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高考调研2016年专题研究 2函数模型及其应用


高考调研

新课标版 ·数学(理) ·高三总复习

专题研究

函数模型及其应用

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第二章

函数与基本初等函数

高考调研

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专题讲解


题 组 层 级 快 练

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第二章

函数与基本初等函数

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专 题 讲 解

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第二章

函数与基本初等函数

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题型一 二次函数模型

例 1

某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产

品,其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系 x2 式可以近似地表示为 y= 5 -48x+8 000,已知此生产线年产 量最大为 210 吨.

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第二章

函数与基本初等函数

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(1) 求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最
低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为40万元,则当年产量为多少 吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

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函数与基本初等函数

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【 解 析 】

( 1 ) 每 吨 平 均 成 本 为

y 元 ). x(万

0 0 0 y x 8 则x=5+ x -4 8 ≥2

0 0 0 x8 x 8 =3 2 ,当且仅当5 5· x -4

8 000 = x ,即 x=200 时取等号. ∴年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低,最低为 32 万元.

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第二章

函数与基本初等函数

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( 2 ) 设 可 获 得 总 利 润 为 R(x)万 元 .

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x2 则 R(x)=4 0 x-y=4 0 x- 5 +4 8 x-80 0 0 1 0 0 0 = - 5(x-2 2 0 ) ∵R(x)在[ 0 2 ,1 0 ]
2

x2 = - 5 +8 8 x-8

+1 6 8 0 ( 0

≤x≤2 1 0 ) .

上 是 增 函 数 ,

∴x=2 1 0 时 , R(x)有 最 大 值 为 1 -5( 2 1 0 -2 2 0 ) ∴年 产 量 为
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2

+1 6 8 0

=1 6 6 0 . 1 6 6 0 万 元 .

2 1 0 吨 时 , 可 获 得 最 大 利 润
第二章

函数与基本初等函数

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【答案】 低为32万元

(1)年产量为200吨时,每吨平均成本最低,最

(2)年产量为210吨时,可获得最大利润1 660万元

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第二章

函数与基本初等函数

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探究1

二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型

可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时,一
定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要 注意对称轴与给定区间的关系:若对称轴在给定的区间内, 可在对称轴处取最值,在离对称轴较远的端点处取另一最 值;若对称轴不在给定的区间内,最值都在区间的端点处取 得.

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第二章

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思考题1

某企业为打入国际市场,决定从A,B两

种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产

品的有关数据如下表所示:(单位:万美元)
项目 年固定成 类别 A产品 B产品 本 20 每件产品 成本 m 每件产品 销售价 10 每年最多 可生产的

件数
200

40

8

18

120

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其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其

值由生产A产品的原材料价格决定,预计m∈[6,8].另外,年
销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税.假设生产出 来的产品都能在当年销售出去. (1) 写出该厂分别投资生产 A ,B 两种产品的年利润 y1 , y2 与生产相应产品的件数x之间的函数关系,并指明其定义域; (2) 如何投资最合理 ( 可获得最大年利润 ) ?请你作出规 划.

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函数与基本初等函数

高考调研 【解析】

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(1)由年销售量为x件,按利润的计算公式,得

生产A,B两种产品的年利润y1,y2分别为 y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20(x∈N,0≤x≤200), y2 = 18x - (40 + 8x) - 0.05x2 = - 0.05x2 + 10x - 40(x∈N,0≤x≤120).

(2)因为6≤m≤8,
所以10-m>0,函数y1=(10-m)x-20在[0,200]上是增函 数. 所以当x=200时,生产A产品有最大利润为(10-m)×200 -20=1 980-200m(万美元).
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又 y2 = -0 0 .5 ( 元. x-1 0 0 )
2

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+4 6 0 ( x∈N,0≤x≤120),

所以当 x=100 时,生产 B 产品有最大利润为 460 万美

因 为 y1max - y2max = 1 980 - 200m - 460 = 1 520 - ?>0,6≤m<7.6, ? 200m?=0,m=7.6, ?<0,7.6<m≤8. ? 所以当 6≤m<7.6 时,可投资生产 A 产品 200 件; 当 m=7.6 时,生产 A 产品与生产 B 产品均可; 当 7.6<m≤8 时,可投资生产 B 产品 100 件.
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【答案】 (1)y1=(10-m)x-20(x∈N,0≤x≤200)
y2=-0.05x2+10x-40(x∈N,0≤x≤120) (2)当6≤m<7.6时,可投资生产A产品200件; 当m=7.6时,生产A产品与生产B产品均可; 当7.6<m≤8时,可投资生产B产品100件

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函数与基本初等函数

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题型二 分段函数模型 例2 某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分别

在国内和国外上市销售,并且价格根据销售情况不断进行调 整,结果40天内全部销完.公司对销售及销售利润进行了调 研,结果如图所示,其中图① ( 一条折线 ) 、图② (一条抛物线 段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系,图 ③是每件样品的销售利润与上市时间的关系.

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(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及 国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系;

(2) 国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于 6
300万元?若有,请说明是上市后的第几天;若没有,请说明 理由.
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【 解 析 】 法 , 得

( 1 ) 图①是 两 条 线 段 , 由 一 次 函 数 及 待 定 系 数

? ?2t,0≤t≤30, f(t)=? ? ?-6t+240,30<t≤40.

图②是一个二次函数的部分图像, 3 2 故 g(t)=-20t +6t(0≤t≤40).

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( 2 ) 每 件 样 品 的 销 售 利 润
? ?3t,0≤t≤20, =? ? ?60,20<t≤40.

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h(t)与 上 市 时 间

t 的 关 系 为

h(t)

故国外和国内的日销售利润之和 F(t)与上市时间 t 的关 系为 ? ?3t?- 3 t2+8t?,0≤t≤20, 20 ? ? 3 2 F(t)=?60?-20t +8t?,20<t≤30, ? ? 3 2 60?-20t +240?,30<t≤40. ? ?
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3 2 9 3 2 当 0≤t≤2 0 时 , F(t)=3t(-2 t + 8 t ) = - t + 2 4 t . 0 2 0 27 2 27 ∴F′(t)=-20t +48t=t(48-20t)≥0. ∴F(t)在[0,20]上是增函数. ∴F(t)在此区间上的最大值为 F(20)=6 000<6 300. 3 2 当 20<t≤30 时,F(t)=60(-20t +8t). 由 F(t)=6 300,得 3t2-160t+2 100=0. 70 解得 t= 3 (舍去)或 t=30.
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3 2 当 30<t≤40 时,F(t)=60(-20t +240). 由 F(t)在(30,40]上是减函数,得 F(t)<F(30)=6 300. 故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于 6 300 万 元,为上市后的第 30 天.
【答案】
? ?2t,0≤t≤30, (1)f(t)=? ? ?-6t+240,30<t≤40

3 2 g(t)=-20t +6t(0≤t≤40) (2)当上市后的第 30 天满足题意
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探究2

(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规

律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别
找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别 是端点值. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理 不重不漏.

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思考题2

某市居民自来水收费标准如下:每户每

月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过 部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙 两户该月用水量分别为5x,3x(吨). (1)求y关于x的函数; (2) 若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙 两户该月的用水量和水费. 【解析】 (1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的

用水量也不超过4吨,y=1.8(5x+3x)=14.4x;
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函数与基本初等函数

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当 甲 的 用 水 量 超 过

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4吨 时 , 乙 的 用 水 量 不 超 过

4吨 , 即

3x≤4,且 5x>4 时,y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x- 4.8. 当乙的用水量超过 4 吨,即 3x>4 时, y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)]=24x-9.6. ? ?14.4x, 0≤x≤4, 5 ? ? 4 4 所以 y=?20.4x-4.8, 5<x≤3, ? ? 4 24x-9.6, x>3. ? ?
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函数与基本初等函数

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( 2 ) 由 于 y=f(x)在 各 段 区 间 上 均 单 调 递 增 ; 4 4 当 x∈[0,5]时,y≤f(5)<26.4; 4 4 4 当 x∈(5,3]时,y≤f(3)<26.4;

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4 当 x∈(3,+∞)时,令 24x-9.6=26.4,解得 x=1.5. 所以甲户用水量为 5x=5×1.5=7.5 吨; 付费 S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元); 乙户用水量为 3x=4.5 吨, 付费 S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元).
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【 答 案 】

4 ? ?1 4 4 . x, 0≤x≤5, ? ? 4 4 0 4 . x-4 8 . , 5<x≤3, ( 1 ) y=?2 ? ? 4 2 4 x-9 6 . , x>3 ? ? 7 5 . 吨 , 付 费 4 5 . 吨 , 付 费 8 7 .0 1 7 7 .0 元 元

( 2 ) 甲 户 用 水 量 为 乙 户 用 水 量 为

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题型三 例3

指数函数的模型

某城市现有人口总数为 100 万人,如果年自然增长

率为1.2%,试解答下面的问题: (1) 写出该城市人口总数 y( 万人 ) 与年数 x( 年 ) 的函数关系 式;

(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);
(3) 计算大约多少年以后该城市人口将达到 120万人 ( 精确 到1年).(1.01210=1.127,1.01215=1.196,1.01216=1.210)
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【解析】

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(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1
+1.2%), 2 年后该城市人口总数为 y = 100×(1 + 1.2%) + 100×(1 + 1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2, 3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+ 1.2%)2×1.2% =100×(1+1.2%)2×(1+1.2%) =100×(1+1.2%)3. … x年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)x(x∈N*).
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(2)10年后人口总数为

100×(1+1.2%)10≈112.7(万人).
(3)设x年后该城市人口将达到120万人, 即100×(1+1.2%)x=120,x=log1.0121.20≈16(年). 因此,大约16年以后该城市人口将达到120万人. 【答案】 (1)y=100×(1+1.2%)x(x∈N*) (2)112.7万人 (3)16

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探究3

此类增长率问题,在实际问题中常可以用指数函

数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)和 幂函数模型 y = a(1 + x)n( 其中 a 为基础数, x 为增长率, n 为时 间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格 中给定的值对应求解.

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思考题3

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2009年12月20日是世界人口日:

(1)世界人口在过去40年内翻了一番,问每年人口平均增

长率是多少?
(2)我国人口在2009年底达到12.48亿,若将人口平均增长 率控制在1%以内,则我国人口在2019年底至多有多少亿? 以下数据供计算时使用:

数N
对数lgN 数N 对数lgN
第31页

1.010
0.004 3 3.000 0.477 1

1.015
0.006 5 5.000 0.699 0

1.017
0.007 3 12.48 1.096 2
第二章

1.310
0.117 3 13.11 1.117 6

2.000
0.301 0 13.78 1.139 2

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【思路】

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增长率问题是指数函数与幂函数问题,利用

已知条件,列出函数模型.
【解析】 数为 y, 则 y· (1+x)n=60,则当 n=40 时,y=30. 即 30(1+x)40=60,∴(1+x)40=2. 两边取对数,则 40lg(1+x)=lg2. lg2 则 lg(1+x)= 40 =0.007 526. ∴1+x≈1.017,得 x=1.7%.
第32页

(1)设每年人口平均增长为 x,n 年前的人口

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(2)依题意,y≤12.48(1+1%)10,
得lgy≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2. ∴y≤13.78,故人口至多有13.78亿. 【答案】 (1)每年人口平均增长率为1.7% (2)2019年人口至多有13.78亿.

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解答应用问题的程序概括为“四步八字”,即 ①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系, 初步选择模型; ②建模:把自然语言转化为数学语言,将文字语言转化 为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; ③求模:求解数学模型,得出数学结论; ④还原:将数学结论还原为实际问题的意义.

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题组层级快练

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