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南师附中2016届高三自主招生辅导讲义2-电路


2016 届高三自主招生辅导讲义

电路
一、电路的基本知识 【例 1】为了使一圆柱形导体棒电阻不随温度变化,可将两根截面积相同的碳棒和铁棒串联 起来,已知碳的电阻率为 ?0碳 ? 3.5 ?10 ? ? m ,电阻率温度系数 ? 碳 ? ?5 ?10 ℃
?5 ?4

?1



/>而铁 ?0铁 ? 8.9 ?10 ? ? m , 铁 ℃ 求这两棒的长度之比是多少? 解: 各种材料的长度和截面积都会随温度变化而变化,但它们电阻率的变化比线度的 变化要明显得多(一般相差两个数量级) ,因此可以忽略线度的变化。
?8

? ? 5 ? 10

?3

?1

将? ?

R ? R0 ?1 ? ?t ?

? 0 ?1 ? ?t ? 代入 R ? ?L / S ,得

式中 R0 为材料 0℃时电阻 将碳棒和铁棒串联,总电阻为

R ? R碳 ? R铁 ? R0碳 ? R0铁 ? R0碳? 碳t ? R0铁? 铁t
要 R 不随温度变化,必须有 由R?

R0碳? 碳t ? R0铁? 铁t ? 0
L铁 L碳

?

? 碳? 碳 3.5 ? 10?5 ? ?? 5 ? 10?4 ? ?? ? 铁? 铁 8.9 ? 10?8 ? 5 ? 10?3

?L / S ,可知截面积相同的两棒长度之比为
? 39 .3 : 1

二、纯电阻电路的简化和等效 在复杂电路中,当导体间串、并联的组合关系不很规则时,要进行电路 的简化,简化电路方法较多,这里介绍几种常用的方法: 1.分支法: 【例 2】画出图(甲)的等效电路。 【解析】第一支线:以 A 经电阻 R1 到 B(原则上以最简便直观的支路为 第一支线). 第二支线:以 A 经由电阻 R2 到 C 到 B. 第三支线:以 A 经电阻 R3 到 D 再经 R4 到 B 以上三支线并联,且 C、D 间接有 S.简化图(乙)所示. 2.等势缩点法: 将电路中电势相等的点缩为一点,是电路简化的途径之一。至于哪些点的电势相等,则 需要具体问题具体分析—— 【例 3】 在图甲所示的电路中, R1 = R2 = R 3 = R4 = R 5 = R , 试求 A、 B 两端的等效电阻 RAB 。 【模型分析】这是一个基本的等势缩点的事例,用到的是物理常识是:导线是等势体, 用导线相连的点可以缩为一点。将图 8-4 甲图中的 A、D 缩为一点 A 后,成为图 8-4 乙图

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对于图 8-4 的乙图,求 RAB 就容易了。 【答案】RAB =
3 R 。 8

【例 4】在图甲所示的电路中,R1 = 1Ω ,R2 = 4Ω ,R3 = 3Ω ,R4 = 12Ω ,R5 = 10Ω ,试 求 A、B 两端的等效电阻 RAB 。 【模型分析】这就是所谓的桥式电路,这里先介绍简单的情形:将 A、B 两端接入电源, 并假设 R5 不存在,C、D 两点的电势有什么关系? ☆学员判断…→结论:相等。 因此,将 C、D 缩为一点 C 后,电路等效为图 8-5 乙

对于图 8-5 的乙图,求 RAB 是非常容易的。事实上,只要满足 桥式电路称为“平衡电桥” 。 【答案】RAB =
15 Ω 。 4

R1 R 3 = 的关系,我们把 R2 R4

〖相关介绍〗英国物理学家惠斯登曾将图 8-5 中的 R5 换成灵敏电流计○ G ,将 R1 、R2 中的 某一个电阻换成待测电阻、将 R3 、R4 换成带触头的电阻丝,通过调节触头 P 的位置,观察 电流计示数为零来测量带测电阻 Rx 的值, 这种测量电阻 的方案几乎没有系统误差, 历史上称之为“惠斯登电桥”。 请参照图 8-6 思考惠斯登电桥测量电阻的原理,并 写出 Rx 的表达式 (触头两端的电阻丝长度 LAC 和 LCB 是 可以通过设置好的标尺读出的) 。 【答案】Rx =
L CB R0 。 L AC

【例 5】在图 8-7 甲所示的有限网络中,每一小段导体
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的电阻均为 R ,试求 A、B 两点之间的等效电阻 RAB 。 【模型分析】在本模型中,我们介绍“对称等势”的思想。当我们将 A、B 两端接入电 源,电流从 A 流向 B 时,相对 A、B 连线对称的点电流流动的情形必然是完全相同的,即: 在图 8-7 乙图中标号为 1 的点电势彼此相等, 标号为 2 的点电势彼此相等?。 将它们缩点后, 1 点和 B 点之间的等效电路如图 8-7 丙所示。

不难求出,R1B = 【答案】RAB =

5 R ,而 RAB = 2R1B 。 14

5 R 。 7

3.电流注入法: 【例 6】对图 8-9 所示无限网络,求 A、B 两点间的电阻 RAB 。 【模型分析】 显然, 等势缩点和△→Y 型变换均不适 用这种网络的计算。这里介绍“电流注入法”的应用。 应用电流注入法的依据是:对于任何一个等效电阻 R,欧姆定律都是适用的,而且,对于每一段导体,欧姆 定律也是适用的。 现在,当我们将无穷远接地,A 点接电源正极,从 A 点注入电流 I 时,AB 小段导体的电流必为 I/3 ; 当我们将无穷远接地,B 点接电源负极,从 B 点抽 出电流 I 时,AB 小段导体的电流必为 I/3 ; 那么, 当上面“注入” 和“抽出” 的过程同时进行时, AB 小段导体的电流必为 2I/3 。 最后, 分别对导体和整个网络应用欧姆定律, 即不难求出 RAB 。 【答案】RAB = R 。 【例 7】将电阻 r1、r2、r3、r4 各三个共 12 个连成立方形系统,如 图所示,求等效电阻 RAB
2 3

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【例 8】10 根电阻均为 r 的电阻丝接成如图 2-4-13 所示的网络,试求出 A、B 两点之间的等 效电阻 RAB 。 由结构对称性, 要求电流 I 从 A 点流入后在 A 点的电流分布应与电流 I 从 B 点流出前的 电流分布相同,中间四方形必具有上、下电流分布对称和左、右电流分布对称,因此网络内 电流分布应如图 2-4-14 所示。对图中 C 点和 D 点,有电流关联

?I
I1 ? I 2 ?

I ? I 1 ? I 2 ? ?I 1 ? I 2 ?
1

? I 2 ? ? I 2 ? I ? I1

解得 由 A、E 两点间不同路线等电压的要求,得

1 I 2



I1 ? 2r ? ( I ? I1 )r ? I 2 r
即 3I 2 ? I1 ? I 解①、②两式 ② 得

E I1 ? I 2 I ? I 1 B D A

I1 ?
选择线路 AEDB,可得

3 1 I, I2 ? I 8 8

I ? I 1 C I1 ? I 2

U AB ? I1 ? 2r ? ?I1 ? I 2 ?r ? ?I ? I1 ?r

图 2-4-14
15 ? Ir 8
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因此,A、B 间等效电阻便为

RAB ?

U AB 15 ? r I 8

4.添加等效法 【例 9】在图 8-11 甲所示无限网络中,每个电阻的阻值均为 R ,试求 A、B 两点间的电阻 RAB 。

【模型分析】解这类问题,我们要用到一种数学思想,那就是:无穷大和有限数的和仍 为无穷大。在此模型中,我们可以将“并联一个 R 再串联一个 R”作为电路的一级,总电 路是这样无穷级的叠加。在图 8-11 乙图中,虚线部分右边可以看成原有无限网络,当它添 加一级后,仍为无限网络,即 RAB∥R + R = RAB 解这个方程就得出了 RAB 的值。 【答案】RAB =
1? 5 R 。 2

〖学员思考〗本题是否可以用“电流注入法”求解? 〖解说〗可以,在 A 端注入电流 I 后,设第一级的并联电阻分流为 I1 ,则结合基尔霍 夫第一定律和应有的比例关系,可以得出相应的电流值如图 8-12 所示 对图中的中间回路,应用基尔霍夫第二定律,有 (I ? I1)R + (I ? I1) 解得 I1 =
5 ?1 I 2
1? 5 5 ?1 IR = IR 2 2
I1 R ? I1R = 0 I

很显然 UA ? IR ? I1R = UB 即 UAB = IR + 最后,RAB =
UAB I

=

1? 5 R 。 2

【例 10】如图 2-4-15 所示,框架是用同种金属丝制成的,单位长度的

电阻为 ? ,一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷,取 AB 边长 为 a,以下每个三角形的边长依次减小一半,则框架上 A、B 两点间的 电阻为多大? 从对称性考虑原电路可以用如图 2-4-16 所示的等效电路来代替, 同 时我们用电阻为 RAB

A

B

图 2-4-15

/ 2 的电阻器来代替由无数层“格子”所构成的
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“内”三角,并且电阻是 RAB 这样的, RAB

? Rx , R ? a? 因此
R/2 R/2 R/2
B

? RRx / 2 ? ? RRx / 2 ? ? ? ? Rx ? R? R ? ? R ? R ? ? ? ? ? R ? R / 2 R ? R / 2 x x ? ? ? ?
解此方程得到

RAB ? Rx ?

7 ?1 1 R? 3 3

?

7 ? 1 a?

?

A

Rx / 2 R/2
R

【例 11】在图 8-13 甲所示的三维无限网络中,每两个节点之间的导 图 2-4-16 体电阻均为 R ,试求 A、B 两点间的等效电阻 RAB 。 【解说】当 A、B 两端接入电源时,根据“对称等势”的思想可 知,C、D、E?各点的电势是彼此相等的,电势相等的点可以缩为一点,它们之间的电阻也 可以看成不存在。这里取后一中思想,将 CD 间的导体、DE 间的导体?取走后,电路可以 等效为图 8-13 乙所示的二维无限网络。

对于这个二维无限网络,不难求出 R′= 显然,RAB = R′∥ 【答案】RAB =
2 21
2R ∥R′ 3

3 ? 21 R 3

R 。

4.△→Y 型变换(后面再讨论) 三、基尔霍夫(克希科夫)定律 1.基尔霍夫第一定律:对电路中任何一个节点,流出的电流之和等于流入 的电流之和。

?I

i入

? ? I j出
?0

或可表达为:汇于节点的各支路电流强度的代数和为零。

?? I

i

若规定流入电流为正,则从节点流出的电流强度加负号。对于有 n 个节点的完整回路, 可列出 n 个方程,实际上只有 n ? 1个方程是独立的。 2.基尔霍夫第二定律:沿回路环绕一周,电势降落的代数和为零,即

? ? ? ? ? ?? I
i

j

Rj ? ? 0

对于给定的回路绕行方向,理想电源,从正极到负极,电势降落为正,反之为负;对电 阻及内阻,若沿电流方向则电势降落为正,反之为负。若复杂电路包括 m 个独立回路,则 有 m 个独立回路方程。 基尔霍夫第二定律事实上是含源部分电路欧姆定律的变体。
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【例 12】如图所示电路中,已知

?1 ? 32V , ? 2 ? 24V , R1 ? 5?, R2 ? 6?, R3 ? 54?,
求各支路的电流。 分析: 题中电路共有 2 个节点,故可列出一个节点方程。而支路 3 个,只有二个独立 的回路,因而能列出两个回路方程。三个方程恰好满足求解条件。 解: 规定 I1、I 2、I 3 正方向如图所示,则有
?1
R1
I1

I3

I1 ? I 2 ? I 3 ? 0
两个独立回路,有

I2

?2
R3

? ?1 ? ? 2 ? I 2 R2 ? I1R1 ? 0 ? ? 2 ? I 2 R2 ? I 3 R3 ? 0 联解方程得: I1 ? 1A,I 2 ? ?0. A, I 3 ? 0.5 A I 2 <0,说明 I 2 实际电流方向与图中所假定电流方向相反。

R2

四、Y—△变换 在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的 Y 型或△,如图 2-4-8 所示,有时把 Y 型联接 代换成等效的△型联接,或把△型联接代换成等效的 Y 型联接,可使电路变为串、并联, 从而简化计算,等效代换要求 Y 型联接三个端纽的电压 U12、U 23、U31 及流过的电流

I1、I 2、I 3 与△型联接的三个端纽相同。
在 Y 型电路中有

I 1 R1 ? I 2 R2 ? U 12 I 3 R3 ? I 1 R1 ? U 31 I1 ? I 2 ? I 3 ? 0
可解得

I1

1

R1

R2
O R3

2 I2

1

I1

R12

2

I2

R31
I3 3

R23

I3 3

I1 ?

R3 R2 U 12 ? U 31 R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1
在△型电路中

图 2-4-8

I12 ? I 31 ?

U12 R12 U 31 R31

I1 ? I12 ? I 31 I1 ? U12 U 31 ? R12 R31

等效即满足:

R3 U12 U 31 R2 ? ? U12 ? U 31 R12 R31 R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R R ? R2 R3 ? R3 R1 R12 ? 1 2 R3 即 ①
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R31 ?

R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R2
R23 ? R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R1



类似方法可得 ③ ①、②、③式是将 Y 型网络变换到△型电路中的一组变换。 同样将△型电路变换到 Y 型电路,变换式可由①、②、③式求得:④、⑤、⑥

R1 ?
R2 ?

R12 R31 R12 ? R23 ? R31
R12 R23 R12 ? R23 ? R31

1


1?

I



1? 6? 6? 4V 2? 1? 3? 1? 6? 3 2

R3 ?

R31R23 R12 ? R23 ? R31

图 2-4-9


1
【例 13】试求如图 2-4-9 所示电路中的电流。 分析: 这是包含一个 Y 型电路和一个△型电路的网络, 解决问题的方向可将左边 Y 型网络元变换成△型网络元,或 将右侧△型网络元变换成 Y 型网络元。 解: 将左侧 Y 型网络换成△型,如图 2-4-10 所示已知 则有

1?

R31 6? R12 6? 3? 4V 2 ? 2 6? R23 3

R1 ? R2 ? R3 ? 1?
R23 ?

图 2-4-10
R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 ? 3? R1

R12 ?

R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 ? 3? R3 R R ? R2 R3 ? R3 R1 R31 ? 1 2 ? 3? R2

由图 2-4-10,可进一步电路整理为图 2-4-11 所示。

R总 ?

4 ? 3

4V

2?

2? 2?

6? 6?

6?

将右侧△型网络元换成 Y 型网络元同样可求得

4 R总 ? ? 3 ,这里不再叙述。

图 2-4-11
五、含源电路的简化和计算 1.等效电源定理的应用

实际的直流电源可以看作电动势为 ? ,内阻为零的恒压源 与内阻 r 的串联,如图 2-4-1 所示,这部分电路被称为电压源。 不论外电阻 R 如何,总是提供不变电流的理想电源为恒流 源。实际电源 ? 、r 对外电阻 R 提供电流 I 为

?
r
R

图 2-4-1
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I?

? r ? ? R?r r R?r 其中 ? / r 为电源短路电流 I 0 ,因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并联的电流
I0 r
R

?

源,如图 2-4-2 所示。 实际的电源既可看作电压源,又可看作电流源,电流源与电压 源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。利 用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。 等效电压源定理又叫戴维宁定理,内容是:两端有源网络可等 效于一个电压源,其电动势等于网络的开路电压,内阻等于从网络 两端看除电源以外网络的电阻。 如图 2-4-3 所示为两端有源网络 A 与电阻 R 的串联,网络 A 可 视为一电压源,等效电源电动势 ? 0 等 于 a、b 两点开路时端电压,等效内阻

图 2-4-2

a
有源 网络

r0 等于网络中除去电动势的内阻,如
图 2-4-4 所示。 等效电流源定理 又叫诺尔顿 定理,内容是:两端有源网络可等效

b

R

?0
r0

a
R

b

图 2-4-3

图 2-4-4

于一个电流源,电流源的 I 0 等于网络两端短路时流经两端点的电流,内阻等于从网络两端 看除电源外网络的电阻。 【例 14】如图 2-4-5 所示的电路中,

? ? 3.0V , ? ? 1.0V , r ? 0.5?, r ? 1.0?, R ? 10 .0?, R ? 5.0?,
1 2 1 R ? 4.5?, R ? 19 .0? 3 4 2 1 2

(1)试用等效电压源定理计算从电源

?? 2、r2 ? 正极流出
A

的电流 I 2 ; (2)试用等效电流源定理计算从结点 B 流向节点 A 的电流 I1 。 分析: 根据题意, 在求通过 ? 2 电源的电流时, 可将 ABCDE 部分电路等效为一个电压源,求解通过 R1 的电流时,可将上下 两个有源支路等效为一个电流源。 解: (1)设 ABCDE 等效电压源电动势 ? 0 ,内阻 r0 ,如 图 2-4-6 所示,由等效电压源定理,应有

E

? 1 r1
R1
R4

R3
B R2

D

C

? 2 r2

图 2-4-5
?0
r2

R1 ? 1 ? 1.5V r1 ? R1 ? R2 ? R3 R ?r ? R2 ? R3 ? r0 ? 1 1 ? 5? r1 ? R1 ? R2 ? R3 电源 ? 0、r0 与电源 ? 2、r2 串联,故

? ?
0

? 2 r2

R4

图 2-4-6

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I2 ?

?2 ? ?0
r0 ? R4 ? r2

? ?0.02 A
r0
A

I0

I 2 <0,表明电流从 ? 2 负极流出。
(2)将 A、B 两个节点短接,构成等效电流源( I 0、r0 )如图 2-4-7 所示,由等效电流源定理, I 0 为原电路流经 A、B 短接后的支路 电流。因为有 ?1、? 2 两电源,必须用线性叠加原理,所谓叠加原理

I1

R1

B

图 2-4-7

与力学中“力的独立作用原理”极为相似,其内容为:若电路中有多 个电源,则通过任一支路的电流等于各个电动势单独存在时该支路产生的电流之和。 由叠加原理

? 和 R1 的分流关系 由 r0
I1 ?

? 0.35A r1 ? R3 ? R2 r2 ? R4 (r ? R3 ? R2 )(r2 ? R4 ) r0? ? 1 ? 6.7? r1 ? R3 ? R2 ? r2 ? R4
1 2

I0 ?

?

?

?

r0? I 0 ? 0.14A r0? ? R1

【例 15】在如图 8-14 甲所示电路中,电源 ε = 1.4V,内阻不计,R1 = R4 = 2Ω,R2 = R3 = R5 = 1Ω,试用戴维南定理解流过电阻 R5 的电流。

【模型分析】用戴维南定理的目的是将电源系统或与电源相关联的部分电路等效为一个 电源,然后方便直接应用闭合电路欧姆定律。此电路中的电源只有一个,我们可以援用后一 种思路,将除 R5 之外的电阻均看成“与电源相关联的”部分,于是—— 将电路做“拓扑”变换,成图 8-14 乙图。这时候,P、Q 两点可看成“新电源”的两极, 设新电源的电动势为 ε′,内阻为 r′,则 r′= R1∥R2 + R3∥R4 =
4 Ω 3

ε′为 P 、Q 开路时的电压。开路时, R1 的电流 I1 和 R3 的电流 I3 相等, I1 = I3 =
1 7 7 ? ? = A ,令 “老电源”的负极接地, 则 UP = I1R2 = V ,UQ = I3R4 15 15 (R1 ? R 2 ) (R 3 ? R 4 ) 2

=

14 7 V ,所以 ε′= UQP = V 15 15

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最后电路演化成图 8-14 丙时,R5 的电流就好求了。 【答案】R5 上电流大小为 0.20A,方向(在甲图中)向上。 2、基尔霍夫定律的应用 基尔霍夫定律的内容已经介绍,而且在(不含源)部分电路中已经做过了应用。但是在 比较复杂的电路中, 基尔霍夫第一定律和第二定律的独立方程究竟有几个?这里需要补充一 个法则,那就是—— 基尔霍夫第一定律的独立方程个数为节点总数减一; 基尔霍夫第二定律的独立方程个数则为独立回路的个数。 而且, 独立回路的个数 m 应该 这样计算 m=p?n+1 其中 p 为支路数目(不同电流值的数目) ,n 为节点个数。譬如,在图 8-15 所示的三个 电路中,m 应该这样计算

甲图,p = 3 ,n = 2 ,m = 3 ?2 + 1 = 2 乙图,p = 6 ,n = 4 ,m = 6 ?4 + 1 = 3 丙图,p = 8 ,n = 5 ,m = 8 ?5 + 1 = 4 以上的数目也就是三个电路中基尔霍夫第二定律的独立方程个数。 思考启发:学员观察上面三个电路中 m 的结论和电路的外部特征,能得到什么结果? ☆学员:m 事实上就是“不重叠”的回路个数! (可在丙图的基础上添加一支路验证…) 【例 16】在图 8-16 所示的电路中,ε1 = 32V,ε2 = 24V,两电源的内阻均不计,R1 = 5Ω, R2 = 6Ω,R3 = 54Ω,求各支路的电流。 【模型分析】这是一个基尔霍夫定律的基本应用,第一定律的方程个数为 n ? 1 = 2 , 第二方程的个数为 p ? n + 1 = 2 由第一定律,有 I3 = I1 + I2 由第二定律,左回路有 ε1 ? ε2 = I1R1 ? I2R2 左回路有 ε2 = I2R2 + I3R3 代入数字后,从这三个方程不难解出 I1 = 1.0A ,I2 = ?0.5A ,I3 = 0.5A 这里 I2 的负号表明实际电流方向和假定方向相反。 【答案】R1 的电流大小为 1.0A,方向向上,R2 的 电流大小为 0.5A,方向向下,R3 的电流大小为 0.5A, 方向向下。 【例 17】用基尔霍夫定律解图 8-14 甲所示电路中 R5
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的电流(所有已知条件不变) 。 【模型分析】此电路 p = 6 ,n = 4 ,故基尔霍夫第一定律方程个数为 3 ,第二定律方 程个数为 3 。 为了方便,将独立回路编号为Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ ,电流只设了三个未知量 I1 、I2 和 I3 ,其它 三个电流则直接用三个第一定律方程表达出来,见图 8-17 。这样,我们只要解三个基尔霍 夫第二定律方程就可以了。 对Ⅰ回路,有 I2R1 + I1R5 ? I3R3 = 0 即 2I2 + 1I1 ? 1I3 = 0 ① 对Ⅱ回路,有 (I2 ? I1)R2 ? (I1 + I3)R4 ? I1R5 = 0 即 1(I2 ? I1) ? 2(I1 + I3) ? 1I1 = 0 ② 对Ⅲ回路,有 ε = I3R3 + (I1 + I3)R4 即 1.4 = 1I3 + 2(I1 + I3) ③ 解①②③式不难得出 I1 = ?0.2A 。 (I2 = 0.4A ,I3 = 0.6A) 【答案】略。 【例 18】求解图 8-18 所示电路中流过 30Ω 电阻的电流。 【模型分析】 基尔霍 夫第一定律方程 2 个, 已在图中体现 基尔霍夫第二定律 方程 3 个,分别为—— 对Ⅰ回路, 有 100 = (I2 ? I1) + I2 · 10 ① 对Ⅱ回路,有 40 = I2·10 + I1·30 ? I3·10 ② 对Ⅲ回路,有 100 = I3·10 + (I1 + I3) ·10 ③ 解①②③式不难得出 I1 = 1.0A 。 (I2 = 5.5A ,I3 = 4.5A) 【答案】大小为 1.0A,方向向左。 〖小结〗解含源电路我们引进了戴维南定理和基尔霍夫定律两个工具。原则上,对任何 一个问题,两种方法都可以用。但是,当我们面临的只是求某一条支路的电流,则用戴维南 定理较好,如果要求求出多个(或所有)支路的电流,则用基尔霍夫定律较好。而且我们还 必须看到,随着独立回路个数的增多,基尔霍夫第二定律的方程随之增多,解题的麻烦程度 随之增大。 Rx B R0 六、电桥电路,补偿电路和电势差计 惠斯通电桥 用欧姆表测量电阻虽然方便,但不够精确,而用伏安法测电阻, 电表所引起的误差又难以消除,精确地测量电阻,常用惠斯通电桥。 图是惠斯通电桥的电路图,当 B、D 两点的电势相等时,通过检 流计的电流强度 Ig=0,此时就称电桥平衡(可通过调节滑动触头 D 的 位置来实现) 。 根据串联电路中电阻与电压成正比的原理, 可知此时应 有

S2
G

R3
D

A

R1
R4

R2

S1

R1 : R2 ? Rx : R0
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一般来讲, R1 和 R2 由同一均匀电阻丝组成,其阻值与长度成正比,待测电阻的计算 公式为

Rx ?

R1 L R0 ? 1 R0 R2 L2

测出电阻丝长度 L1 和 L2 之比,再由标准电阻 R0 的阻值即可确定待测电阻 Rx 的阻值。 备注:操作方法见实验部分。 电势差计 ? R 精确地测量电源电动势常采用电势差计。电势差计是根据补偿原 理来设计的,补偿法的原理可用图 2-5-2 所示来说明。 通常情况下,用测量仪器对电源进行测量时,总有电流通过电源, A C 因而造成测量误差。用图 2-5-3 所示的电路进行测量时,可以使待测 ?x 电源中的电流为零。图中工作电源与粗细均匀的电阻线 A、B 相连。 G 适当调节 C 的位置,当电阻线在 A、C 段的电势降刚好与待测电源的 电动势 Ex 相等时,灵敏电流计 G 内没有电流通过,待测电源中的电 图 2-5-2 流也为零。这时,称待测电路得到了补偿。 若先对一 个标准电池实现补偿,就可以对电路进行定标(测得 A、C 间单位长度相当 多少伏电压) ,然后对某个待测电压实现补偿,即可精确地测定这个电压值。 用这种方法既可以测量电源电动势, 还可以测量某段电路两端电 压。 若再借助于比较法, 还可测量电阻值。 这种测量方法称为补偿法。 滑线式电势差计的电路如图 2-5-4 所示。它由三部分组成:工作 电源 E、开关 K1 和变阻器 R1 组成“工作电路”;标准电池 ε0、灵敏电 流计 G 和保护电阻 R2 组成“标准电路”;待测电源 εx、开关 K3、电阻 箱 R3、灵敏电流计 G 和保护电阻 R2 组成“测量电路”,三部分之间接 有转换开关 K2 和由粗细均匀的电阻线 AB 和滑动触头 C。 任何电势差 计,无论结构多么复杂,都有以上三部分。 测量前, 应先对电势差计进行校准, 回路中的工作电源电压可取 3~4V 间某个值。调节变阻器 R1 使工作电路中的电流达到规定值。 再将转换开关 K2 接标准电池, 调节滑动触头 C, 并逐步减小保护电阻 R2, 直至 R2 等于零时, 接通灵敏电流计 G,表中也有没电流通过。这时“标准回路”就达到了平衡,记下此时电阻线 上 AC1 段长度 l1。 然后,将 R2 调至最大,将转换开关 K2 接待测电源,并断开开关 K3。按以上方法再调节 “测量电路”使其达到平衡,并记下此时触头位置所对应的电阻线上 AC2 的长度 l2。在调节过 程中,R1 的位置不能动,以保护工作电流不变。此时,由于电阻线的粗细均匀,故有

B

?L1 / S


?0

?I?

?L2 / S

?x

?x ?

L2 ?0 L1

如果要测量待测电源的内阻 r,可以合上 K3,用以上方法测得待测电源的路端电压
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Ux ?
再根据公式

L3 ?0 L1

? x ? U x ? Ir ? U x ? ?1 ?
?
读出电阻箱的阻值 R3,即可求出电源内阻为

?

r ? ? R3 ? ?
C
M R

? ?x ? ? r ? R3 ? ? 1 ?U ? ? x ?
利用电势差计还可以借助于比较法测电阻, 测量方法如图 2-5-5 所示,图中 R 为标准电阻,Rx 为待测电阻,先用电势差计测出 Rx 两端的电压 Ux,再用同样的办法测出标准电阻 R 两端的电压 U,由 于电势差计没有分流作用,故

N

Rx
电势差计

图 2-5-5

U : U x ? IR : IRx ? R : Rx
因此

Rx ?

Ux R U

【例 19】如图是测量灵敏电流计 G 的内电阻 Rg 的一个实验电路。P、R、S 为阻值已知的电 阻,Q 为电阻箱,调节 Q 使电键 K 不论接通或断开,G 表的读数都不发生变化,求: (1) 电流表内阻 Rg; (2)已知电源电动势 E,内阻不计,求通过电流表的电流强度。 (培优教程 p306)

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【例 20】在图中所示的电路中,xy 为一均匀电阻丝,全长 155cm。当电键 S1,S2 都闭合时, 将滑动接触点接在 xy 线上的 p 处,xp=135cm,检流计 G 指针恰好没有偏转,如果将电键 S2 打开,而 S1 仍闭合,则须将滑动触点移至 y 处,检流计才可不发生偏转。已知 R1=8.00Ω, 试求电池 ε 的内阻 r 的值。

七、电表的改装 常见的磁电式电流计主要由放在永久磁场中的由细漆包线绕制的可以转动的线圈、用 来产生机械反力矩的游丝、指示用的指针和永久磁铁所组成。当电流通过线圈时,载流线圈 在磁场中就产生一磁力矩 M 磁 ,使线圈转动并带动指针偏转。线圈偏转角度的大小与线圈

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通过的电流大小成正比,所以可由指针的偏转角度直接指示出电流值。 1、测量量程 Ig 、内阻 Rg 电流计允许通过的最大电流称为电流计的量程,用 Ig 表示,电流计的线圈有一定内阻, 用 Rg 表示, Ig 与 Rg 是两个表示电流计特性的重要参数。 测量内阻 Rg 常用方法有: (1)半电流法也称中值法。 测量原理图见图 1。当被测电流计接在电路中时,使电流计满偏,再用十进位电阻箱与 电流计并联作为分流电阻改变电阻值即改变分流程度, 当电流计指针指示到中间值, 且总电 流强度仍保持不变,显然这时分流电阻值就等于电流计的内阻。 (2)替代法。 测量原理图见图 2。当被测电流计接在电路中时,用十进位电阻箱替代它,且改变电阻 值,当电路中的电压不变时,且电路中的电流亦保持不变,则电阻箱的电阻值即为被测电流 计内阻。 替代法是一种运用很广的测量方法,具有较高的测量准确度。

2、改装为大量程电流表 根据电阻并联规律可知, 如果在表头两端并联上一个阻值适当的电阻 R2 , 如图 3 所示, 可使表头不能承受的那部分电流从 R2 上分流通过。这种由表头和并联电阻 R2 组成的整体 (图中虚线框住的部分)就是改装后的电流表。如需将量程扩大 n 倍,则不难得出

R2 ? Rg / n



图 3 为扩流后的电流表原理图。用电流表测量电流时,电流表应串联在被测电路中, 所以要求电流表应有较小的内阻。另外,在表头上并联阻值不同的分流电阻,便可制成多量 程的电流表。

3、改装为电压表 一般表头能承受的电压很小,不能用来测量较大的电压。为了测量较大的电压,可以给
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表头串联一个阻值适当的电阻 R M ,如图 4 所示,使表头上不能承受的那部分电压降落在 电阻 R M 上。这种由表头和串联电阻 R M 组成的整体就是电压表,串联的电阻 R M 叫做扩程电 阻。选取不同大小的 R M ,就可以得到不同量程的电压表。由图 4 可求得扩程电阻值为:

RM ?

U ? Rg Ig



实际的扩展量程后的电压表原理见图 4 用电压表测电压时, 电压表总是并联在被测电路上。 为了不致因为并联了电压表而改变 电路中的工作状态,要求电压表应有较高的内阻。 4、改装微安表为欧姆表

用来测量电阻大小的电表称为欧姆表。 根据调零方式的不同, 可分为串联分压式和并联 分流式两种。其原理电路如图 5 所示。 图中 E 为电源, R3 为限流电阻, RW 为调“零”电位器, R X 为被测电阻, Rg 为等效 表头内阻。图(b)中, RG 与 RW 一起组成分流电阻。 欧姆表使用前先要调“零”点,即 a 、b 两点短路, (相当于 RX ? 0 ) ,调节 RW 的阻值, 使表头指针正好偏转到满度。可见,欧姆表的零点是就在表头标度尺的满刻度(即量限)处, 与电流表和电压表的零点正好相反。 在图(a)中,当 a 、 b 端接入被测电阻 R X 后,电路中的电流为

I?

E Rg ? RW ? R3 ? RX



对于给定的表头和线路来说, Rg 、 RW 、 R3 都是常量。由此可见,当电源端电压 E 保持不变时,被测电阻和电流值有一一对应的关系。即接入不同的电阻,表头就会有不同的 偏转读数, R X 越大,电流 I 越小。短路 a 、 b 两端,即 RX ? 0 时
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I?
这时指针满偏。

E ? Ig Rg ? RW ? R 3



当 RX ? Rg ? RW ? R3 时

I?

E 1 ? Ig Rg ? RW ? R 3 ? RX 2



这时指针在表头的中间位置,对应的阻值为中值电阻,显然 R中 ? Rg ? RW ? R3 。 当 R X ? ? (相当于 a 、 b 开路)时, I ? 0 ,即指针在表头的机械零位。 所以欧姆表的标度尺为反向刻度,且刻度是不均匀的,电阻 R 越大,刻度间隔愈密。如果 表头的标度尺预先按已知电阻值刻度,就可以用电流表来直接测量电阻了。 并联分流式欧姆表利用对表头分流来进行调零的,具体参数可自行设计 欧姆表在使用过程中电池的端电压会有所改变,而表头的内阻 Rg 及限流电阻 R3 为常 量,故要求 RW 要跟着 E 的变化而改变,以满足调“零”的要求,设计时用可调电源模拟电池 电压的变化,范围取 1.35 ~ 1.6V 即可。 【例 21】 如图所示是一个电压、 电流两用表中的两个电流档, 量程为 I1=1mA, I2=500mA; 一个电压档, 量程为 U=10V.已知表头 G 的满偏电流 I g ? 500?A , 内阻 Rg=600Ω,求电阻 R1,R2 和 R3 的阻值。培优教程 P300 页

【例 22】实验室有一个破损的多量程动圈式直流电流计,有 1mA,10mA 和 100mA 三档, 由一个单刀三掷开关转换, 其内部电路如图所示, 电流计的表头已烧坏, 无法知道其电特性, 但三个精密分流电阻完好,且测得 R1=144Ω,现有两个表头 A
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和 B,外形都与原表头相同。表头 A 的满刻度电流为 0.2mA,内阻为 660Ω;表头 B 的满刻 度电流为 0.5mA,内阻为 120Ω。试问保留分流电阻 R1, R2, R3 的情况下,应该用哪个表头修 复此电流计?如何修复?

【例 23】现有一只满偏电流为 Ig、内阻为 r 的半偏向电流表头。试用它以及其他一些必要 元件,设计出一只顺向刻度欧姆表,画出其线路图并粗略指明其刻度值。

【例 24】欲测电阻 R 的值,现有几个标准电阻,一个电池和一只未经标定的电流计,连成 如图所示的电路,第一次与电流计并联的电阻 r 为 50.00Ω,电流 计的示度为 3.9 格;第二次 r 改用 100.00Ω,电流计的示度为 5.2 格; 第三次 r 改用 10.00Ω, 同时将待测电阻 R 换成一个 20.00Ω 的
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标准电阻,结果电流计的示度为 7.8 格,已知电流计的示度与通过的电流成正比,求电阻 R 的值。

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