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培优班高一函数及其表示精品教案


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学生姓名:

辅导形式:一对一

老师:陈波

学校年级:高一

【作业检查】 学生的学习情况以及学习兴趣,和老师的相处情况。 【梳理知识】

函数及其表示
教学目标: 1.掌握函数的概念以及映射的概念,区分映射中原象与映射对

象。 2.掌握函数定义域和值域的范围,区分定义域与值域之间的转换。 教学重点、难点:掌握函数定义域和值域的大小,会通过函数定义求解函数。 教学过程 一.归纳纲总,全面梳理 1.函数的概念 (1)设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应,那么这样的 应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作 f : A ? B . (2)函数的三要素:定义域、值域和对应法则. (3)只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. 2.映射的概念



第 二 页 共 二 页

1.设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的任意元素,在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从

A 到 B 的映射,通常记为 f : A ? B ,f 表示对应法则
2.给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ? A, b ? B .如果元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象. 注意:?A 中元素必须都有象且唯一;?B 中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一 3.函数的定义域、值域

f ( x) x ? A 在函数 y ? f ( x), x ? A 中,x 叫做自变量,x ________ A 叫做 y ? f (x) 的定义域; x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 与 称为函数 y ? f (x)
的值域。 4.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 (1).图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; (2).列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。 5.分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数 6.区间的概念及表示法 (1)设 a , b 是两个实数,且 a ? b ,满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [ a, b] ;满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a, b) ;满足

?

?

a ? x ? b ,或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 [a, b) , (a, b] ;满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别记做
[a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) .
注意:对于集合 {x | a ? x ? b} 与区间 ( a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须 a ? b .



第 三 页 共 三 页

7.求函数的定义域 一般遵循以下原则: ① f ( x ) 是整式时,定义域是全体实数. ② f ( x ) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.

③ f ( x ) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. ⑤ y ? tan x 中,

x ? k? ?

?
2

(k ? Z )
. ⑥零(负)指数幂的底数不能为零.

⑦若 f ( x ) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 f ( x ) 的定义域为 [ a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出. ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. 8.求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因 此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.例 1、 y ? ? x ? 2 x ? 3
2

③判别式法:若函数 y ? f ( x) 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a( y) x ? b( y) x ? c( y) ? 0 ,则在 a( y ) ? 0 时,由于 x, y 为实数,故必须有
2

? ? b2 ( y) ? 4a( y) ? c( y) ? 0 ,从而确定函数的值域或最值. y ?

2x ? 1 x ? 2x ? 2
2



第 四 页 共 四 页

④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. y ? x ? ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法. (9)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数 y ?

1? 2 x

3x ? 2 的值域 4x ? 3

(10)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域 (11)分段函数分别求函数值域,例、 y ? x ? 3 ? x ? 5 9.求函数解析式 方法总结: (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,则用待定系数法; (2)若已知复合函数 f [ g ( x)] 的解析式,则可用换元法或配凑法; (3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f (x) 题型 1:用待定系数法求函数的解析式 例 1.已知函数 f ? x ? 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 9 x ? 4 ,求 f ? x ? 表达式. 例 2.已知 f ? x ? 是一次函数且 2 f ? 2? ? 3 f ?1? ? 5,2 f ? 0? ? f ? ?1? ? 1, 则f ? x ? ? ( A. 3 x ? 2 B. 3 x ? 2 C. 2 x ? 3 D. 2 x ? 3 )

例 3.二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式;



第 五 页 共 五 页

(2)解不等式 f (x)>2x+5.

例 4.已知 g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,当 x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为 1,且 f (x)+g(x)为奇函数,求函数 f(x)的表达式.

题型 2:由复合函数的解析式求原来函数的解析式
2 例 1.已知二次函数 f (x) 满足 f (2 x ? 1) ? 4 x ? 6 x ? 5 ,求 f (x)

例 2.已知 f

?

x ? 1 ? x ? 1, 则f ? x ? ? _____________。
1? x 1? x2 )= ,则 f (x) 的解析式可取为 1? x 1? x2

?

例 3.已知 f (

题型 3:求抽象函数解析式 例 1.已知函数 f (x) 满足 f ( x ) ? 2 f ( ) ? 3 x ,求 f (x) 例 2、已知: 2 f ( x) ? 3 f (? x) ? x ? 1 ,求 f ? x ? 表达式.
f ( x) ? g ( x) ? x ? 1 ,求 f ( x ) 和 g ( x) 的解析式\ (12)例 3.设函数 f ( x) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且 1

1 x

【测试定位】 、
一、直接写出下面各题得数. 1.下列四种说法正确的一个是( A. f (x) 表示的是含有 x 的代数式 ) B.函数的值域也就是其定义中的数集 B C.函数是一种特殊的映射 D.映射是一种特殊的函数



第 六 页 共 六 页

2.已知 f 满足 f(ab)=f(a)+ f(b),且 f(2)= p , f (3) ? q 那么 f (72) 等于( A. p ? q B. 3 p ? 2q 3.下列各组函数中,表示同一函数的是( A. y ? 1, y ? C. 2 p ? 3q )
3



D. p ? q 2 C . y ? x, y ? 3 x 3 D. y ?| x |, y ? ( x ) 2

x x
2

B. y ?

x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1


4.已知函数 y ? A. (??,1]

1? x 的定义域为( 2 x ? 3x ? 2

B. (??,2]

C . ( ?? ,? ) ? (?

1 2

1 ,1] 2

D. ( ?? ,? ) ? (?

1 2

1 ,1] 2

? x ? 1, ( x ? 0) 5.设 f ( x ) ? ?? , ( x ? 0) ,则 f { f [ f (?1)]} ? ( ? ?0, ( x ? 0) ? A. ? ? 1 B.0 C. ?
6.设函数 f (

) D. ?1 ( D. )

1? x ) ? x ,则 f (x) 的表达式为 1? x 1? x 1? x 1? x A. B. C. 1? x x ?1 1? x

2x x ?1
( )

2 7.已知二次函数 f ( x) ? x ? x ? a(a ? 0) ,若 f (m) ? 0 ,则 f (m ? 1) 的值为

A.正数

B.负数

C.0

D.符号与 a 有关 )

2 8.下列图中,画在同一坐标系中,函数 y ? ax ? bx 与 y ? ax ? b(a ? 0, b ? 0) 函数的图象只可能是(



第 七 页 共 七 页

y

y

y

y

x A B

x C

x D

x

9.已知在 x 克 a % 的盐水中,加入 y 克 b % 的盐水,浓度变为 c % ,将 y 表示成 x 的函数关系式





c?a c?a c?b x x x B. y ? C. y ? c?b b?c c?a 10.已知 f (x) 的定义域为 [?1,2) ,则 f (| x |) 的定义域为 A. [?1,2) B. [?1,1] C. (?2,2)
A. y ? 二、填空题:请把答案填在题中横线.
2 11.已知 f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f (3) =

D. y ?

b?c x c?a
( )

D. [?2,2)

.

12.集合 A 中含有 2 个元素,集合 A 到集合 A 可构成 个不同的映射. 13.从盛满 20 升纯酒精的容器里倒出 1 升,然后用水加满,再倒出 1 升混合溶液,再用水加满. 这样继续下去,建立所倒次数 x 和酒精残留量 y 之间的 函数关系式 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2x 2 ? 2x ? 3 x ?1 14.①.求函数 y ? 的定义域;②求函数 y ? x ? 1? 2 x 的值域;③求函数 y ? 的值域. x2 ? x ?1 | x ?1| ? | x ?1|
3



第 八 页 共 八 页

15.已知函数 ( x ? 1) f (

x ?1 ) ? f ( x) ? x ,其中 x ? 1 ,求函数解析式. x ?1

16.设 f (x) 是抛物线,并且当点 ( x, y ) 在抛物线图象上时,点 ( x, y 2 ? 1) 在函数 g ( x) ? f [ f ( x)] 的图象上,求 g (x) 的解析式.

17.已知函数 f (x) , g (x) 同时满足: g ( x ? y) ? g ( x) g ( y) ? f ( x) f ( y) ; f (?1) ? ?1 , f (0) ? 0 , f (1) ? 1 ,求 g (0), g (1), g (2) 的值



第 九 页 共 九 页

【家庭作业】
一,选择题. 1.函数 y ? 2 ? ?x2 ? 4x 的值域是( A
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) C
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[? 2 , 2 ]

B

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[1, 2 ]

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[0, 2]

D

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[? 2 , 2 ]


2.某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该 ... 班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为(

x x?3 ] (B)y=[ ] 10 10 3.已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1?1 ? x ? 3? , 则(
(A)y=[ A. f ? x ?1? ? 2x ? 2 ? 0 ? x ? 2?

(C)y=[ )

x?4 ] 10

(D)y=[

x?5 ] 10
D. f ? x ?1? ? 2x ?1? 0 ? x ? 4?

B. f ? x ?1? ? ?2x ?1? 2 ? x ? 4? C. f ? x ?1? ? 2x ? 2 ? 0 ? x ? 2?

?1 ? x 2 , x ? 1, ? 4.设函数 f ? x ? ? ? 2 则 ? x ? x ? 2, x ? 1, ?
A.

? 1 ? f? ? f ? 2 ? ? 的值为( ? ? ?
C.



15 16

B. ?

27 16

8 9

D. 18 )

5.定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ? 2xy ? x, y ? R ? , f ?1? ? 2 则 f ? ?3? 等于( A. 2 B. 3 C. 6 ) D.9

6.下列各组函数表示同一函数的是(



第 十 页 共 十 页

A. f ( x) ?

x , g ( x) ? ( x )
2

2

? x? x ? 0 ? x2 ?1 f ?x ? ? ? , g ?t ? ? t f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ? x ?1 ?? x?x ? 0? B. f ( x) ? 1, g ( x) ? x C. D.
0

7、函数 A.

f ? x ? ? x2 ? 4 ?

1 x ? 3 的定义域为(
B.

) C.

? ? ?2, ?? ? ? ??, 2?
? x ? 1, ? x ? 0 ? ? f ? x ? ? ? ? , ? x ? 0? ? 0, ? x ? 0 ? ?
B. 0

? ?2,3? ? ?3, ??

? ? ?2,3? ? ?3, ?? ? ? ??, 2?

D.

? ? ??, 2?

8、设

,则

f f ? f ? ?1? ? ? ? 的值是(
D. ?1

?

?



A. ? ? 1 二.填空题

C. ?

y ? x?
1. 函数

1 ( x ? 0) x 的值域_________________

f ? x ? ? lg
2. 设 则

? x? ?2? 2? x f? ?? f? ? ? x ? 的定义域为____________________ 2 ? x ,则 ? 2 ?
的 值 等 于 ____________________________________

3. ( 2008 山 东 ) 已 知

f ? 3x ? ? 4 x log 2 3 ? 233,

f ? 2 ? ? f ? 4 ? ? f ? 8 ? ? ? ? f ? 28 ?

1? 1 ? f ? x ? ? ? x2 ? 2 x? x ,则函数值 f ? 3? ? _______________ 4.已知 ?



第 十一 页 共 十一 页

?1 ? 2 x ? 1( x ? 0), ? f ( x) ? ? 若f (a) ? a. ?1 ( x ? 0). ?x ? 5. 设函数 则实数 a 的取值范围是 ______________________
6
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已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 3 ? b(a ? 0) 在 [1,3] 有最大值 5 和最小值 2 ,求 a 、 b 的值
2

7、若函数

y ? f ? x ? ? x2 ? ? a ? 2? x ? 3, x ??a, b?

的图象关于直线 x ? 1 对称,求 b 的值。

8、已知

f ? x?

是一次函数,且

f f ? f ? x ?? ? 8x ? 7 f ? x? ? ? ,求 的解析式。

?

?

十一


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