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山东省青岛二中2015-2016学年高二上学期第一学段模块考试数学文试题


青岛二中 2015-2016 学年第一学段高二模块考试——(文倾)数学 满分:150 分 时间:120 分钟 第 I 卷(共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 设 m ? N ,命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题

是(
2



A.若方程 x ? x ? m ? 0 有实根,则 m ? 0
2

B.若方程 x ? x ? m ? 0 有实根,则 m ≤ 0
2

C. 若方程 x ? x ? m ? 0 没有实根,则 m ? 0
2

D. 若方程 x ? x ? m ? 0 没有实根,则
2

m≤0
2. 某工厂生产 A, B, C 三种不同型号的产品, 产品的数量之比为 3 : 4 : 7 ,现在用分层抽样的方 法抽出容量为 n 的样本,样本中 A 型号产品有 15 件,那么样本容量 n 为( A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 ) )

3. 设 x ? R ,命题 p : x ? 2 ? 1 ,命题 q : x 2 ? x ? 2 ? 0 ,则命题 p 是命题 q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

4. 有一个袋子中装有标注数字 1,2,3,4, 的四个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从 中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 5 的概率是( A. )

1 12

B.

2 3

C.

1 6

D.

1 3


5. 已知 ? 、 ? 是不同的平面, m 、 n 是不同的直线,则下列命题不 正确的( . A. 若 m ? ? , m ∥ n, n ? ? , 则 ? ? ? C. 若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ?

B. 若 m ∥ ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n D. 若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ∥ ?

6. 如图是歌手大奖赛中,七位评委给甲、乙两名选手打出的分数的茎 叶图(其中 0 ? m ? 9,m ? Z ),现将甲、乙所得的一个最高分和一个最 低分均去掉后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为 a1,a2 ,中位数分 别为 b1,b2 ,则有( A.
a1 ? a2 , b1 ? b2

) B.
a1 ? a2 , b1 ? b2

C. a1 ? a2 , b1 ? b2

D. a1 ? a2 , b1 ? b2

7. 在样本的频率分布直方图中,共有 11 个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他 10

个小长方形的面积的和的 A. 0.2

1 ,且样本容量 160,则中间一组的频数为( 4
C. 32 D. 40

)

B. 0.25

8. 已知椭圆的两个焦点分别是 F1 , F2 , P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1 P 到 Q ,使得

PF2 ? PQ , 那么动点 Q 的轨迹是(
A.圆 B.椭圆

) C.射线 D.直线

9. 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 2 ,侧棱长为 3 , D 为 BC 中点,则三棱锥

A ? B1DC1 的体积为(
A. 3

) B.

3 2

C. 1

D.

3 2

10. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ,上顶点为 B ,右焦点为 F ,设线段 AB 的 a2 b2
2

中点为 M ,若 2MA ? MF ? BF ? 0 ,该椭圆离心率的取值范围为( A. (0, 3 ? 1] B. [ 3 ? 1,1) C. (0,



3 -1 ] 2

D. [

3 -1 ,1) 2

第 II 卷 (共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题纸的相应位置上) 11.如果执行右边的框图,输入 N ? 3 ,则输出的数等于 .

12.一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保 持与正方体 6 个表面的距离均大于 1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的 概率为 .

13. 椭圆

y2 x2 1 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为________. 2 k ?1 2

14. 已 知 “ 命 题 p : ?x ? 0, x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 ” 是 真 命 题 , 则 a 的 取 值 范 围 为 __________. 15. 给出下列命题: ①如果数据 x1, 标准差为 S , 则: 数据 3x1 ? 2, x2, x3 , ?, xn 的平均数为 x , 3x2 ? 2, ? , 3xn ? 2 的平均数和标准差分别是 3 x ? 2 和 3S ;

②“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定;
2

③“直线 l1 ? l 2 , l 2 ? l 3 ,则 l1 ? l3 ”或“直线 l1 // l 2 , l 2 // l3 ,则 l1 // l 3 ”; ④“ x2 ? y 2 ? 0 ”是“ xy ? 0 ”的充要条件. 其中真命题的序号为__________________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 设命题 p :函数 y ? kx ? 1 在 R 上是增函数,命题 q :曲线 y ? x 2 ? 2kx ? 1 与 x 轴交于不同的 两点,如果 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,求 k 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分) 为了解某校今年高二年级女生的身体素质状况, 从该校高二年 级女生中抽取了一部分学生进行“掷铅球”的项目测试.把获

?,3,5?, ?,5,7?, 得的所有数据,分成 ?1,3?, ?7,9?, ?9,11? 五组,画出的频率分布直方图如图所示.已知有
4 名学生的成绩在 9 米到 11 米之间. (I)求实数 a 的值及参加“掷铅球”项目测试的人数; (II)若从此次测试成绩最好的 ?9,11? 和最差的 ?1,3? 这两组中 随机抽取 2 名学生再进行其它项目的测试,求所抽取的 2 名学生来自不同组的概率.

18.(本小题满分 12 分) 已知 a 为实数且 a ? 0 , p : 求实数 a 的取值范围.

a ? 1, q : x 2 ? 2 x ? 1 ? a 2 ? 0 ,若 p 是 ? q 的充分不必要条件, x?a

19.(本小题满分 12 分)

已知 F1 , F2 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 1) 的左、右两个焦点,一条直线 l 经过点 F1 ,且与 a2 a2 ?1

椭圆交于 A, B 两点, 且 ?ABF2 的周长为 8. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若直线 l 的倾斜角为 20.(本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, SA ? 底面
ABCD , SA ? AD ,点 M , P 分别是 SD , BC 的中点, AN ? SC ,

?
4

,求 AB 的值.

且交 SC 于点 N . (Ⅰ)求证: MP / / 平面 SAB ; (Ⅱ)求证:平面 SAC ⊥平面 AMN . 21.(本小题满分 14 分)

x2 y2 已知焦点在 x 轴上的椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,焦距为 2 3 , a b
长轴长为 4 . (I)求椭圆的标准方程; (II)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆交于 A , B 两点,证明:点 O 到直线 AB 的距 离为定值,并求出这个定值. 附加题(本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 的交点 P 和 Q . (I)求 k 的取值范围; (II)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A,B ,是否存在常数 k ,使得向量

x2 ? y 2 ? 1有两个不同 2

? ??? ? ??? ? ??? OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.
答案

一、选择题

DCADB, 二、填空题 11.

BCACA

11 4

12.

1 27

13. 或

1 2

5 3

14. a ? 2

15. ①③

三.解答题 16. 因为函数 y=kx+1 在 R 上是增函数, 所以 k ? 0 , 又因为曲线 y ? x 2 ? 2kx ? 1 与 x 轴交于不同的两点, 所以 ? ? 4k 2 ? 4 ? 0 ,解得 k ? ?1 或 k ? 1 , 因为 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,所以命题 p,q 一真一假,

?k ? 0 ①若 p 真 q 假,则 ? 所以 0 ? k ? 1 ; ?? 1 ? k ? 1

?k ? 0 ②若 p 假 q 真,则 ? 所以 k ? ?1 . ?k ? ?1或k ? 1
故实数 k 的取值范围是 (0,1] ? ?? ?,?1? . 17. (Ⅰ)由题意可知 (0.2 ? 0.15 ? 0.075 ? a ? 0.025) ? 2 ? 1 解得 a ? 0.05

4 ? 40 所以此次测试总人数为 0.05 ? 2 .
答:此次参加“掷铅球”的项目测试的人数为 40 人. (Ⅱ) 设从此次测试成绩最好和最差的两组中随机抽取 2 名学生自不同组的事件为 A: 由已知, 测试成绩在 [1,3) 有 2 人,记为 a , b ;在 [9,11] 有 4 人,记为 A, B, C , D . 从这 6 人中随机 抽取 2 人有

ab, aA, aB, aC, aD, bA, bB, bC, bD, AB, AC, AD, BC, BD, CD ,共 15 种情况.
事件 A 包括 aA, aB, aC, aD, bA, bB, bC, bD, 共 8 种情况.

P ( A) ?
所以

8 15 .

18. P :

a ? 1 , ?x ? 2a ?( x ? a) ? 0,? a ? 0,? a ? x ? 2a x?a

q : ?x ? ?1 ? a ???x ? ?1 ? a ?? ? 0 ,? a ? 0 ? x ? 1 ? a或x ? 1 ? a
?q :1 ? a ? x ? 1 ? a
P 是 ?q 的充分不必要条件,则 p ? ?q
?

?1 ? a ? a ? ? ?1 ? a ? 2a (等号不同时成立) ?a ? 0 ?

1 ? ? a ?1 2

19. 由椭圆的定义,得 AF 1 ? AF 2 ? 2a , BF 1 ? BF 2 ? 2a , 又 AF 1 ? BF 1 ? AB , 所以 ?ABF2 的周长 ? AB ? AF2 ? BF2 ? 4a . 又因为 ?ABF2 的周长为 8,所以 4a ? 8 , 则 a ? 2 .

???2 分

?????4 分 ?????5 分

x2 y2 ? ? 1 , F1 (?1 , 0) , 4 3 ? 因为直线 l 的倾斜角为 ,所以直线 l 斜率为 1 , 4
⑵ 由⑴得,椭圆 故直线 l 的方程为 y ? x ? 1 .

?????????7 分

????????8 分

? y ? x ? 1, ? 2 由 ? x2 y 2 消去 y ,得 7 x ? 8 x ? 8 ? 0 , ? ? 1, ? 3 ?4
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

?????9 分

8 8 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? 7 7
? 8? ? 8 ? 24 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 2 ? ? ? ? 4? ? ? ? ? 7? ? 7? 7
20. (1)取 SA 中点,记为 E,连接 ME,EB M,E 分别为 SD,SA 中点
2

ME//AD,ME=

1 AD 2 1 AD 2

又 P 为 BC 中点,BP//AD,BP= 所以 ME//BP,且 ME=BP

所以四边形 MEBP 为平行四边形 所以 MP//EB MP ? 面 SAB,EB ? 面 SAB,所以 MP // 面 SAB (2)因为 SA⊥平面 ABCD,所以 SA⊥CD, 因为 ABCD 为矩形, 所以 CD⊥AD,且 SA∩AD=A, 所以 CD⊥平面 SAD,所以 CD⊥AM. 因为 SA=AD,M 为 SD 的中点, 所以 AM⊥SD,且 CD∩SD=D, 所以 AM⊥平面 SCD,所以 AM⊥SC, 又因为 SC⊥AN,且 AN∩AM=A, 所以 SC⊥平面 AMN, 因为 SC? 平面 SAC, 所以平面 SAC⊥平面 AMN. 21. (Ⅰ)

2c ? 2 3, 2a ? 4
b2 ? a 2 ? c 2 ? 1

a ? 2, c ? 3

x2 ? y2 ? 1 4 所以椭圆的标准方程为
(Ⅱ) (ⅰ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,

.

① 当直线 AB 的斜率不存在时,则 ?AOB 为等腰直角三角形,不妨设直线 OA: y ? x

x2 2 x?? 5 ? y2 ? 1 y ? x 5 将 代入 4 ,解得
d?
所以点 O 到直线 AB 的距离为

2 5 5 ;

x2 ? y2 ? 1 y ? kx ? m 4 ② 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 ,代入椭圆
2 2 2 联立消去 y 得: (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?4 ? 0

x1 ? x2 ? ?

8km 4m2 ? 4 x1 x2 ? 2 1 ? 4k , 1 ? 4k 2

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 即 (1 ? k ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? 0
2 2

所以

(1 ? k 2 )

4 m 2 ? 4 8k 2 m 2 ? ? m2 ? 0 2 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k ,整理得 5m ? 4(1 ? k ) ,

d?
所以点 O 到直线 AB 的距离

m 1? k
2

?

2 5 5

2 5 综上可知点 O 到直线 AB 的距离为定值 5

附加题: (Ⅰ)由已知条件,直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程得

x2 ? (kx ? 2)2 ? 1 . 2

整理得 ?

?1 ? ? k 2 ? x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 ?2 ?



直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 ? ? 8k ? 4 ?
2

?1 ? ? k 2 ? ? 4k 2 ? 2 ? 0 , ?2 ?

? ? 2? ? 2 2 2 ? ? , ? ∞ 或k ? .即 k 的取值范围为 ? ?∞, ? ? ? ? ? ?. 2 ? 2 2 ? ? ? 2 ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ,
解得 k ? ? 由方程①, x1 ? x2 ? ?

4 2k . 1 ? 2k 2



又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 .



而 A( 2 ,, 0) B(01) ,, AB ? (? 21) ,. 所以 OP ? OQ 与 AB 共线等价于 x1 ? x2 ? ? 2( y1 ? y2 ) , 将②③代入上式,解得 k ?

??? ?

??? ? ????

??? ?

2 . 2

由(Ⅰ)知 k ? ?

2 2 或k ? ,故没有符合题意的常数 k . 2 2


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