu r uuu r D. CB 与 DA 不共线

4.将

1 [2(2a + 8b) ? 4(4a ? 2b)] 化简成最简式为( 12



C. a ? b D. 2b ? a uuu uuu uuur r r 5.已知 G 是 △ ABC 的重心,如图 1 所示,则 GA + GB ? GC = ( ) A. 0
uuur C. 4GD uuu r B. 4GE uuur D. 4GF

A. 2a ? b

B. b ? a

uuu r uuur uuu r 6.若 AB = 9 , AC = 6 ,则 BC 的取值范围为(



, A. [3 15]
二.填空题

, B. [3 9]

, C. (3 15)

9] D. [6,

7.已知非零向量 e1 和 e2 不共线,欲使 t e1 + e2 和 e1 + t e2 共线,

1

则实数 t 的值为



uuu r uuur uuuu r 8.平行四边形 ABCD 中, M 为 DC 中点, N 为 BC 的中点.设 AB = a , AD = b ,则 MN =

(用 a , b 表示) .
uuu r uuur uuu r 9.已知菱形 ABCD 的边长为 1, ∠ABC = 60o, = a , AC = c , BC = b ,则 a + b + c = AB . uuu r uuu r uuu r uuu r 10.已知 OA = a ,OB = b ,若 OA = 12 , OB = 5 ,且 ∠AOB = 90o ,则 a ? b = uuu r uuu uuur r 11.在菱形 ABCD 中, ∠DAB = 60o , AB = 1 ,则 BC + DC = .



12.在静水中划船速度是 10 米/分钟,水流速度 10 米/分钟,如果船从岸边径直沿垂直于 水流方向行走,那么船实际行进速度应是 .实际行进方向与水流方向的夹角为 .

三.解答题 13.两个非零向量 e1,e2 不共线. uuu r uuu r uuu r (1)若 AB = e1 + e2 , BC = 2e1 + 8e2 , CD = 3(e1 ? e2 ) ,求证: A,B,D 三点共线;
(2)求实数 k ,使 k e1 + e2 与 2e1 + k e2 共线. uuur uuu uuu uuu r r r uuu r (1)证明:Q AD = AB + BC + CD = 6e1 + 6e2 = 6AB ,

. 14.一艘军舰从基地 A 出发向东航行了 200 海里到达基地 B ,然后又改变航向向东偏北 60o 航行了 400 海里到达 C 岛,最后又改变航行,向西航行了 200 海里到达 D 岛. uuu uuu uuu r r r (1)试作出向量 AB, , ; BC CD

uuur (2)求 AD .

2

15.如图 4,在 △ ABC 中,在 AC 上取点 N ,使得 AN =
AM =

1 AC ,在 AB 上取点 M ,使得 3

1 1 AB ,在 BN 的延长线上取点 P ,使得 NP = BN ,在 CM 的延长线上取点 Q ,使得 3 2

1 MQ = CM ,用向量的方法证明 P,A,Q 三点共线. 2

16.一架飞机向北飞行 300 km,然后改变方向向西飞行 400 km,求飞机飞行的路程及两次 位移的合成.

17.已知

uuu r uuu r ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O ,且 OA = a , OB = b ,用向量 a , b 分 uuur uuur uuur uuu r

别表示向量 OC , OD , DC , BC .

D O

C

a
A

b B

3

18.飞机从甲地以北偏西 15? 的方向飞行 1400 km 到达乙地,再从乙地以南偏东 75? 的方向 飞行 1400 km 到达丙地. 试画出飞机飞行的位移示意图, 并说明丙地在甲地的什么方向?丙 地距甲地多远?

第 19 题.如图, AM = 求证: MN =

uuuu r

r 1 uuu uuur 1 uuur AB , AN = AC . 3 3

uuuu r

r 1 uuu BC . 3
C N

A
M B

4

(必修 4)2.1~2.2 平面向量的概念及线性运算 ) 答案
一.选择题 1~5 CADDD 6 A 二.填空题 1 7. ±1 8. ( a ? b ) 2 三.解答题 第 13 题.
uuur uuu uuu uuu r r r uuu r (1)证明:Q AD = AB + BC + CD = 6e1 + 6e2 = 6AB ,
∴ A,B,D 三点共线; (2)解:Q k e1 + e2 与 2e1 + k e2 共线, ∴k e1 + e2 = λ ( 2e1 + k e2 ) , ∴ (k ? 2λ ) e1 + (1 ? λ k ) e2 = 0 ,

9 .2

10.13

11. 3

12. 10 2 米/分钟; 45o

? k ? 2λ = 0, ∴? ?k =± 2. ?1 ? λ k,

第 14 题.

uuu uuu uuu r r r 解: 1)向量 AB, , 如右图所示. ( BC CD
uuu r uuu r uuu r uuu r (2)根据题意,易知 AB 和 CD 方向相反,故 AB 与 CD 共线. uuu r uuu r 又 AB = CD ,
∴ 在四边形 ABCD 中, AB ∥CD ,四边形 ABCD 是平行四边形,

uuur uuu r uuur uuu r ∴ AD = BC ,∴ AD = BC = 400 海里.

第 15 题. uuu uuu uuu 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuu r r r r 证明:Q AP = NP ? NA = ( BN ? CN ) = ( BN + NC ) = BC , 2 2 2 uuu uuur uuuu 1 uuuu uuuu r r r r 1 uuuu uuuu r r 1 uuu r QA = MA ? MQ = ( BM ? CM ) = ( BM + MC ) = BC , 2 2 2 uuu uuu r r ∴ AP = QA ,
∴ P,A,Q 三点共线.

第 16 题. 飞机飞行的路程是 700 km;两次位移的合成是向北偏西约 53? 方向飞行 500 km.
5

第 17 题.

uuur uuur uuur uuu r OC = ?a , OD = ?b , DC = b ? a , BC = ?a ? b .
第 18 题. 丙地在甲地的北偏东 45? 方向,距甲地 1400 km. 第 19 题. 证明:因为 MN = AN ? AM ,

uuuu r

uuur uuuu r

r r 1 uuur uuuu 1 uuu AC , AM = AB , 3 3 uuuu 1 uuur 1 uuu 1 uuur uuu r r r 1 uuu r 所以 MN = AC ? AB = AC ? AB = BC . 3 3 3 3
而 AN =

uuur

(

)

6


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